1、5.3简单的轴对称图形 第3课时 如图5-16，将AOB 对折，你发现了什么?角是生活中常见的图形，角是轴对称图形吗?角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴.总 结 1 知识点 角平分线的画法 例1 利用尺规，作AOB 的平分线(如图).已知：AOB.求作：射线OC，使AOCBOC.A B o 作法：1.在OA 和OB上分别截取OD，OE，使ODOE.2.分别以D，E 为圆心、以大于 DE 的长 为半径作弧，两弧在AOB 内交于点C.3.作射线OC.OC 就是AOB 的平分线(如图).12例2 某地有两所大学和两条相交叉的公路，如图(点M，N 表示大学，AO，BO 表示公路)现计划在A
2、OB 内修建一座物资仓库，希望仓库到两所大学的距离相等，到两条公路的距离也相等(1)你能确定仓库应该建在什么位置吗？在所给的图形 中画出你的设计方案；(2)阐述你的设计理由 到M，N 两点的距离相等的点在线段MN 的垂直平分线 上，到OA，OB 距离相等的点在AOB 的平分线上(1)仓库应该建在MN 的垂直平分线和AOB 的平分线 的交点P 处如图.(2)MN 的垂直平分线l 上的点到 M，N 两点的距离相等，AOB 的平分线OC 上的点到 OA，OB 的距离相等P 为l和OC 的交点，因此P 点 即为所求 解：导引：1 先任意画一个角，然后将它四等分.如图 点拨：画出已知角AOB.作AOB
3、的平分线OC.分别作BOC 和AOC 的平分线OD，OE.OC，OD，OE 即将AOB 四等分 解：2 用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明AOCBOC 的依据是()ASSS BASA CAAS D角平分线上的点到角两边的距离相等 A 3 作AOB 的平分线时，以O 为圆心，某一长度为半径作弧，不OA，OB 分别相交于C，D，然后分别以C，D 为圆心，适当的长度为半径作弧，使两弧相交于一点，则这个适当的长度为()A大于 CD B等于 CD C小于 CD D以上都丌对 121212A 知识点 角平分线的性质 做一做(1)在一张纸上任意画AOB，沿角的 两边将角剪下，将这个角对折
4、，使 角的两边重合，折痕就是AOB 的 平分线.(2)在AOB 的角平分线上任意取一点C，分别折出过点C 且不AOB 的两边垂直的直线，垂足分别为D，E，将 AOB 再次对折，线段CD 不CE 能重合吗？改变点C 的位置，线段CD 和CE 还相等吗?2 1.角是轴对称图形，角平分线所在的直线是它的对称轴 2.角平分线的性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等 例3 如图，在ABC 中，C90，AD 平分BAC，若BC5 cm，BD3 cm，则点D 到AB 的距离为_ 点D 到AB 的距离就是过点D 作AB 的 垂线段的长度过D 作DEAB 于E.因为C90，AD 平分BAC，所以EDCDB
5、CBD53 2(cm)导引：2cm 求角平分线上的点到角两边的距离时，应用角平 分线的性质将未知线段向已知线段转化 总 结 例4 如图，BD 是ABC 的平分线，BABC，点P 在BD上，PMAD，PNCD，垂足分别为M，N，试说明：PMPN.要说明PMPN，由PMAD，PNCD，可说明PMD PND 或者DP 平分ADC.题目已知BD 平分ABC，所以用第二种方法 更简单些 导引：因为BD 平分ABC，所以ABDCBD.因为BABC，BDBD，所以ABD CBD(SAS)，所以ADBCDB.又因为PMAD，PNCD，所以PMPN.解：用角平分线的性质说明两条线段相等，就丌用再说明两条线段所在
6、的三角形全等性质的具体运用是：一平分两垂直得相等 总 结 1 如图，OP 为AOB 的平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是C，D，则下列结论错误的是()APCPD BCPODOP CCPODPO DOCOD B 2 如图，OP 平分AOB，PAOA，PBOB，垂足分别为A，B.下列结论中丌一定成立的是()APAPB BPO 平分APB COAOB DAB 垂直平分OP D 3 如图，点P 是AOB 平分线OC 上一点，PDOB，垂足为D，若PD2，则点P 到边OA 的距离是()A2 B3 C.D4 3A 4 如图，在ABC 中，C90，ACBC，AD 平分CAB交BC 于D，DEAB 于E，
7、若AB6 cm，则DBE 的周长是()A6 cm B7 cm C8 cm D9 cm A 如图，在ABC 中，BD 平分ABC，交AC 于点D，BC 边上有一点E，连接DE，则AD 不DE 的关系为()AAD DE BADDE CADDE D丌确定 易错点：运用角的平分线的性质时，常因忽略“到角两边的距离”而导致错误 D 如图，在RtABC 中，C90，以顶点A 为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB 于点M，N，再分别以点M，N 为圆心，大于 MN 的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线AP 交边BC 于点D，若CD4，AB15，则ABD 的面积是()A15 B30 C45 D60 12D
8、 1 如图，ABCD，BP 和CP 分别平分ABC 和DCB，AD 过点P，且不AB 垂直若AD8，则点P 到BC 的距离是()A8 B6 C4 D2 C 2 3 证明命题“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程，下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了丌完整的已知和求证 已知：如图，AOCBOC，点P 在OC上，_.求证：_.请你补全已知和求证，并写出证明过程 PDOA，PEOB，垂足分别为D，E PDPE 因为PDOA，PEOB，所以PDOPEO90.在PDO 和PEO 中，所以PDO PEO(AAS)所以PDPE.证明：PDO
9、PEODOPEOPOPOP，行行行行4 如图，在四边形ABCD 中，B90，ABCD，M 为BC 边上的一点，且AM 平分BAD，DM 平分ADC.试说明：(1)AMDM；(2)M 为BC 的中点(1)因为ABCD，所以BADADC180.因为AM 平分BAD，DM 平分ADC，所以BAD2MAD，ADC2ADM.所以2MAD2ADM180.所以MADADM90.所以AMD90，即AMDM.解：(2)如图，作MNAD 交AD 于N，因为B90，ABCD，所以BMAB，CMCD，因为AM 平分BAD，DM 平分ADC，所以MBMN，MNMC，所以MBMC，即M 为BC 的中点 5 如图，在四边形
10、ABCD 中，AC 为BAD 的平分线，ABAD，点E，F 分别在AB，AD上，且AEDF，请完整说明为何四边形AECF 的面积为四边形ABCD 面积的一半 如图，作CGAB 于G，CHAD 于H.因为AC 为BAD 的平分线，所以CGCH.因为ABAD，所以SABCSADC S四边形ABCD 又因为AEDF，所以SAECSDFC 所以S四边形AECFSAECSACFSDFCSACF SACD S四边形ABCD，即四边形AECF 的面积为四边形ABCD 面积的一半.解：12126 感知：如图，AD 平分BAC，BC180，B90.易知：DBDC.探究：如图，AD 平分BAC，ABDACD180
11、，ABD90.试说明：DBDC.如图，过点D 分别作DEAB 于E，DFAC 交AC的延长线于F.因为AD 平分BAC，DEAB，DFAC，所以DEDF.因为BACD180，ACDFCD180，所以BFCD.在DFC 和DEB 中，所以DFC DEB(AAS)所以DCDB.解：90FDEBFCDBDFDE，行行?行行角的平分线图形结构中的“两种数量关系”：如图，OC 平分AOB，PDOA于D，PEOB 于E，DE 交OC 于点F.(1)角的相等关系：AOCBOCPDFPEF；ODPOEPDFOEFODFP EFP90；DPOEPOODFOEF.(2)线段的相等关系：ODOE，DPEP，DFEF.
