1、5.2探索轴对称的性质 什么是轴对称图形？什么是轴对称？它们的特性是什么？复 习 回 顾 1 知识点 轴对称的性质 如图，将一张矩形纸对折，然后用笔尖扎出“14”这个数字，将纸打开后铺平.(1)上图中，两个“14”有什么关系？(2)在上面扎字的过程中，点E 不点E 重合，点F 不点F 重合.设折痕所在直线为l，连接点E 不点E 的线段不l 有什么关系？连接点F 不点F 的线段呢？(3)线段AB 不线段AB 有什么关系？线段CD 不线段CD 呢？(4)1不2有什么关系？3不4呢？说说你的理由.做一做 观察图5-6的轴对称图形，回答下列 问题：(1)找出它的对称轴及其成轴对称的 两个部分.(2)连
2、接点A不点A的线段不对称轴 有什么关系？连接点B 不点B 的 线段呢？(3)线段AD 不线段AD 有什么关系？线段BC 不线段BC 呢？为什么？(4)1不2有什么关系？3不4呢？说说你的理由？在图5-6中，沿对称轴对折后，点A 不点A 重合，称点A 关于对称轴的对应点是点A.类似地，线段AD 关 于对称轴的对应线段是线段AD，3关于对称轴的对 应角是4.议一议 在轴对称图形中，对应点所连的线段不对称轴有 什么关系？对应线段有什么关系？对应角有什么关系？在两个成轴对称的图形中呢？在轴对称图形戒两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.总 结 1.在轴对称图
3、形戒两个成轴对称的图形中，对应点 所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等 2.性质的应用：利用对应角相等求角度；利用对应 线段相等求线段，求面积；作图 如图，六边形ABCDEF 是轴对称图形，CF 所在的直线是它的对称轴，若AFCBCF150，则AFEBCD的大小是()A150 B300 C210 D330 例1 B 由轴对称的性质可知：AFCEFC，BCFDCF，所以EFCDCFAFCBCF150，所以AFEBCDAFCEFCBCFDCF 150150300.导引：例2 如图，在ABC 中，AB3 cm，BC5 cm，将ABC 折叠，使点C 不点A 重合，DE 为折痕，求ABE
4、 的周长 由于AB 的长已知，要求ABE 的 周长，只要求得AEBE 即可 由折叠知，AED 和CED 关于DE 所在直线对称，由轴对称的性质可得AECE，所以ABE 的周长等 于ABBC.导引：由折叠知，AED 和CED 关于DE 所在直线对称，因此AEEC，所以BEAEBEECBC5 cm.所以ABE 的周长ABBEAEABBC 358(cm)解：折叠问题中，折痕所在的直线是对称轴，折叠 前后的两个图形(如本例中CDE 和ADE)关于折 痕(DE)所在的直线成轴对称 总 结 用笔尖扎重叠的纸可以得到下面成轴对称的两个图案.(1)找出它的两组对应点、两条对应线段和两个对应角；(2)说明你找到
5、的对应点所连线段分别被对称轴垂直平分.1(1)如图，点A不点A是一组对应点，点B 不点B 是一组对应点；线段AB 不线段AB 是对应线 段；ABC 不ABC 是对应角(2)略 解：2 如图，已知ABC 不ABC 关于直线MN 对称，则MN 垂直平分_ 3 如图，正方形ABCD 的边长 为4 cm，则图中阴影部分的 面积为_ AA，BB，CC 8 cm2 如图，ABC 不DEF 关于直线MN 对称，则以下结论中错误的是()AABDF BABCDEF CABDE DADMN 4 A 如图，直线MN 是四边形AMBN 的对称轴，点P 是直线MN上的点，下列判断错误的是()AAMBM BAPBN CM
6、APMBP DANMBNM 5 B 下列说法中错误的是()A成轴对称的两个图形对应点连线的垂直平分 线就是它们的对称轴 B关于某条直线对称的两个图形全等 C面积相等的两个四边形对称 D轴对称指的是两个图形沿着某一条直线对折 后能完全重合 6 C 如图，在ABC 中，ACB90，沿CD 折叠CBD，使点B 恰好落在AC 边上的点E 处，若A22，则BDC 等于()A44 B60 C67 D77 7 C 2 知识点 画轴对称图形或成轴对称 做一做 图5-7是一个图案的一半，其中的 虚线是这个图案的对称轴，画出这个 图案的另一半.1.画对称轴(1)如果两个图形成轴对称，其对称轴就是任何一对 对应点所
7、连线段的垂直平分线因此，我们只要 找到一对对应点，作出连接它们的线段的垂直平 分线，就可以得到这两个图形的对称轴(2)对于轴对称图形，只要找到任意一组对应点，作 出对应点所连线段的垂直平分线，就得到此图形 的对称轴 2.画原图关于某直线对称的图形：(1)依据：如果两个图形关于某一条直线对称，那么连 接任意一组对应点的线段被对称轴垂直平分(2)画原图关于某直线对称的图形的步骤：画原图关于某直线对称的图形要经历一找二作三连 这三个步骤：找：在原图形上找特殊点(如线段的端点)；作：作各个特殊点关于对称轴的对称点；连：按原图的顺序连接所作的各对称点 例3 如图，ABC 和DEF 关于某条直线成轴对称，
8、你能画出这条直线吗？因为两个图形关于某条直线 对称时，对称轴是任意一组 对应点所连线段的垂直平分 线，所以我们只要确定一组 对应点(如点A 和点D)，然后连接两点(点A 和点D)，画 出线段(线段AD)的垂直平分线，就可以得到ABC 和 DEF 成轴对称的对称轴 导引：能(1)连接AD；(2)取AD 的中点O，过O 作直线MNAD，则MN 即为所求作的直线如图.解：作成轴对称的两个图形的对称轴，只需作出图形中任意一组对应点所连线段的垂直平分线即可 总 结 例4 如图，画出ABC 关于直线 l 对称的图形 首先确定图形中的关键点，然后作关键点关于对称轴的对称点，最后连接所作的对称点，得到相应的图
9、形 导引：如图.解：(1)作轴对称图形的三字诀“找、作、连”：找找特殊点；作作各特殊点关于对称轴的对称点；连按原图的顺序连接各对称点(2)点在对称轴上时，它关于对称轴的对称点就是它本 身；点在对称轴一侧时，它关于对称轴的对称点在 对称轴的另一侧 总 结 例5 如图，在每个小正方形的 边长均为1个单位长度的方格纸中，有线段AB 和直线MN，点A，B，M，N 均在小正方形的顶点上在方格纸 中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD 是以直线MN 为对称轴的轴对称图形，点A 的对称点为点D，点B 的对称点为点C.根据网格的特殊性，找出点A 的对称点D，点B 的对称点C
10、，并连接BC，CD，DA.导引：如图.解：借助网格图作轴对称图形是中考的一个热点，观 察图中已知图形的特殊点不对称轴，利用轴对称的性 质，找出各特殊点的对称点，再依次连线 总 结 例6 如图，要在公路MN 旁修建一个货物中转站，分别向A，B 两个开发区运货，若要求货物中转站到A，B 两个开发区的距离和最小，那么货物中转站应修建在何处？说明理由 要在MN 上求一点P，使得PAPB 最小，可以把 PAPB 连成一条线段，因为两点之间线段最短，为此可作A(戒B)关于MN 的对称点A(戒B)，连 接BA(戒AB)交MN 于点P，则P 就是所求作的点，利用三角形三边关系可以说明这样作的理由 导引：作点A
11、 关于直线MN 的对称点A；连接BA交MN 于点P，则点P 就 是货物中转站的位置如图.理由：如图，在直线MN上另取一点P，连接AP，AP，AP，BP.因为直线MN 是点A，A的对称轴，点P，P 在对称轴上，所以PAPA，PAPA.所以 PAPBPAPBAB.在APB 中，因为AB PAPB，所以PAPBPAPB，即PAPB PAPB，所以PAPB 最小 解：解决一条直线同侧的两点到直线上一点的距离和 最小问题，就是作一点关于直线的对称点，连接这个 对称点和另一点，不直线的交点就是所求利用对称 性是解决这类距离之和最小问题的常用方法 总 结 如图，ABC 和ABC 关于直线l对称(1)ABC_
12、ABC；(2)A 点的对应点是_，C 点的对应点是_；(3)连接BB 交l 于点M，连接AA交l 于点N，则BM _，AA不BB 的位置关系是_；(4)直线l_AA.1 A点 C 点 BM 互相平行 垂直平分 图中序号(1)(2)(3)(4)对应的四个三角形，都是ABC 这个图形进行了一次变换之后得到的，其中是通过轴对称得到的是()A(1)B(2)C(3)D(4)2 A 如图，在22的正方形格纸中，有一个以格点为顶点的ABC，请你找出格纸中所有不ABC 成轴对称且也以格点为顶点的三角形，这样的三角形共有多少个？画出图形 解：如图，不ABC 成轴对称且也以 格点为顶点的三角形有5个 分别为DCB
13、，FBH，CDA，AEF，HGC.易错点：找丌准对称轴的条数而导致出错 如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后，点A 落在CD 边上的点A处，点B 落在点B 处，若240，则图中1的度数为()A115 B120 C130 D140 A 1 2 如图，在ABC 中，ABAC，直线DE 是ABE 的对 称轴，BCE 的周长为14，BC6，求AB 的长.因为直线DE 是ABE 的对称轴，所以AEBE.因为CBCEBCCEBE14.所以BCCEAEBCAC14.因为BC6，所以AC8.所以ABAC8.解：3 如图，将长方形纸片ABCD 沿EF 折叠，使点A 不点C 重合，点D 落在点G 处，E
14、F 为折痕(1)试说明：FGC EBC；(2)若AB8，AD4，求四边形ECGF(阴影部分)的面积(1)因为GCFFCEA90，FCEBCE90，所以GCFBCE.又因为GB90，GCDABC，所以FGC EBC.(2)由(1)知，DFGFBE，所以四边形ECGF 的面积四边形EADF 的面积 16.解：2AEDF AD（）8424 如图，AD 为ABC 的角平分线，DEAB 于点E，DFAC 于点F.试说明：点E，F 关于AD 对称 如图，连接EF 交AD 于点G，因为AD 平分BAC，所以EADFAD.又因为AEDAFD90，ADAD，所以ADE ADF(AAS)所以AEAF.又EAGFA
15、G，AGAG，所以AEG AFG.所以EGFG，AGEAGF.又AGEAGF180，所以AGEAGF90.所以AD 垂直平分EF.所以点E，F 关于AD 对称 解：5 如图，在ABC 中，D，E 为AC 边上的两个点，试在 AB，BC上分别取一个点M，N，使四边形DMNE 的 周长最小 如图，(1)作点D 关于直线AB 的对称点D，作点E 关于直线BC 的对称点E.(2)连接D E 交AB 于点M，交BC 于点N.(3)连接DM，EN.四边形DMNE 就是符合要求的 四边形，此时周长最小 解：6 如图，把ABC 沿DE 折叠，使点A 落在四边形BCDE 内部的点A处(1)写出图中一对全等的三角
16、形，并写出它们的所有对应角(2)设AED 的度数为x，ADE 的度数为y，那么1，2的度数分别是多少(用含有x 戒y 的式子表示)？(3)A 不12之间有一种数量关系始终保持丌变，请找出这个规律(1)EAD EAD，其中对应角分别为EAD 不EAD，AED 不AED，ADE 不ADE.(2)11802x，21802y.(3)123602(xy)3602(180A)2A.规律为122A.解：1.轴对称的性质：在轴对称图形戒两个成轴对称的图形中，对应点所连的线段被对称轴垂直平分，对应线段相等，对应角相等.2.作轴对称图形的方法：(1)确定原图形的关键点；(2)作出每个关键点关于对称轴对称的对称点；(3)按原图形的顺序依次连接相应的对称点
