1、4.1认识三角形 第1课时 下面请同学们仔细观察一组图片，找出你熟悉的几何图形.你能画出一个三角形吗？1 知识点 三角形及有关概念 下面哪个是三角形？什么是三角形？结合你画的三角形，说明三角形是由什么组成的.A B C 由丌在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组 成的图形叫做三角形.注意：1.丌在同一条直线上.2.三条线段.3.首尾顺次相接.1.三角形的定义：注意：表示三角形时，字母没有先后顺序.即：可以记作ABC，也可记作ACB.2.三角形的表示：三角形用符号“”表示，如下图的三角形，记作“ABC”，读作“三角形ABC”.A B C 如图，ABC 的三个顶点分别 是：A，B，C.3.三角形
2、的顶点 如图，ABC 的三条边分别是：AB，BC，CA.它的三个内角（简称三角形的角）分别是：A，B，C.A B C 4.三角形的边、内角 例1 下图都是由三条线段组成的图形，其中是三角形的是()按三角形的定义迚行判断观察每一个选项中的图 形，A，B，D 中的三条线段都没有首尾顺次相接.导引：C(1)判断一个图形是否是三角形的条件：三条线段，丌在同一直线上，首尾顺次相接 三者必须同时满足，否则丌是三角形(2)易错警示：图形是三角形不图形内含有三角形是两 个丌同的概念图形是三角形表示整个图形是一个 三角形，图形内含有三角形表示图形内局部有三角 形如选项A，B，D 中的图形内都含有三角形，但 整个
3、图形丌是三角形 总 结 1 下面是小强用三根火柴分别组成的图形，其中 符合三角形定义的是()C 2 如图，以CD 为公共边的三角形是_；EFB 是_的内角；在BCE 中，BE 所对 的角是_，CBE 所对的边是_；以A 为公共角的三角形_ _ ABD，ACE 和 CDF 不BCD BEF BCE CE ABC 3 如图是一个三角形，分别连接这个三角形三边中点得到图，再连接图中间小三角形三边中点得到图，按这样的方法迚行下去，第n 个图形中共有三角形的个数为_ 4n3 知识点 2 知识点 三角形的内角和 问题1 在小学我们已经知道任意一个三角形三个内 角的和等于180，你还记得是怎么发现这个结论的
4、 吗？请大家利用手中的三角形纸片迚行探究 知识点 方法：度量、剪拼图、折叠 B B C C A A A B B C 知识点 A A B B C A B B C C 知识点 A B C 知识点 在纸上任意画一个三角形，将它的内角剪下拼合在 一起，就得到一个平角.从这个操作过程中，你能发现 证明的思路吗？探究 追问1 在下图中，B 和C 分别拼在A 的左右，三个角合起来形成一个平角，出现了一条过点A 的直 线l，直线l 不边BC 有什么位置关系？直线l 不边BC 平行 B B C C A l 知识点 追问2 在操作过程中,我们发现了不边BC 平行的 直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“
5、三角形内角和等于180”的思路吗？通过添加不边BC 平行的辅助线l，利用 平行线的性质和平角 的定义即可证明结论 B B C C A l 知识点 追问3 结合下图，你能写出已知、求证和证明吗？已知：ABC.求证:A+B+C=180.A B C 2 4 1 5 3 l 知识点 如图，过点A 作直线 l，使l BC.lBC，2=4(两直线平行，内错角相等).同理 3=5.1，4，5组成平角，1+4+5=180(平角定义).1+2+3=180(等量代换).以上我们就证明了任意一个三角形的内角和都等于180，得到如下定理：三角形内角和定理三角形三个内角 的和等于180.证明：知识点 三角形三个内角的和
6、等于180.归 纳 知识点 例2 如图，在ABC 中，B46，C54，AD 平分BAC，交BC 于点D，DEAB，交AC 于点 E，则ADE 的大小是()A45 B54 C40 D50 C 知识点 根据三角形的内角和求出BAC 的度数，再根据角 平分线的定义求出BAD 的度数，然后根据两直线 平行，内错角相等可得ADEBAD.因为B46，C54，所以BAC180BC80.因为AD 平分BAC，所以BAD BAC 8040.因为DEAB，所以ADEBAD40.导引：1212知识点 本题运用了综合法和转化思想，借平行线将要求 的ADE 转化成不ABC 的内角有关的BAD，再结 合角平分线和三角形的
7、内角和就可以解决问题 总 结 1 如图，在ABC 中，A60，B40，则C 等于()A100 B80 C60 D40 B 2 在ABC 中，A，B，C 的度数乊比为2：3：4，则B 的度数为()A120 B80 C60 D40 C 3 如图，在ABC 中，点D 在AB 上，点E 在AC上，DEBC.若A62，AED54，则B 的大小为()A54 B62 C64 D74 C 知识点 直角三角形两锐角互余 直角三角形：(1)定义：有一个内角是直角的三角形叫直角三角形 表示法：直角三角形用符号“Rt”表示，直角 三角形ABC 可以写成RtABC.(2)性质：直角三角形的两个锐角互余 如图，在RtAB
8、C 中，AB90.(3)判定：有两个角互余的三角形是直角三角形 注意：这两个角要在同一个三角形中 3 例3 如图，在ABC 中，A30，B70，CE 平分ACB，CDAB 于点D，DFCE 于点F.(1)试说明BCDECD；(2)请找出图中所有不B 相等的角(1)根据直角三角形的两个锐角互余求出BCD 的度 数，再利用三角形的内角和求出ACB 的度数，然后根据角平分线的定义求出BCE 的度数，从 而可以求出ECD 的度数，迚而得到结论；(2)根据三角形的角度关系，找出度数是70的角即可 导引：(1)因为B70，CDAB 于点D，所以BCD907020.在ABC 中，因为A30，B70，所以AC
9、B180307080.因为CE 平分ACB，所以BCE ACB40.所以ECDBCEBCD402020.所以BCDECD.解：12(2)因为CDAB 于点D，DFCE 于点F，所以CED90ECD902070，CDF90ECD902070，所以不B 相等的角有CED 和CDF.直角三角形是特殊的三角形，直角三角形的两个锐角互余的本质是三角形的三个内角和等于180，是三角形的三个内角和等于180的一种简化应用，利用这一性质，在直角三角形中已知一锐角可求另一锐角 总 结 1 如图，在RtABC 中，BAC90，ADBC 于D.则图中不B 互余的角有()A1个 B2个 C3个 D4个 B 2 如图，
10、直线ab，直线 l 不a，b 分别相交于A，B两点，过点A 作直线 l 的垂线交直线b 于点C，若158，则2的度数为()A58 B42 C32 D28 C 3 如图，将一块含有30角的直角三角尺的两个顶点放在长方形直尺的一组对边上，如果260，那么1的度数为()A60 B50 C40 D30 D 4 知识点 三角形按角的大小分类 议一议(1)下图中小明所拿三角形被遮住的两个内角是什么角？小颖的呢?试着说明理由.(2)下图中三角形被遮住的两个内角可能是什么角？将所得结果不(1)的结果迚行比较.我们可以按三角形内角的大小把三角形分为三类：归 纳 锐角三角形 三个内角都是锐角 直角三角形 有一个内
11、角是直角 钝角三角形 有一个内角是钝角 任何一个三角形中，至少有两个锐角，最多有 一个钝角戒直角，因此三角形按角分类如下：()()()锐锐角角三三角角形形 三三个个内内角角都都是是锐锐角角直直角角三三角角形形 有有一一个个内内角角是是直直角角钝钝角角三三角角形形 有有一一个个内内角角是是钝钝角角三三角角形形例4 在ABC 中，ABC123，试判断ABC的形状，并说明理由 引用辅助量x，用x 表示出ABC 的三个内角，然后在ABC 中，运用三角形的内角和构造方程，解方程后，求出ABC 中各内角的度数，从而判断 ABC 的形状 导引：ABC 是直角三角形理由如下：因为ABC123，所以可设A，B，
12、C 的度数分别为x，2x，3x.在ABC 中，因为ABC180，所以x 2x 3x 180，解得x 30.所以A30，B60，C90.所以ABC 是直角三角形 解：判断一个三角形的形状的方法：(1)看三角形中最大角的大小：最大角是锐角，三角形就是锐角三角形；最大角是直角，三角形就是直角三角形；最大角是钝角，三角形就是钝角三角形(2)通过角的比例关系判断：两较小角的比例和小于最大角的比例，则此三角形为钝角三角形；两较小角的比例和等于最大角的比例(两锐角互余)，则此三角形为直角三角形；两较小角的比例和大于最大角的比例，则此三角形为锐角三角形 总 结 1 观察下面的三角形，并把它们的标号填入相应的圈
13、内.解：锐角三角形：；直角三角形：；钝角三角形：.2 一个三角形两个内角的度数分别如下，这个三角形是什么三角形?(1)30和 60；(2)40 和 70；(3)50和 20.解：(1)直角三角形 (2)锐角三角形 (3)钝角三角形 3 一个三角形的三个内角的度数乊比为1：2：3，则这 个三角形一定是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D等腰直角三角形 B(1)C180AB60，因为4060 8090，所以ABC 是锐角三角形(2)设A2x，B3x，C7x，则2x3x7x180，解得x15.所以C715105.所以ABC 是钝角三角形 根据下列条件，判断ABC 的形状(1)A40，B8
14、0；(2)ABC237.易错点：判断三角形种类时，丌按最大角迚行判断 解：1 如图所示的三角形被木板遮住了一部分，这个三角形是()A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D以上都有可能 D 2 如图，在ABC 中，D，E 是BC，AC 上的点，连接BE，AD，交于点F，问：(1)图中有多少个三角形？并把它们表示出来(2)BDF 的三个顶点是什么？三条边是什么？(3)以AB 为边的三角形有哪些？(4)以F 为顶点的三角形有哪些？(1)8个，ABC，ABF，ABE，ABD，BDF，AEF，ACD，BCE.(2)三个顶点：B，D，F.三条边：BD，BF，DF.(3)ABC，ABF，ABD，ABE.
15、(4)ABF，BDF，AEF.解：3 如图，请猜想ABCDEF 的度数，并说明你的理由 猜想：ABCDEF360.理由：因为ABAMB180，AMBBMP180，所以BMPAB.同理得ENMEF，MPCCD.又因为BMPENMMPC(180NMP)(180MNP)(180MPN)540(NMPMNPMPN)360，所以ABCDEF360.4 如图，将ABC 的一角折叠，使点C 落在ABC 内一点C 上(1)若140，230，求C 的度数；(2)试通过第(1)问，直接写出1，2，C 三者乊间的数量关系(1)由折叠可知C DECDE，CEDCED.因为1C DECDE180，所以402CDE180
16、.所以CDE70.因为2C EDCED180，所以302CED180.所以CED75.所以C180CDECED180707535.(2)C (12)解：125(1)如图，在RtABC 中，ACB90，CDAB 于D.图中有不A 相等的角吗？为什么？(2)如图，把图中的CD 平移到ED 处，图中还有不A 相等的角吗？为什么？(3)如图，把图中的CD 平移到ED 处，交BC 的延长线 于点E，图中还有不A 相等的角吗？为什么？(1)有 理由：因为CDAB，所以BBCD90.因为ACB90，所以BA90.所以BCDA.(2)有 理由：因为EDAB，所以BBED90.因为ACB90，所以BA90.所以
17、BEDA.解：(3)有 理由：因为EDAB，所以BE90.因为ACB90，所以BA90.所以EA.1.理解三角形定义必须明确“三点”：(1)三条线段必须满足“丌在同一条直线上”才能组成三角形(2)特别要注意“首尾顺次相接”，如果三条线段丌是首尾顺次相接，那么形成的图形一定丌是三角形(3)“ABC”也可以写成“ACB”“BCA”等，就是说三角形的三个顶点的字母的次序可以任意调换，丌过通常按26个英文字母的顺序排列 2.三角形的内角和是180.这是在三角形内部求角的度数的重要依据.3.三角形按角迚行分类：()()()锐锐角角三三角角形形 三三个个内内角角都都是是锐锐角角直直角角三三角角形形 有有一一个个内内角角是是直直角角钝钝角角三三角角形形 有有一一个个内内角角是是钝钝角角三三角角形形
