1、秦淮区五校2021-2022学年九年级上第二阶段学业质量监测数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 方程x24的根为( )A x1x22B. x12，x22C. x1x2D. x1，x22. 已知一组数据3，5，3，5，如果增加一个4，得到的这组新数据与原来的数据相比( )A 极差和众数改变了B. 中位数和众数改变了C. 极差和中位数改变了D. 极差、中位数和众数都没改变3. 如图，l1l2l3，直线a、b与直线l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB2，BC3，DE1.6，则EF的长为( )A. 2.4B. 4C. D. 4. 某企业2018年全年
2、收入720万元，2018、2019、2020这三年的全年收入的和为2383.2万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x，则可列方程( )A. 720(1x)22383.2B. 720720(1x)720(1x)22383.2C. 720(12x)2383.2D. 720(13x)2383.25. 如图，在O中，直径AB弦CD，垂足为E，若CDBE16，则O的半径为( ) A. 8B. 9C. 10D. 116. 二次函数yax2bxc图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x1013y1343下列关于该二次函数说法，错误的是( )A. 当x4时，y1B. 当x1时，y随x的增大
3、而增大C. 当x1时，y有最大值4D. 当0x3时，y3二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7. 若，则的值为_8. 若圆锥的底面半径为4，母线长为5，则它的侧面积为_9. 若一元二次方程x23xm0（m为常数）的一个根是x1，则另一个根是_10. 若一个半圆的长为6cm，则其半径为_cm11. 将二次函数的图像先向右平移3个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是_12. 如图，一个可以自由转动的圆形转盘被分成4个圆心角为60和1个圆心角为120的扇形区域，并涂上了相应的颜色，随机转动转盘，转盘停止时
4、，指针恰好落在黄色区域的概率是_13. 已知二次函数yx22xm的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是_14. 如图，BF、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，若正六边形ABCDEF的边长是a，则四边形BCEF的周长是_（用含a的代数式表示）15. 如图，A、B、C、D、E都是O上的点，B118，则D的度数为_16. 如图，正方形ABCD的边长是4，E是BC的中点，P是AB边上的动点，过点E作CP的垂线，交AD边或CD边于点Q，当DQ1时，AP的长为_三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）17. 解方程：（1）x2x20；
5、（2）3x(x2)2x18. 求解:（1）已知二次函数yax2bx3的图像经过点A（2，3）和B（1，0），求该二次函数的表达式；（2）如图，C是抛物线的顶点，求该抛物线对应的二次函数的表达式19. 甲、乙两人在相同情况下各打靶10次，打靶成绩（单位：环）如下图所示：（1）填表：平均数（环）中位数（环）方差（环2）命中9环及9环以上的次数甲 71.2 乙77.5 3（2）从两个不同的角度评价甲、乙两人打靶的成绩20. 如图，CD是O的弦，DBA60（1）若AB是O的直径，求C的度数；（2）若C30，求证AB是O的直径21. 计算:（1）抛掷一枚质地均匀的硬币1次，抛掷的结果是正面朝上的概率是
6、（2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，求在3次抛掷的结果中有且只有1次正面朝上的概率22. 如图，在ABC中，BC8，AC4，D是BC边上一点，CD2求证ABCDAC23. 用一根长20 cm的铁丝围矩形（1）若围成的矩形的面积是16 cm2，求该矩形的长和宽；（2）当长和宽分别为多少时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？24. 已知二次函数y(x1)(x3)（1）该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 （2）画出该二次函数图像（3）结合图像，解答问题：当2x3时，求y的取值范围25. 如图，O是ABC的外接圆，ABC45，连接OC，交AB于点E过点A作O的切线，交BC的延长线于点D（1）求证：OCA
7、D；（2）若AE2，CE2，求O的半径26. 已知二次函数ymx2(2m1)x1（m为常数，m0）（1）若该二次函数的图像经过点P（1，2），则m的值为 （2）不论m为何值，下列说法：该二次函数的图像的对称轴都不变；该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；该二次函数的图像必经过两个定点；该二次函数的图像的顶点纵坐标为定值其中正确的有（填序号），证明你所选出的所有正确的说法27. 与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则这条公切线叫做这两个圆的内公切线 （1）如图，P、Q只有一个公共点，P与Q的公切线的条数是
8、 （2）如图，A和B分别是P和Q上的点，PAQB连接AB并反向延长，交射线QP于点C，CD与P相切，切点为D求证：CD是P与Q的外公切线（3）如图，P在Q外，用直尺和圆规作图：（在和中任选一题完成）作P和Q的一条外公切线；作P和Q的一条内公切线（保留作图痕迹，不写作法）（4）如图，P在Q外，直线AB是两圆的外公切线，切点分别为A、B，直线CD是两圆的内公切线，切点分别为C、D已知P、Q的半径分别为1和2，若线段AB、CD的长分别为a和b，直接写出a与b之间的相等关系秦淮区五校2021-2022学年九年级上第二阶段学业质量监测数学试卷一、选择题（本大题共6小题，每小题2分，共12分）1. 方程x
9、24的根为( )A. x1x22B. x12，x22C. x1x2D. x1，x2【答案】B【解析】【分析】根据平方根的概念，求值即可；【详解】解：x24，则x12，x22，故选： B【点睛】本题考查了直接开平方求一元二次方程的解，掌握正数的平方根有两个且互为相反数是解题关键2. 已知一组数据3，5，3，5，如果增加一个4，得到的这组新数据与原来的数据相比( )A. 极差和众数改变了B. 中位数和众数改变了C. 极差和中位数改变了D. 极差、中位数和众数都没改变【答案】D【解析】【分析】依据定义和公式分别计算新旧两组数据的中位数、众数、极差求解即可【详解】解：原数据3，5，3，5，极差是5-3
10、=2，众数是3和5，中位数是（3+5）2=4；如果增加一个4，新数据为3，3，4，5，5，极差是5-3=2，众数是3和5，中位数是4，所以极差、中位数和众数都没改变，故选：D【点睛】本题主要考查的是众数、中位数、极差，解题的关键是熟练掌握相关概念正确计算3. 如图，l1l2l3，直线a、b与直线l1、l2、l3分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若AB2，BC3，DE1.6，则EF的长为( )A. 2.4B. 4C. D. 【答案】A【解析】【分析】根据平行线分线段成比例定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例计算求值即可；【详解】解：由题意得：ABBC=DEEF，23=1.6E
11、F，EF=31.62=2.4，故选： A【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理，比例的性质；掌握定理是解题关键4. 某企业2018年全年收入720万元，2018、2019、2020这三年的全年收入的和为2383.2万元，若设该企业全年收入的年平均增长率为x，则可列方程( )A. 720(1x)22383.2B. 720720(1x)720(1x)22383.2C. 720(12x)2383.2D. 720(13x)2383.2【答案】B【解析】【分析】2018年全年收入720万元，2019年全年收入是720（1+x），2020年全年收入是2（1+x）2，本题首先由题意得出题中的等量关系即三年
12、的全年收入的和为2383.2万元，列出方程即可【详解】解：设该企业全年收入的年平均增长率为x，则2019年全年收入是720（1+x），2020年全年收入是2（1+x）2，依题意得：720720(1x)720(1x)2=2383.2故选：B【点睛】本题考查数量平均变化率问题，解题的关键是正确列出一元二次方程原来的数量为a，平均每次增长或降低的百分率为x的话，经过第一次调整，就调整到a（1x），再经过第二次调整就是a（1x）（1x）=a（1x）2增长用“+”，下降用“-”5. 如图，在O中，直径AB弦CD，垂足为E，若CDBE16，则O的半径为( ) A. 8B. 9C. 10D. 11【答案】C
13、【解析】【分析】根据垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧；连接OC，设圆的半径为r，在RtOEC中由勾股定理列方程求解即可；【详解】解：如图，连接OC，设圆的半径为r，则OE=16-r，AB为圆的直径，ABCD，则CE=CD=8，RtOEC中，OC2=OE2+CE2，r2=（16-r）2+82，解得：r=10，故选： C【点睛】本题考查了垂径定理，勾股定理，掌握相关定理是解题关键6. 二次函数yax2bxc图像上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如下表所示： x1013y1343下列关于该二次函数的说法，错误的是( )A. 当x4时，y1B. 当x1时，y随x的增大而增大
14、C. 当x1时，y有最大值4D. 当0x3时，y3【答案】C【解析】【分析】由表格图可知，拋物线的对称轴为直线x=，可判断A、C选项，由表格图特点可判断选项B、D【详解】解：A、由表格图可知，拋物线的对称轴为直线x=，所以当x4时，y1，故此选项正确，不符合题意；B、由表格图可知，当x1时，y随x的增大而增大，故此选项正确，不符合题意；C、因为拋物线的对称轴为直线x=，所以当x1时，y不是最大值，故此选项错误，符合题意；D、由表格图可知，当0x3时，y3，故此选项正确，不符合题意，故选：C【点睛】本题考查了二次函数的性质，解题的关键是仔细观察表格数据确定出对称轴二、填空题（本大题共10小题，每
15、小题2分，共20分不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卷相应位置上）7. 若，则的值为_【答案】【解析】【分析】设b=5k，a=3k，代入求值即可；【详解】解：设b=5k，a=3k，则=，故答案为：；【点睛】本题考查了分式的求值，掌握分式的性质是解题关键8. 若圆锥的底面半径为4，母线长为5，则它的侧面积为_【答案】20【解析】【分析】圆锥的侧面积=底面周长母线长2，把相应数值代入即可求解【详解】解：圆锥的侧面积=2452=20故答案为：20【点睛】本题考查圆锥的计算9. 若一元二次方程x23xm0（m为常数）的一个根是x1，则另一个根是_【答案】4【解析】【分析】利用x1求出参数m的值，
16、进而利用因式分解法解一元二次方程，得到的另外一个根即为答案【详解】解： x1是一元二次方程x23xm0（m为常数）的一个根，将x1代入一元二次方程中可得：，解得：，原方程为：x23x40，即，解得：，另外一个根为，故答案为：.【点睛】本题考查了一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解法是解答本题的关键.10. 若一个半圆的长为6cm，则其半径为_cm【答案】6【解析】【分析】设半圆的半径为r，根据圆的周长公式列出方程，解方程即可求得【详解】解：设半圆的半径为r根据题意得： 解得r=6故答案为：6【点睛】本题考查了圆的周长公式，列出方程是解决本题的关键11. 将二次函数的图像先向右平移3个单位
17、长度，再向上平移1个单位长度，所得到的图像对应的函数表达式是_【答案】【解析】【分析】直接利用二次函数的平移规律：左加右减，上加下减，进而得出答案【详解】解：将二次函数的图像向右平移3个单位长度得到：，再向上平移1个单位长度，得到：故答案为：【点睛】本题主要考查了二次函数图像与几何变换，正确掌握平移规律是解题的关键12. 如图，一个可以自由转动的圆形转盘被分成4个圆心角为60和1个圆心角为120的扇形区域，并涂上了相应的颜色，随机转动转盘，转盘停止时，指针恰好落在黄色区域的概率是_【答案】【解析】【分析】根据黄色所占面积与圆的面积的比，计算概率即可；【详解】解：黄色所占的总圆心角为120+60
18、=180，黄色所占的面积为半圆的面积，指针恰好落在黄色区域的概率是，故答案为：；【点睛】本题考查了几何概率：事件的概率可以用部分线段的长度（部分区域的面积）和整条线段的长度（整个区域的面积）的比来表示13. 已知二次函数yx22xm的图像与x轴有公共点，则m的取值范围是_【答案】m1【解析】【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于m的不等式即可【详解】解：二次函数yx22xm的图像与x轴有公共点，m1故答案为：m1【点睛】本题考查了二次函数图像与x轴的交点问题，熟记根的判别式是解题的关键.14. 如图，BF、CE是正六边形ABCDEF的两条对角线，若正六边形ABCDEF的边长是a，则四边形BC
19、EF的周长是_（用含a的代数式表示）【答案】2a2a【解析】【分析】过点A作AHBF，垂足为H，先证ABF为等腰三角形，求出ABH度数，用含a的代数式表示出AH、BH，然后利用等腰三角形的三线合一，矩形的判定与性质即可解决问题【详解】解：过点A作AHBF，垂足为H，如图所示：ABCDEF是正六边形，ABF为等腰三角形，正六边形的每个内角度数为：，则，又，四边形BCEF为矩形，故答案为：2a2a【点睛】本题考查了正六边形的性质，等腰三角形的判定与性质，矩形的判定与性质，正确作出辅助线，熟悉这些性质定理是解决问题的关键15. 如图，A、B、C、D、E都是O上的点，B118，则D的度数为_【答案】1
20、24【解析】【分析】连接 AD ，根据圆心角、弧、弦之间的关系定理得到ADC = ADE ，根据圆内接四边形的性质求出ADC ，进而得到答案【详解】解：连接 AD ， ，ADC = ADE ，四边形 ABCD 为 O 内接四边形， B =118，ADC =180- B =180-118=62，CDE =262=124，故答案：124【点睛】本题考查了的是圆心角，弧，弦的关系，圆周角定理，圆内接四边形，解题的关键是熟练掌握圆内接四边形的对角互补16. 如图，正方形ABCD的边长是4，E是BC的中点，P是AB边上的动点，过点E作CP的垂线，交AD边或CD边于点Q，当DQ1时，AP的长为_【答案】3
21、或【解析】【分析】分当点Q在CD上时，当点Q在AD上时，证明EQCPCB，利用相似三角形的性质求出PB的长即可得到答案【详解】解：如图1所示，当点Q在CD上时，四边形ABCD是正方形，B=BCD=90，QEC+EQC=90，EQPC， QEC+BCP=90，EQC=PCB，EQCPCB，E是BC的中点，DQ=1，BC=CD=AB=4，CE=2，CQ=3，；如图2所示，当点Q在AD上时，过点Q作QHBC于H，D=BCD=90，QHBC，四边形CDQH是矩形，QD=CH=1，QH=CD=4， EH=1同理可证QEHCPB，PB=1，AP=3，故答案为：3或【点睛】本题主要考查了正方形的性质，相似三
22、角形的性质与判定，矩形的性质与判定，利用分类讨论的思想求解是解题的关键三、解答题（本大题共11小题，共88分请在答题卷指定区域内作答，解答时应写出文字说明、说理过程或演算步骤）17. 解方程：（1）x2x20；（2）3x(x2)2x【答案】（1）x12，x21 （2）x1，x22【解析】【分析】（1）利用因式分解法解方程；（2）利用因式分解法解方程；【小问1详解】解：x2x20，(x2)(x1)0，x20或x10，x12，x21【小问2详解】解：3x(x2)2x，3x(x2)(x2)0，(3x1)(x2)0，3x10或x20，x1，x22【点睛】本题考查了因式分解法解一元二次方程：将方程的右边
23、化为零，把方程的左边分解为两个一次因式的积，令每个因式分别为零，解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解18. 求解:（1）已知二次函数yax2bx3的图像经过点A（2，3）和B（1，0），求该二次函数的表达式；（2）如图，C是抛物线的顶点，求该抛物线对应的二次函数的表达式【答案】（1）yx22x3 （2）y (x1)22【解析】【分析】（1）将点A（2，3）和B（1，0）代入yax2bx3，计算即可；（2）设该二次函数的表达式为ya(x1)22，将C（1，2）和点D（4，2）代入计算即可【小问1详解】解：二次函数yax2bx3的图像经过点A（2，3）和B（1，0），将点A（2，3）和B（
24、1，0）代入yax2bx3，得，解得：，二次函数的表达式是yx22x3；【小问2详解】C（1，2）是抛物线的顶点，设该二次函数的表达式为ya(x1)22，该二次函数的图像经过点D（4，2），点D（4，2）的坐标满足ya(x1)24，即a(41)222，解得a，该二次函数的表达式是y (x1)22【点睛】本题考查了二次函数解析式的求法，解题的关键是将点坐标代入解析式正确计算19. 甲、乙两人在相同的情况下各打靶10次，打靶成绩（单位：环）如下图所示：（1）填表：平均数（环）中位数（环）方差（环2）命中9环及9环以上的次数甲 71.2 乙77.5 3（2）从两个不同的角度评价甲、乙两人打靶的成绩【
25、答案】（1）7； 5.4； 1 （2）甲打靶的成绩更稳定，（答案不唯一）理由见解析【解析】【分析】（1）根据图象将甲乙打靶成绩都写出来，然后依据平均数及方差的计算方法求解即可；（2）评价方法可以从平均数或者方差方面进行分析即可【小问1详解】解：由图可得甲的打靶环数分别为：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7，甲打靶的平均成绩为：，乙的打靶环数分别为：2，4，6，8，7，7，8，9，9，10，乙打靶的方差为：=5.4；甲成绩中命中9环及以上的只有1次，故答案为：7；5.4；1；【小问2详解】本题答案不唯一，下列解法供参考例如：甲、乙打靶的成绩的平均数都是7环，说明两人的打靶实力相当；甲、乙两人
26、打靶的成绩的方差分别是1.2环2和5.4环2，说明甲打靶的成绩更稳定【点睛】题目主要考查计算数据的平均数及方差，利用平均数或方差作决策等，理解题意，熟练掌握运用平均数及方差的计算方法是解题关键20. 如图，CD是O的弦，DBA60（1）若AB是O的直径，求C的度数；（2）若C30，求证AB是O的直径【答案】（1）30； （2）证明见详解.【解析】【分析】（1）根据圆周角定理得出ADB=90，根据三角形的内角和定理求出DAB=30，根据圆周角定理得出C=DAB即可；（2）根据圆周角定理得出A=C30，再根据ADBA90，得出结论【小问1详解】AB是O的直径，ADB90ADBA90DBA60，A3
27、0CA30【小问2详解】C30，AC30DBA60，ADBA90ADB90AB是O的直径【点睛】本题考查了直角三角形的性质及圆周角定理，熟记圆周角定理是解题的关键21. 计算:（1）抛掷一枚质地均匀的硬币1次，抛掷的结果是正面朝上的概率是 （2）抛掷一枚质地均匀的硬币3次，求在3次抛掷的结果中有且只有1次正面朝上的概率【答案】（1）； （2）.【解析】【分析】根据等可能事件概率的计算方法计算即可；小问1详解】P（正面朝上）=【小问2详解】抛掷一枚质地均匀的硬币3次，朝上一面所有可能出现的结果共有8种，即（正，正，正）、（正，正，反）、（正，反，正）、（正，反，反）、（反，正，正）、（反，正，反
28、），（反，反，正），（反，反，反），这些结果出现的可能性相等所有的结果中，满足有且只有1次正面朝上（记为事件A）的结果有3种，即（正，反，反）、（反，正，反）、（反，反，正）所以P（A）【点睛】本题主要考查了概率的计算，根据题目，分析事件发生的可能性，求出符合题意的事件的概率是解题的关键22. 如图，在ABC中，BC8，AC4，D是BC边上一点，CD2求证ABCDAC【答案】证明见详解【解析】【分析】由题中线段长度得出，结合相似三角形的判定定理即可证明【详解】证明：BC8，AC4，CD2，2，CC， ABCDAC【点睛】题目主要考查相似三角形的判定定理，熟练掌握相似三角形的判定定理是解题关键2
29、3. 用一根长20 cm的铁丝围矩形（1）若围成的矩形的面积是16 cm2，求该矩形的长和宽；（2）当长和宽分别为多少时，该矩形的面积最大？最大面积是多少？【答案】（1）长为8 cm，宽为2 cm （2）当长和宽都是5 cm时，该矩形的面积最大，最大面积是25 cm2【解析】【分析】（1）首先表示矩形的另一边长，进而利用矩形面积求法得出答案；（2）利用二次函数最值求法得出答案【小问1详解】解：设该矩形的一组邻边的长为x cm和cm根据题意，得x16解这个方程，得x12，x28 当x2时，x8；当x8时，x2答：该矩形的长为8 cm，宽为2 cm【小问2详解】解：设该矩形的一组邻边的长为x cm
30、和cm，面积为y cm 根据题意，得yx，即yx210x，配方，得y(x5)225，因为10，所以当x5时，y有最大值25则x10-5=5答：当长和宽都是5 cm时，该矩形的面积最大，最大面积是25 cm2【点睛】此题考查了解一元二次方程及二次函数的应用，解题的关键是根据题意表示出矩形的面积24. 已知二次函数y(x1)(x3)（1）该二次函数的图像与x轴的交点坐标是 （2）画出该二次函数的图像（3）结合图像，解答问题：当2x3时，求y的取值范围【答案】（1）（1，0）和（-3，0） （2）见详解 （3）4y12【解析】【分析】（1）令y=0，即可求得与x轴的交点坐标；（2）由函数解析式求得x
31、=-4，-3，-2，-1，0，1，2时点的坐标，再描点绘图即可；（3）根据二次函数对称轴和开口方向，计算求值即可；【小问1详解】解：令y=0，得：(x1)(x3)=0，解得：x=1或x=-3，二次函数的图像与x轴的交点坐标是（1，0）和（-3，0）；【小问2详解】解：y(x1)(x3)=x2+2x-3，由x，y的值列表得：x-4-3-2-1012y50-3-4-305根据函数值描点绘图得：【小问3详解】解：由二次函数与x轴的交点可得函数对称轴为x=-1，由函数图象可知当2x3时，函数在x=-1处取得最小值，最小值为-4，函数在x=3处取得最大值，最大值为(31)(33)=12，当2x3时，-4
32、y12；【点睛】本题考查了二次函数与x轴的交点，由二次函数解析式绘制函数图象，二次函数的最值计算；掌握二次函数的性质是解题关键25. 如图，O是ABC的外接圆，ABC45，连接OC，交AB于点E过点A作O的切线，交BC的延长线于点D（1）求证：OCAD；（2）若AE2，CE2，求O的半径【答案】（1）证明见详解 （2）4【解析】【分析】（1）连接OA，根据切线的性质，圆周角定理，同旁内角互补两直线平行；即可证明；（2）连接OA，设OAOCr，在RtAOE中由勾股定理列方程求解即可；【小问1详解】证明：如图，连接OA，AD与O相切，切点为A，ADOA，即OAD90，ABC45，AOC2ABC90
33、，OADAOC180，OCAD【小问2详解】解：如图，连接OA，设OAOCr，CE2，OEOCCEr2，在RtAOE中，AOE90，AE2，OE2OA2AE2，即(r2)2r2(2)2， 2r2-4r-16=0，（r-4）（r+2）=0解得r4，或r=-2（舍去），即O的半径是4【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定，勾股定理；掌握相关定理和性质是解题关键26. 已知二次函数ymx2(2m1)x1（m为常数，m0）（1）若该二次函数的图像经过点P（1，2），则m的值为 （2）不论m为何值，下列说法：该二次函数的图像的对称轴都不变；该二次函数的图像与x轴总有两个公共点；该二次函数
34、的图像必经过两个定点；该二次函数的图像的顶点纵坐标为定值其中正确的有（填序号），证明你所选出的所有正确的说法【答案】（1）2 （2）【解析】【分析】（1）将P点坐标代入函数解析式求值即可；（2）根据二次函数的对称轴，一元二次方程根的判别式，特殊点的函数值，顶点坐标，计算判断即可；【小问1详解】解：由题意得：2=m-2m-1+1，解得：m=-2，【小问2详解】解：函数ymx2(2m1)x1的对称轴为，对称轴会随m的值而改变，故错误；令y0，得mx2(2m1)x10，(2m1)24m4m21，0，不论m为何值，方程mx2(2m1)x10总有两个不相等的实数根；不论m为何值，该二次函数的图像与x轴总
35、有两个公共点，故正确；该二次函数表达式可变形为ym(x22x)x1， 令x22x0，解得x10，x22， 当x0时，y1；当x2时，y1，不论m为何值，该二次函数的图像必经过两个定点（0，1）和（2，1），故正确；函数ymx2(2m1)x1的顶点纵坐标为：，会随m的值而改变，故错误；综上所述正确；【点睛】本题考查了二次函数的对称轴、顶点坐标、与x轴交点等知识；掌握二次函数的性质是解题关键27. 与两个圆都相切的直线叫做这两个圆的公切线如果两个圆在公切线的同侧，则这条公切线叫做这两个圆的外公切线；如果两个圆在公切线的异侧，则这条公切线叫做这两个圆的内公切线 （1）如图，P、Q只有一个公共点，P与
36、Q的公切线的条数是 （2）如图，A和B分别是P和Q上的点，PAQB连接AB并反向延长，交射线QP于点C，CD与P相切，切点为D求证：CD是P与Q的外公切线（3）如图，P在Q外，用直尺和圆规作图：（在和中任选一题完成）作P和Q的一条外公切线；作P和Q的一条内公切线（保留作图痕迹，不写作法）（4）如图，P在Q外，直线AB是两圆的外公切线，切点分别为A、B，直线CD是两圆的内公切线，切点分别为C、D已知P、Q的半径分别为1和2，若线段AB、CD的长分别为a和b，直接写出a与b之间的相等关系【答案】（1）3； （2）证明见详解； （3）见详解； （4）a2b28【解析】【分析】（1）理解题意，根据题意
37、找到复合的圆的切线即可；（2）连接PD，过点Q作QECD，应用圆的性质，证明DCPECQ即可求证；（3）根据题意作图即可；（4）连接AP、CP、PE、DQ、EQ、BQ，根据切线的性质证明，进而证即可求解；【小问1详解】如图，有3条故答案是：3；【小问2详解】如图，连接PD，过点Q作QECD，垂足为EPAQB，ACPBCQCD与P相切，切点为D，CDDPQECD，CDPCEQ90DPEQDCPECQAPDP，EQBQ，CD与Q相切，即CD是P与Q的外公切线【小问3详解】如图，直线l即为两圆的外公切线；如图，直线m即为两圆内公切线【小问4详解】如图，连接AP、CP、PE、DQ、EQ、BQ则有易证即a2b28【点睛】本题主要考查了圆的性质、三角形的全等、三角形的相似，此题以圆为基础，引申出以圆的性质相关的新概念，解本题的关键在于掌握圆的相关知识，结合三角形的全等、相似进行求解
