1、2023-2024学年度随州市高新区九年级上10月份月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，2. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）A. B. C. D. 3. 已知x=2是一元二次方程x2+bxc=0的解，则4b+2c=（ ）A. 8B. 8C. 4D. 44. 关于抛物线，以下说法正确的是（ ）A. 开口向下B. 对称轴是x= 3C. 顶点坐标是（0，0）D. 当x3时，y随x增大而减小5. 抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）A.
2、 B. C. D. 6. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）A. B. C D. 7. 已知（1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y2x2+8x+m上的点，则（）A. y1y2y3B. y3y2y1C. y3y1y2D. y2y1y38. 已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（ ）A. B. C. D. 9. 关于x的方程（k3）x24x+20有实数根，则k的取值范围是（）A. k5B. k5且k3C. k5且k3D. k5且k310. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数数学兴
3、趣小组画出一个“鹊桥”函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 当直线与该图像恰有三个公共点时，则D. 关于的方程的所有实数根的和为4二、填空题（每小题3分，共18分）11. 把二次三项式化成的形式应为_12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是_13. 的两根分别为、，则_14. 如图是一座截面为抛物线拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_米（结果保留根号）15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式，飞机着陆后滑行_米才能停下来16. 二次函数yax2bxc（a0）图象如图，给出下列四个结论：
4、abc0 ； 4ac2b ；m(amb)+ba（m1）；方程ax2bxc-30的两根为x1，x2（x1x2)，则x23 ，其中正确结论的是_三、解答题（共72分）17. 解下列方程：（1）；（2）18. 关于x的一元二次方程有实数根（1）求m的取值范围；（2）若两根为、且，求m的值19. 已知二次函数的图像如图所示（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移的方法20. 如图，两点在一次函数与二次函数的图象上 （1）求m的值和二次函数的解析式；（2）请直接写出使时，自变量x的取值范围为_（3）所求抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为_21. 如图，
5、用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由22. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？23. 如图，在矩形ABCD中，BC20 cm，
6、P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQx cm(x0)，则AP2x cm，CM3x cm，DNx2 cm，(1)当x为何值时，点P，N重合；(2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点四边形是平行四边形24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.
7、2023-2024学年度随州市高新区九年级上10月份月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共30分）1. 将一元二次方程化为一般形式后，常数项为，二次项系数和一次项系数分别为（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】先化为一般形式，再解答【详解】解：一元二次方程化为一般形式为：，二次项系数和一次项系数分别为2，3，故选A【点睛】此题考查了一元二次方程的一般形式，一元二次方程的一般形式为ax2+bx+c=0（a0）其中a是二次项系数，b是一次项系数，c是常数项2. 用配方法解一元二次方程，下列变形正确的是（ ）A B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据完全平方式的特
8、点，先移项、再两边加一次项系数一半的平方即可【详解】解：故选D【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，掌握配方法是解答本题的关键3. 已知x=2是一元二次方程x2+bxc=0的解，则4b+2c=（ ）A. 8B. 8C. 4D. 4【答案】A【解析】【分析】由x=2是一元二次方程x2+bxc=0的一个解，将x=2代入原方程，即可求得2b-c的值，从而得解【详解】解：x=2是一元二次方程x2+bxc=0的一个根，4+2b-c =0，2b-c =-44b+2c=-2(2b-c)=-2(-4)=8故选：A【点睛】本题主要考查了一元二次方程解的定义解题的关键是将x=2代入原方程，利用整体思想求解4. 关
9、于抛物线，以下说法正确的是（ ）A. 开口向下B. 对称轴是x= 3C. 顶点坐标是（0，0）D. 当x3时，y随x增大而减小【答案】B【解析】【分析】，抛物线开口向上，抛物线开口向下；对称轴为，顶点坐标为，增减性：开口向上时，左减右增；开口向下时，左增右减；即可解答.【详解】抛物线 ，开口向上；对称轴为；顶点坐标为；当x3时，y随x增大而增大，当x3时，y随x增大而减小；故选B.【点睛】本题考查二次函数的基本性质，二次函数，抛物线开口向上，抛物线开口向下；对称轴为，顶点坐标为，增减性：开口向上时，左减右增；开口向下时，左增右减；熟练掌握以上知识点是解题关键.5. 抛物线向右平移1个单位，再向
10、下平移2个单位，所得到的抛物线是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】抛物线的平移遵循：上加下减，左加右减的规律，据此即可解答.【详解】解：抛物线向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是；故选：A.【点睛】本题考查了抛物线的平移，熟知抛物线的平移规律是解题的关键.6. 某超市一月份的营业额为200万元，已知第一季度的总营业额共1000万元如果平均每月增长率为x，则由题意列方程应为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根据题意表示出二月份和三月份的营业额，再利用等量关系一月份的营业额二月份的营业额三月份的营业额，列出方程即可【详解】解：根据题意可
11、得，故选：D【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，掌握求平均变化率的方法是解决问题的关键7. 已知（1，y1），（2，y2），（4，y3）是抛物线y2x2+8x+m上的点，则（）A. y1y2y3B. y3y2y1C. y3y1y2D. y2y1y3【答案】D【解析】【分析】求出抛物线的对称轴为直线，然后根据二次函数的增减性和对称性解答即可【详解】解：抛物线的对称轴为直线，时，函数值最小，又-1到-2的距离比-4到-2的距离小，故选D【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，主要利用了二次函数的增减性和对称性，求出对称轴是解题的关键8. 已知二次函数的图象经过点，则当时，y的取值范围是（
12、）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】先将点代入求出该二次函数的表达式，再根据其开口方向，对称性和增减性，分析在时的最大值和最小值即可【详解】解：将点代入得：，解得：，该二次函数的表达式为：，该函数的对称轴为直线，该二次函数图象开口向上，离对称轴越远函数值越大，再之间，当时，函数有最大值，当时，函数有最小值，当时，y的取值范围是故选：B【点睛】本题主要考查了二次函数的性质，解题的关键是熟练掌握时，函数开口向上，在对称轴左边，y随x的增大而减小，在对称轴右边，y随x的增大而增大，时，函数开口向下，在对称轴左边，y随x的增大而增大，在对称轴右边，y随x的增大而减小9. 关于x的方程（
13、k3）x24x+20有实数根，则k的取值范围是（）A. k5B. k5且k3C. k5且k3D. k5且k3【答案】A【解析】【分析】讨论：当k30，即k3，方程为一元一次方程，有一个解；当k30时，利用判别式的意义得到（4）24（k3）20，解得k5且k3，然后综合两种情况得到k的范围【详解】当k30，即k3，方程化为4x2，解得x ；当k30时，（4）24（k3）20，解得k5且k3，综上所述，k的范围为k5故选：A【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，解题的关键是不要漏掉当二次项系数为零的情况.10. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的
14、图像如图所示，则下列结论正确的是（ ）A. B. C. 当直线与该图像恰有三个公共点时，则D. 关于的方程的所有实数根的和为4【答案】D【解析】【分析】由是函数图像和x轴的交点，解得：可判断A、B错误；由图像可判断C错误；由题意可得或 ，利用根与系数的关系可判断D正确【详解】解：是函数图像和x轴的交点，解得：，故A、B错误；如下图，当直线与该图像恰有三个公共点时，应该有2条直线，故C错误；关于x的方程，即或，当时，当时，关于x的方程的所有实数根的和为，故D正确，故选：D【点睛】本题考查二次函数的应用、新定义、二次函数的性质，利用数形结合的思想解答是解题的关键二、填空题（每小题3分，共18分）1
15、1. 把二次三项式化成的形式应为_【答案】【解析】【分析】直接利用完全平方公式将原式进行配方得出答案【详解】故答案为：【点睛】本题主要考查了配方法的应用，正确应用完全平方公式是解题关键12. 已知是一元二次方程的一个解，则m的值是_【答案】-3【解析】【分析】将x=1代入方程得到关于m的方程，解得即可【详解】根据题意，将x=1代入方程得到：1+m+2=0，解得：m=-3，故答案为：-3【点睛】本题考查一元二次方程的解，掌握能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解是解题的关键13. 的两根分别为、，则_【答案】【解析】【分析】依据题意，由根与系数的关系得，再由进而代入可以得解【
16、详解】解：由题意，根据根与系数的关系可得，故答案为：【点睛】本题主要考查根与系数的关系，解题时要熟练掌握并理解是关键14. 如图是一座截面为抛物线的拱形桥，当拱顶离水面3米高时，水面宽l为6米，则当水面下降3米时，水面宽度为_米（结果保留根号）【答案】6【解析】【分析】建立平面直角坐标系，根据题意设出抛物线解析式，利用待定系数法求出解析式，根据题意计算即可【详解】建立平面直角坐标系如图：则抛物线顶点C坐标为（0，3），设抛物线解析式yax2+3，将A点坐标（3，0）代入，可得：09a+3，解得：a，故抛物线解析式为yx2+3，当水面下降3米，通过抛物线在图上的观察可转化为：当y3时，对应的抛物
17、线上两点之间的距离，也就是直线y3与抛物线相交的两点之间的距离，将y3代入抛物线解析式得出：3x2+3，解得：x，所以水面宽度为米，故答案为：【点睛】本题考查的是二次函数的应用，掌握二次函数的性质、正确建立平面直角坐标系是解题的关键15. 飞机着陆后滑行的距离s（单位：）关于滑行的时间t（单位：）的函数解析式，飞机着陆后滑行_米才能停下来【答案】600【解析】【分析】将函数解析式配方成顶点式求出的最大值即可得【详解】解：，当时，取得最大值600，即飞机着陆后滑行600米才能停下来，故答案为：600【点睛】本题主要考查二次函数的应用，理解题意得出飞机滑行的距离即为的最大值是解题的关键16. 二次
18、函数yax2bxc（a0）的图象如图，给出下列四个结论：abc0 ； 4ac2b ；m(amb)+ba（m1）；方程ax2bxc-30的两根为x1，x2（x1x2)，则x23 ，其中正确结论的是_【答案】【解析】【分析】由函数图象及二次函数各系数与图象的关系即可依次判断【详解】由函数图像可得开口向上，故a0；对称轴x=-1, 图象与x轴交于（1,0）故a,b同号，则b0，图象与x轴交于（1,0）和（-3,0）；函数图象与y轴交于负半轴，故c0，abc0，正确；图象与x轴交于（1,0）和（-3,0），故由图可得当x=-2时，y=4a-2b+c0即4ac2b，正确；由图可得当x=-1时，y取最大值
19、，故m(amb)+ca-b+c（m1）则m(amb)+ba（m1），正确；如图，方程ax2bxc-30的两根为x1，x2（x1x2)，则x21，x13 ，故错误故答案为：【点睛】此题主要考查二次函数图象综合，解题的关键是熟知二次函数系数与图象的关系三、解答题（共72分）17. 解下列方程：（1）；（2）【答案】（1）， （2）【解析】分析】（1）利用因式分解得到，则或，即可得到答案；（2）利用公式法得到，即可得到答案【小问1详解】解：则，即，或，解得，；【小问2详解】，【点睛】此题考查了一元二次方程，熟练掌握一元二次方程的解法并灵活选择是解题的关键18. 关于x的一元二次方程有实数根（1）求m
20、的取值范围；（2）若两根为、且，求m的值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围；（2）根据根与系数的关系可得出，结合可得出关于的一元二次方程，解之取其小于等于的值即可得出结论【小问1详解】解：关于的一元二次方程有实数根，解得：【小问2详解】，是一元二次方程的两个实数根，即，整理得：，解得：，又，【点睛】本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：（1）牢记“当时，方程有实数根”；（2）根据根与系数的关系结合，找出关于的一元二次方程19. 已知二次函数的图像如图所示（1）求该抛物线的顶点坐标；（2）
21、将该抛物线进行左右平移，使其经过坐标原点，请直接写出平移方法【答案】（1）顶点坐标 （2）向右平移1个单位长度，或向左平移3个单位长度【解析】【分析】（1）将代入，求得，再将抛物线化为顶点式即可；（2）令求得，根据图象的平移规则“上加下减，左加右减”，即可求解【小问1详解】解：把代入得：，则，顶点坐标；【小问2详解】解：当时，则，抛物线与x轴交于点，向右平移1个单位长度，或向左平移3个单位长度【点睛】此题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，解题的关键是熟练掌握二次函数的有关知识20. 如图，两点在一次函数与二次函数的图象上 （1）求m的值和二次函数的解析式；（2）请直接写
22、出使时，自变量x的取值范围为_（3）所求的抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为_【答案】（1），二次函数解析式为 （2） （3）【解析】【分析】（1）把分别代入一次函数与二次函数，即可解答；（2）根据函数图像，即可解答；（3）由题意得抛物线的值不变，再利用轴对称变换求得变换后的顶点，利用顶点式即可解答【小问1详解】解：把代入得：，解得；把、代入，得：，解得，所以二次函数解析式为；【小问2详解】解：根据题意和函数图象可得：当时，故答案为：；【小问3详解】解：根据题意，可得抛物线的值不变，将原抛物线变形可得，则抛物线的顶点坐标为，点关于y轴对称的点的坐标为，抛物线关于y轴对称的抛物线的解析式为，即
23、，故答案为：【点睛】本题考查了用待定系数法求二次函数解析式，二次函数与不等式，轴对称变化，熟知二次函数关于轴对称之后的值不变，是解题的关键21. 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的矩形羊圈，每个矩形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米（1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长；（2）羊圈的总面积能为500平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，说明理由【答案】（1）边AB的长为15米；（2）羊圈的总面积不能为500平方米，理由见详解【解析】【分析】（1）设AB=x米，则有，然后根据矩形面积公式可列出方程求解；（2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可进行求解
24、【详解】解：（1）设AB=x米，由题意可得：，解得：，墙的最大可用长度为30米，且当x=5时，答：边AB的长为15米；（2）由（1）可得：，化简得：，羊圈的总面积不能为500平方米【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，熟练掌握一元二次方程的应用是解题的关键22. 直播购物逐渐走进了人们的生活，某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件，通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件，若将每件商品售价定为x元，日销售量设为y件（1）求y与x的函数表达式；（2）当x为多少时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？【答案】（1） （
25、2）x为55时，每天的销售利润最大，最大利润是450元【解析】【分析】（1）原销售量20加上增加的件数即可得到函数表达式；（2）由每件利润乘以销售量得到利润的函数关系式，化为顶点式，利用函数性质解答【小问1详解】解： 件；【小问2详解】解：设每个月的销售利润为w元依题意，得：整理，得：，化成顶点式，得当x为55时每天的销售利润最大，最大利润是450元【点睛】此题考查了二次函数的实际应用，正确理解题意列出函数关系式，并掌握将二次函数化为顶点式利用函数的性质求最值是解题的关键23. 如图，在矩形ABCD中，BC20 cm，P，Q，M，N分别从A，B，C，D出发，沿AD，BC，CB，DA方向在矩形的
26、边上同时运动，当有一个点先到达所在运动边的另一个端点时，运动即停止已知在相同时间内，若BQx cm(x0)，则AP2x cm，CM3x cm，DNx2 cm，(1)当x为何值时，点P，N重合；(2)当x为何值是，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形【答案】(1) 当时，P，N重合;(2) 当x2或x4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形.【解析】【详解】试题分析：（1）当P、N重合时有：AP+DN= 20,解方程可得.(2)MQ=PN,时PQMN是平行四边形,其中不确定P，N的位置关系，所以需要分类讨论.试题解析：(1)当P、N重合时有：AP+DN=AD=20,即：x2+2x-
27、20=0，解得：（舍去）,所以当时，P，N重合.(2) 因为当N点到达A点时，x=2，此时M点和Q点还未相遇，所以点Q只能在点M的左侧当P点在N点的左边时有方程：20-2x-=20-x-3x,x2-2x=0 解得：x=2或x=0(舍去).当P点在N点的右边时有方程：2x+x2-20=20-x-3x,x2+6x-40=0,解得：x=4或x=-10(舍去).当x2或x4时，以P，Q，M，N为顶点的四边形是平行四边形.24. 如图，在平面直角坐标系中，二次函数交轴于点、，交轴于点，在轴上有一点，连接. （1）求二次函数的表达式；（2）若点为抛物线在轴负半轴上方的一个动点，求面积的最大值；（3）抛物线
28、对称轴上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请直接写出所有点的坐标，若不存在请说明理由.【答案】（1）二次函数的解析式为；（2）当时，的面积取得最大值；（3）点的坐标为，.【解析】详解】分析：（1）把已知点坐标代入函数解析式，得出方程组求解即可； （2）根据函数解析式设出点D坐标，过点D作DGx轴，交AE于点F，表示ADE面积，运用二次函数分析最值即可； （3）设出点P坐标，分PA=PE，PA=AE，PE=AE三种情况讨论分析即可详解：（1）二次函数y=ax2+bx+c经过点A（4，0）、B（2，0），C（0，6），解得：，所以二次函数的解析式为：y=；（2）由A（4，0），E（0，2），可求
29、AE所在直线解析式为y=，过点D作DNx轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EHDF，垂足为H，如图， 设D（m，），则点F（m，），DF=（）=，SADE=SADF+SEDF=DFAG+DFEH =DFAG+DFEH =4DF =2（） =，当m=时，ADE的面积取得最大值为 （3）y=的对称轴为x=1，设P（1，n），又E（0，2），A（4，0），可求PA=，PE=，AE=，分三种情况讨论：当PA=PE时，=，解得：n=1，此时P（1，1）； 当PA=AE时，=，解得：n=，此时点P坐标为（1，）； 当PE=AE时，=，解得：n=2，此时点P坐标为：（1，2） 综上所述：P点的坐标为：（1，1），（1，），（1，2）点睛：本题主要考查二次函数的综合问题，会求抛物线解析式，会运用二次函数分析三角形面积的最大值，会分类讨论解决等腰三角形的顶点的存在问题时解决此题的关键
