1、黑龙江省哈尔滨市阿城区2023-2024学年九年级上月考数学试卷一、选择题（每小题3分，共计30分）1.下列方程中，是一元二次方程的是（ ）A. B. C. D. 2.下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A. B. C. D.3.已知点、点关于原点对称，则的值为（ ）A. 1B. 3C. D. 4.抛物线的顶点坐标是（ ）A. B. C. D. 5.如图，在中，将绕点A顺时针旋转后，得到，且C在边BC上，则的度数为（ ）第5题图A. B. C. D. 6.下列关于x的一元二次方程有实数根的是（ ）A. B. C. D. 7.将二次函数化成的形式，结果为（ ）A. B. C.
2、D. 8.如图，在同一直角坐标系中，一次函数和二次函数的图象大致为（ ）A. B. C. D.9.某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元.已知两次降价的百分率都为x，那么x满足的方程是（ ）A. B. C. D. 10.二次函数的图象如图所示，其对称轴为.下列结论中：；.上述结论正确的有（ ）第10题图A.2B.3C.4D.5二、填空题（每小题3分，共24分）11.方程的解是 .12.如果将抛物线向左平移2个单位，再向上平移4个单位，那么平移后的抛物线解析式是 .13.若关于x的方程有两个相等的实数根，则常数a的值是 .14.已知2是关于x的一元二次方程的一个根，则该方程的另一个根
3、是 .15.如图，边长为2的等边的边OB在x轴上，将绕原点O逆时针旋转得到三角形，则点的坐标为 .第15题图第17题图第18题图16.一个等腰三角形的两条边长分别是方程的两根，则该等腰三角形的周长是 .17.如图，点A，B的坐标分别为（1，4）和（4，4），抛物线的顶点在线段AB上运动，与x轴交于C、D两点（C在D的左侧），点C的横坐标最小值为，则点D的横坐标最大值为 .18.如图，一段抛物线：，记为，它与x轴交于点O，；将绕点旋转得，交x轴于点；将绕点，旋转得，交x轴于点；如此进行下去，直至得.若在第13段抛物线上，则m= .三、解答题（1924题每题6分，2527题每题10分，共66分）1
4、9.解方程：（1）；（2）.20.图是电子屏幕的局部示意图，网格的每个小正方形边长均为1，每个小正方形顶点叫做格点，点A，B，C，D在格点上，光点P从AD的中点出发，按图的程序移动.（1）请在图中用圆规画出光点P经过的路径；（2）在图中，所画图形是 图形（填“轴对称”或“中心对称”），所画图形的周长是 （结果保留）.图图21.如图，一名男生推铅球，铅球行进高度y（单位：m）与水平距离x（单位：m）之间的关系是.求他将铅球推出的水平距离和最大高度.22.如图，点O是等边内一点，将绕点C按顺时针方向旋转得到，连接OD.（1）求证：是等边三角形；（2）当，时，试判断的形状，并说明理由.23.如图，抛
5、物线经过点A、B、C.（1）求此抛物线的解析式；（2）若抛物线和x轴的另一个交点为D，求的面积.24.已知关于x的二次函数.（1）求证：此抛物线与x轴总有交点；（2）若此抛物线与x轴有两个交点，且交点的横坐标都是整数，m是正整数，求m的值.25.某商场将每件进价为80元的某种商品按每件100元出售，一天可售出100件.后来经过市场调查，发现这种商品在原售价的基础上每件每降价1元，其销量可增加10件.（1）求商场经营该商品原来一天可获利润 元.（2）设后来该商品每件降价x元，商场一天可获利润y元.若商场经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价多少元？求出y与x之间的函数关系式，当x取何
6、值时，商场获利润最大？26.已知：和均为等腰直角三角形，连接BD，取DE、BD、AB的中点分别为G、F、H，连接FG、GH、HF.（1）当点D在AC边上，点E在BC边上时，如图1，判断的形状为 ；（2）把图1中绕点C在平面内旋转得到图2，判断的形状是否改变？请说明理由；（3）把绕点C在平面内任意旋转，若，求线段GH的最大值与最小值.图1图227.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为（1，0）.（1）求此抛物线的解析式；（2）点P在直线AC下方的抛物线上，连接PA、PC，设点P的横坐标为t，的面积为s，求s与t的函数关系式并写出自变量t的取值范
7、围；（3）在（2）的条件下，过点P作y轴的平行线与AC相交于点Q，当线段PQ的长度最大时，求s的值.第27题图第27题备用图参考答案一、选择题（每小题3分，共30分）1.D2.C3.D4.B5.B6.D7.C8.B9.A10.A二、填空题（每小题3分，共24分）11. ，12. 13. 14. 15. 16.10或1117.818.2三、解答题（1924题每题6分，2527题每题10分，共66分）19.（1）；解：（2）解：，所以，20.解：（1）如图所示；（2）所画图形是轴对称图形；421.解：他将铅球推出的最大高度为3m.令解得（舍）他将铅球推出的水平距离为10m.22.（1）证明：绕点C
8、按顺时针方向旋转得到是等边三角形（2）是等腰直角三角形，理由如下：是等边三角形是等腰直角三角形.23.解：（1）由题意知，设抛物线的解析式为把代入，解得（2）对称轴，点D的坐标为24.（1）证明：，此抛物线与x轴总有交点；（2）解：令，则，所以或，解得，因为抛物线与x轴有两个交点，交点的横坐标都是整数，m是正整数所以m为1.25解：1）2000（元）（2）依题意得：即解得：，经检验：，都是方程的解，且符合题意.答：商店经营该商品一天要获利润2160元，则每件商品应降价2元或8元.依题意得：y有最大值当时，商店所获利润最大26.（1）等腰直角三角形（2）的形状不改变，理由如下：连接AD、BE，证得DE、BD、AB的中点分别为G、F、H延长AD交FG于点N，交BC于点M，交BE于点H是等腰直角三角形，形状不改变（3）由（2）可知是等腰直角三角形，由勾股定理可得，在中，当点D在AC边上时，当点D在AC延长线上时，由此得，当AD最大时GH最大，当AD最小时GH最小GH最大为GH最小为27.解：（1）抛物线与x轴相交于A、B两点，点A的坐标为，点B的坐标为（1，0）解得（2）点C的坐标为.连接PO（3）轴点P的横坐标为t，点Q的横坐标为t，设直线AC的解析式为，则解得.点点当时PQ最大，
