1、遂宁市2023届高三上学期一诊模拟考试理科数学试卷一 单选题（5分*12）1. 已知复数 z满足z=1+i, 则izz+3i=（ ）A.-35-35iB.-15+35iC.-35+35iD.15+35i2. 人口普查是世界各国所广泛采取的一种调查方法，根据人口普查的基本情况，可以科学的研究制定社会、经济、科教等各项发展政策，是国家科学决策的重要基础工作.截止2021年6月，我国共进行了七次人口普查，下图是这七次人口普查的城乡人数和增幅情况，下列说法错误的是（ ）A.城镇人口数逐次增加B.历次人口普查中第七次普查城镇人口最多C.城镇人口比重逐次增加D.乡村人口数逐次增加3. 已知命题 p: “a
2、1”; 命题q: “函数f(x)=ax+cosx单调递增”, 则p是q的（ ）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充分必要条件D.既不必要又不充分条件4. 已知角 的顶点与坐标原点O重合, 始边与x轴的非负半轴重合. 若角终边上一点P的坐标为cos23,sin23,则sintan=（ ）A.-32B.-32C.32D.325. 执行下侧所示的程序框图, 输出 S的值为 （ ）A.30B.70C.110D.1406. 函数 y=x28-ln|x|的图象大致为（ ）A.B.C.D.7. 已知离心率为 32的双曲线C:x2a2-y2b2=1(a0,b0)的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合,
3、则C的方程是 （ ）A.x25-y24=1B.x24-y25=1 C.x28-y210=1D.x23-y26=18. 已知 a=e0.1,b=ln33,c=ln2, 则a,b,c的大小关系为 （ ）A.abcB.acbC.bacD.bca9. 已知函数 f(x)=acosx-3+3sinx-3是偶函数,g(x)=f2x+6+1, 若关于x的方程g(x)=m在0,712有两个不相等实根, 则实数m的取值范围是（ ）A.0,3B.0,3)C.2,3)D.2+1,3)10. 已知函数 f(x)的定义域为R,f(2x-2)为偶函数,f(x-3)+f(-x+1)=0, 当x-2,-1时,f(x)=1ax
4、-ax-4(a0且a1), 且f(-2)=4. 则k=119|f(k)|=（ ）A.28B.32C.36D.4011. 某四棱锥的底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形中心, 该四棱锥所有顶点都在半径为 3 的球 O上, 当该四棱锥的体积最大时, 底面正方形所在平面截球O的截面面积是（ ）A.B.4C.8D.912. 已知函数 f(x)=sinx+cosx, 其中0. 给出以下命题:若 f(x)在0,4上有且仅有 1 个极值点, 则15;若 f(x)在2,上没有零点, 则034或3274;若 f(x)在区间2,34上单调递增, 则00,b0)的左顶点为A, 右焦点F(c,0), 若直线x=c
5、与该双曲线交于B、C两点,ABC为等腰直角三角形, 则该双曲线离心率为_15. 若数列 an对任意nN*满足:a1+2a2+3a3+nan=n, 则数列ann+1的前n项和为_16. 已知函数 f(x)=sin2x, 任取tR, 记函数f(x)在t,t+1上的最大值为Mt, 最小值为mt, 设h(t)=Mt-mt, 则函数h(t)的值域为_三 解答题（共70分）17. （12分）第七次全国人口普查是对中国特色社会主义进入新时代开展的重大国情国力调查某地区通过摸底了解到，某小区户数有1000户，在选择自主填报或人户登记的户数与户主年龄段（45岁以上和45岁及以下）分布如下22列联表所示：(1)将
6、题中列联表补充完整；通过计算判断，有没有95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系？(2)根据（1）中列联表的数据，在自主填报的户数中按照户主年龄段用分层抽样的方法抽取了6户若从这6户中随机抽取3户进行进一步复核，记所抽取的3户中“户主45岁及以下”的户数为，求的分布列和数学期望附表及公式：其中 K2=n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d), n=a+b+c+d.18. （12分）在 ABC中,a,b,c分别为角A、B、C的对边,c(acosB+bcosA)=a2-b2+bc.(1)求 A;(2)若角 A的平分线AD交BC于D, 且BD=2DC,AD=23, 求a.19
7、. （12分）已知数列 an的前n项和为Sn, 且Sn+1=Sn+an+1, _. 请在a4+a7=13;a1,a3,a7成等比数列;S10=65, 这三个条件中任选一个补充在上面题干中, 并解答下面问题.(1)求数列 an的通项公式;(2)设数列 an2n的前n项和Tn, 求证:1Tn3.20. （12分）如图, 四棱锥 P-ABCD中, 侧面PAD底面ABCD, 底面ABCD为梯形,AB/DC, 且AP=PD=CD=2AB=23,APD=ADC=60. 作PHAD交AD于点H, 连结AC,BD交于点F.(1)设 G是线段PH上的点, 试探究: 当G在什么位置时, 有GF/平面PAB;(2)
8、求平面 PAD与平面PBC所成二面角的正弦值.21. （12分）已知函数 f(x)=lnx+ax+1(其中aR).(1) 讨论函数 f(x)的单调性;(2) 对任意 x(0,+)都有f(x)xex成立, 求实数a的取值范围.22. （10分）在直角坐标系 xOy中, 曲线C的参数方程为x=1+cosy=1+sin(为参数). 以坐标原点O为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系, 直线l的极坐标方程为cos-4=2.(1)求直线 l的直角坐标方程与曲线C的普通方程;(2)已知点 A的直角坐标为(-1,3), 直线l与曲线C相交于E,F两点, 求AE|AF|的值.23. （10分）已知函数 f(x)
9、=|x-1|+2|x+1|.(1) 求不等式 f(x)1时,f(x)=a-sinx, 因-1sinx1,a1,则 f(x)0, 得f(x)=ax+cosx单调递增, 有pq, 即p是q的充分条件.当函数 f(x)=ax+cosx单调递增, 有f(x)=a-sinx0恒成立,得 a(sinx)max=1, 有q不能推出p(a可以等于 1 ). 即p不是q的必要条件.综上: p是q的充分不必要条件.故选: A4. A 【解析】Pcos23,sin23, 即P-12,32, 则sin=yx2+y2=32,tan=yx=-3.故 sintan=-32.故选: A5. B 【解析】根据程序框图得到: 开
10、始, i=0,a=0,S=0;a=0,S=0,i=1;a=2,S=2,i=2;a=8,S=10,i=3;a=20,S=30,i=4;a=40,S=70, 结束.故选: B6. D 【解析】令 f(x)=y=x28-ln|x|, 则函数定义域为xx0, 且满足f(-x)=f(x), 故函数f(x)为偶函数, 排除选项 B;当 x0且x0时,y+, 排除选项A;取特殊值 x=22时,y=1-ln220,b0)的c=3, 又因为双曲线的离心率为32, 则32=ca, 则a=2,b=c2-a2=5, 则C的方程是:x24-y25=1. 故选: B.8. B 【解析】a=e0.1e0=1, b=ln33
11、=ln333ln30.6,30.65=27,25=32,273230.62ln30.6ln2ln333ln2bcb. 故选: B.9. C 【解析】由题意, 函数 f(x)=acosx-3+3sinx-3=a2cosx+32asinx+312sinx-32cosx=a2-32cosx+32a+32sinx因为 f(x)是偶函数, 则f(-x)=f(x), 可得32a+32=0, 解得a=-1,所以 f(x)=-2cosx, 所以g(x)=f2x+6+1=-2cos2x+6+1,若关于 x的方程g(x)=m在0,712有两个不相等实根,即 cos2x+6=1-m2在0,712有两个不相等实根,由
12、 x0,712, 则2x+66,43,又由 cos43=-12,cos=-1, 所以-11-m2-12, 解得2m0且a1), 且f(-2)=4,所以 4=1a-2+2a-4, 解得:a=2或a=-4, 因为a0且a1, 所以a=2.所以当 x-2,-1时,f(x)=12x-2x-4,所以 f(-2)=4,f(-1)=0,f(-3)=f(-1)=0,f(0)=-f(-2)=-4,f(1)=f(1-4)=f(-3)=0,f(2)=f(-2)=4,f(3)=f(-1)=0,f(4)=f(0)=-4, 所以|f(1)|+|f(2)|+|f(3)|+|f(4)|=8,所以 k=119|f(k)|=48
13、+|f(1)|+|f(2)|+|f(3)|=36,故选: C.11. C 【解析】如下图所示, 可知四棱锥 P-ABCD为正四棱锥, 设ACBD=E, 则球心O在直线PE上,设 PE=h,AB=2a, 则AE=2a,由勾股定理可得 OA2=OE2+AE2, 即|h-3|2+2a2=9,当四棱锥 P-ABCD的体积最大时, 则点O在线段PE上, 则h3,可设 h-3=3cos,2a=3sin, 其中02,VP-ABCD=134a2h=239sin23(1+cos)=181-cos2(1+cos)=18(1+cos)2(1-cos)令 x=cos(0,1),f(x)=(1+x)2(1-x),则 f
14、(x)=2(1+x)(1-x)-(1+x)2=-(3x-1)(x+1).当 0x0, 此时函数f(x)单调递增,当 13x1时,f(x)0, 此时函数f(x)单调递减, 所以,f(x)max=f13,此时 cos=13,sin=1-cos2=223, 则AE=3sin=22,因此, 当该四棱锥的体积最大时, 底面正方形所在平面截球 O的截面面积是AE2=8. 故选: C.12. D 【解析】f(x)=sinx+cosx=2sinx+4,对于， 因为 f(x)在0,4上有且仅有 1 个极值点, 则f(x)在0,4上只有一个最值,因为 0x4, 所以4x+44+4,令 t=x+4, 则4t4+4,
15、 则y=2sint在4,4+4上只有一个最值,所以 24+432, 得15, 故正确;对于, 因为 2x, 所以2+4x+4+4, 令t=x+4, 则2+4t0, 所以k+340, 即k-34,又由 2k-12k+34, 得k54, 故-34k54,又 kZ, 所以k=0或k=1,当 k=0时,-1234, 所以034; 当k=1时,3274;综上: 034或3274, 故正确;对于, 因为 2x34, 所以2+4x+434+4, 令t=x+4, 则2+4t0, 所以83k+130, 即k-18,又由 4k-3283k+13, 得k118, 故-18k118,又 kZ, 所以k=0或k=1,当
16、 k=0时,-3213, 所以013; 当k=1时,523;综上: 03.841因此, 有 95%的把握认为户主选择自主填报与年龄段有关系.(2)这 6户中户主 45 岁以上 2 户, 45 岁及以下 4 户, 则 的可能值为 1,2,3,则 P(=1)=C41C22C63=15,P(=2)=C42C21C63=35,P(=3)=C43C20C63=420=15.的分布列为所以, 的数学期望E()=115+235+315=2.18. （1）A=3;（2）a=33. 【解析】(1)因为 c(acosB+bcosA)=a2-b2+bc,所以 sinC(sinAcosB+sinBcosA)=sin2
17、A-sin2B+sinBsinC,即 sin2C=sin2A-sin2B+sinBsinC,即 c2+b2-a2=bc, 所以cosA=c2+b2-a22bc=12,因为 A(0,), 所以A=3;(2)因为角 A的平分线AD交BC于D, 且BD=2DC,由角平分线定理得: c=2b, 又SABC=SABD+SACD,即 12bcsin60=12cADsin30+12bADsin30,所以 AD=3bcb+c=23, 即bc=2(b+c), 所以b=3,c=6,由余弦定理得: a2=c2+b2-2bccosA=27, 所以a=33.19. （1）an=n+1;（2）证明见解析 【解析】(1)因
18、为 Sn+1=Sn+an+1, 所以Sn+1-Sn=an+1, 即an+1=an+1,所以数列 an是首项为a1, 公差为 1 的等差数列, 其公差d=1.若选, 由 a4+a7=13, 得a1+3d+a1+6d=13, 即2a1=13-9d,所以 2a1=13-91=4, 解得a1=2,所以 an=a1+(n-1)d=2+(n-1)1=n+1, 即数列an的通项公式为an=n+1;若选, 由 a1,a3,a7成等比数列, 得a1+2d2=a1a1+6d,则 a12+4a1d+4d2=a12+6a1d, 所以a1=2, 所以an=a1+(n-1)d=2+(n-1)1=n+1;若选, 因为 S1
19、0=10a1+1092d=10a1+45d, 所以10a1+451=65, 所以a1=2,所以 an=a1+(n-1)d=2+(n-1)1=n+1;(2)由题可知 an2n=n+12n, 所以Tn=22+322+423+n+12n,所以 12Tn=222+323+424+n2n+n+12n,两式相减得 12Tn=1+122+123+124+12n+n+12n+1,=12+121+12+122+123+12n-1-n+12n+1=12+121-12n1-12-n+12n+1=32-n+32n+1所以 Tn=3-n+32n.所以 Tn=3-n+32n0,所以 Tn是递增数列,TnT1=1, 故1T
20、n0)当 a0时,f(x)0恒成立,f(x)在(0,+)单调递增.当 a0,0x-1a,f(x)在0,-1a上单调递增,f(x)-1a,f(x)在-1a,+上单调递减.（2）任意 x(0,+)都有f(x)xex成立, 即f(x)=lnx+ax+1xex, 即axex-lnx-1x,令 g(x)=xex-lnx-1x,g(x)=x2ex+lnxx2, 令h(x)=x2ex+lnx,h(x)=exx2+2x+1x,则 h(x)0, 在(0,+)上恒成立, 即h(x)在(0,+)上单调递增.又 h1e=1e2e1e-1=e1e-2-10, 故h(x)在1e,1内有零点,设零点为 x0, 当x1e,x
21、0时,g(x)0,所以 g(x)min=gx0=x02ex0+lnx0, 则x0ex0=-lnx0x0, 所以x0ex0=ln1x0eln1x0,设 t(x)=xex,t(x)=ex(x+1)0, 所以t(x)在(0,+)单调递增,tx0=tlnx0,即 x0=ln1x0, 所以ex0=1x0, 所以gx0=x0ex0-lnx0-1x0=1, 所以a1.22. （1）曲线 C的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=1；直线l的直角坐标方程为x+y-2=0（2）7 【解析】(1)由曲线 C的参数方程, 消去参数, 得曲线C的普通方程为(x-1)2+(y-1)2=1由 cos-4=2得22cos+
22、22sin=2, 所以cos+sin=2cos=x,sin=y,直线l的直角坐标方程为x+y-2=0(2)设直线 l的参数方程为x=-1-22t,y=3+22t，(t为参数),点 A在直线l上, 将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程, 整理可得t2+42t+7=0（*）=(42)2-47=40.设 t1,t2是方程(*)的两个实数根t1+t2=-42,t1t2=7.|AE|AF|=t1t2=7.23. （1）-2,43.（2）617. 【解析】(1) 解：当 x1时,f(x)=(x-1)+2(x+1)=3x+1.由 f(x)5, 解得x43. 此时1x43;当 -1x1时,f(x)=-(x-1)+2(x+1)=x+3.由 f(x)5, 解得x2. 此时-1x1;当 x-1时,f(x)=-(x-1)-2(x+1)=-3x-1.由 f(x)-2. 此时-2x-1. 综上, 原不等式的解集为-2,43.(2)由 (1) 得 f(x)=3x+1,x1x+3,-1x1-3x-1,x-1.当 x=-1时,f(x)取得最小值2.m=2aa+2b+3c=2.由柯西不等式得 3a2+2b2+c213+2+9(a+2b+3c)2=4.3a2+2b2+c2617. 当且仅当3a13=2b2=c3,即 a=117,b=317,c=917时, 等号成立.3a2+2b2+c2的最小值为617.
