1、2022 年四川省遂宁市中考数学试卷年四川省遂宁市中考数学试卷 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分 1 （4 分）2 的倒数是（ ） A2 B2 C D 2 （4 分）下面图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A科克曲线 B笛卡尔心形线 C阿基米德螺旋线 D赵爽弦图 3 （4 分）2022 年 4 月 16 日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约 198000公里数据 198000 用科学记数法表示为（ ） A198103 B1.98104 C1.98105 D1.98106 4 （4 分
2、）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A大 B美 C遂 D宁 5 （4 分）下列计算中正确的是（ ） Aa3a3a9 B（2a）38a3 Ca10（a2）3a4 D（a+2） （a2）a2+4 6 （4 分）若关于 x 的方程无解，则 m 的值为（ ） A0 B4 或 6 C6 D0 或 4 7 （4 分）如图，圆锥底面圆半径为 7cm，高为 24cm，则它侧面展开图的面积是（ ） Acm2 Bcm2 C175cm2 D350cm2 8 （4 分）如图，D、E、F 分别是ABC 三边上的点，其中 BC8，BC 边上的高为 6，且 DEBC，则DE
3、F 面积的最大值为（ ） A6 B8 C10 D12 9（4 分）已知 m 为方程 x2+3x20220 的根，那么 m3+2m22025m+2022 的值为（ ） A2022 B0 C2022 D4044 10 （4 分）如图，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 有公共顶点 B，连接 EC、GA，交于点 O，GA 与 BC 交于点 P，连接 OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ） ECAG；OBPCAP；OB 平分CBG；AOD45； A B C D 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分。 ）分。 ） 11（4 分） 遂宁
4、市某星期周一到周五的平均气温数值为： 22， 24， 20， 23， 25， 这 5 个数的中位数是 12 （4 分）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|+ 13 （4 分）如图，正六边形 ABCDEF 的顶点 A、F 分别在正方形 BMGH 的边 BH、GH 上若正方形 BMGH的边长为 6，则正六边形 ABCDEF 的边长为 14 （4 分） “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的形状好似一棵树而得名假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作
5、图，则第六代勾股树中正方形的个数为 15 （4 分）抛物线 yax2+bx+c（a，b，c 为常数）的部分图象如图所示，设 mab+c，则 m 的取值范围是 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 个小题，共个小题，共 90 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （7 分）计算：tan30+|1|+（）0（）1+ 17 （7 分）先化简，再求值： （1）2，其中 a4 18 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AD 的中点，连接 OE，过点 D作 DFAC 交 OE 的延
6、长线于点 F，连接 AF （1）求证：AOEDFE； （2）判定四边形 AODF 的形状并说明理由 19 （9 分）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球已知购买 2 个篮球和 3 个足球共需费用 510 元；购买 3 个篮球和 5 个足球共需费用 810 元 （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）学校计划采购篮球、足球共 50 个，并要求篮球不少于 30 个，且总费用不超过 5500 元那么有哪几种购买方案？ 20 （9 分）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年
7、对冰雪项目的浓厚兴趣某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选 1 项） ，制作了如图统计图（部分信息未给出） 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了 名学生；若该校共有 2000 名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 人； （2）补全条形统计图； （3）把短道速滑记为 A、花样滑冰记为 B、自由式滑雪记为 C、单板滑雪记为 D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪 C 的概率 21 （9 分） 在平面直角坐标系中，如果一个
8、点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点” 例如（1，1） ， （2022，2022）都是“黎点” （1）求双曲线 y上的“黎点” ； （2）若抛物线 yax27x+c（a、c 为常数）上有且只有一个“黎点” ，当 a1 时，求 c 的取值范围 22 （9 分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度如图所示，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点 A 处测得塔楼顶端点 E 的仰角GAE50.2， 台阶 AB 长 26 米， 台阶坡面 AB 的坡度 i5： 12，然后在点 B 处测得塔楼顶端点 E 的仰角EBF63.4，则塔顶到地面的高度 EF 约为多少米 （参考数据：tan50.21.2
9、0，tan63.42.00，sin50.20.77，sin63.40.89） 23 （10 分）已知一次函数 y1ax1（a 为常数）与 x 轴交于点 A，与反比例函数 y2交于 B、C 两点，B 点的横坐标为2 （1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象； （2）求出点 C 的坐标，并根据图象写出当 y1y2时对应自变量 x 的取值范围； （3）若点 B 与点 D 关于原点成中心对称，求出ACD 的面积 24 （10 分） 如图O 是ABC 的外接圆， 点 O 在 BC 上， BAC 的角平分线交O 于点 D， 连接 BD， CD，过点 D 作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点
10、P （1）求证：PD 是O 的切线； （2）求证：ABDDCP； （3）若 AB6，AC8，求点 O 到 AD 的距离 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，E 为ABC 边 AB 上的一动点，F 为 BC 边上的一动点，D 点坐标为（0，2） ，求DEF周长的最小值； （3）如图 2，N 为射线 CB 上的一点，M 是抛物线上的一点，M、N 均在第一象限内，B、N 位于直线AM 的同侧，若 M 到 x 轴的
11、距离为 d，AMN 面积为 2d，当AMN 为等腰三角形时，求点 N 的坐标 2022 年四川省遂宁市中考数学试卷年四川省遂宁市中考数学试卷 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 40 分 ）分 ） 1 （4 分）2 的倒数是（ ） A2 B2 C D 【分析】根据倒数的定义，若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数 【解答】解：2（）1， 2 的倒数是 故选：D 【点评】主要考查倒数的概念及性质倒数的定义：若两个数的乘积是 1，我们就称这两个数互为倒数，属于基础题 2 （4 分）下面图形中既
12、是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A科克曲线 B笛卡尔心形线 C阿基米德螺旋线 D赵爽弦图 【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念，对各选项分析判断即可得解把一个图形绕某一点旋转 180，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形 【解答】解：A科克曲线既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； B笛卡尔心形线是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C阿基米德螺旋线不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D赵爽弦图不是轴对称图形，是中心对称
13、图形，故本选项不符合题意 故选：A 【点评】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念，轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后与原图重合 3 （4 分）2022 年 4 月 16 日，神舟十三号飞船脱离天宫空间站后成功返回地面，总共飞行里程约 198000公里数据 198000 用科学记数法表示为（ ） A198103 B1.98104 C1.98105 D1.98106 【分析】把较大的数表示成科学记数法形式：a10n，其中 1a10，n 为正整数即可得出答案 【解答】解：1980001.98105， 故选：C 【点评】本题考查了
14、科学记数法表示较大的数，掌握 10 的指数比原来的整数位数小 1 是解题的关键 4 （4 分）如图是正方体的一种展开图，那么在原正方体中与“我”字所在面相对的面上的汉字是（ ） A大 B美 C遂 D宁 【分析】根据图形，可以写出相对的字，本题得以解决 【解答】解：由图可知， 我和美相对，爱和宁相对，大和遂相对， 故选：B 【点评】本题考查正方体相对的两个面上的文字，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 5 （4 分）下列计算中正确的是（ ） Aa3a3a9 B（2a）38a3 Ca10（a2）3a4 D（a+2） （a2）a2+4 【分析】根据同底数幂的乘法判断 A 选项；根据积的
15、乘方判断 B 选项；根据幂的乘方和同底数幂的除法判断 C 选项；根据平方差公式判断 D 选项 【解答】解：A，原式a6，故该选项不符合题意； B，原式8a3，故该选项符合题意； C，原式a10（a6）a4，故该选项不符合题意； D，原式（a）222a24，故该选项不符合题意； 故选：B 【点评】本题考查了平方差公式，幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘除法，掌握（ab）nanbn是解题的关键 6 （4 分）若关于 x 的方程无解，则 m 的值为（ ） A0 B4 或 6 C6 D0 或 4 【分析】解分式方程可得（4m）x2，根据题意可知，4m0 或 x，求出 m 的值即可 【解答】解：， 2（2
16、x+1）mx， 4x+2mx， （4m）x2， 方程无解， 4m0 或 x， m4 或 m0， 故选：D 【点评】本题考查分式方程的解法，熟练掌握分式方程的解法，分式方程无解的条件是解题的关键 7 （4 分）如图，圆锥底面圆半径为 7cm，高为 24cm，则它侧面展开图的面积是（ ） Acm2 Bcm2 C175cm2 D350cm2 【分析】先利用勾股定理计算出 AC25cm，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长，则可根据扇形的面积公式可计算出圆锥的侧面积 【解答】解：在 RtAOC 中，AC25（cm）， 所以圆锥的侧面展开图的面积27
17、25175（cm2） 故选：C 【点评】本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长 8 （4 分）如图，D、E、F 分别是ABC 三边上的点，其中 BC8，BC 边上的高为 6，且 DEBC，则DEF 面积的最大值为（ ） A6 B8 C10 D12 【分析】过点 A 作 AMBC 于 M，交 DE 于点 N，则 ANDE，设 ANa，根据 DEBC，证出ADEABC，根据相似三角形对应高的比等于相似比得到 DEa，列出DEF 面积 S 的函数表达式，根据配方法求最值即可 【解答】解：如图，过点 A 作 AMBC 于 M，交 D
18、E 于点 N，则 ANDE， 设 ANa， DEBC， ADEB，AEDC， ADEABC， ， ， DEa， DEF 面积 SDEMN a（6a） a2+4a （a3）2+6， 当 a3 时，S 有最大值，最大值为 6 故选：A 【点评】本题考查了三角形的面积，平行线的性质，列出DEF 面积 S 的函数表达式，根据配方法求最值是解题的关键 9 （4 分）已知 m 为方程 x2+3x20220 的根，那么 m3+2m22025m+2022 的值为（ ） A2022 B0 C2022 D4044 【分析】将方程的根代入方程，化简得 m2+3m2022，将代数式变形，整体代入求值即可 【解答】解：
19、m 为方程 x2+3x20220 的根， m2+3m20220， m2+3m2022， 原式m3+3m2m23m2022m+2022 m（m2+3m）（m2+3m）2022m+2022 2022m20222022m+2022 0 故选：B 【点评】本题考查了一元二次方程的解，考查整体思想，将 m2+3m2022 整体代入代数式求值是解题的关键 10 （4 分）如图，正方形 ABCD 与正方形 BEFG 有公共顶点 B，连接 EC、GA，交于点 O，GA 与 BC 交于点 P，连接 OD、OB，则下列结论一定正确的是（ ） ECAG；OBPCAP；OB 平分CBG；AOD45； A B C D
20、【分析】由四边形 ABCD、四边形 BEFG 是正方形，可得ABGCBE（SAS） ，即得BAGBCE，即课证明POC90，可判断正确；取 AC 的中点 K，可得 AKCKOKBK，即可得BOABCA，从而OBPCAP，判断正确，由AOCADC90，可得 A、O、C、D 四点共圆，而ADCD，故AODDOC45，判断正确，不能证明 OB 平分CBG，即可得答案 【解答】解：四边形 ABCD、四边形 BEFG 是正方形， ABBC，BGBE，ABC90GBE， ABC+CBGGBE+CBG，即ABGEBC， ABGCBE（SAS）， BAGBCE， BAG+APB90， BCE+APB90， B
21、CE+OPC90， POC90， ECAG，故正确； 取 AC 的中点 K，如图： 在 RtAOC 中，K 为斜边 AC 上的中点， AKCKOK， 在 RtABC 中，K 为斜边 AC 上的中点， AKCKBK， AKCKOKBK， A、B、O、C 四点共圆， BOABCA， BPOCPA， OBPCAP，故正确， AOCADC90， AOC+ADC180， A、O、C、D 四点共圆， ADCD， AODDOC45，故正确， 由已知不能证明 OB 平分CBG，故错误， 故正确的有：， 故选：D 【点评】本题考查正方形性质及应用，涉及全等三角形的判定与性质，四点共圆等知识，解题的关键是取 AC
22、 的中点 K，证明 AKCKOKBK，从而得到 A、B、O、C 四点共圆 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 5 个小题，每小题个小题，每小题 4 分，共分，共 20 分。 ）分。 ） 11 （4 分） 遂宁市某星期周一到周五的平均气温数值为： 22， 24， 20， 23， 25， 这 5 个数的中位数是 23 【分析】先将题目中的数据按照从小到大排列，然后即可写出相应的中位数 【解答】解：将 22，24，20，23，25 按照从小到大排列是：20，22，23，24，25， 这五个数的中位数是 23， 故答案为：23 【点评】本题考查中位数，解答本题的关键是明确中位数的定义，会求一组数
23、据的中位数 12 （4 分）实数 a、b 在数轴上的位置如图所示，化简|a+1|+ 2 【分析】根据数轴可得：1a0，1b2，然后即可得到 a+10，b10，ab0，从而可以将所求式子化简 【解答】解：由数轴可得， 1a0，1b2， a+10，b10，ab0， |a+1|+ a+1（b1）+（ba） a+1b+1+ba 2， 故答案为：2 【点评】本题考查二次根式的性质与化简、实数与数轴，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 13 （4 分）如图，正六边形 ABCDEF 的顶点 A、F 分别在正方形 BMGH 的边 BH、GH 上若正方形 BMGH的边长为 6，则正六边形 ABCD
24、EF 的边长为 4 【分析】根据正多边形的性质和直角三角形中，30角所对的边是斜边的一半可以求得 AF 的长 【解答】解：设 AFx，则 ABx，AH6x， 六边形 ABCDEF 是正六边形， BAF120， 上衣HAF60， AHF90， AFH30， AF2AH， x2（6x）， 解得 x4， AB4， 即正六边形 ABCDEF 的边长为 4， 故答案为：4 【点评】本题考查正多边形和圆，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 14 （4 分） “勾股树”是以正方形一边为斜边向外作直角三角形，再以该直角三角形的两直角边分别向外作正方形，重复这一过程所画出来的图形，因为重复数次后的
25、形状好似一棵树而得名假设如图分别是第一代勾股树、第二代勾股树、第三代勾股树，按照勾股树的作图原理作图，则第六代勾股树中正方形的个数为 127 【分析】由已知图形观察规律，即可得到第六代勾股树中正方形的个数 【解答】解：第一代勾股树中正方形有 1+23（个） ， 第二代勾股树中正方形有 1+2+227（个） ， 第三代勾股树中正方形有 1+2+22+2315（个） ， . 第六代勾股树中正方形有 1+2+22+23+24+25+26127（个） ， 故答案为：127 【点评】本题考查图形中的规律问题，解题的关键是仔细观察图形，得到图形变化的规律 15 （4 分）抛物线 yax2+bx+c（a，b
26、，c 为常数）的部分图象如图所示，设 mab+c，则 m 的取值范围是 4m0 【分析】由抛物线开口方向，对称轴位置，抛物线与 y 轴交点位置及抛物线经过（1，0）可得 a，b，c的等量关系，然后将 x1 代入解析式求解 【解答】解：抛物线开口向上， a0， 抛物线对称轴在 y 轴左侧， 0， b0， 抛物线经过（0，2） ， c2， 抛物线经过（1，0） ， a+b+c0， a+b2，b2a， yax2+（2a）x2， 当 x1 时，ya+a222a4， b2a0， 0a2， 42a40， 故答案为：4m0 【点评】本题考查二次函数图象与系数的关系，解题关键是掌握二次函数的性质，掌握二次函数
27、与方程的关系 三、解答题（本大题共三、解答题（本大题共 10 个小题，共个小题，共 90 分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤）分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16 （7 分）计算：tan30+|1|+（）0（）1+ 【分析】根据特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根可以解答本题 【解答】解：tan30+|1|+（）0（）1+ +1+13+4 3 【点评】本题考查实数的运算、特殊角的三角函数值、去绝对值的方法、零指数幂、负整数指数幂和算术平方根，熟练掌握运算法则是解答本题的关键 17 （7 分）先化简，再求值： （1）2，其中 a
28、4 【分析】根据分式的运算法则进行化简，然后将 a 的值代入即可 【解答】解：原式 当 a4 时， 原式 【点评】本题考查分式的化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解答本题的关键 18 （8 分）如图，在菱形 ABCD 中，对角线 AC、BD 相交于点 O，点 E 是 AD 的中点，连接 OE，过点 D作 DFAC 交 OE 的延长线于点 F，连接 AF （1）求证：AOEDFE； （2）判定四边形 AODF 的形状并说明理由 【分析】 （1）利用全等三角形的判定定理即可 （2）先证明四边形 AODF 为平行四边形，再结合AOD90，即可得出结论 【解答】 （1）证明：E 是 AD 的中点， A
29、EDE， DFAC， OADADF， AEODEF， AOEDFE（ASA） （2）解：四边形 AODF 为矩形 理由：AOEDFE， AODF， DFAC， 四边形 AODF 为平行四边形， 四边形 ABCD 为菱形， ACBD， 即AOD90， 平行四边形 AODF 为矩形 【点评】本题考查菱形的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定，熟练掌握全等三角形的判定与性质以及矩形的判定是解题的关键 19 （9 分）某中学为落实教育部办公厅关于进一步加强中小学生体质管理的通知文件要求，决定增设篮球、足球两门选修课程，需要购进一批篮球和足球已知购买 2 个篮球和 3 个足球共需费用 510 元；购
30、买 3 个篮球和 5 个足球共需费用 810 元 （1）求篮球和足球的单价分别是多少元； （2）学校计划采购篮球、足球共 50 个，并要求篮球不少于 30 个，且总费用不超过 5500 元那么有哪几种购买方案？ 【分析】 （1） 根据购买 2 个篮球和 3 个足球共需费用 510 元； 购买 3 个篮球和 5 个足球共需费用 810 元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据要求篮球不少于 30 个，且总费用不超过 5500 元，可以列出相应的不等式组，从而可以求得篮球数量的取值范围，然后即可写出相应的购买方案 【解答】解： （1）设篮球的单价为 a 元，足球的单价为 b 元
31、， 由题意可得：， 解得， 答：篮球的单价为 120 元，足球的单价为 90 元； （2）设采购篮球 x 个，则采购足球为（50 x）个， 要求篮球不少于 30 个，且总费用不超过 5500 元， ， 解得 30 x33， x 为整数， x 的值可为 30，31，32，33， 共有四种购买方案， 方案一：采购篮球 30 个，采购足球 20 个； 方案二：采购篮球 31 个，采购足球 19 个； 方案三：采购篮球 32 个，采购足球 18 个； 方案四：采购篮球 33 个，采购足球 17 个 【点评】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组
32、和不等式组 20 （9 分）北京冬奥会、冬残奥会的成功举办推动了我国冰雪运动的跨越式发展，激发了青少年对冰雪项目的浓厚兴趣某校通过抽样调查的方法，对四个项目最感兴趣的人数进行了统计，含花样滑冰、短道速滑、自由式滑雪、单板滑雪四项（每人限选 1 项） ，制作了如图统计图（部分信息未给出） 请你根据图中提供的信息解答下列问题： （1）在这次调查中，一共调查了 100 名学生；若该校共有 2000 名学生，估计爱好花样滑冰运动的学生有 800 人； （2）补全条形统计图； （3）把短道速滑记为 A、花样滑冰记为 B、自由式滑雪记为 C、单板滑雪记为 D，学校将从这四个运动项目中抽出两项来做重点推介，
33、请用画树状图或列表的方法求出抽到项目中恰有一项为自由式滑雪 C 的概率 【分析】 （1）由爱好花样滑冰运动的 40 人，占调查人数的 40%，可求出调查人数，用爱好花样滑冰运动的学生占调查人数的 40%，可估计 2000 名学生中，爱好花样滑冰运动的学生人数； （2）求出爱好单板滑雪、爱好自由式滑雪的学生数，补全条形统计图即可； （3）列表求出 12 种等可能的结果，找出恰有一个项目是自由式滑雪记 C 的结果数，然后根据概率公式计算 【解答】解： （1）调查的学生中，爱好花样滑冰运动的学生有 40 人，占调查人数的 40%， 一共调查了 4040%100（人） ， 若该校共有 2000 名学生
34、，估计爱好花样滑冰运动的学生有 200040%800（人） ， 故答案为：100，800； （2）一共调查了 100 名学生，爱好单板滑雪的占 10%， 爱好单板滑雪的学生数为 10010%10（人） ， 爱好自由式滑雪的学生数为 10040201030（人） ， 补全条形统计图如下： （3） 从这四个运动项目中抽出两项运动的所有机会均等的结果一共有 12 种， 抽到项目中恰有一个项目是自由式滑雪记 C 的结果有： （A，C） ， （B，C） ， （D，C） （C，A） ， （C，B） ，（C，D） ，一共 6 种等可能的结果， P（抽到项目中恰有一项为自由式滑雪 C） 答：抽到项目中恰有一项
35、为自由式滑雪 C 的概率是 【点评】本题考查统计与概率问题，解题的关键是用列表法或画树状图法，不重复不遗漏的列出所有可能的结果，用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比 21 （9 分） 在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点” 例如（1，1） ， （2022，2022）都是“黎点” （1）求双曲线 y上的“黎点” ； （2）若抛物线 yax27x+c（a、c 为常数）上有且只有一个“黎点” ，当 a1 时，求 c 的取值范围 【分析】 （1）设双曲线 y上的“黎点”为（m，m） ，构建方程求解即可； （2）抛物线 yax27x+c（a、c 为常数）上有
36、且只有一个“黎点” ，推出方程 ax27x+cx 有且只有一个解，即 ax26x+c0，364ac0，可得结论 【解答】解： （1）设双曲线 y上的“黎点”为（m，m） ， 则有m， m3， 双曲线 y上的“黎点”为（3，3）或（3，3） ； （2）抛物线 yax27x+c（a、c 为常数）上有且只有一个“黎点” ， 方程 ax27x+cx 有且只有一个解， 即 ax26x+c0，364ac0， ac9， a， a1， 0c9 【点评】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题 22 （9 分）数学兴趣小组到一公园测量塔楼高度如图所示
37、，塔楼剖面和台阶的剖面在同一平面，在台阶底部点 A 处测得塔楼顶端点 E 的仰角GAE50.2， 台阶 AB 长 26 米， 台阶坡面 AB 的坡度 i5： 12，然后在点 B 处测得塔楼顶端点 E 的仰角EBF63.4，则塔顶到地面的高度 EF 约为多少米 （参考数据：tan50.21.20，tan63.42.00，sin50.20.77，sin63.40.89） 【分析】如图，延长 EF 交 AG 于点 H，则 EHAG，作 BPAG 于点 P，则四边形 BFHP 是矩形，设EFa，BFb，构建方程组求解 【解答】解：如图，延长 EF 交 AG 于点 H，则 EHAG，作 BPAG 于点
38、P，则四边形 BFHP 是矩形， FBPH，FHPB， 由 i5：12，可以假设 BP5x，AP12x， PB2+PA2AB2， （5x）2+（12x）226， x2 或2（舍去）， PBFH10，AP24， 设 EFa，BFb， tanEBF， 2， a2b， tanEAH， 1.2， 由得 a47，b23.5， 答：塔顶到地面的高度 EF 约为 47 米 【点评】 本题考查解直角三角形的应用， 解题的关键是学会添加常用辅助线， 构造直角三角形解决问题，学会利用参数，构建方程组解决问题 23 （10 分）已知一次函数 y1ax1（a 为常数）与 x 轴交于点 A，与反比例函数 y2交于 B、
39、C 两点，B 点的横坐标为2 （1）求出一次函数的解析式并在图中画出它的图象； （2）求出点 C 的坐标，并根据图象写出当 y1y2时对应自变量 x 的取值范围； （3）若点 B 与点 D 关于原点成中心对称，求出ACD 的面积 【分析】 （1）根据 B 点的横坐标为2 且在反比例函数 y2的图象上，可以求得点 B 的坐标，然后代入一次函数解析式，即可得到一次函数的解析式，再画出相应的图象即可； （2）将两个函数解析式联立方程组，即可求得点 C 的坐标，然后再观察图象，即可写出当 y1y2时对应自变量 x 的取值范围； （3）根据点 B 与点 D 关于原点成中心对称，可以写出点 D 的坐标，然
40、后点 A、D、C 的坐标，即可计算出ACD 的面积 【解答】解： （1）B 点的横坐标为2 且在反比例函数 y2的图象上， y23， 点 B 的坐标为（2，3） ， 点 B（2，3）在一次函数 y1ax1 的图象上， 3a（2）1， 解得 a1， 一次函数的解析式为 yx1， yx1， x0 时，y1；x1 时，y0； 图象过点（0，1） ， （1，0） ， 函数图象如右图所示； （2）， 解得或， 一次函数 y1ax1（a 为常数）与反比例函数 y2交于 B、C 两点，B 点的横坐标为2， 点 C 的坐标为（3，2） ， 由图象可得，当 y1y2时对应自变量 x 的取值范围是 x2 或 0
41、x3； （3）点 B（2，3）与点 D 关于原点成中心对称， 点 D（2，3） ， 作 DEx 轴交 AC 于点 E， 将 x2 代入 yx1，得 y1， SACDSADE+SDEC2， 即ACD 的面积是 2 【点评】本题考查反比例函数与一次函数的交点问题，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答 24 （10 分） 如图O 是ABC 的外接圆， 点 O 在 BC 上， BAC 的角平分线交O 于点 D， 连接 BD， CD，过点 D 作 BC 的平行线与 AC 的延长线相交于点 P （1）求证：PD 是O 的切线； （2）求证：ABDDCP； （3）若 AB6，AC8，求点 O 到
42、 AD 的距离 【分析】 （1）想办法证明 ODPD 即可； （2）根据两个角相等证明BADCDP； （3）证明四边形 ODGC 是矩形，先根据等角的三角函数可得 PG 的长，最后根据线段的和可得结论 【解答】 （1）证明：如图 1，连接 OD AD 平分BAC， BADCAD， ， BODCOD90， BCPD， ODPBOD90， ODPD， OD 是半径， PD 是O 的切线 （2）证明：BCPD， PDCBCD BCDBAD， BADPDC， ABD+ACD180，ACD+PCD180， ABDPCD， ABDDCP； （3）解：如图，过点 O 作 OEAD 于 E，连接 OD， BC
43、 是O 的直径， BACBDC90， AB6，AC8， BC10， BDCD， BDCD5， 由（2）知：ABDDCP， ，即， CP， APAC+CP8+， ADBACBP，BADDAP， BADDAP， ，即， AD2698， AD7， OEAD， DEAD， OE， 即点 O 到 AD 的距离是 【点评】本题考查了切线的判定，相似三角形的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型 25 （12 分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，其中点 A 的坐标为（1
44、，0） ，点 C 的坐标为（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）如图 1，E 为ABC 边 AB 上的一动点，F 为 BC 边上的一动点，D 点坐标为（0，2） ，求DEF周长的最小值； （3）如图 2，N 为射线 CB 上的一点，M 是抛物线上的一点，M、N 均在第一象限内，B、N 位于直线AM 的同侧，若 M 到 x 轴的距离为 d，AMN 面积为 2d，当AMN 为等腰三角形时，求点 N 的坐标 【分析】 （1）利用待定系数法把问题转化为方程组解决； （2）如图，设 D1为 D 关于直线 AB 的对称点，D2为 D 关于 ZX 直线 BC 的对称点，连接 D1E，D2F，D1D2当
45、 D1，EFD2共线时，DEF 的周长最小，最小值为 D1D2的长； （3）求出直线 AM 的解析式，利用方程组求出点 M 的坐标，过点 M 作 x 轴的平行线 l，过点 N 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 P， 交直线 l 于点 Q 分三种情形： 当 AMAN 时， 当 AMMN 时， 当 ANMN 时，分别构建方程求解 【解答】解： （1）抛物线 yx2+bx+c 经过点 A（1，0） ，点 C（0，3） ， ， 抛物线的解析式为 yx22x3； （2）如图，设 D1为 D 关于直线 AB 的对称点，D2为 D 关于 ZX 直线 BC 的对称点，连接 D1E，D2F，D1D2 由对称性可
46、知 DED1E，DFD2F，DEF 的周长D1E+EF+D2F， 当 D1，EFD2共线时，DEF 的周长最小，最小值为 D1D2的长， 令 y0，则 x22x30， 解得 x1 或 3， B（3，0）， OBOC3， BOC 是等腰直角三角形， BC 垂直平分 DD2，且 D（2，0）， D2（1，3） ， D，D1关于 x 轴的长， D1（0，2）， D1D2， DEF 的周长的最小值为 （3）M 到 x 轴距离为 d，AB4，连接 BM SABM2d， 又SAMN2d， SABMSAMN， B，N 到 AM 的距离相等， B，N 在 AM 的同侧， AMBN， 设直线 BN 的解析式为
47、ykx+m， 则有， ， 直线 BC 的解析式为 yx3， 设直线 AM 的解析式为 yx+n， A（1，0） ， 直线 AM 的解析式为 yx+1， 由，解得或， M（4，5）， 点 N 在射线 BC 上， 设 N（t，t3） ， 过点 M 作 x 轴的平行线 l，过点 N 作 y 轴的平行线交 x 轴于点 P，交直线 l 于点 Q A（1，0），M（4，5），N（t，t3）， AM5，AN，MN， AMN 是等腰三角形， 当 AMAN 时，5， 解得 t1， 当 AMMN 时，5， 解得 t6， 当 ANMN 时， 解得 t， N 在第一象限， t3， t 的值为，1+，6+， 点 N 的坐标为（，）或（1+，2+）或（6+，3+） 【点评】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，轴对称最短问题，等腰三角形的判定和性质等知识， 解题的关键是学会利用轴对称解决最短问题， 学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题
