1、7.1 条件概率与全概率公式【知识点梳理】1条件概率的概念条件概率揭示了P(A)，P(AB)，P(B|A)三者之间“知二求一”的关系一般地，设A，B为两个随机事件，且P(A)0，我们称P(B|A)为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率，简称条件概率2概率的乘法公式由条件概率的定义，对任意两个事件A与B，若P(A)0，则P(AB)P(A)P(B|A)我们称上式为概率的乘法公式3条件概率的性质设P(A)0，则(1)P(|A)1；(2)如果B与C是两个互斥事件，则P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)；(3)设和B互为对立事件，则P( )1P(B)4全概率公式在全概率的实际问题中我们经常会碰
2、到一些较为复杂的概率计算，这时，我们可以用 “化整为零”的思想将它们分解为一些较为容易的情况分别进行考虑一般地，设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，i1，2，n，则对任意的事件B，有P(B)P(Ai)P(B.我们称上面的公式为全概率公式，全概率公式是概率论中最基本的公式之一5贝叶斯公式设A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且P(Ai)0，i1，2，n，则对任意事件B，P(B)0，有P(Aii1，2，n.6在贝叶斯公式中，P(Ai)和P(Ai |B)分别称为先验概率和后验概率【典型例题】题型一利用定义求条件概率例1（2022全国高二专题练习）20
3、21年6月14日是我国的传统节日“端午节”.这天，王华的妈妈煮了五个粽子，其中两个蜜枣馅，三个豆沙馅，王华随机拿了两个粽子，若已知王华拿到的两个粽子为同一种馅，则这两个粽子都为蜜枣馅的概率为()ABCD【答案】A【解析】【分析】设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，计算(A)、的值，从而【详解】由题意，设事件为“取出两个粽子为同一种馅”，事件为“取出的两个粽子都为蜜枣馅”，则(A)，故选：A规律方法利用定义计算条件概率的步骤(1)分别计算概率P(AB)和P(A)(2)将它们相除得到条件概率P(B|A)，这个公式适用于一般情形，其中AB表示A，B同时发生例2（2
4、022湖南高二课时练习）甲、乙、丙三人到三个景点旅游，每人只去一个景点，设事件A=“三个人去的景点各不相同”，B=“甲去了第一个景点”，如果甲、乙、丙互不相识，求【答案】【解析】【分析】这是求甲去第一个景点的前提下，三个人去的景点各不相同的条件概率，求出相应基本事件的个数，即可得出结论【详解】甲去了第一个景点，则有1个景点可选，乙丙能在三个景点中选择，可能性为种，所以甲去了第一个景点的可能性为种，因为三个人去的景点不同的可能性为种，所以 .例3（2022湖南高二课时练习）根据历年气象统计资料，某地4月份的任一天吹东风的概率为，下雨的概率为，既吹东风又下雨的概率为求4月7日在吹东风的条件下下雨的
5、概率【答案】【解析】【分析】设事件表示吹东风，事件表示下雨，得到，结合，即可求解.【详解】由题意，设事件表示吹东风，事件表示下雨，则，所以在吹东风的条件下下雨的概率为.题型二条件概率的性质及应用例4（2022山东德州高二期末）已知某电器市场由甲、乙、丙三家企业占有，其中甲厂产品的市场占有率为40，乙厂产品的市场占有率为36，丙厂产品的市场占有率为24，甲、乙、丙三厂产品的合格率分别为，(1)现从三家企业的产品中各取一件抽检，求这三件产品中恰有两件合格的概率；(2)现从市场中随机购买一台该电器，则买到的是合格品的概率为多少？【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）由相互独立事件的概率可得；（2
6、）根据各产品的市场占有率和合格率，由条件概率公式计算可得.(1)记随机抽取甲乙丙三家企业的一件产品，产品合格分别为事件，则三个事件相互独立，恰有两件产品合格为事件D，则故从三家企业的产品中各取一件抽检，则这三件产品中恰有两件合格的概率是(2)记事件B为购买的电器合格，记随机买一件产品，买到的产品为甲乙丙三个品牌分别为事件，故在市场中随机购买一台电器，买到的是合格品的概率为规律方法当所求事件的概率相对较复杂时，往往把该事件分成两个(或多个)互不相容的较简单的事件之和，求出这些简单事件的概率，再利用P(BC)|A)P(B|A)P(C|A)便可求得较复杂事件的概率例5（2021全国高二课时练习）已知
7、随机事件A，B，求，.【答案】【解析】【分析】根据条件概率的计算公式及其变形求解即可【详解】由条件概率公式得：例6（2021全国高二课时练习）某工厂有两个车间生产同型号家用电器，已知第1车间生产产品的合格品率为0.85，第2车间生产产品的合格品率为0.88，两个车间生产的产品混合堆放在一个仓库里且无区分标志，假设第1，2车间生产的产品的数量之比为2：3.今有一客户从仓库中随机提一台产品，求该产品是合格品的概率.【答案】0.868【解析】【分析】利用条件概率公式，即可求解.【详解】设表示从仓库中随机提出的一台产品是合格品，表示从仓库中随机提出的一台产品是第车间生产的，则.由题意，知，由全概率公式
8、，得.题型三全概率公式例7（2022全国高二课时练习）袋中有10个大小、材质都相同的小球，其中红球3个，白球7个.每次从袋中随机摸出1个球，摸出的球不再放回.求：（）第一次摸到红球的概率；（）在第一次摸到红球的条件下，第二次也摸到红球的概率；（）第二次摸到红球的概率.【答案】（）；（）；（）.【解析】（）求出基本事件的总数和随机事件中基本事件的个数，从而可得所求的概率（）第一次摸到红球后，还余下个红球和个白球，同（）可求概率（）根据（）（）利用全概率公式可求第二次摸到红球的概率【详解】设事件：第一次摸到红球；事件：第二次摸到红球，则事件：第一次摸到白球.（）第一次从10个球中摸一个共10种不同
9、的结果，其中是红球的结果共3种，所以 . （）第一次摸到红球的条件下，剩下的9个球中有2个红球，7个白球，第二次从这9个球中摸一个共9种不同的结果，其中是红球的结果共2种.所以. （）.所以第二次摸到红球的概率.【点睛】方法点睛：利用全概率公式计算随机事件的概率时，注意把随机事件分解为两个随机事件和，再利用条件概率公式计算两者的概率即可规律方法全概率公式主要用于计算比较复杂事件的概率，它们实质上是加法公式和乘法公式的综合运用例8（2022吉林东北师大附中高二期末）现将两个班的艺术类考生报名表分别装进2个档案袋，第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，第二个档案袋内有5名男生和5名女生的报名
10、表随机选择一个档案袋，然后从中随机抽取2份报名表(1)若选择的是第一个档案袋，求从中抽到两名男生报名表的概率；(2)求抽取的报名表是一名男生一名女生的概率【答案】(1)；(2).【解析】【分析】（1）选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数，从中抽到两名男生报名表包含的基本事件个数为，由此能求出从中抽到两名男生报名表的概率；（2）设事件表示抽取到第个档案袋，设事件表示抽取的报名表是一名男生一名女生，利用全概率公式能求出抽取的报名表是一名男生一名女生的概率(1)（1）第一个档案袋内有6名男生和4名女生的报名表，选择的是第一个档案袋，从中随机抽取2份报名表，基本事件总数，从中抽到
11、两名男生报名表包含的基本事件个数为，从中抽到两名男生报名表的概率(2)设事件表示抽取到第个档案袋，设事件表示抽取的报名表是一名男生一名女生，则，抽取的报名表是一名男生一名女生的概率为：例9（2021山东德州市第一中学高二阶段练习）今年中国共产党迎来了建党100周年，为了铭记建党历史、缅怀革命先烈、增强爱国主义情怀，某区组织了党史知识竞赛活动.在最后一轮晋级比赛中，甲、乙、丙三所学校回答一道有关红色革命根据地建立时间的问题，已知甲校回答正确这道题的概率为，甲、丙两所学校都回答正确这道题的概率是，乙、丙两所学校都回答正确这道题的概率是.若各学校回答这道题是否正确是互不影响的.(1)若规定三个学校都
12、需要回答这个问题，求甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确这道题的概率；(2)若规定三所学校需要抢答这道题，已知甲校抢到答题机会的概率为，乙校抢到的概率为，丙校抢到的概率为，求这个问题回答正确的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，利用独立事件的概率公式结合题干条件列出方程，求解，再利用对立事件的概率公式，即得解；（2）利用全概率公式结合题干条件，即得解(1)记甲、乙、丙3校独自答对这道题分别为事件，分别设甲、乙、丙3校答对这道题的概率分别为，由于每人回答问题正确与否是相互独立的，因此，是相互独立事件由题意可知，解得，.所以，乙答对这道题的概
13、率为，丙答对这道题的概率为.甲、乙、丙三所学校中至少1所学校回答正确为事件，则概率为，其反面是三所学校都回答错误，即则三所学校中至少1所学校回答正确的概率为；(2)若规定三所学校需要抢答这道题，则这个问题回答正确设为事件，得到抢答机会分别是事件，则，则这个问题回答正确的概率为.题型四贝叶斯公式例10（2021辽宁高二阶段练习）2022年北京冬奥会的志愿者中，来自甲、乙、丙三所高校的人数分别为：甲高校学生志愿者7名，教职工志愿者2名；乙高校学生志愿者6名，教职工志愿者3名；丙高校学生志愿者5名，教职工志愿者4名.(1)从这三所高校的志愿者中各抽取一名，求这三名志愿者中既有学生又有教职工的概率；(
14、2)先从三所高校中任选一所，再从这所高校的志愿者中任取一名，求这名志愿者是教职工志愿者的概率.【答案】(1)(2)【解析】【分析】（1）先求出这三名志愿者全是学生和全是教职工的概率，再由对立事件的概率关系可得答案（2）设事件D为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲高校，事件为选乙高校，事件为选丙高校,由全概率公式可得答案.(1)设事件A为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是学生，则；设事件B为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者全是教职工，则；设事件C为从三所高校的志愿者中各抽取一名，这三名志愿者中既有学生又有教职工，则.(2)设事件D为这名志愿者是教职工志愿者，事件为选甲
15、高校，事件为选乙高校，事件为选丙高校.，.所以这名志愿者是教职工志愿者的概率为：规律方法此类问题在实际中更为常见，它所求的是条件概率，是已知某结果发生条件下，求各原因发生的可能性大小例11（2021全国高二课时练习）设某公路上经过的货车与客车的数量之比是1：2，货车中途停车修车的概率为0.02，客车中途停车修车的概率为0.01今有一辆汽车中途停车修理，求该车是货车的概率【答案】【解析】【分析】由全概率公式计算出停车修理的概率，再由贝叶斯公式计算出结论【详解】记事件为经过的车是货车，事件是经过车是客车，事件是停车修理，所以.例12（2021全国高二课时练习）计算机中心有三台打字机，某打字员使用各
16、台打字机打字的概率依次为0.6，0.3，0.1，打字机发生故障的概率依次为0.01，0.05，0.04.已知该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度，求该打字员使用，打字的概率分别为多少.【答案】0.24；0.6；0.16【解析】【分析】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件，“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，则根据全概率公式与贝叶斯公式求解即可【详解】设“该打字员因打字机发生故障而耽误了工作进度”为事件，“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，“该打字员用打字”为事件，则根据全概率公式有，根据贝叶斯公式，可得该打字员使用，
17、打字的概率分别为：，.题型五全概率公式与贝叶斯公式的综合应用例13（2021全国高二课时练习）在数字通讯中，信号是由数字0和1的长序列组成的，由于随机干扰，发送的信号0或1各有可能错误接收为1或0现假设发送信号为0和1的概率均为；又已知发送信号为0时，接收为0和1的概率分别为0.7和0.3，发送信号为1时，接收为1和0的概率分别为0.9和0.1求已知收到信号0时，发出的信号是0（即没有错误接收）的概率【答案】0.875【解析】【分析】设事件“发送信号为0”，事件“发送信号为1”，事件“收到信号为0”，事件“收到信号为1”，根据题意可得与构成一完备事件组，分别求出，再根据求得，再利用贝叶斯公式即
18、可求出答案.【详解】解：设事件“发送信号为0”，事件“发送信号为1”，事件“收到信号为0”，事件“收到信号为1”因为收到信号为0时，除来自发送信号为0外，还有发送信号为1时，由于干扰接收的信号0，因此导致事件发生的原因有事件与，且它们互不相容，故与构成一完备事件组由题意有，故由贝叶斯公式得收到信号0时，发出的信号是0的概率为规律方法P(Ai)(i1，2，n)是在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下，人们对诸事件发生可能性大小的认识，当有了新的信息(知道B发生)，人们对诸事件发生可能性大小P(Ai|B)有了新的估计，贝叶斯公式从数量上刻画了这种变化例14（2021全国高二课时练习）设甲
19、、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为，现从这三个地区任抽取一个人，假设每个人来自三个地区的可能性相同（1）求此人感染此病的概率；（2）若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）应用全概率公式，求所抽取的人感染此病的概率即可；（2）利用贝叶斯概率公式可得，即可求概率.【详解】（1）由题意，所抽取的人感染此病的概率.（2）若分别表示来自甲、乙、丙的事件，表示感染此病的事件，此人感染此病且来自乙地区的概率.例15（2021全国高二课时练习）设某工厂有甲、乙、丙三个车间，它们生产同一种工件，每个车间的产量占该厂总产量的百分比依次为25
20、%，35%，40%，它们的次品率依次为5%，4%，2%现从这批工件中任取一件(1)求取到次品的概率；(2)已知取到的是次品，求它是甲车间生产的概率（精确到0.01）【答案】(1)0.0345；(2)0.36.【解析】【分析】（1）根据题意，结合全概率公式，即可求解；（2）根据题意，结合条件概率计算公式，即可求解.(1)设事件，分别表示取出的工件是甲、乙、丙车间生产的，A表示“取到的是次品.易知，两两互斥，根据全概率公式，可得故取到次品的概率为0.0345(2)故已知取到的是次品，它是甲车间生产的概率为0.36例16（2021江苏高二课时练习）在数字通信中心信号是由数字0和1组成的序列由于随机因
21、素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05假设发送信号0和1是等可能的(1)分别求接收的信号为0和1的概率；(2)已知接收的信号为0，求发送的信号是1的概率【答案】(1)0.475，0.525(2)【解析】【分析】（1）由全概率公式和对立事件概率公式计算（2）由条件概率公式计算(1)设“发送的信号为0”，“接收到的信号为0”，则“发送的信号为1”，“接收到的信号为1”由题意得，；(2)例17（2022全国高二课时练习）假设某种细胞分裂（每次分裂都是一个分裂成两个）和死亡的
22、概率相同如果一个种群从这样一个细胞开始变化，那么这个种群最终灭绝的概率是多少？【答案】【解析】【分析】求出不分裂就灭绝，分裂1次，2次和3次灭绝的概率，4次以上，概率很小忽略不计，把不分裂和分裂前3次加起来作为这个种群最终灭绝的概率，需要用到条件概率【详解】由题意得：该细胞分裂和死亡的概率均为，设这个种群最终灭绝是事件A，其中没有分裂就灭绝为事件，分裂一次后灭绝为事件，分裂两次后灭绝为事件，分裂三次后灭绝为事件，其中， 若分裂n次后种群最终灭绝，则故当时，随着的增大，变得特别小，可忽略不计，故【同步练习】一、单选题1（2022山东济宁一模）甲乙两个箱子里各装有5个大小形状都相同的球，其中甲箱中
23、有3个红球和2个白球，乙箱中有2个红球和3个白球.先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球的概率为（）ABCD【答案】B【解析】【分析】根据全概率公式进行求解即可.【详解】设事件表示从甲箱中随机取出一红球放入乙箱中，事件表示从甲箱中随机取出一白球放入乙箱中，设事件表示：从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球，则取出的球是红球，则有：，所以，故选：B2（2022山东菏泽一模）第24届冬奥会奥运村有智能餐厅A、人工餐厅B，运动员甲第一天随机地选择一餐厅用餐，如果第一天去A餐厅，那么第二天去A餐厅的概率为0.7；如果第一天去B餐厅，那么第二天去A餐厅
24、的概率为0.8运动员甲第二天去A餐厅用餐的概率为（）A0.75B0.7C0.56D0.38【答案】A【解析】【分析】第2天去哪家餐厅用餐的概率受第1天在哪家餐厅用餐的影响，可根据第1天可能去的餐厅，将样本空间表示为“第1天去A餐厅”和“第1天去B餐厅”两个互斥事件的并，利用全概率公式求解.【详解】设“第1天去A餐厅用餐”，“第1天去B餐厅用餐”，“第2天去A餐厅用餐”，则，且与互斥，根据题意得：，则.故选：A.3（2022全国高二单元测试）太行山脉有很多优美的旅游景点.现有甲乙两位游客慕名来到太行山脉，都准备从CDEF，4个著名旅游景点中随机选择一个游玩.设事件A为“甲和乙至少一人选择C”，事
25、件B为“甲和乙选择的景点不同”，则条件概率（）ABCD【答案】D【解析】【分析】由独立乘法公式、互斥事件加法公式求、，再利用条件概率公式求即可.【详解】由题设，甲乙选景点C的概率为，选其它景点的概率为，则，所以.故选：D4（2022江苏高邮高三开学考试）某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），则在男生甲被选中的情况下，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是（）ABCD【答案】C【解析】【分析】基本事件总数，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数，由此能求出男生乙和女生丙至少一个被选中的概率【详解】某校高三年级要从5名男生和2名女生中任选3名代
26、表参加数学竞赛（每人被选中的机会均等），在男生甲被选中的情况下，基本事件总数，男生乙和女生丙至少一个被选中包含的基本事件个数：，男生乙和女生丙至少一个被选中的概率是故选：C.5（2022广东深圳一模）假定生男孩和生女孩是等可能的，现考虑有3个小孩的家庭，随机选择一个家庭，则下列说法正确的是（）A事件“该家庭3个小孩中至少有1个女孩”和事件“该家庭3个小孩中至少有1个男孩”是互斥事件B事件“该家庭3个孩子都是男孩”和事件“该家庭3个孩子都是女孩”是对立事件C该家庭3个小孩中只有1个男孩的概率为D当已知该家庭3个小孩中有男孩的条件下，3个小孩中至少有2个男孩的概率为【答案】D【解析】【分析】根据互
27、斥事件和对立事件的概念判断A、B；利用列举法求出只有一个男孩的概率，即可判断C；利用条件概率的求法计算，即可判断D.【详解】A：假设事件A：该家庭3个小孩至少有1个女孩，则包含(女，男，男)的可能，事件B：该家庭3个小孩至少有一个男孩，则包含(女，女，男)的可能，所以，故A错误；B：事件“3个孩子都是男孩”与事件“3个孩子都是女孩”不可能同时发生，是互斥但不对立事件，故B错误；C：3个小孩可能发生的事件如下：男男男、男男女、男女女、男女男、女女女、女女男、女男女、女男男共8种，其中只有一个男孩的概率为：，故C错误；D：设M=至少一个有男孩，N=至少有2个男孩，由选项C可知，所以，故D正确.故选
28、：D6（2022全国模拟预测）从3个“0”和3个“1”中任选3个组成三位数组，若用A表示“第二位数字为0的事件”，用B表示“第一位数字为0的事件”，则等于（）.ABCD【答案】C【解析】【分析】由条件概率的计算公式即可求解.【详解】解：由“0”“1”组成的三位数组共有（个），第一位数字为“0”的三位数组有（个），则，第一位和第二位数字均为“0”的三位数组有2个，则，所以.故选：C.7（2022安徽亳州高二期末）某种疾病的患病率为0.5%，通过验血诊断该病的误诊率为2%，即非患者中有2%的人验血结果为阳性，患者中有2%的人验血结果为阴性，随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为（）A0.
29、0689B0.049C0.0248D0.02【答案】C【解析】【分析】根据全概率公式即可求出【详解】随机抽取一人进行验血，则其验血结果为阳性的概率为0.0248故选：C8（2022全国高二）深受广大球迷喜爱的某支足球队在对球员的使用上总是进行数据分析，根据以往的数据统计，乙球员能够胜任前锋、中锋、后卫以及守门员四个位置，且出场率分别为0.2，0.5，0.2，0.1，当乙球员担当前锋、中锋、后卫以及守门员时，球队输球的概率依次为0.4，0.2，0.6，0.2当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为（）A0.3B0.32C0.68D0.7【答案】C【解析】【分析】利用全概率公式可求球队某场
30、比赛不输球的概率.【详解】设表示“乙球员担当前锋”，表示“乙球员担当中锋”，表示“乙球员担当后卫”，表示“乙球员担当守门员”，B表示“当乙球员参加比赛时，球队输球”则，所以当乙球员参加比赛时，该球队某场比赛不输球的概率为故选：C二、多选题9（2022全国模拟预测）有两个箱子，第1个箱子有3个白球，2个红球，第2个箱子有4个白球，4个红球，现从第1个箱子中随机地取1个球放到第2个箱子里，再从第2个箱子中随机取1个球放到第1个箱子里，则下列判断正确的是（）A从第2个箱子里取出的球是白球的概率为B从第2个箱子里取出的球是红球的概率为C从第2个箱子里取出的球是白球前提下，则再从第1个箱子里取出的是白球
31、的概率为D两次取出的球颜色不同的概率为【答案】ABC【解析】【分析】对于ABD，根据互斥事件和独立事件的概率公式求解，对于C，根据条件概率的公式求解即可【详解】从第2个箱子里取出的球是白球的概率为，故选项A正确；从第2个箱子里取出的球是红球的概率为，故选项B正确；设从第2个箱子取出的球是白球为事件，再从第1个箱子取出的球是白球为事件，则，故选项C正确；两次取出的球颜色不同的概率为，故选项D错误，故选：ABC.10（2022山东青岛二中高三开学考试）从有大小和质地相同的3个红球和2个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回，则（）A第一次摸到红球的概率为B第二次摸到红球的概率为C在第一
32、次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球的概率为D在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球的概率为【答案】AB【解析】【分析】根据对古典概型的理解直接计算，即可判断A；根据独立重复试验的概率公式直接计算，即可判断B；根据对条件概率的理解，即可判断C、D.【详解】第一次摸到红球的概率为，则A正确；第二次摸到红球的概率为，则B正确；在第一次摸到蓝球的条件下，第二次摸到红球，相当于从4个球中摸出1个红球，其概率为，则C错误；在前两次都摸到蓝球的条件下，第三次摸到红球相当于从3个球中摸出1个红球，其概率为1，则D错误故选：AB11（2022浙江镇海中学高二期末）箱子中有6个大小、材质都相同的小球，其中4个
33、红球，2个白球每次从箱子中随机的摸出一个球，摸出的球不放回设事件A表示“第1次摸球，摸到红球”，事件B表示“第2次摸球，摸到红球”则下列结论正确的是（）ABCD【答案】AD【解析】【分析】利用条件概率及全概率公式进行求解.【详解】，A正确；PBA=PABPA=463546=35，由全概率公式可知：所以BC错误，D正确.故选：AD12（2021全国高二课时练习）某人忘记了电话号码的最后一位数字，因而他随意地拨号，则下列说法正确的是（）A第一次就接通电话的概率是B若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是C拨号不超过三次接通电话的概率是D若已知最后一位数字是奇数，则拨号不超过三次接通电话
34、的概率是【答案】ACD【解析】【分析】根据题意，结合古典概率与条件概率，以及互斥事件概率的“加法”与“乘法”计算公式，一一判断即可.【详解】设表示“第i次接通电话”，2，3，10；表示“拨号不超过3次接通电话”由题意，知，选项A正确；若已知最后一位数字是奇数，则第一次就接通电话的概率是，选项B错误；事件，则，选项C正确；若已知最后一位数字是奇数，则，选项D正确故选：ACD三、填空题13（2022重庆八中高三阶段练习）袋中装有编号为的个球，先从袋中一次性任取两个球，在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为_.【答案】#【解析】【分析】根据条件概率公式计算可得结果.【详解】记事件为
35、“取出的两个球编号之和为偶数”，事件为“号球被取出”，则，即在取出的两个球编号之和为偶数的条件下，号球被取出的概率为.故答案为：.14（2022全国模拟预测）已知袋子内有7个球，其中4个红球，3个白球，从中不放回地依次抽取2个球，那么在已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是_.【答案】#【解析】【分析】记“第一次抽到红球”为事件，记“第二次抽到红球”为事件,分别求出和的概率，利用条件概率的公式即可求解.【详解】记“第一次抽到红球”为事件，记“第二次抽到红球”为事件,已知第一次抽到红球的条件下，第二次也抽到红球的概率是.故答案为：.15（2022辽宁瓦房店市高级中学高二期末）已知春
36、季里，甲地每天下雨的概率为，乙地每天下雨的概率大于0，且甲乙两地下雨相互独立，则春季的一天里，已知乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为_.【答案】#0.5【解析】【分析】根据条件概率求概率的方法即可求得答案.【详解】设A表示“甲地每天下雨”，B表示“乙地每天下雨”，乙地每天下雨的概率为p(0p1)，则，因为甲乙两地下雨相互独立，所以，于是在乙地下雨的条件下，甲地也下雨的概率为.故答案为：.16（2022浙江镇海中学高二期末）已知某次数学期末试卷中有8道4选1的单选题，学生小王能完整做对其中5道题，在剩下的3道题中，有2道题有思路，还有1道完全没有思路，有思路的题做对的概率为，没有思路的题只好从
37、4个选项中随机选一个答案小王从这8题中任选1题，则他做对的概率为_【答案】#0.84375【解析】【分析】合理设出事件，利用全概率公式进行求解.【详解】设小王从这8题中任选1题，且作对为事件A，选到能完整做对的5道题为事件B，选到有思路的两道题为事件C，选到完全没有思路为事件D，则，由全概率公式可得：PA=PBPAB+PCPAC+PDPAD=581+1434+1814=2732故答案为：四、解答题17（2022湖南高二课时练习）抛掷红、蓝两颗骰子，记事件A为“蓝色骰子的点数为4或6”，事件B为“两颗骰子的点数之和大于8”，求：(1)事件A发生的条件下事件B发生的概率；(2)事件B发生的条件下事
38、件A发生的概率【答案】(1)(2)【解析】【分析】先求出所有可能的事件的总数，及事件，事件，事件包含的基本事件个数，代入条件概率计算公式，可得答案(1)解：抛掷红、蓝两颗骰子，事件总数为，事件的基本事件数为，（A），由于，所以事件的基本事件数为，（B），事件同时发生的概率为，由条件概率公式，得；(2)解：由（1）得18（2022湖南高二课时练习）集合A1，2，3，4，5，6，甲、乙两人各从A中任取一个数，若甲先取(不放回)，乙后取，在甲抽到奇数的条件下，求乙抽到的数比甲抽到的数大的概率【答案】【解析】【分析】列举出甲抽到奇数所有的可能情况，再计算出其中乙抽到的数比甲抽到的数大的可能的情况，根据
39、概率的计算公式即可求得答案.【详解】将甲抽到数字a，乙抽到数字b，记作(a，b)，甲抽到奇数的情形有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，1)，(3，2)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，1)，(5，2)，(5，3)，(5，4)，(5，6)，共15个在这15个情形中，乙抽到的数比甲抽到的数大的有(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(1，6)，(3，4)，(3，5)，(3，6)，(5，6)，共9个，所以所求概率.19（2021全国高二课时练习）已知,求.【答案】， .【解析】【分析】根据条件概率公式以及对立事件概率关系转化条件，求出结果.【详解】
40、因为，所以，因为，所以，因此，,从而.【点睛】本题考查条件概率公式以及对立事件概率关系，考查基本分析求解能力，属中档题.20（2022全国模拟预测）小张从家到公司上班总共有三条路可以直达（如图），但是每条路每天拥堵的可能性不太一样，由于路的远近不同，选择每条路的概率如下：，.每天上述三条路不拥堵的概率分别为：，.假设遇到拥堵会迟到，求：(1)小张从家到公司不迟到的概率是多少？(2)小张到达公司未迟到，选择第1条路的概率是多少？【答案】(1)0.36；(2).【解析】【分析】(1)将不迟到的事件C分拆成三个互斥事件的和，再求出每个事件的概率即可求解作答.(2)利用(1)的结论利用条件概率公式计算
41、作答.(1)不迟到就是对应着不拥堵，设事件C为到公司不迟到，它是分别选择、不迟到的三个互斥事件的和，因此，所以小张从家到公司不迟到的概率为0.36.(2)由(1)知，小张到达公司未迟到的概率，所以小张到达公司未迟到，选择第1条路的概率约为.21（2021全国高二课时练习）有三个罐子，1号罐子中装有2个红球、1个黑球，2号罐子中装有3个红球、1个黑球，3号罐子中装有2个红球、2个黑球现从中随机取一个罐子，再在该罐子中随机取出一个球，求取得的球是红球的概率【答案】【解析】【分析】根据全概率公式计算【详解】记事件为取到第号罐子，事件为取出红球所以22（2022山东潍坊高二期末）如图，有三个外形相同的
42、箱子，分别编号为1，2，3，其中1号箱装有1个黑球和3个白球，2号箱装有2个黑球和2个白球，3号箱装有3个黑球，这些球除颜色外完全相同小明先从三个箱子中任取一箱，再从取出的箱中任意摸出一球，记事件表示“球取自第i号箱”，事件B表示“取得黑球”(1)分别求，和的值；(2)若小明取出的球是黑球，判断该黑球来自几号箱的概率最大？请说明理由【答案】(1)，.(2)来自3号箱的概率最大,理由见解析.【解析】【分析】（1）利用条件概率公式,计算即可求得，；三式求和即得；（2）利用条件概率公式分别计算，最大者即为所求箱号.(1)由已知可得,，.(2)，最大，即若小明取出的球是黑球，该黑球来自3号箱的概率最大.学科网（北京）股份有限公司
