1、7 7. .1.21.2 全概率公式全概率公式 学习目标 1.结合古典概型， 会利用全概率公式计算概率.2.了解贝叶斯公式(不作考试要求) 知识点一 全概率公式 一般地， 设 A1， A2， ， An是一组两两互斥的事件， A1A2An， 且 P(Ai)0， i1,2， ， n，则对任意的事件 B，有 P(B) i1 n P(Ai)P(B|Ai)，我们称该公式为全概率公式 *知识点二 贝叶斯公式 设 A1，A2，An是一组两两互斥的事件，A1A2An，且 P(Ai)0，i1,2，n， 则对任意的事件 B，P(B)0，有 P(Ai|B)PAiPB|Ai PB PAiPB|Ai k1 n PAkP
2、B|Ak ，i1,2，n. 1若 P(A)0，P( A )0，则 P(B)P(A)P(B|A)P( A )P(B| A )( ) 2若 A1，A2，A3互斥且 P(A1)0，P(A2)0，P(A3)0，则 P(B) i1 3 P(Ai)P(B|Ai)( ) 一、两个事件的全概率问题 例 1 某次社会实践活动中，甲、乙两个班的同学共同在一个社区进行民意调查参加活动 的甲、乙两班的人数之比为 53，其中甲班中女生占3 5，乙班中女生占 1 3.求该社区居民遇到一 位进行民意调查的同学恰好是女生的概率 解 如果用 A1，A2分别表示居民所遇到的一位同学是甲班的与乙班的事件，B 表示是女生的 事件，则
3、 A1A2，且 A1，A2互斥，B， 由题意可知，P(A1)5 8，P(A2) 3 8， 且 P(B|A1)3 5，P(B|A2) 1 3. 由全概率公式可知 P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2) P(B|A2)5 8 3 5 3 8 1 3 1 2. 反思感悟 两个事件的全概率问题求解策略 (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的两部分如 A1，A2(或 A 与 A ) (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率 (3)求和：所求事件的概率 P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2) 跟踪训练 1 某商店收进甲厂生产的产品 30 箱， 乙厂生产的同种产品 20 箱， 甲厂每箱装
4、 100 个，废品率为 0.06，乙厂每箱装 120 个，废品率为 0.05，求： (1)任取一箱，从中任取一个为废品的概率； (2)若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率 解 记事件 A，B 分别为甲、乙两厂的产品，事件 C 为废品，则 AB，且 A，B 互斥， (1)由题意，得 P(A)30 50 3 5，P(B) 20 50 2 5， P(C|A)0.06，P(C|B)0.05， 由全概率公式，得 P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B) 7 125. (2)P(A) 30100 3010020120 5 9， P(B) 20120 3010020120 4 9， P(C|
5、A)0.06，P(C|B)0.05， 由全概率公式，得 P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)5 9 6 100 4 9 5 100 1 18. 二、多个事件的全概率问题 例 2 假设某市场供应的智能手机中，市场占有率和优质率的信息如下表所示： 品牌 甲 乙 其他 市场占有率 50% 30% 20% 优质率 95% 90% 70% 在该市场中任意买一部智能手机，求买到的是优质品的概率 解 用 A1，A2，A3分别表示买到的智能手机为甲品牌、乙品牌、其他品牌的事件，B 表示买 到的是优质品的事件，则 A1A2A3，且 A1，A2，A3两两互斥，依据已知可得 P(A1) 50%，P(A2
6、)30%，P(A3)20%，且 P(B|A1)95%，P(B|A2)90%，P(B|A3)70%，因此， 由全概率公式有 P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2) P(B|A2)P(A3)P(B|A3)50%95%30%90% 20%70%88.5%. 反思感悟 “化整为零”求多事件的全概率问题 (1)如图，P(B) i1 3 P(Ai)P(B|Ai) (2)已知事件 B 的发生有各种可能的情形 Ai(i1,2，n)，事件 B 发生的可能性，就是各种 可能情形 Ai发生的可能性与已知在 Ai发生的条件下事件 B 发生的可能性的乘积之和 跟踪训练 2 甲箱的产品中有 5 个正品和 3 个次品，
7、乙箱的产品中有 4 个正品和 3 个次品 (1)从甲箱中任取 2 个产品，求这 2 个产品都是次品的概率； (2)若从甲箱中任取 2 个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品 是正品的概率 解 (1)从甲箱中任取 2 个产品的事件数为 C2887 2 28， 这 2 个产品都是次品的事件数为 C233， 这 2 个产品都是次品的概率为 3 28. (2)设事件 A 为“从乙箱中取出的一个产品是正品”，事件 B1为“从甲箱中取出 2 个产品都 是正品”，事件 B2为“从甲箱中取出 1 个正品 1 个次品”，事件 B3为“从甲箱中取出 2 个 产品都是次品”，则事件 B1、事
8、件 B2、事件 B3彼此互斥 P(B1)C 2 5 C28 5 14，P(B2) C15C13 C28 15 28，P(B3) C23 C28 3 28， P(A|B1)2 3，P(A|B2) 5 9，P(A|B3) 4 9， P(A)P(B1)P(A|B1)P(B2)P(A|B2)P(B3) P(A|B3) 5 14 2 3 15 28 5 9 3 28 4 9 7 12. 三、条件概率在生产生活中的应用 例 3 设某批产品中，甲、乙、丙三厂生产的产品分别占 45%,35%,20%，各厂的产品的次品 率分别为 4%,2%,5%，现从中任取一件 (1)求取到的是次品的概率； (2)经检验发现取
9、到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率 解 记事件 A1“该产品为甲厂生产的”，事件 A2“该产品为乙厂生产的”，事件 A3 “该产品为丙厂生产的”，事件 B“该产品是次品”则 A1A2A3，且 A1，A2，A3 两两互斥，由题设，知 P(A1)45%，P(A2)35%，P(A3)20%，P(B|A1)4%，P(B|A2)2%，P(B|A3)5%. (1)由全概率公式得 P(B) i1 3 P(Ai)P(B|Ai)3.5%. (2)由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得 P(A1|B)PA1B PB PA1PB|A1 PB 18 35. 反思感悟 条件概率的内含 (1)公式 P(A1|B)PA1
10、B PB PA1PB|A1 PB 反映了 P(A1B)，P(A1)，P(B)，P(A1|B)，P(B|A1)之间的 互化关系 (2)P(A1)称为先验概率，P(A1|B)称为后验概率，其反映了事情 A1发生的可能在各种可能原因 中的比重 跟踪训练 3 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应由长期的经验知，三家的正品率分别为 0.95,0.90,0.80，三家产品数所占比例为 235，混合在一起 (1)从中任取一件，求此产品为正品的概率； (2)现取到一件产品为正品，问它是由甲、乙、丙三个厂中哪个厂生产的可能性大？ 解 设事件 A 表示取到的产品为正品，B1，B2，B3分别表示产品由甲、乙、丙厂生产则
11、 B1B2B3，且 B1，B2，B3两两互斥， 由已知 P(B1)0.2，P(B2)0.3，P(B3)0.5， P(A|B1)0.95，P(A|B2)0.9，P(A|B3)0.8. (1)由全概率公式得 P(A) i1 3 P(Bi)P(A|Bi)0.20.950.30.90.50.80.86. (2)由贝叶斯公式得 P(B1|A)PB1PA|B1 PA 0.20.95 0.86 19 86， P(B2|A)PB2PA|B2 PA 0.30.9 0.86 27 86， P(B3|A)PB3PA|B3 PA 0.50.8 0.86 40 86. 由以上 3 个数作比较，可知这件产品由丙厂生产的可
12、能性最大，由甲厂生产的可能性最小 1一袋中装有 10 个球，其中 3 个黑球、7 个白球，从中先后随意各取一球(不放回)，则第二 次取到的是黑球的概率为( ) A.2 9 B. 3 9 C. 3 10 D. 7 10 答案 C 解析 记事件 A，B 分别表示第一、二次取到的是黑球，则 P(B)P(AB)P( A B) P(A)P(B|A)P( A )P(B| A )， 由题设易知 P(A) 3 10，P( A ) 7 10， P(B|A)2 9，P(B| A ) 3 9， 于是 P(B) 3 10 2 9 7 10 3 9 3 10. 2 两台车床加工同样的零件， 第一台出现废品的概率为 0.
13、03， 第二台出现废品的概率为 0.02， 加工出来的零件放在一起，现已知第一台加工的零件比第二台加工的零件多一倍，则任意取 出一个零件是合格品的概率是( ) A. 2 75 B. 7 300 C. 73 75 D. 973 1 000 答案 C 解析 设 Ai“任意取出一个零件是第 i 台机床生产的”，i1,2，B“任意取出一个零件 是合格品”则 A1A2，且 A1，A2互斥， P(B) i1 2 P(Ai)P(B|Ai)2 3(10.03) 1 3(10.02) 292 300 73 75. 3有一批同一型号的产品，已知其中由一厂生产的占 30%，二厂生产的占 50%，三厂生产 的占 20
14、%.又知这三个厂的产品次品率分别为 2%,1%,1%，则从这批产品中任取一件是次品的 概率是( ) A0.013 B0.04 C0.002 D0.003 答案 A 解析 设事件 A 为“任取一件为次品”，事件 Bi为“任取一件为 i 厂的产品”，i1,2,3，则 B1B2B3，且 B1，B2，B3两两互斥，易知 P(B1)0.3，P(B2)0.5，P(B3)0.2，P(A|B1) 0.02，P(A|B2)0.01， P(A|B3)0.01. P(A)P(A|B1)P(B1)P(A|B2)P(B2)P(A|B3) P(B3)0.020.30.010.50.010.2 0.013. 4 甲袋中有
15、3 个白球 2 个黑球， 乙袋中有 4 个白球 4 个黑球， 今从甲袋中任取 2 球放入乙袋， 再从乙袋中任取一球，则该球是白球的概率为_ 答案 13 25 解析 设 A“从乙袋中取出的是白球”，Bi“从甲袋中取出的两球恰有 i 个白球”，i 0,1,2.由全概率公式 P(A)P(B0)P(A|B0)P(B1)P(A|B1)P(B2) P(A|B2)C 2 2 C25 4 10 C13C12 C25 1 2 C23 C25 6 10 13 25. 5一项血液化验用来鉴别是否患有某种疾病，在患有此种疾病的人群中通过化验有 95%的 人呈阳性反应，而健康的人通过化验也会有 1%的人呈阳性反应，某地区此种病患者占人口 数的 0.5%，则： (1)某人化验结果为阳性的概率为_； (2)若此人化验结果为阳性，则此人确实患有此病的概率为_ 答案 (1)1.47% (2) 95 294 解析 A“呈阳性反应”，B“患有此种病” (1)P(A)0.5%95%99.5%1%1.47%. (2)P(B|A)PAB PA 0.5%95% 1.47% 95 294. 1知识清单： (1)全概率公式 (2)贝叶斯公式 2方法归纳：化整为零、转化化归 3常见误区：事件拆分不合理或不全面
