1、7.1.2 全概率公式全概率公式 1有朋自远方来，乘火车、船、汽车、飞机来的概率分别为 0.3，0.2,0.1,0.4，迟到的概率分 别为 0.25,0.3,0.1,0，则他迟到的概率为( ) A0.85 B0.65 C0.145 D0.075 答案 C 解析 设 A1“他乘火车来”，A2“他乘船来”，A3“他乘汽车来”，A4“他乘飞机 来”，B“他迟到”则 A1A2A3A4，且 A1，A2，A3，A4两两互斥，由全概率公 式得 P(B) i1 4 P(Ai) P(B|Ai)0.30.250.20.30.10.10.400.145. 2播种用的一等小麦种子中混有 2%的二等种子，1.5%的三等
2、种子，1%的四等种子用一、 二、三、四等种子长出的穗含 50 颗以上麦粒的概率分别为 0.5,0.15,0.1,0.05，则这批种子所结 的穗含 50 颗以上麦粒的概率为( ) A0.8 B0.532 C0.482 5 D0.312 5 答案 C 解析 设从这批种子中任选一颗是一、二、三、四等种子的事件是 A1，A2，A3，A4，则 A1A2A3A4，且 A1，A2，A3，A4两两互斥，设 B“从这批种子中任选一颗，所结的穗 含 50 颗以上麦粒”，则 P(B) i1 4 P(Ai) P(B|Ai)95.5%0.52%0.151.5%0.1 1%0.050.482 5. 3已知 5%的男人和
3、0.25%的女人患色盲，假如男人、女人各占一半，现随机选一人，则此 人恰是色盲的概率是( ) A0.012 45 B0.057 86 C0.026 25 D0.028 65 答案 C 解析 用事件 A，B 分别表示随机选一人是男人或女人，用事件 C 表示此人恰好患色盲，则 AB，且 A，B 互斥，P(C)P(A)P(C|A)P(B)P(C|B)1 25% 1 20.25%0.026 25. 4设有来自三个地区的各 10 名，15 名和 25 名考生的报名表，其中女生报名表分别为 3 份、 7 份和 5 份，随机地取一个地区的报名表，从中先后取出两份，则先取到的一份为女生表的 概率为( ) A.
4、 3 10 B. 21 100 C. 7 30 D. 29 90 答案 D 解析 设 A“先取到的是女生表”，Bi“取到第 i 个地区的表”，i1,2,3， P(A) i1 3 P(Bi)P(A|Bi) 1 3 3 10 1 3 7 15 1 3 5 25 29 90. 5把外形相同的球分装在三个盒子中，每盒 10 个其中，第一个盒子中有 7 个球标有字母 A,3 个球标有字母 B；第二个盒子中有红球和白球各 5 个；第三个盒子中有红球 8 个，白球 2 个试验按如下规则进行：先在第一个盒子中任取一个球，若取得标有字母 A 的球，则在第 二个盒子中任取一个球；若第一次取得标有字母 B 的球，则
5、在第三个盒子中任取一个球如 果第二次取出的是红球，则称试验成功，则试验成功的概率为( ) A0.59 B0.41 C0.48 D0.64 答案 A 解析 设 A“从第一个盒子中取得标有字母 A 的球”， B“从第一个盒子中取得标有字母 B 的球”， R“第二次取出的球是红球”， 则容易求得 P(A) 7 10，P(B) 3 10，P(R|A) 1 2， P(R|B)4 5， P(R)P(R|A)P(A)P(R|B)P(B) 1 2 7 10 4 5 3 100.59. 6袋中装有编号为 1,2，N 的 N 个球，先从袋中任取一球，如该球不是 1 号球就放回袋 中，是 1 号球就不放回，然后再摸
6、一次，则取到 2 号球的概率为_ 答案 N2N1 N2N1 解析 设 A“第一次取到 1 号球”，则 A “第一次取到的是非 1 号球”；B“最后取 到的是 2 号球”，显然 P(A)1 N，P( A ) N1 N ，且 P(B|A) 1 N1，P(B| A ) 1 N， P(B)P(B|A)P(A)P(B| A )P( A ) 1 N1 1 N 1 N N1 N N 2N1 N2N1 . 7 人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化， 往往会去分析影响股票价格的基本因素， 比如利率的变化现假设人们经分析估计利率下调的概率为 60%，利率不变的概率为 40%. 根据经验，人们估计，在利率下调
7、的情况下，该支股票价格上涨的概率为 80%，而在利率不 变的情况下，其价格上涨的概率为 40%，则该支股票将上涨的概率为_ 答案 64% 解析 记 A 为事件“利率下调”， 那么 A 即为“利率不变”， 记 B 为事件“股票价格上涨” 依题设知 P(A)60%，P( A )40%，P(B|A)80%，P(B| A )40%， 于是 P(B)P(AB)P( A B)P(A)P(B|A)P( A )P(B| A )60%80%40%40%64%. 8设盒中装有 5 只灯泡，其中 3 只是好的，2 只是坏的，现从盒中随机地摸出两只，并换进 2 只好的之后，再从盒中摸出 2 只，则第二次摸出的 2 只
8、全是好的概率为_ 答案 0.55 解析 Ai“第一次摸出 i 只好的”(i0,1,2)，A“第二次摸出的 2 只全是好的”，则 A AA2AA1AA0， P(A0)C 2 2 C25 1 10，P(A|A0)1，P(A1) C13C12 C25 3 5， P(A|A1)C 2 4 C25 3 5，P(A2) C23 C25 3 10，P(A|A2) C23 C25 3 10， 第二次摸出的 2 只全是好的的概率为 P(A)P(A2) P(A|A2)P(A1)P(A|A1)P(A0)P(A|A0) 3 10 3 10 3 5 3 5 1 100.55. 91 号箱中有 2 个白球和 4 个红球，
9、2 号箱中有 5 个白球和 3 个红球，现随机地从 1 号箱中 取出一球放入 2 号箱，然后从 2 号箱随机取出一球，问： (1)从 1 号箱中取出的是红球的条件下，从 2 号箱取出红球的概率是多少？ (2)从 2 号箱取出红球的概率是多少？ 解 记事件A“最后从2号箱中取出的是红球”； 事件B“从1号箱中取出的是红球” 则 事件 B “从 1 号箱中取出的是白球” P(B) 4 24 2 3，P( B )1P(B) 1 3. (1)P(A|B)31 81 4 9. (2)P(A| B ) 3 81 1 3， P(A)P(AB)P(A B )P(A|B)P(B)P(A| B ) P( B )4
10、 9 2 3 1 3 1 3 11 27. 10设甲、乙、丙三个地区爆发了某种流行病，三个地区感染此病的比例分别为1 7， 1 5， 1 4.现 从这三个地区任选一个地区抽取一个人 (1)求此人感染此病的概率； (2)若此人感染此病，求此人来自乙地区的概率 解 设 Ai“此人来自第i 个地区”， i1,2,3(分别对应甲、 乙、 丙三个地区)， B“感染此病”， 则 A1A2A3，且 A1，A2，A3两两互斥， P(A1)1 3，P(A2) 1 3，P(A3) 1 3， P(B|A1)1 7，P(B|A2) 1 5，P(B|A3) 1 4. 由全概率公式得 (1)P(B) i1 3 P(Ai)
11、P(B|Ai) 83 420. (2)P(A2|B) PA2PB|A2 i1 3 PAiPB|Ai 28 83. 11设袋中有 12 个球，9 个新球，3 个旧球，第一次比赛取 3 球，比赛后放回，第二次比赛 再任取 3 球，则第二次比赛取得 3 个新球的概率为( ) A. 441 3 025 B. 193 220 C. 1 11 D. 7 60 答案 A 解析 设 Ai“第一次比赛恰取出 i 个新球(i0,1,2,3)”， B“第二次比赛取得 3 个新球”， P(B) i0 3 P(Ai)P(B|Ai) C33C39 C312C312 C19C23C38 C312C312 C 2 9C 1
12、3C 3 7 C312C312 C39C36 C312C312 441 3 025. 12某卡车为乡村小学运送书籍，共装有 10 个纸箱，其中 5 箱英语书、2 箱数学书、3 箱语 文书到目的地时发现丢失一箱，但不知丢失哪一箱，现从剩下的 9 箱中任意打开两箱，结 果都是英语书的概率为( ) A. 5 18 B. 5 9 C. 2 9 D. 13 18 答案 C 解析 用 A 表示丢失一箱后任取两箱是英语书，用 Bk表示丢失的一箱为第 k 箱，k1,2,3 分 别表示英语书， 数学书， 语文书 由全概率公式， 得 P(A) k1 3 P(Bk)P(A|Bk)1 2 C24 C29 1 5 C2
13、5 C29 3 10 C25 C29 8 36 2 9. 13若从数字 1,2,3,4 中任取一个数，记为 x，再从 1，x 中任取一个数记为 y，则 y2 的概率为( ) A.1 2 B. 5 8 C. 13 48 D. 1 3 答案 C 解析 设事件 Ai表示取出数字 i，i1,2,3,4，易知 P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)1 4，事件 B 表示取到 y2，则 P(B|A1)0，P(B|A2)1 2，P(B|A3) 1 3，P(B|A4) 1 4，P(B) i1 4 P(Ai)P(B|Ai) 1 4 01 2 1 3 1 4 13 48. 14假设有 3 箱同种型号零件，里面分
14、别装有 50 件、30 件、40 件，而且一等品分别有 20 件、12 件和 24 件，现在任取一箱，从中不放回地先后取出两个零件，则 (1)先取出的零件是一等品的概率为_； (2)两次取出的零件均为一等品的概率约为_ 答案 (1) 7 15 (2)0.22 解析 设 Ai“任取的一箱为第 i 箱零件”，i1,2,3，Bj“第 j 次取到的是一等品”，j 1,2，则 A1A2A3，且 A1，A2，A3两两互斥，且 P(A1)P(A2)P(A3)1 3. P(B1|A1)20 500.4，P(B1|A2) 12 300.4， P(B1|A3)24 400.6， 由全概率公式得 P(B1) i1
15、3 P(Ai)P(B1|Ai) 1 3(0.40.40.6) 7 15. (2)因为 P(B1B2|A1)C 2 20 C2500.155 1， P(B1B2|A2)C 2 12 C2300.151 7， P(B1B2|A3)C 2 24 C2400.353 8. 由全概率公式得 P(B1B2) i1 3 P(Ai)P(B1B2|Ai) 1 3(0.155 10.151 70.353 8)0.22. 15某种电子玩具按下按钮后，会出现红球或绿球已知按钮第一次按下后，出现红球与绿 球的概率都是1 2，从按钮第二次按下起，若前一次出现红球，则下一次出现红球、绿球的概率 分别为1 3， 2 3，若前
16、一次出现绿球，则下一次出现红球、绿球的概率分别为 3 5， 2 5，记第 n(nN， n1)次按下按钮后出现红球的概率为 Pn. (1)P2的值为_； (2)若 nN，n2，用 Pn1表示 Pn的表达式为_ 答案 (1) 7 15 (2)Pn 4 15Pn1 3 5 解析 (1)P21 2 1 3 1 2 3 5 7 15. (2)PnPn11 3(1Pn1) 3 5 4 15Pn1 3 5. 16玻璃杯成箱出售，每箱 20 只，各箱含 0,1,2 个次品的概率分别为 0.8,0.1,0.1，一顾客购买 一箱玻璃杯，在购买时售货员随机取出一箱，顾客开箱任意抽查 5 只，若无次品，则购买该 箱玻璃杯，否则退回求顾客买下该箱玻璃杯的概率 解 设 Ai“该箱玻璃杯有 i 个次品(i0,1,2)”，B“顾客买下该箱玻璃杯”，则 A0A1A2，且 A0，A1，A2两两互斥， 由题意知，P(A0)0.8，P(A1)0.1，P(A2)0.1， P(B|A0)1，P(B|A1)C 5 19 C520 3 4，P(B|A2) C518 C520 21 38. P(B) i0 2 P(Ai)P(B|Ai)0.810.13 40.1 21 38 707 760.
