1、二元二次方程组知识结构模块一：二元二次方程组的解法知识精讲1二元二次方程的概念方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是2的整式方程，叫做二元二次方程2二元二次方程组的概念仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整式方程组成的方程组叫做二元二次方程组3二元二次方程组的解法（1）代入消元法；（2）加减消元法例题解析【例1】 下列方程是哪些是二元二次方程?（1）；（2）；（3）；（4）；（5）【难度】【答案】（2）、（3）、（5）【解析】根据二元二次方程的概念：方程中仅含有两个未知数，并且所含未知数的项的最高 次数是2的整式方程，叫做二元二次方程【总结】考察二元二次方程的概念【例
2、2】 下列方程中哪些是二元二次方程组?（1）； （2）； （3）；（4）【难度】【答案】（3）【解析】根据二元二次方程组概念：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整 式方程组成的方程组叫做二元二次方程组【总结】考察二元二次方程组的概念【例3】 已知与是关于x、y的二元二次方程的两组解，试求a+b的值【难度】【答案】或【解析】将，代入，得：，解得： 当时，；当时，； 或【总结】考察二元二次方程组的灵活应用【例4】 当m为何值时，方程组是关于x、y的二元二次方程组?【难度】【答案】【解析】只有是二次项，因此【总结】考察二元二次方程组的概念：仅含有两个未知数，且未知数的项的最高次数是2的整
3、式方程组成的方程组叫做二元二次方程组【例5】 解方程组：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）解：，由（1）得：（3）； 将（3）代入（2）得：， 整理得：，解得：， 原方程组的解为：； （2）解：，由（1）得：（3）； 将（3）代入（2）得： 整理得：，解得：， ， 原方程组的解为：【总结】考察利用代入消元法解二元二次方程组【例6】 解下列方程组：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）， 由（2）得：或； 将代入（1）得：，解得：，将代入（1）得：， 原方程组的解为：； （2），由（1）得：，或； 或（3） （4）得：，把代入（3），得：； （5）（6
4、）得：，把代入（5），得：； 原方程组的解为：【总结】考察解二元二次方程组的代入消元法和加减消元法的运用【例7】 解下列方程组：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）， 由（1）、（2）变形可化为， ， 原方程的解为：； （2） 由（1）、（2）变形可化为 原方程组的解为：【总结】考察利用加减消元法求二元二次方程组的解【例8】 当k为何值时，方程组：有实数解【难度】【答案】【解析】解：，由（2）得（3），把（3）代入（1）得：， 整理得：，方程组有解，即有解，即，【总结】考察二元二次方程组解法与一元二次方程根的判别式相结合的综合能力【例9】 已知a、b、c是ABC的三边长
5、，若方程组，只有一组解，判断ABC的形状【难度】【答案】等腰三角形【解析】，由（2）得，代入（1）得：，因为方程组只有一组解，所以，即，a、b、c是ABC的三边长， ABC是等腰三角形【总结】考察消元法解二元二次方程组与根的判别式的综合应用【例10】 解方程【难度】【答案】【解析】解：，由（1），得：（3），由（3）（4），得：， ，代入（1），得，整理解得：，代入，得：或 原方程组的解为：【总结】考察二元二次方程组的解法【例11】 解方程组：【难度】【答案】【解析】解：，（1）-（2），得， 原方程组可化为：， 原方程组的解为：【总结】考察利用因式分解法求二元二次方程组的解【例12】 当a取
6、哪些值时，方程组：有两组实数解【难度】【答案】【解析】解：，由两个方程相减得， 由（2）得，为解的方程为，方程组有两组实数解，有两个不相等的实数根，即，【总结】考察了消元法与跟的判别式以及韦达定理的综合应用能力【例13】 已知关于x、y的方程组：（1） 求证：不论k取何值，方程组总有两个不同的实数根；（2） 设方程组的两个不同的实数解为，则的值是常数【难度】【答案】（1）见解析；（2）【解析】（1）证明：，由（2），得：， 代入（1）得：，整理得：， ， 不论k取何值，方程组总有两个不同的实数根；（2） 解：方程组的两个不同的实数解为，为方程的两个根，【总结】考察了消元法与根的判别式以及韦达定
7、理的综合应用能力，综合性较强【例14】 已知方程组：，（x、y为未知数）有两组不同的实数解，（1） 求实数k的取值范围；（2） 若恰有两个不同的实数解，求实数k的取值范围【难度】【答案】（1），且；（2）【解析】解：（1）， 把代入（1），得：， 方程组：，（x、y为未知数）有两组不同的实数解， 即有两个不相等的实数解， 且， ，且；（2） 由题意可知的两根为， ，整理得：，解得：，且，【总结】考察了解方程组与跟的判别式以及韦达定理的综合应用能力模块二：二元二次方程组的应用例题解析【例15】 小杰和小丽分别从相距27千米的A、B两地同时出发相向而行，3小时后相遇，相遇后两人按照原来的速度继续前
8、进，小杰到达B地比小丽到达A地早1小时21分，小 杰和小丽的行进速度分别是多少?【难度】【答案】小杰的速度是千米/时，小丽的速度是千米/时【解析】解：设小杰的速度是千米/时，小丽的速度是千米/时，1小时21分=小时，根据题意列方程：， 解得：，经检验，均为原分式方程的根，但不符题意，舍去 答：小杰的速度是千米/时，小丽的速度是千米/时【总结】利用二元方程组解决行程问题，主要找到等量关系，注意解完后要检验【例16】 某剧场管理人员为了让观众有更舒适的欣赏环境，对座位进行了调整已知剧场原有座位500个，每排的座位数一样多；现在每排减少了2个座位，并减少了5排，剧场座位数相应减少为345个，剧场原有
9、座位的排数是多少?每排有多少个座位? 【难度】【答案】剧场原有座位是20排，每排有25个座位【解析】解：设剧场原有座位的排座位，每排有个座位，根据题意，可得：， 解得： ，经检验：，都是原方程组的解，但不符题意，舍去，所以原方程组的解为 答：剧场原有座位是20排，每排有25个座位 .【总结】考察列方程组解应用题【例17】 学校原有长方形操场的面积是4000平方米调整校园布局时，一边增加10米，另一边减少了10米，操场面积增加了200平方米，求原有操场的两边长【难度】【答案】原有操场的两边长为米和米【解析】解：设操场原来的长为米，宽米根据题意，可得 ， 解得：，但不符题意，舍去， 所以原方程组的
10、解为： 答：原有操场的两边长为米和米【总结】考察列方程组解应用题【例18】 某校初三年级280名师生计划外出考察，乘车往返客运公司有两种车型可供选择，每辆大客车比每辆中巴车多20个座位，学校计算后得知，如果租用中巴车若干辆，师生刚好坐满全部座位；如果租用大客车，不仅少租2辆车，而且师生坐完后还多20个座位问：中巴车和大客车各有多少个座位?【难度】【答案】中巴车有个座位，大客车有个座位【解析】解：设中巴车有个座位，大客车有个座位根据题意，可得：， 解得：，经检验：都是原方程组的解，但不符题意，舍去，所以原方程组的解为 答：中巴车有个座位，大客车有个座位【总结】考察列方程组解应用题，注意本题求出的
11、解要进行双重检验【例19】 某街道因路面经常严重积水，需改建排水系统，市政公司准备安排甲乙两个工程队承接这项工程据评估，如果甲乙两队合作施工，那么12天可以完工；如果甲队先做10天后，剩下的工程由乙队单独承担，还需15天才能完工甲乙两队单独完成此项工程各需要多少天?【难度】【答案】甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天【解析】解：设甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天，根据题意，可得： 解得：经检验：都是原方程组的解，且符合题意 答：甲工程队单独完成需天，乙工程队单独完成需天【总结】考察列分式方程组解决工程类应用题，注意要检验【例20】 为了缓解甲乙两地的旱情，某水库计划向甲乙两地送
12、水甲地需水量180万立方米，乙地需要水量120万立方米现已两次送水，第一次往甲地送水3天，往乙地送水2天，共送水84万立方米；第二次往甲地送水2天，往乙地送水3天，共送水81万立方米如果向两地送水分别保持每天的送水量相同，那么完成往甲地、乙地送水任务还各需多少天?【难度】【答案】完成往甲地送水任务还需天，完成往乙地送水任务还需天【解析】解：设完成往甲地每天送水万立方米，往甲地每天送水万立方米 根据题意，可得：， 解得：， （天）， （天） 答：完成往甲地送水任务还需天，完成乙地送水任务还需天【总结】考察方程组解决应用题问题，注意这道题需要间接设未知数随堂检测【习题1】 下列方程是二元二次方程的
13、有（）个；A1；B2；C3；D4【难度】【答案】【解析】符合二元二次方程的概念，因此选【总结】考察二元二次方程的概念【习题2】 下列方程组中，不是二元二次方程组的是（）A；BC；D【难度】【答案】【解析】含有无理方程，因此不属于二元二次方程组【总结】考察二元二次方程组的概念【习题3】 （1）写出二元二次方程的三个不同的解（2）由一个二元一次方程和一个二元二次方程组成的方程组的解是和，写出一个符合条件的方程组【难度】【答案】（1）等； （2）【解析】（1）可以看做是两个数相乘等于0，只要令其中一个为0就可以使得方程成立 （2）写出一种即可【总结】考察二元一次方程、二元二次方程、二元二次方程组的概
14、念【习题4】 已知是方程组的解，求的值【难度】【答案】【解析】将代入，得：， 运用加减消元法，解得：， 【总结】考察利用加减消元法解二元一次方程组，从而求出幂的结果【习题5】 （1）把方程化为两个二元一次方程为_（2）把方程化为两个二元一次方程是什么?【难度】【答案】（1）； （2）【解析】将方程化成右边为0的形式，然后将左侧部分进行因式分解，令每个因式为0即可【总结】考察因式分解与二元二次方程组降幂的综合【习题6】 解下列方程组： （1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）解：，将（2）代入（1）：得， 解得：， 原方程组的解为：； （2）解：， 由（2）得：，将（3）代入
15、（1），得， 解得：， 将代入（3），得：， 原方程组的解为【总结】考察利用代入消元法解二元二次方程组【习题7】 解下列方程组：（1）； （2）；（3）【难度】【答案】见解析【解析】（1）解：原方程组可化为， 解得：， 原方程组的解为；（2） 解：原方程组可化为， 解得：， 原方程组的解为； （3）解：原方程可化为：，即 解得：， 原方程组的解为【总结】考察利用因式分解法求二元二次方程组的解，解题时注意认真分析【习题8】 解下列方程组：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】(1)解：，由，得：， ，或， 当时，即，代入（1）得，求得：， 当时，即，代入（1）得，求得：， 原方程
16、组的解为； （2）解： 由，得：，即，解得：， 把代入（2）得：，解得：； 把代入（2）得：，解得：； 原方程组的解为：【总结】本题综合性较强，主要考察二元二次方程组的解法，此题中主要是利用消常数法求出方程组的解【习题9】 有当k为何值时，方程组：（1）有两组不相等的实数解；（2）有两组相等的实数解；（3）没有实数解【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】解：，由（2）得：，将（3）代入（1）得：，整理得：，（1） 有两组不相等的实数解，即；（2） 有两组相等的实数解，即；（3） 没有实数解，即；【总结】考察利用代入消元法化简成一元二次方程，再根据根的判别式求出的范围【习题10】 已知关
17、于x、y的方程组有两个相等的实数解，求m的值及这个方 程组的解【难度】【答案】；或 【解析】把代入，整理得：，方程有两个相等的实数解，即， 当时，原方程组为：， 解得：； 当时，原方程组为：， 解得：， 当时，；当时，【总结】考察将方程组转化为一元二次方程，结合根的判别式求出的值再代入方程求解【习题11】 甲乙两个工程队修建某段公路，如果甲乙合作，24天可以完工；如果甲队单独做20天后，剩下的工程由乙队独做，还需40天才能完成，甲乙两队单独完成此段公路的修建各需多少天?【难度】【答案】甲队单独完成此段公路的修建需天，乙队单独完成此段公路的修建需天【解析】解：设甲队单独完成此段公路的修建需天，乙
18、队单独完成此段公路的修建需天，根据题意得： ，解得：，经检验，是原方程组的解 答：甲队单独完成此段公路的修建需天，乙队单独完成此段公路的修建需天【总结】根据题意列出分式方程解决工程类应用题，注意解完后要检验【习题12】 小丽的叔叔分别用900元和1200元钱从甲乙两地购进数量不等的同一商品，已知乙地商品比甲地商品每件便宜3元，当他按每件20元销售完时，可赚1100元小丽的叔叔从甲乙两地分别购进这种商品多少件?【难度】【答案】小丽的叔叔从甲地购进这种商品件，从乙地购进这种商品件【解析】解：设小丽的叔叔从甲地购进这种商品件，从乙地购进这种商品件 根据题意列方程，得：，解得：，经检验，是原方程组的解
19、 答：小丽的叔叔从甲地购进这种商品件，从乙地购进这种商品件【总结】根据题意列出分式方程解决应用题课后作业 【作业1】 下列方程中，是二元二次方程的是（）ABCD【难度】【答案】【解析】是一元二次方程，是分式方程，是二元二次方程，是无理方程，故选【总结】考察二元二次方程的概念【作业2】 下列方程组中，是二元二次方程组的是（）ABCD【难度】【答案】【解析】是二元一次方程组，是三元二次方程组，是二元二次方程组，是分式方 程组，故选【总结】考察二元二次方程组的概念【作业3】 在下面四个解中，方程组的解为（）ABCD【难度】【答案】【解析】把第一个方程代入第二个方程，化程关于的一元二次方程，求出后再代
20、入第一 个方程求出y，原方程组的解为：，故选【总结】考察二元二次方程的解法【作业4】 分别把下列二元二次方程分解为两个二元一次方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）原方程可化为：，即； （2）原方程可化为：，即【总结】考察学生利用因式分解将二元二次方程化成两个二元一次方程【作业5】 方程有多少个解?有没有x、y的值互为倒数的解?如果有，求出这个解【难度】【答案】（1）无数个解；（2）有解，【解析】（1）二元二次方程有无数组解；（2） i：有解；ii若、的值互为倒数，则， 代入原方程得：， 当、的值互为倒数时，方程的解为：【总结】考察学生将问题转化成二元二次方程组后，
21、利用代入消元法解方程【作业6】 解下列方程组：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）原方程组可化为，把（2）代入（1）得：， ，（1）+（2）得，（2）-（1），得， 原方程组的解为：； （2）原方程组可化为，把（2）代入（1）得：， ，（2）-（1）得；，把代入（1）得：， 原方程组的解为：【总结】考察化二元二次方程组为二元一次方程组后再运用加减消元法解方程组【作业7】 解下列方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）； （2）【解析】（1）原方程组可化为：，化为或，解得：， 原方程组的解为：； （2），由（1）得：，代入（2）得：，整理解得：，原方程组的解为【总结】考察
22、学生解二元二次方程组的解法【作业8】 解下列方程组：（1）；（2）【难度】【答案】见解析【解析】（1）原方程组可化为， 则方程组可以化为解得，原方程组的解为； （2原方程组可化为，即可转化为或 解得：， 原方程组的解为【总结】考察学生利用因式分解法求二元二次方程组的解【作业9】 若方程组没有实数解，求的取值范围【难度】【答案】【解析】解：，把（1）代入（2），得：， 即，原方程组没有实数解， 解得：【总结】代入消元法化成一元二次方程，结合根的判别式解得的范围【作业10】 当取什么值时,方程组有两个相同的实数解?并求出此时方程组的解【难度】【答案】；【解析】解：，由（1）得：，代入（2），得：，
23、 整理得：，方程组有两个相同的实数解，有两个相同的实数解， ，原方程组的解为：【总结】考察根的判别式与二元方程组相结合的综合运用【作业11】 某起重机厂四月份生产A型起重机25台，B型起重机若干台从五月份起， A型起重机月增长率相同，B型起重机每月增加3台已知五月份生产的A型起重机是B型起重机的2倍，六月份A、B型起重机共生产54台求四月份生产B型起重机的台数和从五月份起A型起重机的月增长率【难度】【答案】四月份生产型起重机的为台，从五月份起型起重机的月增长率为【解析】解：设型起重机的月增长率为，型起重机的台数为台，根据题意，得：， 解得： 答：四月份生产型起重机的为台，从五月份起型起重机的月
24、增长率为【总结】考察列二元二次方程组解应用题【作业12】 某商场计划销售一批运动衣，能获得利润12000元经过市场调查后，进行促销活动，由于降低售价，每套运动衣少获利润10元，但可多销售400套，结果总利润比计划多4000元求实际销售运动衣多少套?每套运动衣实际利润是多少元【难度】【答案】实际销售运动衣套，每套运动衣实际利润是元【解析】解：设实际销售运动衣套，每套运动衣实际利润是元，根据题意得：， 解得：，由于不符合题意，故舍去 答：实际销售运动衣套，每套运动衣实际利润是元【总结】考察列二元二次方程组解应用题，本题属于利润问题，注意找到合适的等量关系【作业13】 解下列方程组：【难度】【答案】【解析】解：，由得：，整理得：， 即或 当时，代入（2），整理得： ，则原方程组的解为：； 当时，代入（2），整理得： ，则原方程组的解为：， 原方程组的解为：【总结】考察通过消常数法求二元二次方程组的解，注意对方法的归纳总结【作业14】 关于x、y的方程组只有一组解，求k的取值范围【难度】【答案】【解析】解：，由（1）得 把代入（2）得：，整理得：；关于x、y的方程组只有一组解，即有两个相等的实数根，解得：或 当时，不符题意，舍去， 关于x、y的方程组只有一组解时，【总结】考察学生对二元二次方程组的解法及一元二次方程根的判别式的综合应用的灵活性
