八年级数学寒假班讲义05：整式方程（教师版）

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1、1、一元整式方程的概念方程中只有一个未知数且两边都是关于未知数的整式2、 解一元一次方程的方法方程中未知数系数都是数字，将未知数字母系数化成1；方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论，方法如下：一元一次方程当时，方程有唯一解；当时，方程无解；当时，方程有无数解【例1】 判断下列关于的方程，哪些是一元整式方程 ； ； ；（、为常数）【难度】【答案】【解析】根据一元整式方程的定义，只含有一个未知数，且方程两边都是关于未知数的整式， 可知为一元整式方程，为无理方程，错误；为分式方程，错误；含有两个 未知数，是二元方程，错误；综上所述，为一元整式方程【总结】考查一元整式方程

2、的概念【例2】 如果关于的方程只有一个根x = 0，则_；b=_【难度】【答案】，【解析】方程仅有一根为，则有且，得：，【总结】考查方程仅有一根的情况，必有【例3】 已知关于的方程的解是负数，求k的取值范围【难度】【答案】【解析】解方程得：，方程解为负数，即，得：【总结】考查方程解得意义，先解方程，再根据题目要求求解【例4】 如果关于的方程无解，那么=_【难度】【答案】【解析】整理方程得，方程无解，则有且，得【总结】考查方程无解的情况，则有，【例5】 解关于的方程： （1）； （2）；（3）【难度】【答案】略【解析】（1）整理方程得，由此进行分类讨论： 当，即时，方程无解；当，即时，方程解为；

3、 （2）整理方程得，由，得，则方程解为； （3）整理方程得，由此进行分类讨论：当且，即且时，方程无解；当且，即且时，方程有无数解；当，即时，方程解为【总结】考查解含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论【例6】 关于的方程，分别求为何值时，原方程：（1）有唯一解；（2）有无数多解；（3）无解【难度】【答案】（1），n为任意数；（2）且；（3）且【解析】方程整理成一般形式即为，由此进行分类讨论：（1） 当，即时，方程有唯一解；（2） 当且，即且时，方程有无数解；（3） 当且，即且时，方程无解【总结】考查含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论【例7】 已知无论k取何值，x=2总是关于x的方程的解

4、，求a、b的值【难度】【答案】，【解析】总是方程的解，即满足方程，代入可得，化作关于的方 程可整理得，无论取何值，式子都成立，可视作这个关于的方程有无数解，由此可得且，得，【总结】考查恒成立问题，可视作相应方程有无数解【例8】 解关于的方程：【难度】【答案】略【解析】整理方程得，由题意可得，由此进行分类讨论：当时，必有，即时，方程无解；当，即且时，方程解为【总结】考查含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论【例9】 当a，b满足什么条件时，关于x、y的方程组，有唯一解?无数解?【难度】【答案】当时方程组有唯一解，且时方程组有无数解【解析】，得，由此进行分类讨论： 当，即时，有唯一解，则方程组有

5、唯一解； 当且，即且时，有无数解，即方程组有无数解【总结】考查含有字母系数的二元一次方程组，化作一元一次方程进行分类讨论1、含有字母系数的一元二次方程的解法方程中未知数系数都是数字，用开平方法、配方法、因式分解法、公式法解方程；方程中含有字母参数时，确定未知数最高次数是否为零，从而进行分类讨论【例10】 已知（是关于的一元二次方程，则的取值范围是（ ）ABC且D一切实数【难度】【答案】C【解析】方程是一元二次方程，则必有，得且， 故选C【总结】考查一元二次方程的定义，二次项系数不能为0【例11】 若关于的方程有两个实数根，求的取值范围【难度】【答案】且【解析】方程有两个实数根，方程为一元二次方

6、程，则有二次项系数，且有方程根的 判别式，即得且【总结】考查一元二次方程根的判别式，注意二次项系数不能为0的前提条件【例12】 已知关于的方程有两个相等的实数根，求的值并解这个方程【难度】【答案】，方程解为【解析】方程有两个相等的实数根，方程为一元二次方程，则有二次项系数，且有方 程根的判别式，即得，此时方程即为 ，整理得：，解得：【总结】考查一元二次方程根的判别式的运用，注意二次项系数不能为0的前提条件【例13】 若关于的方程有实数根，求的取值范围【难度】【答案】【解析】当，即时，方程为一元一次方程，必有实数根；当，即时，方程为一元二次方程，方程有实数根，则有， 即，得且； 综上所述，的取值

7、范围为【总结】考查含有字母系数的方程与一元二次方程根的判别式的结合应用，由于本题中并未说明是什么方程，因此要对二次项系数进行分类讨论【例14】 求为什么实数时，方程有实数根；没有实数根【难度】【答案】；【解析】当，即时，方程为一元一次方程，必有实数根；当，即 时，方程为一元二次方程，方程有实数根，则有，得且；综上，的取值范围为； 方程没有实数根，则有，得【总结】考查含有字母系数的方程与一元二次方程根的判别式的结合应用，由于本题中并未说明是什么方程，因此要对二次项系数进行分类讨论【例15】 解关于的方程：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】略【解析】（1）时，方程无解；时，得，得：，；（2）

8、直接开平方法得，解得：，；（3） 当，即时，必有，方程有无数解； 当，即时，方程有唯一解【总结】考查含有字母系数的一元二次方程根的求解，注意分类讨论【例16】 解关于的方程：（1）；（2）；（3）【难度】【答案】略【解析】（1）当，即时，原方程即为，解得：；当，即时，方程为一元二次方程，分解因式得， 解得：，；（2） 配方法得，即，由，得，则有，解得：，；（3） 整理方程得，由此可得，即时，方程无解； 当，即时，则有，解得：，【总结】考查含有字母系数的一元二次方程形式的方程与方程根的判别式的结合应用，注意对二次项系数进行分类讨论【例17】 用适当的方法解关于的方程：【难度】【答案】，【解析】对

9、该方程用分解因式可得，则有或，由且，由此即可解得方程的根为：，【总结】考查用适当的方法解一元二次方程，本题注意观察各项系数之间的关系，即可得分解因式进行求解1、二项方程的概念二项方程：一边只含有未知数的一项和非零的常数项，另一边是0的一元次方程；2、二项方程的解法关于的一元次二项方程的一般形式：，是正整数)该方程的根的情况是：为奇数时，方程有且只有一个实数根；为偶数时，若，方程有两个实数根，且这两个根互为相反数；若，那 么方程没有实数根3、双二次方程的概念 双二次方程：只含有偶数次项的一元四次方程4、双二次方程的解法换元法解关于x的双二次方程： 步骤：换元，用新未知数代替方程中的，同时用代替，

10、将原方程转化为关于y的一元二次方程：； 解一元二次方程：； 回代5、特殊高次方程的解法对于某些特殊的高次方程，先将方程化为一般式，可尝试将方程左边分解因式，转化为 一元一次方程或者一元二次方程来解 【例18】下列方程中，不是二项方程的为（）ABCD【难度】【答案】B【解析】根据二项方程的定义，方程中只能含有一个未知项，B选项中含有两个未知项，不 满足二项方程的条件，故选B【总结】考查二项方程的判断【例19】下列方程中，； ，是双二次方程的是_【难度】【答案】【解析】根据定义，只含有偶次项的一元四次方程是双二次方程，可知是双二次方程， 中没有常数项，不是；是含有奇次项的二次方程，不是；是二次方程

11、，不是【总结】考查双二次方程的判断，根据定义把握相关要点【例20】解关于的方程：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1），；（2），；（3），； （4）【解析】（1）开平方得，即可解得：，； （2）开平方得，则有，即可解得：，； （3）开平方得，则有，即可解得，； （4），即可得，解得【总结】考查形如二项方程形式的高次方程的求解【例21】解关于的方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1），；（2），【解析】（1）令，原方程即为，因式分解法解得， 由，即得，解得：，； （2）令，原方程即为，因式分解法解得：， 则有或，解得：，【总结】考查解高次方程中“换元”思想的应用【例22】解下列

12、关于x的方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1），；（2），【解析】（1）令，原方程即为，因式分解法解得， 即得或，解得：，； （2）令，原方程即为，因式分解法解得， 由，则有，解得：，【总结】考查解高次方程中“换元”思想的应用【例23】已知实数满足，求代数式的值【难度】【答案】6【解析】令，原方程即为，因式分解法解得，但若 ，此时方程无实数根，应舍去，即得【总结】考查解高次方程中“换元”思想的应用，注意相应的取值范围【例24】解关于的方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1），；（2），【解析】（1）移项分解因式得，解得：，； （2）多项式展开即为，分解因式得， 解得：，【总结】考查用因式

13、分解法解简单的高次方程【例25】解关于的方程【难度】【答案】略【解析】移项整理得：，由此分类讨论：当且，即且时，方程有无数解；当且，即且时，方程无解；当时，则有，则当为奇数时，方程解为；当为偶数且时，方程解为，；当为偶数且时，方程无解【总结】考查一般形式的高次方程的根，注意分类讨论思想的应用【例26】解方程：【难度】【答案】，【解析】第一个与第四个相乘，第二个与第三个相乘，则有，整理得，即为，得，解得:，【总结】考查解较复杂高次方程中整体思想的应用，通过整式乘法构造相同的项，再利用换元法通过降次进行求解【习题1】判断下列关于的方程，哪些是整式方程？（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6

14、）【难度】【答案】（1）、（2）、（4）、（6）【解析】方程两边是整式的方程是整式方程，（1）、（2）、（4）、（6）满足条件，（3）、（5）方 程两边有分式，是分式方程【总结】考查整式方程的判断，满足方程两边都是整式即可【习题2】判断下列方程是不是二项方程?（1） ；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【难度】【答案】（1）、（3）、（6）是二项方程，（2）、（4）、（5）不是【解析】根据二项方程的定义，二项方程中只能含有一个未知项的整式方程，（2）、（4）有 两个未知项，（5）是分式方程，不满足二项方程的条件，（1）、（3）、（6）是二项方程【总结】考查二项方程的判断【习题3】解关于的方

15、程时，下列说法中错误的是（）A当时，方程有无数多解B当为奇数且时，方程有且只有一个实数根C当为偶数且时，方程无实数根D当为偶数且时，方程有两个实数根【难度】【答案】D【解析】为偶数且时，此时有，必须满足时，方程有两实数根，可知D 错误，故选D【总结】考查二项方程根的情况的判断【习题4】关于x的方程有无数解，则m=_；n=_【难度】【答案】，【解析】整理方程即为，方程有无数解，则有， 解得：，【总结】考查方程有无数解的条件【习题5】关于x的方程无解，求a、b的取值范围【难度】【答案】，【解析】整理方程即为，方程无解，则有， 解得：，【总结】考查方程无解的条件【习题6】已知关于的方程（1） 满足什

16、么条件时，方程有一个解?（2）满足什么条件时，方程无解?【难度】【答案】（1）；（2）且【解析】（1）当，即时，方程有唯一解； （2）当且，即且时，方程无解【总结】考查方程解的情况的分类讨论【习题7】已知关于的方程【难度】【答案】略【解析】方程整理成一般形式即为，由此进行分类讨论：当，即 时，方程有唯一解；当且，即且时，方程有无数解； 当且，即且时，方程无解【总结】考查含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论【习题8】解下列关于的方程：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1）；（2）；（3），；（4）略【解析】（1）移项得，解得：；（2）展开移项整理方程得，由，解得：；（3）分解因

17、式得，由，解得：，；（4）整理方程得，由此进行分类讨论：当时，方程无解；当时，则有，方程解为：，【总结】考查方程根的求解，注意分类讨论【习题9】解下列关于的方程：（1）；（2）；【难度】【答案】（1），；（2），【解析】（1）开平方得，得，即可解得：，； （2），即可得，解得：，【总结】考查形如二项方程形式的高次方程的求解【习题10】解下列关于的方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1），；（2），【解析】（1）因式分解，得：， 解得：，； （2），则有，方程为一元二次方程，则有，由，可得，公式法解得：，【总结】考查含有字母的一元二次方程的解法，注意观察题目条件和相应系数，选取适当的解法求解方

18、程【习题11】在二元一次方程组中，当m为何值时，这个方程组有无数组解?【难度】【答案】【解析】，得：，由此可得当，即时，有无数解， 即方程组有无数解，故【总结】考查含有字母系数的二元一次方程组，化作一元一次方程进行分类讨论【习题12】根据的取值范围，讨论的根的情况【难度】【答案】略【解析】整理方程得，由此进行分类讨论：当时，方程为一元一次方程，即方程有唯一解；当时，方程为一元二次方程，由此则有，即且时，方程有两个不相等的实数根；当，即时，方程有两个相等的实数根；当，即时，方程没有实数根【总结】考查方程根的判断，注意根据二次项系数是否为0和方程根的判别式分类讨论【作业1】判断下列关于的方程，是整

19、式方程的是（）A；B；C；D【难度】【答案】B【解析】根据相应方程的定义，可知A、D是分式方程，C是无理方程，故选B【总结】考查方程类型的判断，把握关键定义【作业2】下列方程是二项方程的是（）ABCD【难度】【答案】D【解析】根据二项方程的定义，二项方程是方程中只能含有一个未知项的一元整式方程，A 选项中含有两个未知项，B选项是无理方程，不是整式方程，C选项是二元方程，故选D【总结】考查二项方程的判断【作业3】当 时，方程是关于的一元二次方程【难度】【答案】【解析】方程是一元二次方程，必有二次项系数，得【总结】考查一元二次方程的条件是二次项系数不能为0【作业4】已知的解为，则的关系是 【难度】

20、【答案】【解析】方程有唯一解，可知，此时方程解为满足题意【总结】考查一元一次方程的唯一解条件是未知项系数不能为0【作业5】设关于的方程有无穷多个解，则（）AB；C；D【难度】【答案】A【解析】整理方程可得，方程有无穷多解，则有， 可知A选项符合题意【总结】考查一元一次方程无数解的条件【作业6】若关于的二项方程没有实数根，则m的取值范围是（）A；B；C；D【难度】【答案】B【解析】整理方程可得，方程没有实数根，则有，得，故选B【总结】考查平方的非负性，也可根据方程根的判别式进行求解计算【作业7】关于的方程，求分别为何值时，原方程（1）有唯一解；（2）有无数解；（3）无解【难度】【答案】（1）；（

21、2）且；（3）且【解析】方程整理成一般形式即为，由此进行分类讨论：（1）当，即时，方程有唯一解；（2）当且，即且时，方程有无数解；（3）当且，即且时，方程无解【总结】考查含有字母系数的一元一次方程，注意分类讨论【作业8】解下列关于的方程 （1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（1），；（2），； （3），； （4）【解析】（1）因式分解得，由，可得， 解得：，；（2） 因式分解得，则有或，解得：，； （3）移项得，即可解得：，； （4）移项分组分解得，由，可得，解得【总结】考查特殊形式的高次方程的解法，注意整体思想和平方非负性的应用【作业9】解下列关于的方程 （1）；（2）；（3）；【难度】【答案】（1），；（2），； （3），【解析】（1）因式分解得，解得：，； （2）配方法得，即，得， 解得：，； （3）因式分解得，由，可得且， 解得：，【总结】考查含有字母系数的一元二次方程的解法，注意观察系数之间的关系，再根据方程选取适当的解法求解方程【作业10】k为何值时方程组无解?【难度】【答案】【解析】，得，由此可得当，即时，无解， 即当方程组无解时，【总结】考查含有字母系数的二元一次方程组，化作一元一次方程进行分类讨论