1、无理方程知识结构模块一：无理方程的概念和解法知识精讲1无理方程的概念方程中含有根式，且被开方数是含有未知数的代数式，这样的方程叫做无理方程2解无理方程的方法通过平方把无理方程转化为整式方程，再求解3解无理方程的一般步骤（1）方程两边平方，化成整式方程；（2）解这个整式方程，求出整式方程的根；（3）检验直接代入原方程中，看其是否成立如果成立，则这个根为原方程的根，从而解出原方程的解；如果不成立，则这个根为增根，方程无解例题解析【例1】 下列方程是哪些是关于的无理方程?（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）【难度】【答案】（1）、（2）、（3）、（4）、（6）是无理方程【解析】根据无理方程
2、的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方程叫做无理方程，可知（1）、（2）、（4）、（6）都是无理方程，可知（3）也是无理方程【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可【例2】 下列哪个方程有实数解（）AB CD【难度】【答案】D【解析】根据二次根式的双重非负性，对A选项，此时，故方程无实数解；对B选项，可知方程无实数解；对C选项， 无解，即方程无实数解；故选D【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行简单判定【例3】 若方程有解，则的取值范围是_【难度】【答案】【解析】移项得，方程有解，根据二次根式的非负性，可得，得【总结】考查无理方程有解
3、的应用，根据二次根式的非负性即可进行判断【例4】 不解方程，说明下列方程是否有实数根：（1）；（2）【难度】【答案】（1）有唯一实数根； （2）当时，方程无实数根；当时，方程有无数个实数根【解析】（1）根据二次根式的非负性，可得：，即得的定义域为， 此时，即得方程有唯一实数根；（2） 当时，则有，根据二次根式非负性，可知方程无实数根； 当时，等式恒成立，可知方程有无数实数根，满足即可【总结】考查对无理方程解的判断，对部分方程根据二次根式双重非负性即可进行判定【例5】 用换元法解方程时，设则该方程转换整式方程是_【难度】【答案】【解析】由，可得，原方程即为， 整理即为【总结】考查用“换元法”对无
4、理方程进行变形转化，注意最终要化成整式形式【例6】 解下列方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）两边平方，得：，整理得：， 解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为；（2） 移项得：，两边平方得：，因式分解整理得：，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验【例7】 解下列方程：（1）；（2）；【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）两边平方，得：，整理得：， 解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）由原式得：或，解得：， 经检验，是原方程的增根，即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法，注意
5、无理方程的验根【例8】 解下列方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）两边平方得：，整理得：，配方法解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）移项得，两边平方得，整理得， 解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验【例9】 解方程：【难度】【答案】，【解析】令，则，原方程即为，解得：，则有或，解得：，经检验，都是原方程的根【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察无理方程含未知数的根式之间的联系【例10】 解方程： （1）； （2）【难度】【答案】（1），；（2），【解析】（1）令，得，原方程即， 整理
6、得，解得：（舍），令，平方整理得，解得：，经检验，都是原方程的根；（2）令，得，原方程即，整理得，解得：（舍），令，平方整理得，解得：，经检验，都是原方程的根【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据元的取值范围舍去增根【例11】 解下列方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）移项得，两边平方得，移项得，两边平方得，解得：，经检验，是原方程的根； （2）两边平方得，移项得，两边平方整理得，配方法解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可【例12】 解下列方程：【难度】【答案】【解析】平方得，移项得，两边
7、平方整理得，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可【例13】 解下列方程：【难度】【答案】【解析】令，则有，由此原方程可变形得：，整理即为，因式分解法解得：，即或，由，整理得，解得：， 经检验，是原方程的增根，由，可解得：，经检验，是原方程的增根，综上所述，原方程的根是【总结】考查较复杂的换元法的转化解无理方程，注意方程增根的检验模块二：无理方程的根的讨论知识精讲3增根的概念例题解析无理方程在化整式方程求解过程中，整式方程的解如果使得无理方程左右两边不相等，那么这个解就是方程的增根.【例14】 关于的方程有一个增根x=4，求
8、：（1） a的值；（2） 方程的根【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）移项，两边平方得：，移项得， 两边平方得：，将代入有， 整理得，解得：，当时，是方程增根，当时，不是方程增根，由此即得； （2）将代入上述平方整理的方程即有，移项整理得，解得：，由题意可得是原方程的增根，即得原方程的根是【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可【例15】 若方程有一个根是，求实数m的值【难度】【答案】【解析】因为方程有一个根是，所以代入得，平方整理得， 解得：，经检验，是方程的增根，应舍去，即得【总结】考查无理方程根的意义，代入转化为其它未知数的求值即可【例16】 若关于x的无理
9、方程有实数根，求k的取值范围 【难度】【答案】或【解析】令，则有，原方程即为，整理即为，当时，则有是增根，应舍去；当时，分解因式得，解得：（舍），因为方程有实数根，则应有，分类讨论得或，即得的取值范围为或【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算【例17】 若关于x的方程只有一个实数根，求m的取值范围【难度】【答案】【解析】令，则有，原方程即为，整理即为，因为方程只有一个实数根，则方程有且仅有一根满足，则另一根必满足，根据韦达定理可得：，得的取值范围是【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性进行求解计算模块三：无理方程的应用知识精讲4应用例题解
10、析寻找题目中的等量关系，列方程，求解，根据实际情况进行取舍【例18】 用一根56厘米的细铁丝弯折成一个直角三角形，使它的一条直角边长为7厘米，求这个直角三角形的另两条边的长度【难度】【答案】和【解析】设另外一条直角边长为，根据勾股定理可得斜边长为，依题意可得，解得：，经检验，是原方程的根且符合 题意，则斜边长为，即另两边长分别为和【总结】考查直角三角形勾股定理的应用，用周长列式解题，注意应用题也要验根【例19】 建一块场地，用600块正方形的砖头铺成，如果把场地的面积扩大到原来面积的2倍还多0.6平方米，且正方形的砖头的边长增加10厘米，则需要铺540块方砖，求原场地的面积【难度】【答案】【解
11、析】设原场地的边长为，则扩大后场边长为， 依题意得，整理得， 解得：，（舍），由此得原场地面积为【总结】考查根据题意找准等量关系列方程解应用题，注意单位的统一【例20】 若Q点在直线上，且Q到点P(0，2)的距离为，求Q点的坐标【难度】【答案】或【解析】设点，由两点间距离公式，依题意可得，平方整理，得：，解得：，经检验，都是原方程的根，由此代入即得或【总结】考查利用两点间距离公式的应用列方程，注意设出点的坐标ABPNMOl1l2【例21】 与为两条互相垂直的大路，小李和老王从十字路口O点同时出发，分别沿着图示的方向以1千米/小时和2千米/小时的速度前进，到达A与B地，一座学校座落于距8千米，距
12、5千米的P处，问：经过多少时间，两人距离学校的路程刚好相等？是几千米？【难度】【答案】经过两人距离学校路程相等【解析】设经过两人距离学校距离相等，即， 则有， 根据勾股定理，依题意可得：，平方整理得，解得：，经检验，都是原方程的根，但不符合题意，应舍去，即经过两人距离学校路程相等【总结】考查利用勾股定理列方程，注意找准等量关系【例22】 有一群蜜蜂，一部分飞进了枸杞里，其个数等于总数的一半的平方根，还有全体的遗留在后面，此外，这群里还有一个小蜜蜂在莲花旁徘徊着，它被一个坠入香花陷阱的同伴的呻吟声所吸引试问：这群蜜蜂共有多少个?【难度】【答案】这群小蜜蜂共有72个【解析】设这群蜜蜂共有个，根据蜂
13、群总数，依题意可得，平方整理得，解得：， 经检验，是原方程的增根，即得这群小蜜蜂共有72个【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意计算不要遗漏【例23】 m、n为两段互相垂直的笔直的公路，工厂A在公路n上，距离公路m为1千米工厂B距离公路m为2千米，且距离公路n为3千米，现在要在公路m上选一个地址造一个车站P，使它与A、B两厂的距离和为千米，试指出车站P的位置?【难度】ABnm【答案】车站在两公路交点上方或处【解析】以直线为轴，以直线为轴，两直线交点为坐标原点，建立平面直角坐标系，依题意有，设点，根据两点间距离公式，依题意可得，二次平方后，整理得：，解得：，经检验，都是原方程的根，即车站在两公
14、路交点上方或处【总结】考查利用建立平面直角坐标系确定点的位置问题【例24】 如图，x轴表示一条东西方向的道路，y表示一条南北方向的道路，小丽和小明分别从十字路口O点处同时出发，小丽沿着x轴以4千米/时的速度由西向东前进，小明沿着y轴以5千米/时的速度由南向北前进，有一棵百年古树位于图中的P点处，古树与x轴、y轴的距离分别是3千米和2千米，问：（1） 离开路口后，经过多长时间，两人与古树的距离恰好相等?（2） 离开路口后多少时间，两人与这课古树所处的位置恰好在一条直线上?ABy北x东西南PO【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）建立如图的平面直角坐标系，设经过两人与古树距离相等，即，则有，
15、根据两点间距离公式依题意可得：，平方整理得：，解得：，经检验，都是原方程的根，但不符合题意，应舍去，即经过两人距离古树距离相等；（2） 设直线解析式为，则有，解得：，即直线解析式为，两人与古树在同一直线上，即直线过点，代入直线解析式即得，解得：，即离开后两人与古树处于同一直线上【总结】考查对题目的理解，主要是转换到平面直角坐标系中进行解题随堂检测【习题1】 下列方程是无理方程的是（）AB CD 【难度】【答案】D【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方 程叫做无理方程，可知D是无理方程，故选D【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可【习题2
16、】 根据平方根的意义，直接判断下列方程是否有解，并简述理由：（1）；（2）；（3）；（4）【难度】【答案】（2）有解，（1）、（3）、（4）无解【解析】根据二次根式的双重非负性，对（1），故方程无实数解；对（2），由，即有，可知方程有实数解；对（3），无解，即方程无实数解；对（4），无解，即方程无实数解【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定【习题3】 方程的实数解为（）ABCD【难度】【答案】C【解析】，可知，得，故选C【总结】考查根据二次根式的性质判定方程解的情况【习题4】 用换元法解方程时，设则该方程可转换成整式方程是_【难度】【答案】【解析】由，可得:，原
17、方程即为， 整理即为【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终要化成整式方程【习题5】 解方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）移项两边平方得：，整理得:， 因式分解法解得，经检验，是原方程的增根， 即原方程的根为； （2）移项得，两边平方得，整理得:， 解得:，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验【习题6】 解方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2），【解析】（1）移项得，两边平方得，移项得，两边平方整理得，解得:，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）移项两边平方得，移项得， 两边平
18、方整理得，解得:， 经检验，都是原方程的根【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可【习题7】 解方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1），；（2），【解析】（1）令，得，方程即， 整理得，解得:（舍），令，平方整理得，解得：，经检验，都是原方程的根； （2）令，得，原方程即，解得：（舍），令，平方整理得，解得：，经检验，都是原方程的根【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意根据二次根式的非负性舍去相应增根【习题8】 有两块正方形木板，其中大的一块木板面积比小的木板面积大45平方米，小的木 板的边长比大的木板的边长短3分米，求这块小木板的面积【难度】【答案】小木板面积为【
19、解析】设小木板面积为，则大木板面积为，由，依题意可得，移项整理得，即得：， 经检验，是原方程的根，即小木板面积为【总结】考查根据题意列方程解应用题，注意题目中的单位换算【习题9】 如果轴上一点P到两点A（3，5）、B（-1，-2）的距离相等，求P点的坐标【难度】【答案】【解析】设点，根据两点间距离公式依题意可得， 平方得，解得：，经检验，是原方程的根， 即【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题【习题10】 解方程：【难度】【答案】【解析】，根据题意，得，可得， 两式相加可得，平方整理得，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根是【总结】考查有特殊形式的无理方程的解法，注意观察好含未
20、知数的根式之间的关联【习题11】 解方程：【难度】【答案】【解析】令，则，原方程即为，解得：，（舍），则有，解得：，经检验，是原方程的根【总结】考查利用“换元法”解无理方程，注意观察两个无理式之间的关联【习题12】 已知a为非负整数，若关于x的方程至少有一个整数根， 求a的值【难度】【答案】或【解析】令，则有，原方程即为，得，由，可得，则有，因为为整数，则为整数，同时为整数，则必为有理数，由此可得：或，当时，得；当时，得；综上，或6【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性和题目要求求解计算【习题13】 A地在M地的正北方向12千米处，B地在M地的正东方向12千米处，某人从B
21、地出发向正西方向行至C地，再沿CA方向到达A地，这样比由B地到M地再到A地的路程少4千米，求M地与C地之间的距离【难度】【答案】【解析】如图建立平面平面直角坐标系，点为原点，则有，设，根据两点间距离公式，依题意可得，移项得，解得：，经检验，是原方程的根，即得【总结】考查根据构造平面直角坐标系解方程问题课后作业 【作业1】 下列方程是无理方程的是（）ABCD【难度】【答案】B【解析】根据无理方程的概念，方程中含有根式，并且被开方数是含有未知数的代数式的方 程叫做无理方程，可知B是无理方程，故选B【总结】考查无理方程的概念，方程中根号内含有未知数即可【作业2】 下列无理方程有解的方程是（）ABCD
22、【难度】【答案】B【解析】根据二次根式的双重非负性，对A选项，故方程无实数解；对C选项，不可能同时成立，可知方程无实数解；对D选项， 无解，即方程无实数解；故选B【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定【作业3】 下列四个无理方程中，有一个根是x=2的方程是（）ABCD【难度】【答案】C【解析】对A、B、D选项，将代入原方程，左边右边，可知不是相应方程的 解；对C选项，左边右边，可知是相应方程的解，故选C【总结】考查对无理方程解的判断，根据二次根式双重非负性即可进行初步判定【作业4】 用换元法解方程时，设=y，则原方程可转换成整式方程_【难度】【答案】【解析】由，
23、可得，原方程即为， 整理即为【总结】考查用“换元法”对无理方程进行变形转化，注意最终化成整式方程的形式【作业5】 将下列方程化成有理方程：（1）；（2）； （3）【难度】【答案】（1）；（2）；（3）【解析】（1）移项得，两边平方整理得； （2）移项得，两边平方得，整理得；（3）移项得，两边平方得，移项得，平方整理得：【总结】考查无理方程转化为有理方程，移项平方即可【作业6】 解下列方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）两边平方得：，整理得，因式分解法，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）移项得，两边平方得，整理得:，解得：，经检验，是原方程的增根
24、，即原方程的根为【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验【作业7】 解下列方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2），【解析】（1）两边平方得，整理得:，因式分解法，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）移项得，两边平方得，整理得：， 解得：，经检验，都是原方程的根【总结】考查无理方程的解法，注意方程增根的检验【作业8】 解下列方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）移项得，两边平方，得：，移项得，两边平方整理，得，解得：，经检验，是原方程的根，即原方程的根为； （2）移项得，两边平方，得：，移项得，两边平方整理得，解得：，经检验，是原方
25、程的增根，即原方程的根为【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可【作业9】 有一个数，它的平方根比它的倒数的正平方根的3倍多2，求这个数【难度】【答案】9【解析】设这个数为，依题意可得，平方得：，整理得，解得：，经检验，是原方程的增根，得方程的根是，即这个数是9【总结】考查根据题意列方程解题，注意无理方程增根的检验【作业10】 已知点P是x轴上一点，它与点A(-9，3)之间的距离是15，求点P的坐标【难度】【答案】或【解析】设点，根据两点间距离公式，依题意可得，平方得，解得：，经检验，是原方程的根，即或【总结】考查利用两点间距离公式确定点的位置问题【作业11】 某学校修建
26、两块面积相等的绿地，一块是长方形，另一块是正方形已知长方形绿地的长比宽多14米，且这两块绿地的周长之和为196米，那么长方形绿地的宽是多少?【难度】【答案】【解析】设长方形绿地宽为，则长为，根据相关周长和面积公式，依题意可得，移项得，平方整理得：，解得：，经检验，是原方程的根，即长方形绿地宽为【总结】考查长方形和正方形周长面积公式的综合应用，根据相关公式列出方程解题【作业12】 解下列方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1），；（2），【解析】（1）令，得，方程即，整理得，解得：（舍），令，平方整理得，解得：，经检验，都是原方程的根；（2）令，得：，展开完全平方原方程即为，解得：（舍），令，
27、平方整理，得，解得：，经检验，都是原方程的根【总结】考查用“换元法”解无理方程，注意元的取值范围【作业13】 解下列关于的方程：（1）；（2）【难度】【答案】（1）；（2）【解析】（1）两边平方，得：，移项得，两边平方，得：，整理得，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为； （2）两边平方，得：，移项得，两边平方得，整理得：，解得：，经检验，是原方程的增根，即原方程的根为【总结】考查含有多个二次根式的无理方程的解法，两边多次平方即可，注意检验增根【作业14】 若关于x的方程有实数根，求k的取值范围【难度】【答案】【解析】令，则有，原方程即为，整理即为，因为方程有实数根，则有，得，且方程至少有一根满足，根据韦达定理可得：，可知方程两根必为一非负根一负根，则有，得：，即的取值范围是【总结】考查无理方程根的判定，利用换元法根据二次根式的非负性结合题意求解计算
