1、 专题专题 22 22 锐角三角函数锐角三角函数 一、单选题一、单选题 1我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术：割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体，而无所失矣，即通过圆内接正多边形割圆，从正六边形开始，每次边数成倍增加，依次可得圆内接正十二边形，内接正二十四边形，边数越多割得越细，正多边形的周长就越接近圆的周长再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率设圆的半径为 R，图 1 中圆内接正六边形的周长6= 6，则 62= 3再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为（ ） A12sin15 B12cos15 C12sin30 D12cos30 2由 4 个形状
2、相同，大小相等的菱形组成如图所示的网格，菱形的顶点称为格点，点 A，B，C 都在格点上，O=60 ，则 tanABC=（ ） A13 B12 C33 D32 3 （2022 鄂州）如图，定直线 MNPQ，点 B、C 分别为 MN、PQ 上的动点，且 BC=12，BC 在两直线间运动过程中始终有BCQ=60 .点 A 是 MN 上方一定点，点 D 是 PQ 下方一定点，且 AEBCDF，AE=4，DF=8，AD=243，当线段 BC 在平移过程中，AB+CD 的最小值为（ ） A2413 B2415 C1213 D1215 4 （2022 十堰）如图，坡角为 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树
3、AB，当太阳光线与水平线成45 角沿斜坡照下，在斜坡上的树影 BC 长为 m，则大树 AB 的高为（ ） A(cos sin) B(sin cos) C(cos tan) Dsincos 5 （2022 荆州）如图，在平面直角坐标系中，点 A，B 分别在 x 轴负半轴和 y 轴正半轴上，点 C 在 OB上， ： = 1：2 ， 连接AC， 过点O作 交AC的延长线于P.若 (1，1) ， 则 tan 的值是（ ） A33 B22 C13 D3 6 （2022 随州）如图，已知点 B，D，C 在同一直线的水平，在点 C 处测得建筑物 AB 的顶端 A 的仰角为 ，在点 D 处测得建筑物 AB 的
4、顶端 A 的仰角为 ， = ，则建筑物 AB 的高度为（ ） Atantan Btantan Ctantantantan Dtantantantan 7 （2022 八下 黄冈期中）如图所示，E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点，且 BE=BC，P 为 CE 上任意一点，PQBC 于点 Q，PRBE 于点 R，则 PQ+PR 的值是（ ） A22 B12 C32 D23 8 （2022 八下 崇阳期中）如图，在平行四边形 ABCD 中，ABC45 ，E、F 分别在 CD 和 BC 的延长线上，AEBD，EFC30 ，AB1，则 CF 的长为（ ） A2 +6 B22 C
5、4 D2+3 9 （2022 九下 鄂州月考）如图，在菱形 ABCD 中，ABC120 ，AB10cm，点 P 是这个菱形内部或边上的一点.若以 P，B，C 为顶点的三角形是等腰三角形，则 P，A（P，A 两点不重合）两点间的最短距离为 （ ） A10 B53 C10310 D1053 10 （2021 九上 鄂城期末）如图， 中， = 90 ， = ，点 D 是边 上一动点，连接 ，以 为直径的圆交 于点 E.若 长为 4，则线段 长的最小值为（ ） A5 1 B25 2 C210 22 D102 二、填空题二、填空题 11 （2022 黄石）某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动：已知无人
6、机的飞行高度为 30m，当无人机飞行至 A 处时， 观测旗杆顶部的俯角为 30 ， 继续飞行 20m 到达 B 处， 测得旗杆顶部的俯角为 60 ，则旗杆的高度约为 m （参考数据：3 1.732，结果按四舍五八保留一位小数） 12 （2022 鄂州）如图，在边长为 6 的等边ABC 中，D、E 分别为边 BC、AC 上的点，AD 与 BE 相交于点 P，若 BD=CE=2，则ABP 的周长为 . 13 （2022 宜昌）如图， 岛在 A 岛的北偏东 50 方向， 岛在 岛的北偏西 35 方向， 则 的大小是 . 14 （2022 孝感）如图，有甲乙两座建筑物，从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯
7、角为45，点的俯角为58，为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度为6，则甲建筑物的高度为 .（sin58 0.85，cos58 0.53，tan58 1.60，结果保留整数）. 15 （2022 随州）如图 1，在矩形 ABCD 中， = 8， = 6，E，F 分别为 AB，AD 的中点，连接EF.如图 2， 将AEF 绕点 A 逆时针旋转角(0 90)， 使 ， 连接 BE 并延长交 DF 于点 H，则BHD 的度数为 ，DH 的长为 . 16 （2022 武汉）如图，沿方向架桥修路，为加快施工进度，在直线上湖的另一边的处同时施工.取 = 150， = 1600， = 105，则，两点的
8、距离是 . 17 （2022 九下 黄石月考）如图，正方形 ABCD 中，点 E，F 分别为 CD，DA 延长线上的点，连接 EF，BF， BE， BE 交 AD 于点 P， 过点 F 作 FKBE 垂足为 G， FK 与 AB， CD 分别交于点 H， K， 若 DC=DE，EFB=FBC.则下列结论中：BPHK；ABF+FEB45 ；PG：GB：PE1：2：3；sin =1010 ；若连接 AG，则 + = 2 ；HF2+HK22HB2.结论正确的有 （只填序号）. 18 （2022 九下 黄石月考）如图，在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD，CD4 米，坡角DCE30 ，小红在斜坡下的点
9、 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60 ，在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45 ，其中点A、C、E 在同一直线上.则大楼 AB 的高度 .（结果保留根号） 19 （2022 九下 黄石开学考）某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度.他们在 C 处仰望建筑物顶端，测得仰角为 48 ，再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处，测得仰角为 64 ，则建筑物的高度 米. （测角器的高度忽略不计， 结果精确到 0.1 米）（参考数据： sin48 710 ， tan48 1110 ， sin64 910 ，tan642） 20 （2021 九上 江夏月考）如图，点 C 是以 AB
10、为直径的半圆上任意一点， = 8，连接 AC，将线段AC 绕点 A 逆时针旋转 120 得到线段，则的最大值为 . 三、计算题三、计算题 21 （2021 十堰）计算： 2cos45 + (13)1 | 3| . 22 （2021 黄冈）计算： |1 3| 2sin60 + ( 1)0 . 23 （2021 房县模拟）计算：-2+2sin30 - 4 -（ 2 -）0； 24 （2021 汉川模拟）计算： 12 21+ (13)0 4cos30 25 （2021 孝感模拟）计算： |3 1| 4sin60 + (16)1 . 四、综合题四、综合题 26 （2021 荆门）某海域有一小岛 P，在
11、以 P 为圆心，半径 r 为 10(3 + 3) 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行，它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 60 的方向上，当海监船行驶 202 海里后到达 B 处，此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东 45 方向上. （1）求 A，P 之间的距离 AP； （2）若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险？请说明理由.如果有触礁危险，那么海监船由B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域？ 27 （2021 荆门）如图，在 中， = 90 ，点 E 在 BC 边上，过 A，C，E 三点的 交AB 边于另一点 F，且 F 是弧 AE 的中点，AD 是 的
12、一条直径，连接 DE 并延长交 AB 边于 M 点. （1）求证：四边形 CDMF 为平行四边形； （2）当 =25 时，求 sin 的值. 28（2021 襄阳）如图， 直线 经过 上的点 ， 直线 与 交于点 和点 ， 与 交于点 ，与 交于点 ， = ， = . （1）求证： 是 的切线； （2）若 / ， = 6 ，求图中阴影部分面积. 29（2021 仙桃）如图1， 已知 = 45 ， 中 = 90 ， 动点P从点A出发， 以 25/ 的速度在线段 上向点 C 运动， ， 分别与射线 交于 E，F 两点，且 ，当点 P与点 C 重合时停止运动，如图 2，设点 P 的运动时间为 ， 与
13、 的重叠部分面积为 2 ，y 与 x 的函数关系由 1(0 5) 和 2(5 ) 两段不同的图象组成. （1）填空：当 = 5 时， = ； sin = ； （2）求 y 与 x 的函数关系式，并写出 x 的取值范围； （3）当 362 时，请直接写出x 的取值范围. 30（2021 宜昌）如图， 在矩形 中， 是边 上一点， = ， ， 垂足为 .将四边形 绕点 顺时针旋转 (0 90) ，得到四边形 . 所在的直线分别交直线 于点 ， 交直线 于点 ， 交 于点 . 所在的直线分别交直线 于点 ，交直线 于点 ，连接 交 于点 . （1）如图 1，求证：四边形 是正方形； （2）如图 2，
14、当点 和点 重合时. 求证： = ； 若 = 1 ， = 2 ，求线段 的长； （3）如图 3，若 / 交 于点 ， tan =12 ，求 的值. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：如图： 十二边形1212是正十二边形， 67=36012= 30， 67于 H，又6= 7， 6 = 15， 圆内接正十二边形的周长12= 12 2sin15 = 24sin15， 122= 12sin15 故答案为：A 【分析】利用正十二边形的性质得中心角的度数为 30 ，利用等腰三角形的性质可求出A6OH=15 ，A6A7=2A6H，利用正弦函数的定义求出 A6H，进而即可求出正十二
15、边形的周长，然后求出圆周率. 2 【答案】C 【解析】【解答】解：连接 AD，如图： 网格是有一个角 60 为菱形， AOD、BCE、BCD、ACD 都是等边三角形， AD= BD= BC= AC， 四边形 ADBC 为菱形，且DBC=60 ， ABD=ABC=30 ， tanABC= tan30 =33. 故答案为：C. 【分析】连接 AD，易得AOD、BCE、BCD、ACD 都是等边三角形，则 AD= BD= BC= AC，推出四边形 ADBC 为菱形，且DBC=60 ，则ABD=ABC=30 ，然后根据特殊角的三角函数值进行解答. 3 【答案】C 【解析】【解答】解：如图所示，过点 F
16、作 FHCD 交 BC 于 H，连接 EH， ， ， 四边形 CDFH 是平行四边形， CH=DF=8，CD=FH， BH=4， BH=AE=4， 又 ， 四边形 ABHE 是平行四边形， AB=HE， + ， 当 E、F、H 三点共线时，EH+HF 有最小值 EF 即 AB+CD 有最小值 EF， 延长 AE 交 PQ 于 G，过点 E 作 ETPQ 于 T，过点 A 作 ALPQ 于 L，过点 D 作 DKPQ 于 K， ， ， 四边形 BEGC 是平行四边形，EGT=BCQ=60 ， EG=BC=12， = cos = 6， = sin = 63， 同理可求得 = 8， = 83， =
17、4， = 43， = 2， ALPQ，DKPQ， ， ALODKO， = 2， =23 = 163， =13 = 83， = 2 2= 24， = 2 2= 12， = + + + = 42， = 2+ 2= 1213. 故答案为：C. 【分析】过点 F 作 FHCD 交 BC 于 H，连接 EH，易得四边形 CDFH、ABHE 是平行四边形，根据平行四边形的性质得 CH=DF=8，CD=FH，AB=HE，故当 E、F、H 三点共线时，EH+HF 有最小值 EF 即AB+CD 有最小值 EF，延长 AE 交 PQ 于 G，过点 E 作 ETPQ 于 T，过点 A 作 ALPQ 于 L，过点 D
18、作 DKPQ 于 K，则四边形 BEGC 是平行四边形，EGT=BCQ=60 ，EG=BC=12，根据三角函数的概念可得 GT、ET，同理可得 GL、AL、FK、DK，易证ALODKO，根据相似三角形的性质可得AO、DO，利用勾股定理可得 OL、OK，由 TF=TL+OL+OK+KF 可得 TF，然后利用勾股定理进行计算. 4 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过点 C 作水平线与 AB 的延长线交于点 D，则 ADCD， BCD=，ACD=45 . 在 RtCDB 中，CD=mcos，BD=msin， 在 RtCDA 中， AD=CD tan45 =mcostan45 =mcos， AB
19、=AD-BD =（mcos-msin） =m（cos-sin）. 故答案为：A. 【分析】 过点 C 作水平线与 AB 的延长线交于点 D， 则 ADCD， 根据锐角三角形函数的定义求出 CD= mcos，BD=msin，在 RtCDA 中，可得 AD=CDtan45=mcos，根据 AB=AD-BD 即可求解. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：P 点坐标为（1，1） ， 则 OP 与 x 轴正方向的夹角为 45 ， 又 OPAB ， 则BAO=45 ， OAB 为等腰直角形， OA=OB， 设 OC=x，则 OB=3OC=3x， 则 OB=OA=3x， tan =3=13 . 故答案为：
20、C. 【分析】 由 P 点坐标为 （1， 1） ， 可得 OP 与 x 轴正方向的夹角为 45 ， 由平行线的性质可得BAO=45 ，即得OAB 为等腰直角形，设 OC=x，则 OB=3OC=3x，则 OB=OA=3x，根据tan =即可求解. 6 【答案】D 【解析】【解答】设 AB=x，由题意知，ACB=，ADB=， =tan， =tan， CD=BC-BD， tantan= ， =tantantantan，即 AB=tantantantan， 故答案为：D. 【分析】利用解直角三角形分别表示出 BD，BC 的长；再根据 CD=BC-BD=a，建立关于 x 的方程，解方程表示出 x，即可得
21、到建筑物 AB 的高. 7 【答案】A 【解析】【解答】连接 BP，过 C 作 CMBD， BC=BE， SBCE=SBPE+SBPC =BC PQ12+BE PR12 =BE （PQ+PR）12 =BE CM12， PQ+PR=CM， BE=BC=1，BD 是正方形 ABCD 的对角线， BD=2BC=2， BC=CD，CMBD， M 为 BD 中点， BDC 为直角三角形， CM=12BD=22， 即 PQ+PR 值是22 故答案为：A 【分析】连接 BP，过 C 作 CMBD， 由 BC=BE，利用三角形的面积公式可得到 SBCE=SBPE+SBPC， 可证得 SBCE=12BE CM，
22、可推出 PQ+PR=CM，利用解直角三角形求出 BD 的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可求出 CM 的长，即可得到 PQ+PR 的长. 8 【答案】A 【解析】【解答】解：如图，过 E 作 EHBF 于点 H， 四边形 ABCD 是平行四边形， ， AB=DC， ， 四边形 ABDE 是平行四边形， AB=DE=CD，即 D 为 CE 中点. AB=1， CE=2， ， ECF=ABC=45 ， CE=8，ECF=45 ， = = 2， = 30， = 3 = 6， = 2 + 6. 故答案为：A. 【分析】如图，过 E 作 EHBF 于点 H，先证明四边形 ABDE 是平行四
23、边形，可得 AB=DE=CD，即 D为 CE 中点，然后求出 CE=2，再求出CEF 为等腰直角三角形，可得 EH=CH=22CE=2，利用锐角三角形函数求出 = 3 = 6，根据 CF=CH+HF 即可得解. 9 【答案】C 【解析】【解答】解：连接， 在菱形中， = 120， = = = = 10， = = 60， ，都是等边三角形， 若以边为底，则垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”， 即当点 P 与点 D 重合时， 最小， 最小值 = 10； 若以边为底，为顶角时，以点 C 为圆心，长为半径作圆，与相交于一点，
24、则弧（除点 B 外）上的所有点都满足是等腰三角形，当点 P 在上时，最小，如图所示， 连接交 于 O， 为菱形， ， = 2， = 120， = 60， 在中， = 10， = sin60 = 10 32= 53， = 2 = 103， = = 103 10， 最小值为103 10； 若以边为底， 为顶角， 以点B为圆心， 为半径作圆， 则弧上的点A与点D均满足为等腰三角形，当点 P 与点 A 重合时，最小，显然不满足题意，故此种情况不存在； 综上所述，的最小值为103 10()； 故答案为：103 10. 故答案为：C. 【分析】连接 BD，根据菱形的性质可得 AB=BC=CD=AD=10，
25、A=C=60 ，推出ABD、BCD 都是等边三角形，若以边 BC 为底，则 BC 垂直平分线上（在菱形的边及其内部）的点满足题意，根据垂线段最短的性质可得当点 P 与点 D 重合时，PA 最小；若以边 PB 为底，PCB 为顶角时，以点 C 为圆心，BC 长为半径作圆，与 AC 相交于一点，则弧 BD（除点 B 外）上的所有点都满足PBC是等腰三角形， 当点 P 在 AC 上时， AP 最小， 连接 AC 交 BD 于 O， 根据菱形的性质可得ABD=60 ，AC=2AO，ACBD，根据三角函数的概念可得 AO，进而得到 AC，由 AP=AC-CP 可得 PA 的最小值；若以边 PC 为底，P
26、BC 为顶角，以点 B 为圆心，BC 为半径作圆，则弧 AC 上的点 A 与点 D 均满足PBC 为等腰三角形，当点 P 与点 A 重合时，PA 最小，显然不满足题意，据此解答. 10 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，连接 CE， 由 CD 为直径， = 90 = ， 点 E 在以 BC 的中点 O 为圆心， BC 为直径的 上运动， 连接 AO， 交 于点 E， 则此时 AE=AO-OE 最小， = 90 ， = ， = 4， = = 45， = = sin45 = 22， = = = 2， =(22)2+ (2)2= 10， = 10 2. 故答案为：D. 【分析】 连接 CE， 由
27、圆周角定理可得CED=BEC=90 ， 连接 AO， 交 于点 E， 则此时 AE=AO-OE最小，根据等腰直角三角形的性质可得ABC=BAC=45 ，根据三角函数的概念可得 AC=BC=2，利用勾股定理求出 AO，进而可得 AE. 11 【答案】12.7 【解析】【解答】 解： 设旗杆底部为点 C， 顶部为点 D， 延长 CD 交直线 AB 于点 E， 依题意则 DEAB， 则 CE=30m，AB=20m，EAD=30 ，EBD=60 ， 设 DE=x m， 在 RtBDE 中，tan60 = 3 解得 =33 则 = + = (20 +33)m， 在 RtADE 中，tan30 =20+3
28、3=33， 解得 = 103 17.3m， CD=CE-DE= 12.7 故答案为：12.7 【分析】设旗杆底部为点 C，顶部为点 D，延长 CD 交直线 AB 于点 E，设 DE=xm，利用解直角三角形表示出 BE 的长，同时可表示出 AE 的长；在 RtADE 中，利用解直角三角形可得到关于 x 的方程，解方程求出 x 的值，然后求出 CD 的长. 12 【答案】6 +1877 【解析】【解答】解：如图所示，过点 E 作 EFAB 于 F， ABC 是等边三角形， AB=BC，ABD=BAC=BCE=60 ， CE=BD=2，AB=AC=6， AE=4， = cos = 2， = sin
29、= 23， BF=4， = 2+ 2= 27， 又BD=CE， ABDBCE（SAS） ， BAD=CBE，AD=BE， 又BDP=ADB， BDPADB， =， 227=6=2， =677， =277， = =1277， ABP 的周长= + + = 6 +1877. 故答案为：6 +1877. 【分析】过点 E 作 EFAB 于 F，根据等边三角形的性质可得 AB=BC，ABD=BAC=BCE=60 ，则 AE=AC-CE=4，根据三角函数的概念可得 AF、EF，利用勾股定理可得 BE，证明ABDBCE，得到BAD=CBE，AD=BE，证明BDPADB，根据相似三角形的性质可得 BP、PD
30、，然后根据AP=AD-AP 求出 AP，据此不难求出ABP 的周长. 13 【答案】85 【解析】【解答】解： C 岛在 A 岛的北偏东 50 方向， = 50 ， C 岛在 B 岛的北偏西 35 方向， = 35 ， 过 C 作 CFDA 交 AB 于 F ，如图所示： ， = = 50， = = 35 ， = + = 85. 故答案为：85 . 【分析】易得DAC=50 ，CBE=35 ，过 C 作 CFDA 交 AB 于 F，根据平行线的性质得FCA=DAC=50 ，FCB=CBE=35 ，然后根据ACB=FCA+FCB 进行计算. 14 【答案】16 【解析】【解答】解：如图，过点作
31、于点，设 = ， 根据题意可得： ， ， = = = = 90， 四边形 BCDE 是矩形， 从甲建筑物 A 点处测得乙建筑物 D 点的俯角为45，C 点的俯角为58，为两座建筑物的水平距离，乙建筑物的高度 CD 为 6， = = 6， = 45， = 58， 在 中， = 45， = 90 = 45， = ， = = ， = = ， = + = + 6， 在 中，tan = 即tan58 =+6 1.60， tan = tan58 =+6 1.60 解得 10， 经检验 10是原分式方程的解且符合题意， = + 6 16(). 故答案为：16. 【分析】过 D 点作 DEAB 于 E，设 A
32、E=x，易得四边形 BCDE 是矩形，由题意可得 BE=CD=6，ADE=45 ，ACB=58 ，则 DE=AE=x，BC=DE=x，AB=AE+BE=x+6，根据三角函数的概念可得 x，进而可得 AB. 15 【答案】90 ；455 【解析】【解答】解：如图，设 EF 交 AD 于点 M，BH 交 AD 于点 N， 根据题意得：BAE=DAF，EAF=90 ， =12 = 3， =12 = 4， =34， 在矩形 ABCD 中， = 8， = 6，BAD=90 ， =34， ADFABE， ADF=ABE， ANB=DNH， BHD=BAD=90 ； 如图，过点 E 作 EGAB 于点 G，
33、 AGE=AME=BAD=90 ， 四边形 AMEG 是矩形， EG=AM，AG=ME，MEAB， ABE=MEN， 在 中， = 2+ 2= 5， tan =34， =12 =12 ， = =125， = =tan=165， = = 8 165=245， tan = tan =12， =12，即 =85， = = 2， ADF=ABE， tan = tan =12， 即 DH=2HN， 2+ 2= 2+ (12)2= 2= 4， 解得： =455或455（舍去）. 故答案为：90 ，455 【分析】设 EF 交 AD 于点 M，BH 交 AD 于点 N，利用旋转的性质及线段中点的定义可证得B
34、AE=DAF，EAF=90 ，同时可求出 AF，AE 的长，即可求出 AE 与 AF 的比值；同时可得到 AD 与 AB的比值； 利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可证得ADFABE， 利用相似三角形的性质可证得ADF=ABE，可推出BHD=BAD=90 ；过点 E 作 EGAB 于点 G，易证四边形 AMEG是矩形，利用矩形的性质可证得 EG=AM，AG=ME，MEAB，利用平行线的在可知ABE=MEN，利用勾股定理求出 EF 的长，利用锐角三角函数的定义及三角形的面积公式可求出 AG 的长，即可求出BG 的长； 再利用解直角三角形求出 MN 的长， 根据 DN=AD-AM 可求出
35、DN 的长； 利用ADF=ABE及解直角三角形可得到 DH=2HN；然后利用勾股定理可求出 DH 的长. 16 【答案】8002 【解析】【解答】解：过点 C 作 CEAD 于点 D， ABC=150 ， CBD=180 -ABC=30 ， BCE=90 -30 =60 . BCD=105 ， DCE=BCD-BCE=45 ， CE=DE. sinBCE=sin30 =1600=12， CE=800， CE=DE=800， CD=2+ 2=8002. 故答案为：8002. 【分析】过点 C 作 CEAD 于点 D，根据邻补角的性质可得CBD=30 ，则BCE=60 ，DCE=BCD-BCE=4
36、5 ，推出 CE=DE，根据BCE 的正弦三角函数的概念可得 CE，然后利用勾股定理进行计算. 17 【答案】 【解析】【解答】解：过点 A 作 ALBE 交 CD 于点 L， 四边形 AHKL 是平行四边形， ALHK， ABAD，ADLBAP90 ， DAJAPBDALALD90 ， APBALD， ADLBAP（AAS） ， BPALHK，故正确； 延长 EF、CB 相交于点 N，过点 B 作 BMEN 于点 M，连接 BK， EFBFBC， BFNFBNBFA， BMBABC， FEGKEG， EFGEKG（ASA） ， FGKG， BE 垂直平分 FK， BFBK， BABC， Rt
37、ABFRtCBK（HL） ， ABFCBK， FBKABFABKCBKABK90 ， FBEKBE45 ， ABFFEBABFBEDABFABPFBE45 ，故正确； DFK90EKGBEC， tanDFKtanBEC 12 ， BGFG2PG， PEPBPGBG3PG， PG：BG：PE1：2：3，故正确； 设正方形边长为 a，由 tanDFK 12 ， DF2DK， 即：aAF2（aCK） ， AFCK 13 a， BF 22 = 103 a， sinABF = 1010 ，故正确； 过点 G 作 GQAG 交 AB 于点 Q， PGFHGB，FGBG，PFGHBG， FPGBHG（ASA
38、） ， PFBH，PGHG， AGQFGB90 ， AGQFGQ=BGFFGQ， AGFBGQ， AFGQBG，FGBG， AFGBHG（ASA） ， AGQG，AFBQ， HQBHBQPFAFAP， 2 AGAQAHHQAHAP，故正确； 在 BC 上截取 BIBH，连接 KI，HI，则 AHCI， AFHCKI（SAS） ， AFHCKI， KIFH， HKI180FKDAFH180FKDCKI90 ， HF2HK2KI2HK2HI22BH2，故正确； 故答案为：. 【分析】过点 A 作 ALBE 交 CD 于点 L，根据平行四边形的性质可得 ALHK，根据同角的余角相等可得APBALD，
39、证明ADLBAP，据此判断；延长 EF、CB 相交于点 N，过点 B 作 BMEN 于点 M，连接 BK，由等腰三角形的性质可得FEGKEG，证明EFGEKG，得到 FGKG，由垂直平分线的性质可得 BFBK，证明 RtABFRtCBK，得到ABFCBK，易得FBEKBE45 ，进而判断；根据三角函数的概念可得 BGFG2PG，则 PEPB3PG，据此判断；设正方形边长为 a，由三角函数的概念得 DF2DK，则 AFCK13a，由勾股定理得 BF，然后根据三角函数的概念可判断；过点 G 作 GQAG 交 AB 于点 Q，证明FPGBHG，得到 PFBH，PGHG，根据角的和差关系可推出AGFB
40、GQ，证AFGBHG，得到 AGQG，AFBQ， 则 HQBH-BQPF-AFAP， 据此判断； 在 BC 上截取 BIBH， 连接 KI， HI， 则 AH=CI，证AFHCKI，得到AFHCKI，根据内角和定理可得HKI90 ，结合勾股定理可判断. 18 【答案】（6+4 3 ）米 【解析】【解答】解：在 RtDCE 中，DC4 米，DCE30 ，DEC90 ， DE =12 DC2(米)， 过 D 作 DFAB，交 AB 于点 F， BFD90 ，BDF45 ， FBD45 ，即BFD 为等腰直角三角形， 设 BFDFx 米， 四边形 DEAF 为矩形， AFDE2 米，即 AB（x+2
41、）米， 在 RtABC 中，ABC30 ， =cos30=+232=2+43=3(2+4)3 （米） ， BD = 2 BF = 2 x 米，DC4 米， DCE30 ，ACB60 ， DCB90 ， 在 RtBCD 中，根据勾股定理得： 22=(2+4)23+ 16 ， 解得：x4+4 3 ， 则 AB（6+4 3 ）米. 故答案为： （6+4 3 ）米. 【分析】根据含 30 角的直角三角形的性质可得 DE=12CD=2 米，过 D 作 DFAB，交 AB 于点 F，易得BFD 为等腰直角三角形，设 BFDFx 米，根据矩形的性质可得 AFDE2 米，则 AB(x+2)米，根据三角函数的概
42、念可得 BC、BD，在 RtBCD 中，根据勾股定理可求出 x，进而可得 AB. 19 【答案】14.7 【解析】【解答】解：根据题意，得 = 64， = 48 ， = 6 米， 在 中， tan64 = ， =tan6412 ， 在 中， tan48 = ， =tan481011 ， = ，即 6 =1011 12 解得： =1329 14.7 米， 建筑物的高度约为 14.7 米. 故答案为：14.7. 【分析】根据题意得 ：ADB=64 ，ACB=48 ，CD=6 米，根据ADB、ACB 的正切函数可求出BD、BC，然后根据 CD=BC-BD 进行计算. 20 【答案】47 + 4 【解
43、析】【解答】解：如图所示，找出线段 AB 的中点 O，连接 OC，将线段 AC 绕点 A 旋转 120 可看作将AOC 绕点 A 旋转 120 得到AOC， ， OC=OC=4， 以点 O为圆心，OC为半径作圆，当 O、C、B 三点共线时，BC取得最大值， 如图所示： = 60， = 4， = 8， = cos60 = 2， = 23， = 2+ 2=102+ (23)2= 47， = + = 47 + 4. 故答案为：47 + 4. 【分析】找出线段 AB 的中点 O，连接 OC，将线段 AC 绕点 A 旋转 120 可看作将AOC 绕点 A 旋转120 得到AOC，则AOCAOC，得到 O
44、C=OC=4，以点 O为圆心，OC为半径作圆，当 O、C、B 三点共线时，BC取得最大值，根据三角函数的概念求出 AD、OD，由勾股定理求出 BO，进而可得BC的最大值. 21 【答案】解：原式 = 2 22+ 3 3 = 1 . 【解析】【分析】利用特殊角三角函数值、负整数幂的性质、绝对值的性质分别进行计算，再合并即可. 22 【答案】解：原式 = 3 1 2 32+ 1 ， = 3 3 ， = 0 【解析】【分析】先算乘方运算，同时化简绝对值，代入特殊角的三角函数值，再算乘法运算，挺好合并即可. 23 【答案】解：原式= 2 + 2 12 2 1 = 0 【解析】【分析】根据绝对值的性质、
45、算术平方根以及 0 次幂的运算性质将原式化简，同时代入特殊角的三角函数值，进而根据有理数的混合运算顺序算出答案. 24 【答案】解： 12 21+(13 )0 4cos30 = 23 12+ 1 4 32 = 23 +12 23 =12 【解析】【分析】第一项根据二次根式性质的化简，第二项根据负指数幂的法则计算，第三项根据 0 指数幂的法则计算，第四项代入特殊锐角三角函数值，进而再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可. 25 【答案】解：原式 = 3 1 4 32+ 6 = 3 1 23 + 6 = 3 + 5 . 【解析】【分析】由特殊角的三角函数值可得 sin60 =32，由负整数指数
46、幂的意义“任何一个不为 0 的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得（16）-1=6，然后根据二次根式的混合运算法则计算即可求解. 26 【答案】（1）解：如图 1，作 ，交 AB 的延长线于 C， 由题意知： = 30 ， = 45 . 设 = ：则 = ， tan30 =202+=33 ， 解得 = 102(3 + 1) ， 经检验： = 102(3 + 1) 是原方程的根，且符合题意， = 2 = 206 + 202 （2）解： = 102(3 + 1) 103(3 + 1) = 10(3 + 1)(2 3) 0 ， . 因此海监船继续向东航行有触礁危险； 设海监船无触礁
47、危险的新航线为射线 BD， 以 为圆心， 10(3 + 3) 为半径作圆， 过 作圆 P 的切线 ， 交 于点 D， PDB=90 ， 由（1）得： = 2， sin =10(3+3)2=32 ， PBD=60 ， CBD=15 ， 海监船由 B 处开始沿南偏东小于 75 的方向航行能安全通过这一海域 【解析】【分析】 （1） 作 ，交 AB 的延长线于 C，设 = ， = ， 由tan30 =202+=33，解出 x 值即可； （2）先判断出海监船继续向东航行有触礁危险；设海监船无触礁危险的新航线为射线 BD， 以 为圆心， 10(3 + 3) 为半径作圆，过 作圆 P 的切线 ， 交 于点
48、 D，可得PDB=90 ， 由（1）得 = 2，可得sin =10(3+3)2=32，据此可得PBD=60 ，由CBD=PBD-PBC，求出CBD 的度数即可. 27 【答案】（1）证明：连接 ， ，则 = 90 ， + = 90 ， + = 90 ， F 是 的中点， = ， = ， = = + = 90， + = 90 = ， = ， / ； = = 90 ， / . 即 / ， 四边形 CDMF 是平行四边形 （2）解：由（1）可知：四边形 ACDF 是矩形， = = = ， 由 =25 =25(2 + ) = 2 ， BM/CD =12 ， 设 = ，那么 = 3 ， = 2 ， 在
49、中， = 2 2= 92 42= 5 ， = 25 在 中， = 2+ 2= 42+ 202= 26 在 中， sin =226=66 【解析】【分析】 （1）连接，根据圆周角定理可得 = ，利用等腰三角形的性质可得 = ，利用余角的性质可得 = ，从而可得 = ，可证/，由 = = 90 ，/ 即 / ，根据平行四边形的定义即证； （2） 由（1）可知：四边形 ACDF 是矩形，可得 = = = ，由 =25 时，可得 = 2 ， 利用平行线的性质可证 ，=12 ， 设 = ， 那么 = 3 ， = 2 ，利用勾股定理求出 = 25， = 26， 利用sin =即可求出结论. 28 【答案】
50、（1）证明：连接 . = ， = . . 是 的半径， 是 切线 （2）解： 是 的直径， = 90 ， / ， = = 90 ， =12 = 3 ， = ， = ， = ， = ， = ， = = = 60 ， 在 中， =sin= 23 ， = cos = 3 ， 阴影= 扇形 =60(23)2360123 3 = 2 332 【解析】【分析】 （1）连接 OC，利用等腰三角形的性质可证得 OCAB，再利用切线的判定定理可证得 AB 是圆 O 的切线. （2）利用切线的性质可证得DCF=90 滴，利用平行线的性质，可证得DGO=90 ，即可求出 DG 的长；再证明DOG=60 ，利用解直角
