1、 学科网（北京）股份有限公司 第第 1414 讲讲 三角形三角形 一、单选题一、单选题 1线段 a、b、c 首尾顺次相接组成三角形，若 a=1，b=3，则 c 的长度可以是（ ） A3 B4 C5 D6 2如图，在ABC 中，ABAC8，点 E，F，G 分别在边 AB，BC，AC 上，EFAC，GFAB，则四边形 AEFG 的周长是（ ） A8 B16 C24 D32 3如图，点 D 在 ABC 的边 BC 上，点 P 在射线 AD 上（不与点 A，D 重合） ，连接 PB， PC下列命题中，假命题是（ ） A若 = ， ，则 = B若 = ， ，则 = C若 = ， 1 = 2 ，则 = D
2、若 = ， 1 = 2 ，则 = 4 （2022 湖州）如图，已知 BD 是矩形 ABCD 的对角线，AB=6，BC=8，点 E，F 分别在边 AD，BC上，连结 BE，DF将ABE 沿 BE 翻折，将DCF 沿 DF 翻折，若翻折后，点 A，C 分别落在对角线BD 上的点 G，H 处，连结 GF则下列结论不正确的是（ ） 学科网（北京）股份有限公司 ABD=10 BHG=2 CEGFH DGFBC 5 （2022 杭州）如图，在平面直角坐标系中，已知点 P(0，2)，点 A(4，2)以点 P 为旋转中心，把点A 按逆时针方向旋转 60 ，得点 B在 M1( 33 ，0)，M2( 3 ，-1)
3、，M3(1，4)，M4(2， 112 )四个点中，直线 PB 经过的点是( ) AM1 BM2 CM3 DM4 6 （2022 奉化模拟）如图，等边ABC 和等边DEF 的边长相等，点 A、D 分别在边 EF，BC 上，AB与 DF 交于 G，AC 与 DE 交于 H要求出ABC 的面积，只需已知（ ） ABDG 与CDH 的面积之和 BBDG 与AGF 的面积之和 CBDG 与CDH 的周长之和 DBDG 与AGF 的周长之和 7 （2022 桐乡模拟）如图，在平行四边形 中， = 33 ， = 3 ， = 60. 点 在 边上，将 沿着直线 翻折得 . 连结 ，若点 恰好落在 的平分线上，
4、则 ， 两点间的距离为（ ） 学科网（北京）股份有限公司 A3 或 6 B3 或 332 C332 D6 8 （2022 桐乡模拟）如图，在平行四边形 中， 的平分线交 于点 ，交 的延长线于点 ， 作 于 ， 若 = 6 ， = 9 ， = 42 ， 则 的周长为 （ ） A8 B9 C10 D11 9 （2022 舟山）如图，在 RtABC 和 RtBDE 中，ABC=BDE=90 ，点 A 在边 DE 的中点上，若AB=BC，DB=DE=2，连结 CE，则 CE 的长为( ) A14 B15 C4 D17 10 （2022 丽水）如图，已知菱形 ABCD 的边长为 4，E 是 BC 的中
5、点，AF 平分EAD 交 CD 于点 F，FGAD 交 AE 于点 G，若 cosB 14 ，则 FG 的长是（ ） A3 B83 C2153 D52 二、填空题二、填空题 11 （2022 嘉兴）如图，在ABC 中，ABC90 ，A60 ，直尺的一边与 BC 重合，另一边分别交 AB， AC 于点 D， E 点 B， C， D， E 处的读数分别为 15， 12， 0， 1， 则直尺宽 BD 的长为 学科网（北京）股份有限公司 12 （2022 台州）如图，在菱形 ABCD 中，A=60 ，AB=6折叠该菱形，使点 A 落在边 BC 上的点M 处，折痕分别与边 AB，AD 交于点 E，F当点
6、 M 与点 B 重合时，EF 的长为 ；当点 M的位置变化时，DF 长的最大值为 13 （2022 湖州）如图，已知 AB 是O 的弦，AOB=120 ，OCAB，垂足为 C，OC 的延长线交O 于点 D若APD 是 所对的圆周角，则APD 的度数是 14 （2022 温州）如图是某风车示意图，其相同的四个叶片均匀分布，水平地而上的点 M 在旋转中心 O的正下方。 某一时刻， 太阳光线恰好垂直照射叶片 OA、 OB ， 此时各叶片影子在点 M 右侧成线段 CD ，测得 MC=8.5m，CD=13m，垂直于地面的木棒 EF 与影子 FG 的比为 23，则点 O，M 之间的距离等于 米转动时，叶片
7、外端离地面的最大高度等于 米 15 （2022 金华）如图，在 RtABC 中， ACB=90 ，A=30 ，BC=2cm .把 ABC 沿 AB 方向平移1cm，得到ABC ，连结 CC，则四边形 ABCC 的周长为 cm. 学科网（北京）股份有限公司 16 （2022 宁波模拟）如图，在正方形 ABCD 中，AB6，点 Q 是 AB 边上的一个动点（点 Q 不与点 B 重合） ，点 M，N 分别是 DQ，BQ 的中点，则线段 MN 17 （2022 丽水）一副三角板按图 1 放置，O 是边 BC（DF）的中点，BC=12cm.如图 2，将ABC 绕点O 顺时针旋转 60 ，AC 与 EF
8、相交于点 G，则 FG 的长是 cm 18 （2022 嵊州模拟）如图，在ABC 中，AB=AC，A=36 ，分别以点 A，B 为圆心，大于12AB 的长为半径作弧，两弧相交于 M，N 两点，作直线 MN 交 AC 于点 D，再以点 B 为圆心，BC 长为半径作弧，交直线 MN 于点 E，则BEC 的度数为 . 19 （2022 嵊州模拟）如图，在ABC 中，AB= AC=23，BAC=120 ，D 为直线 BC 上一点，连结AD，把线段 AD 绕点 A 按逆时针旋转 60 得到线段 AE，H 是线段 AE 的中点，G 是线段 BC 的中点，连结 DE，GH，若=23，则 GH 的长为 . 学
9、科网（北京）股份有限公司 20 （2022 宁波模拟）如图，MAN=90 ，点 C 在边 AM 上，AC=2，点 B 为边 AN 上一动点，连接BC，ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称，点 D，E 分别为 AC，BC 的中点，连接 DE 并延长交 AB所在直线于点 F，连接 AE当AEF 为直角三角形时，AB 的长为 三、作图题三、作图题 21 （2022 宁波）图 1，图 2 都是由边长为 1 的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段 AB 的端点均在格点上，分别按要求画出图形 （1）在图 1 中画出等腰三角形 ABC，且点 C 在格点上(画出一个即可) （2）
10、在图 2 中画出以 AB 为边的菱形 ABDE，且点 D，E 均在格点上 22 （2022 奉化模拟）如图，在 6 5 的方格纸中，线段 AB 的端点在格点上 （1）在图 1 中，画一个以 AB 为边，面积为 6 的格点平行四边形 ABCD（点 C，D 在格点上） ； （2）在图 2 中，画一个以 AB 为直角边，斜边为整数的格点直角ABC（点 C 在格点上） 23 （2022 金华模拟）如图在 5 5 的网格中，ABC 的顶点都在格点上.（仅用无刻度的直尺在给定的网格中按要求画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示） 学科网（北京）股份有限公司 （1）在图 1 中画出ABC 的中线 AD
11、； （2）在图 2 中画线段 CE，点 E 在 AB 上，使得：2：3； （3）在图 3 中画出ABC 的外心点 O. 24 （2022 衢州模拟）在5 3的方格纸中， 的三个顶点都在格点上. （1）在图 1 中画出线段 BD，使/，其中 D 是格点； （2）在图 2 中画出线段 BE，使 ，其中 E 是格点. 四、解答题四、解答题 25 （2022 衢州）已知：如图，1 = 2，3 = 4求证： = 26 （2022 萧山模拟）如图， 为锐角，射线 / 射线 ，作 和 的平分线分别交 和 于点 和 ，连接 ，求证：四边形 为菱形. 27 （2022 建德模拟）如图， 为锐角，射线 射线 ，作
12、 和 的平分线分别交 和 于点 和 ，连接 ，求证：四边形 为菱形. 学科网（北京）股份有限公司 28 （2022 舟山模拟）在四边形 ABCD 中，对角线 AC、BD 交于点 O，若四边形 ABCD 是正方形，如图 1：则有 AC=BD，ACBD. 旋转图 1 中的 RtCOD 到图 2 所示的位置，AC与 BD有什么关系？（直接写出） ； 若四边形 ABCD 是菱形， ABC=60 ， 旋转 RtCOD 至图 3 所示的位置， AC与 BD又有什么关系？写出结论并证明. 29 （2022 拱墅模拟）问题： 如图， 在 中， 点 E， 点 F 在对角线 AC 上 （不与点 A， 点 C 重合
13、） ，连接 BE，DF.若 ，求证： = .在 = ， = ， = 这三个条件中选择其中一个，补充在上面问题中，并完成问题的解答. 学科网（北京）股份有限公司 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解： = 1， = 3 ， + ， 即： 2 4 ， c 的长度可能为 3 故答案为：A 【分析】利用三角形两边之和大于第三边，两边只差小于第三边列不等式，可得到 c 的取值范围，再观察各选项中的数据，可得 c 的长度. 2 【答案】B 【解析】【解答】 解：AB=AC=8， B=C， EFAC，GFAB， B=GFC，C=EFB，四边形 AEFG 为平行四边形， AE=GF=G
14、C，AG=EF=EB， 平行四边形 AEFG 的周长=2AE+2EF=2（AE+EF）=2（AE+EB）=2AB=2 8=16. 故答案为：B. 【分析】由等腰三角形得B=C，易证出四边形 AEFG 为平行四边形，利用等腰三角形性质及平行四边形性质得 AE=GF=GC，AG=EF=EB，根据平行四边形周长=2AE+2EF，再通过线段的等量代换可得平行四边形的周长=2AB，即可求得四边形 AEFG 的周长. 3 【答案】D 【解析】【解答】解：A、AB=AC，ADBC， AP 垂直平分 BC， PB=PC，此命题是真命题，故 A 不符合题意； B、PB=PC，ADBC， AP 垂直平分 BC，
15、AB=AC，此命题是真命题，故 B-不符合题意； C、AB=AC，1=2 ADBC，AD 是ABC 的中线， AP 垂直平分 BC， PB=PC，此命题是真命题，故 C 不符合题意； 由 PB=PC，1=2，不能证明 AB=AC，此命题是假命题，故 D 符合题意； 学科网（北京）股份有限公司 故答案为：D. 【分析】 利用等腰三角形三线合一的性质， 线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等， 可对 A，B，C 作出判断；据此可得到是假命题的选项. 4 【答案】D 【解析】【解答】解：BD 是矩形 ABCD 的对角线，AB=6，BC=8， AD=BC=8， BD=2+ 2=62+ 82=10，
16、 A 选项不符合题意； ABE 沿 BE 翻折，DCF 沿 DF 翻折，翻折后点 A，C 分别落在对角线 BD 上的点 G，H 处， BG=AB=6，HD=CD=6， HG=HD-（BD-BG）=6-（10-6）=2， B 选项不符合题意； EGB=A=90 ，FHD=B=90 ， EGB=FHD=90 ， EGFH， C 选项符合题意； 若 GFBC， 则HGF+HFG=90 ， 又GBF+BFH=90 ， HGF=GBF=45 ， 无法确定 BF=GF， GFBC 不一定成立， D 选项符合题意. 故答案为：D. 【分析】 根据矩形性质得 AD=BC=8，由勾股定理求得 BD=10， 可判
17、断 A 选项；由图形折叠的性质得，BG=AB=6，HD=CD=6，再由线段和差关系求出 HG=2，可判断 B 选项；由EGB=FHD=90 ，可判断 EGFH，可判断 C 选项；若 GFBC，推出HGF+HFG=90 ，再结合GBF+BFH=90 ，从而得HGF=GBF=45 ，因为无法确定 BF=GF，故 GFBC 不一定成立，可判断 D 选项. 据此逐项分析，即可得出正确答案. 5 【答案】B 【解析】【解答】解：过点 B 作 BCy 轴于点 C， 学科网（北京）股份有限公司 PAy 轴，PA=4， 点 A 按逆时针方向旋转 60 ，得点 B， APB=60 ，PA=PB=4， CPB=9
18、0 -60 =30 ， = 42 22= 23， 点 B(2，2 + 23)， 设直线 BP 的函数解析式为 y=kx+b， 2 + = 2 + 23 = 2 解之： =3 = 2 = 3 + 2 当 y=0 时 = 233， 点 M1( 33 ，0) 不在直线 BP 上； 当 x=-3时 y=-1， M2( 3 ，-1)在直线 BP 上； 当 x=1 时 = 3 + 2， M3(1，4) 不在直线 PB 上； 当 x=2 时 = 23 + 2， M4(2， 112 ) 不在直线 PB 上； 故答案为：B. 【分析】过点 B 作 BCy 轴于点 C，利用旋转的性质可知APB=60 ，PA=PB
19、=4，利用勾股定理求出BC 的长， 可得到点 B 的坐标； 再利用待定系数法求出直线 BP 的函数解析式， 将 y=0 代入函数解析式，可求出对应的 x 的值；再分别将 x=-3，1，2 代入函数解析式，可得到对应的 y 的值，可得到直线 PB所经过的点. 学科网（北京）股份有限公司 6 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接 AD， 由题意可知：AB=BC=AC=DF=EF=ED，B=C=E=F=60 ， ABDDFA（SAS） ， BD=AF， AGFBGD（AAS） ， BG=AG=FG=GD， 同理可证得：ACDDEA（SAS） ， AE=DC， AEHCDH（AAS） ， AH=
20、HC=DH=HE， BD+BG+DG+CD+DH+CH=BD+CD+BG+AG+AH+CH=BC+AB+AC， ABC 的周长=BD+BG+DG+CD+DH+CH=BGD 周长+CDH 周长. 故答案为：C. 【分析】如图，连接 AD，由题意可知：AB=BC=AC=DF=EF=ED，B=C=E=F=60 ，即可证明ABDDFA，得 BD=AF，进而证得AGFBGD，即得 BG=AG=FG=GD，同理可证ACDDEA，得 AE=DC，进而证得AEHCDH，即得 AH=HC=DH=HE，同过线段之和的等量代换可得ABC 的周长=BD+BG+DG+CD+DH+CH，即ABC 的周长=BGD 周长+C
21、DH 周长，据此即可得出正确答案. 7 【答案】A 【解析】【解答】解：由翻折可得， = = 3 ， 四边形 ABCD 为平行四边形， = 33 ， = 60 ， = = 33 ， = = 60 ， 平分 ， = = 30 ， 当点 A在平行四边形 ABCD 内部时，过点 A 作 于点 M ， 学科网（北京）股份有限公司 设 = ， 在 中， = 30 =33 ， = 3 ， = = 33 3 ， 在 中，由勾股定理可得， 2= 2+ 2 ， 即 32= 2+ (333)2 ， 解得 =32 或 3( 舍去 ) ， = 2 = 3 ； 当点 A 在平行四边形 ABCD 外部时，过点 D 作 于
22、点 N ， 在 中， = 33 ， = 30 ， = 30 =33=12 ， = 30 =33=32 ， =332 ， =92 ， 在 中， = 2 2=32 (332)2=32 ， = + =32+92= 6 . 综上所述， = 3 或 6. 故答案为：A. 【分析】由翻折可得 AD=AD=3，根据平行四边形的性质可得 AB=CD，BCD=A=60 ，根据角平分线的概念可得ACB=ACD=30，当点 A在平行四边形 ABCD 内部时，过点 A作 AMCD 于点M，设 AM=x，根据三角函数的概念可得 MC，然后表示出 DM，根据勾股定理求出 x，进而可得 AC的值； 当点 A在平行四边形 A
23、BCD 外部时， 过点 D 作 DNAC 于点 N， 根据三角函数的概念可得 DN、 学科网（北京）股份有限公司 CN， 利用勾股定理求出 AN，然后根据 AC=AN+CN 进行计算. 8 【答案】A 【解析】【解答】解： 四边形 ABCD 为平行四边形， / ， / ， = ， = ， 为 的角平分线， = ， = ， = ， = ， ， ， 都是等腰三角形， 又 = 6 ， = 9 ， = = 6 ， = = 9 ， = = 3 . ， = 42 ， 由勾股定理可得： = 2 2= 2 ， = 4 ， / ， . =12 ， = 2 ， 的周长 = + + = 8 . 故答案为：A. 【分
24、析】 根据平行四边形的性质可得 ABCD， ADBC， 由平行线的性质可得BAE=AFD， DAF=AEB，根据角平分线的概念可得BAE=EAD，推出ABE、ADF、CEF 都是等腰三角形，根据等腰三角形的性质可得 AB=BE=6， AD=DF=9， 则 CE=CF=3， 然后利用勾股定理求出 AG， 证明ABEFCE，根据相似三角形的性质可得 EF，据此不难求出EFC 的周长. 9 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，过点 E 作 EFCB 的延长线于点 F，过点 E 作 BC 的平行线交 BA 延长线于点 G， 学科网（北京）股份有限公司 F=ABF=EGA=GEF=90 ， 四边形 B
25、GEF 为矩形， EG=BF， 由题意得，RtABC 和 RtBDE 都为等腰直角三角形， 点 A 在边 DE 的中点上，若 AB=BC，DB=DE=2， BE=2DE=22，DA=AE=12DE=1， AB=BC=22+ 12=5， SAEB=12AE BD=12AB EG， 1 2=5 EG， EG=255， BF=255， 在 RtEBF 中，由勾股定理得 EF=22=（22）2（255）2=655， CF=BF+BC=255+5=755， 在 RtEFC 中，由勾股定理得 EC=2+2=（655）2+（755）2=17. 故答案为：D. 【分析】如图，过点 E 作 EFCB 的延长线于
26、点 F，过点 E 作 BC 的平行线交 BA 延长线于点 G，从而得F= ABF=EGA=GEF=90 ，可证得四边形 BGEF 为矩形，即得 EG=BF，易知 RtABC 和RtBDE 都为等腰直角三角形，由等腰三角性质求得 BE=22，DA=AE=1，AB=BC=5，根据AEB的面积，可列=12AE BD=12AB EG，代入数据求得 EG=255，从而得 BF=255，再在 RtEBF 中，由勾股定理求得 EF=655，从而得 CF=755，最后在 RtEFC 中，由勾股定理求得 EC 的长即可. 10 【答案】B 【解析】【解答】解：如图，过点 A 作 AH 垂直 BC 于点 H，延长
27、 FG 交 AB 于点 P， 学科网（北京）股份有限公司 由题意可知，AB=BC=4，E 是 BC 的中点， BE=2， cosB= 14 ， BH=1=12BE， H 是 BE 的中点， AB=AE=4， 又AF 是DAE 的角平分线，ADFG， FAG=AFG， AG=FG， 又PFAD， APDF， PF=AD=4， 设 FG=x，则 AG=x，EG=PG=4-x， PFBC， AGP=AEB=B， cosB=cosAGP=12=22=14， 解得 x=83. 故答案为：B. 【分析】过点 A 作 AH 垂直 BC 于点 H，延长 FG 交 AB 于点 P，cosB= 14 ，推出 H
28、是 BE 的中点，根据条件求出 AG=FG， EG=GP，设 FG=x，则 AG=x，EG=PG=4-x，根据平行线的性质和等腰三角形的性质，得出AGP=B，根据 cosAGP=14建立方程，即可求出 FG 的长. 11 【答案】233 【解析】【解答】解：DEBC，ABC=90 ，A=60 ， ACB=AED=30 ，ADE=90 ， 又BC=3，DE=1， 学科网（北京）股份有限公司 AB=13BC=3，AD=13DE=33， BD=AB-AD=3-33=233. 故答案为：233. 【分析】由平行线性质及ABC=90 ，A=60 得ACB=AED=30 ，ADE=90 ，再由含 30 角
29、所对直角边等于斜边一半推得 AB=13BC=3，AD=13DE=33，进而求出 BD 的长即可. 12 【答案】33；6 33 【解析】【解答】解：如图 1，当点 M 与点 B 重合时， 折叠该菱形，使点 落在边 上的点 处，折痕分别与边 ， 交于点 ， ， EF 垂直平分 AB， AD=AB=6， 在 RtAEF 中，A=60 ， EF=ADsinA=6sin60 =6 32= 33； 如图 2，连接 AM 交 EF 于点 N，过点 A 作 AHDC，交 CD 的延长线于点 H， 四边形 ABCD 是菱形， AD=AB=6，ADBC， BAD=ABH=60 ，DAM=AMH， BAH=30
30、， 学科网（北京）股份有限公司 BH=3，AH=ABsinA=6sin60 =6 32= 33； 设 BM=x，DF=y 则 HM=x+33， =(33)2+ (3 + )2= 2+ 6 + 36 折叠菱形， EF 垂直平分 AM， =122+ 6 + 36， ANF=MHA=90 ，FAN=ANH FANANH =即2+6+36=122+6+363+ 解之： =2+6+362+6 = = = 6 2+6+362+6=2+62+6 x2+（2y-6）x+6y=0 b2-4ac=（2y-6）2-24y0 6 33， 6 + 33 0y6 0y6 33 DF 的最大值为6 33. 故答案为：33，
31、6 33. 【分析】如图 1，当点 M 与点 B 重合时，利用折叠的性质可证得 EF 垂直平分 AB，利用线段垂直平分线的性质， 可求出 AD 的长， 在 RtAEF 中， 利用解直角三角形求出 EF 的长； 连接 AM 交 EF 于点 N，过点 A 作 AHDC，交 CD 的延长线于点 H，利用菱形的性质可证得 AD=AB=6，ADBC，利用平行线的性质可得到BAD=ABH=60 ， DAM=AMH， 利用解直角三角形求出 BH， AH 的长， 设 BM=x，DF=y，表示出 HM 的长，利用勾股定理可表示出 AM 的长，再利用折叠的性质可表示出 AN 的长；利用有两组对应角分别相等的两三角
32、形相似， 可证得FANANH， 利用相似三角形的对应边成比例，可求出AF的长， 根据y=AD=AF， 可得到y与x之间的函数解析式， 从而可得到关于x的方程， 由b2-4ac0，可建立关于 y 的不等式，然后求出 y 的取值范围，即可得到 DF 的最大值. 13 【答案】30 【解析】【解答】解：OCAB，OA=OB，AOB=120 ， AOD=BOD=12AOB=60 ， 学科网（北京）股份有限公司 又APD 是 所对的圆周角， APD=30 . 故答案为：30 . 【分析】根据等腰三角形性质及垂径定理可得AOD=BOD=12AOB=60 ，再根据圆周角定理即可求出APD 的度数. 14 【
33、答案】10；10 + 13 【解析】【解答】解：设 AC 与 OM 交于点 H，过点 C 作 CNBD 于 N， HCEG， HCMEGF， CMHEFG90 ， HMCEFG， 23， 8.523 173， BDEG， BDCEGF， tanBDCtanEGF， 23， 设 CN2x，DN3x，则13 = 13， 解之： = 13， 213， 1213， 在 RtAHO 中，AHOCHM=DCN， sin=313=13， 学科网（北京）股份有限公司 解之：133， 13317310， 以点 O 为圆心，OA 的长为半径作圆，当 OB 与 OM 共线时，叶片外端离地面的高度最大，其最大高度等于
34、 OB+OM=（10 + 13）米 故答案为：10， （10 + 13）. 【分析】 设 AC 与 OM 交于点 H， 过点 C 作 CNBD 于 N， 利用平行线的性质可证得HCMEGF，利用有两组对应角分别相等的两三角形相似，可证得HMCEFG，利用相似三角形的对应边成比例可求出 HM 的长；利用平行线的性质可得到BDCEGF，从而可推出 tanBDCtanEGF，可得到 CN 与 DN 的比值，设 CN2x，DN3x，利用勾股定理表示出 CD 的长，利用 CD 的长建立关于x 的方程，解方程求出 x 的值，可得到 AB，OA 的长；在 RtAHO 中，AHOCHM，利用锐角三角函数的定义
35、可求出 OH 的长，根据 OM=OH+HM，代入计算求出 MO 的长；以点 O 为圆心，OA的长为半径作圆，当 OB 与 OM 共线时，叶片外端离地面的高度最大，然后求出其最大高度. 15 【答案】（8+23） 【解析】【解答】解：ABC 沿 AB 方向平移 1cm 得到ABC， BC=BC=2cm，AA=BB=CC=1cm， A=30 ，ACB=90 ， AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm， 四边形 ABCC 周长=AB+BB+BC+CC+AC=4+1+2+1+23=（8+23）cm. 故答案为： （8+23）. 【分析】根据平移性质求得 BC=BC=2cm，AA=BB=CC=1c
36、m，再由 30 角所对直角边等于斜边一半可求得 AB=2BC=4cm，AC=3BC=23cm，再把四边形 ABCC 的所有边相加计算即可求解. 16 【答案】32 【解析】【解答】解：如图，连接 BD， 点 M，N 分别是 DQ，BQ 的中点， MN 是BQD 的中位线， 学科网（北京）股份有限公司 MN=12BD， 正方形 ABCD， BAD 是等腰直角三角形， BD=2AB=62， MN=32. 故答案为：32. 【分析】连接 BD，由题意得出 MN 是BQD 的中位线，则有 MN=12BD，然后根据正方形的性质求出BAD 是等腰直角三角形，则可求出 BD 长，从而得出 MN 长. 17
37、【答案】33 3 【解析】【解答】解：如图，设 EF 与 BC 交于点 M， . O 是边 BC ( DF )的中点，BC=12cm ， OB=OC=OD=OF=6cm ， 将ABC 绕点 O 顺时针旋转 60 ， BOD=FOM=60 ， F=30 ， FMO=90 ， OM=12OF= 3cm， CM=OC-OM=3cm， FM=3OM=33cm， C=45 ， CM=GM=3cm， .FG=FM-GM= (33-3) cm . 故答案为： (33-3) . 【分析】设 EF 与 BC 交于点 M，根据旋转的性质求出FMO=90 ，可得 OM=12OF=3cm，利用含 30 学科网（北京）
38、股份有限公司 度角的直角三角形的性质求出 CM=OC-OM=3cm， FM= 3OM=33cm，然后证明CMG 的等腰直角三角形，得出 CM= GM=3cm，从而解决问题. 18 【答案】36 或 72 【解析】【解答】解：如图所示， 在ABC 中，AB=AC，A=36 ， = =1802= 72， 由题意可得，MN 是 AB 的垂直平分线， AD=BD， A=ABD=36 ， CBD=ABC-ABD=36 ， BDC=180 -CBD-ACB=72 ， BD=CD， 以点 B 为圆心，BC 长为半径作弧，交直线 MN 于点 E， 此时点 D 与点 E 重合， BEC=BDC=72 ； 当点
39、D 与点 E 不重合时，即交直线 MN 于点， ABMN，= ， = = 90， = ， = = 36， = + + = 108， = ， = =1802= 36. 故答案为：36 或 72 . 【分析】画出图形，根据等腰三角形的性质以及内角和定理可得ABC=ACB=72 ，由题意可得：MN 是 AB 的垂直平分线， 则 AD=BD， 根据等腰三角形的性质可得A=ABD=36 ， 则CBD=ABC- 学科网（北京）股份有限公司 ABD=36 ，根据内角和定理可得BDC=72 ，推出 BD=CD，易得点 D 与点 E 重合，则BEC=BDC=72 ， 当点D与点E不重合时， 即交直线MN于点E，
40、 根据等腰三角形的性质可得BEO=BDO，根据余角的性质可得EBO=DBO=36 ，然后求出EBC 的度数，接下来根据等腰三角形的性质以及内角和定理进行计算. 19 【答案】95或 9 【解析】【解答】解：如图 1，取 AD、AB 中点 P、Q，连接 PQ、AG， 由旋转可知，AD=AE，DAE=60 ， AB= AC=23，BAC=120 ，G 是线段 BC 的中点， B=C=30 ，BAG=60 ，AGB=90 ， =12 = 3， = 2 2= 3， BC=2BG=6， =23， =35 =185， Q 是线段 AB 的中点， = ， H 是线段 AE 的中点，P 是线段 AD 的中点，
41、 = ， DAE=BAG=60 ， HAG=PAQ， APQAHG， = ， PQ 是ABD 的中位线， =12 =95； 如图 2， 学科网（北京）股份有限公司 同理可得， = 3 = 18， =12 = 9； 故答案为：95或 9. 【分析】取 AD、AB 中点 P、Q，连接 PQ、AG，由旋转的性质可得：AD=AE，DAE=60 ，根据等腰三角形的性质可得B=C=30 ，BAG=60 ，AGB=90 ，根据含 30 角的直角三角形的性质可得AG，利用勾股定理求出 BG，据此可得 BC，结合已知条件可得 BD，根据中点的概念可得 AG=AQ，AP=AH，证明APQAHG，得到 QP=GH，
42、然后根据中位线的性质可得 QP，同理可得 BD、QP、GH 的值. 20 【答案】2 或 2 3 【解析】【解答】解：E 为 BC 的中点， 当AEF 为直角三角形时，AFE 直角或AEF 为直角， 如图 1，当AFE=90 时， ADF=BFD=A=90 ， 四边形 ADFB 为矩形， ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称， ABC=45 ， 学科网（北京）股份有限公司 ABC 为等腰直角三角形， AB=AC=2； 如图 2，当AEF=90 时， 点 D，E 分别为 AC，BC 的中点， DE 为ABC 的中位线， DEAB，DE=12AB， CDE=MAN=90 =AEF， AECD
43、， DCE=AEC， ABC 与ABC 关于 BC 所在直线对称， AC=AC=2，DCE=ACE，MAN=BAC=90 ， AC=AE=2， BC=2AE=4， 在 RtABC 中，由勾股定理得 AB=2 2=42 22= 23， 综上，AB 的长为 2 或23. 故答案为：2 或23. 【分析】 由 E 为 BC 的中点， 当AEF 为直角三角形时， AFE 直角或AEF 为直角， 当AFE=90时，由ADF=BFD=A=90 ，得四边形 ADFB 为矩形，再由对称性质得 ABC=45 ，从而得ABC为等腰直角三角形，即可求得 AB=AC=2；当AEF=90 时，由点 D，E 分别为 AC
44、，BC 的中点得DE 为ABC 的中位线，即得 DEAB，DE=12AB，由平行线性质及对称性质得 AC=AC=2，DCE=ACE，MAN=BAC=90 ，从而得 AC=AE=2，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半得BC=2AE=4，再在在 RtABC 中，由勾股定理得 AB=23，即可求得当AEF 为直角三角形时，AB的长. 21 【答案】（1）解：答案不唯一。 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：如图 【解析】【分析】 (1)以 AB 为腰或以 AB 为底， 根据等腰三角形的性质， 找出 C 点的位置， 再连线即可； (2)根据菱形四边相等的性质，找出点 D 和点 E 的位置，再连线即可
45、. 22 【答案】（1）解：如图所示，即为所求平行四边形 ABCD， . （2）解：如图所示，三角形 ABC 即为所求， . 【解析】【分析】 （1）根据平行四边形的面积=底 高，边 AB 所在的矩形边为 2，因此只需过点 B 作出边长为 3 的 BC 边即可，点 C、D 均在格点上； （2）连接点 A 所在的 4 2 矩形的对角线 AC，再连接 BC（C 在格点上） ，易得 BC=5，根据勾股定理分别求出 AB 和 AC 的长，利用勾股定理逆定理可证三角形 ABC 为直角三角形，即可解决问题. 23 【答案】（1）解：如图 1 中，取格点 F、G，连接 FG 交 BC 于点 D，线段 AD
46、即为所求. 学科网（北京）股份有限公司 （2）解：如图 2 中，取格点 H、J，连接 HJ 交 AB 于点 E，线段 CE 即为所求. （3）解：如图 3 中，取格点 K、L、M、N，连接 KL、MN 交于点 O，则点 O 为所求. 【解析】【分析】 （1）连接以 BC 为对角线的矩形的另一条对角线，交 BC 于点 D，根据矩形的对角线互相平分可得点 D 就是线段 BC 的中点，线段 AD 即为所求； （2） 如图 2，取格点 H、J，连接 HJ 交 AB 于点 E，线段 CE 即为所求； （3） 如图 3 中，取格点 K、L、M、N，连接 KL、MN 交于点 O，则点 O 为所求. 24 【
47、答案】解：如图所示，线段 BD 即为所求；（2）在图 2 中画出线段 学科网（北京）股份有限公司 BE，使 ，其中 E 是格点.【答案】解：如图所示，线段 BE 即为所求. （1）解：如图所示，线段 BD 即为所求； （2）解：如图所示，线段 BE 即为所求. 【解析】【分析】 （1）将线段 AC 沿着 AB 方向平移 2 个单位，即得线段 BD； （2）如图，利用 2 3 的方格纸，取左上角的格点 E，连接 BE，根据全等三角形的对应角相等及角的运算即得 BEAC. 25 【答案】证明：3 = 4 ， + 3 = 180 ， + 4 = 180 ， = ， 1 = 2 = = ， ACBAC
48、D， = 【解析】【分析】 利用邻补角的定义可证得ACB+3=180 ， 4+ACD=180 ， 利用等角的补角相等，可证得ACB=ACD；再利用 ASA 证明ACBACD，然后利用全等三角形的对应边相等，可证得结论. 26 【答案】证明：四边形 是菱形，理由是： 平分 ， 平分 ， 学科网（北京）股份有限公司 = =12 ， =12 ， / ， + = 180 ， = ， + = 90 ， = ， = 90 ， = ， ， = ， = = 90 ， = ， = = ， 四边形 是菱形. 【解析】【分析】 由角平分线概念得DAP=PAB=12DAB， PBA=12ABC， 由平行线性质得DAB
49、+ABC=180 ，DAP=BCP，推出APB=90 ，AB=BC，利用内角和定理可得ADP=ABP，则AD=AB=BC，然后根据菱形的判定定理进行证明. 27 【答案】证明： 平分 = = = = 同理可得 = = 平行且相等于 四边形 为平行四边形 又 四边形 为菱形 【解析】【分析】根据角平分线的概念可得DAC=BAC， 根据平行线的性质可得DAC=BCA，推出 AB=BC，同理可得 AD=AB=BC，然后根据菱形的判定定理进行证明. 28 【答案】解：图 2 结论：AC=BD，ACBD， 学科网（北京）股份有限公司 图 3 结论：BD= 3 AC，ACBD 理由：如图 3，四边形 AB
50、CD 是菱形， ACBD，AO=CO，BO=DO， ABC=60 ， ABO=30 ， OB= 3 OA，OD= 3 OC， 将 RtCOD 旋转得到 RtCOD， OD=OD，OC=OC，DOD=COC， OD= 3 OC，AOC=BOD， =3 ， AOCBOD， =3 ，OAC=OBD， BD= 3 AC， AOD=BOO，OBO+BOO=90， OAC+AOD=90， ACBD. 【解析】【解答】解：图 2 结论：AC=BD，ACBD， 理由：如图 2，四边形 ABCD 是正方形， AO=OC=BO=OD，ACBD， 将 RtCOD 旋转得到 RtCOD， OD=OD，OC=OC，DO
