1、 专题专题 17 17 三角形三角形 一、单选题一、单选题 1 （2022 济宁）如图，三角形纸片 ABC 中，BAC90 ，AB2，AC3沿过点 A 的直线将纸片折叠，使点 B 落在边 BC 上的点 D 处；再折叠纸片，使点 C 与点 D 重合，若折痕与 AC 的交点为 E，则 AE 的长是（ ） A136 B56 C76 D65 2 （2022 聊城）如图， 中，若 = 80， = 70，根据图中尺规作图的痕迹推断，以下结论错误的是（ ） A = 40 B =12 C = D = 25 3 （2022 周村模拟）如图，在ABC 中， = ， = 120，线段 AC 的垂直平分线交 BC 于
2、点F，交 AC 于点 E，交 BA 的延长线于点 D若 = 3，则 BF 的长是（ ） A4 B5 C33 D6 4 （2022 青岛模拟）如图，已知ABC 中，B50 ，P 为ABC 内一点，过点 P 的直线 MN 分别交 AB，BC 于点 M、N若 M 在 PA 的中垂线上，N 在 PC 的中垂线上，则APC 的度数为（ ） A100 B105 C115 D120 5 （2022 沂南模拟）如图，已知 是等边三角形，点 D、E 分别在边 AB、BC 上，CD、AE 交于点F， = 60 FG为 的角平分线， 点H在FG的延长线上， = ， 连接HA、 HC = ； = 60； = ；= ；
3、其中说法正确的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 6 （2022 茌平模拟）如图，在 RtABC 中，C90 ，以ABC 的一边 BC 为边画等腰三角形，使得它的第三个顶点在ABC 的其他边上，则可以画出的不同的等腰三角形的个数最多为（ ） A2 B3 C4 D5 7 （2022 济南模拟）如图，等腰三角形中， = = 6，按以下要求作图：以点 A 为圆心，任意长为半径作弧，分别交，于 D，E 两点；分别以点 D、E 为圆心，以大于12的长为半径作弧，两弧交于点 F；作射线，交于点 M；分别以 A、B 为圆心，以大于12的长为半径作弧，两弧分别交于 G，H 两点；作直线，交于点
4、N，连接则的长为（ ） A2 B3 C4 D6 8 （2022 东昌府模拟）如图， 中， = 90， = 3， = 4，将 绕点 B 逆时针旋转得 ，若点在上，连接，则的长为（ ） A756 B556 C655 D355 9（2022 泰安模拟）如图， 和 都是等腰直角三角形， = = 90， = = 4， O为 AC 中点， 若点 D 在直线 BC 上运动， 连接 OE， 则在点 D 运动过程中， 线段 OE 的最小值是 （ ） A2 B22 C2 D1 10 （2022 滕州模拟）如图，、分别平分、， ， 的周长为18， = 3，则 的面积为（ ） A18 B30 C24 D27 二、填空
5、题二、填空题 11 （2022 枣庄）如图，在矩形 ABCD 中，按以下步骤作图：分别以点 B 和 D 为圆心，以大于12BD的长为半径作弧，两弧相交于点 E 和 F；作直线 EF 分别与 DC，DB，AB 交于点 M，O，N若 DM5，CM3，则 MN 12 （2022 潍坊）小莹按照如图所示的步骤折叠 A4 纸，折完后，发现折痕 AB与 A4 纸的长边 AB 恰好重合，那么 A4 纸的长 AB 与宽 AD 的比值为 13（2022 滨州）如图， 屋顶钢架外框是等腰三角形， 其中 = ， 立柱 ， 且顶角 = 120，则的大小为 14 （2022 崂山模拟）如图，在等边中， = 6， =12
6、，分别为边，上的点，将沿所在直线翻折，点落在点，得到三角形，则的面积为 15 （2022 周村模拟）如图，在ABC 中， = 2， = 60， ， = ，则 AD 的长的最大值为 16 （2022 周村模拟）借助如图所示的“三等分角仪”等三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒 OA，OB 组成，两根棒在 O 点相连并可绕 O 转动，C 点固定， = = ，点 D，E 可在槽中滑动若 = 75，则 = 17 （2022 台儿庄模拟）如图，在 中， = 5， = 4，sin =45， 交于点点为线段上的动点，则 +35的最小值为 18 （2022 惠民模拟）如图，在 中， = ，以点
7、 A 为圆心，任意长为半径画弧，分别交 AB、AC 于点 M、N，再分别以点 M、N 为圆心，大于12的长为半径画弧，两弧交于点 P，连接 AP 并延长交 BC 于点 D，若 = 36，则的度数是 19 （2022 兰山模拟）如图，在 RtABC 中，ABAC，AB=AC=6，点 D 在 AC 上，且 AD=2，点 E是 AB 上的动点，连接 DE，点 F、G 分别是 BC 和 DE 的中点，连接 AG，FG，当 AG=FG 时，线段AE 长为 20 （2022 任城模拟）如图，将 沿 的角平分线所在直线翻折，点 B 在边上的落点记为点 E已知 = 20， + = ，那么等于 三、作图题三、作
8、图题 21 （2022 李沧模拟）如图， 已知直线 ， 直线分别与，交于点， 在线段上求作一点 A，使点 A 到 a，b 的距离相等 22 （2022 崂山模拟）已知：线段 a 求作：等腰直角 ，使得斜边 = 23 （2022 青岛模拟）为了美化校园，某小区要在如图所示的三角形空地（ ）上作一个半圆形花坛并使之满足以下要求；圆心在边上，该半圆面积最大请你帮忙设计这一花坛 24 （2022 青岛模拟）求作 的内切圆 25 （2022 青岛模拟）尺规作图（要求：不写作法，保留作图痕迹） 如图，已知线段 = ， ，垂足为 A 求作： ，使 分别与 AK、AR 相切，圆心 O 与点 A 的距离等于 a
9、 四、综合题四、综合题 26 （2022 济宁）如图，AOB 是等边三角形，过点 A 作 y 轴的垂线，垂足为 C，点 C 的坐标为（0，3） P 是直线 AB 上在第一象限内的一动点，过点 P 作 y 轴的垂线，垂足为 D，交 AO 于点 E，连接AD，作 DMAD 交 x 轴于点 M，交 AO 于点 F，连接 BE，BF （1）填空：若AOD 是等腰三角形，则点 D 的坐标为 ； （2）当点 P 在线段 AB 上运动时（点 P 不与点 A，B 重合） ，设点 M 的横坐标为 m 求 m 值最大时点 D 的坐标； 是否存在这样的 m 值，使 BEBF？若存在，求出此时的 m 值；若不存在，请
10、说明理由 27 （2022 日照）如图 1，ABC 是等腰直角三角形，AC=BC=4，C=90 ，M，N 分别是边 AC，BC上的点，以 CM，CN 为邻边作矩形 PMCN，交 AB 于 E，F设 CM=a，CN=b，若 ab=8 （1）判断由线段 AE，EF，BF 组成的三角形的形状，并说明理由； （2）当 a=b 时，求ECF 的度数； 当 ab 时，中的结论是否成立？并说明理由 28 （2022 菏泽）如图 1，在 中， = 45， 于点 D，在 DA 上取点 E，使 = ，连接 BE、CE （1）直接写出 CE 与 AB 的位置关系； （2） 如图 2， 将 绕点 D 旋转， 得到 （
11、点， 分别与点 B， E 对应） ， 连接、， 在 旋转的过程中与的位置关系与（1）中的 CE 与 AB 的位置关系是否一致?请说明理由； （3）如图 3，当 绕点 D 顺时针旋转 30 时，射线与 AD、分别交于点 G、F，若 = ， = 3，求的长 29 （2022 枣庄）已知ABC 中，ACB90 ，ACBC4cm，点 P 从点 A 出发，沿 AB 方向以每秒2cm 的速度向终点 B 运动，同时动点 Q 从点 B 出发沿 BC 方向以每秒 1cm 的速度向终点 C 运动，设运动的时间为 t 秒 （1）如图，若 PQBC，求 t 的值； （2）如图，将PQC 沿 BC 翻折至PQC，当 t
12、 为何值时，四边形 QPCP为菱形？ 30 （2022 济南）如图 1，ABC 是等边三角形，点 D 在ABC 的内部，连接 AD，将线段 AD 绕点 A按逆时针方向旋转 60 ，得到线段 AE，连接 BD，DE，CE （1）判断线段 BD 与 CE 的数量关系并给出证明； （2）延长 ED 交直线 BC 于点 F 如图 2，当点 F 与点 B 重合时，直接用等式表示线段 AE，BE 和 CE 的数量关系为 ； 如图 3，当点 F 为线段 BC 中点，且 EDEC 时，猜想BAD 的度数，并说明理由 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：沿过点 A 的直线将纸片折叠，使
13、点 B 落在边 BC 上的点 D 处， AD = AB = 2， B = ADB， 折叠纸片，使点 C 与点 D 重合， CE= DE， C=CDE， BAC = 90 ， B+ C= 90 ， ADB + CDE = 90 ， ADE = 90 ， AD2 + DE2 = AE2， 设 AE=x，则 CE=DE=3-x， 22+(3-x)2 =x2， 解得 =136 即 AE=136 故答案为：A 【分析】根据折叠的性质求出 CE= DE， C=CDE，再求出ADE = 90 ，最后列方程求解即可。 2 【答案】D 【解析】【解答】 = 80， = 70， B=180 -BAC-ACB=30
14、 ， A由作图可知，平分， = =12 = 40，不符合题意； B由作图可知，MQ 是 BC 的垂直平分线， = 90， = 30， =12，不符合题意； C = 30， = 40， = 70， = 70， = ，不符合题意； D = = 70， = 90， = 20，符合题意 故答案为：D 【分析】根据线段的垂直平分线的性质、角平分线的定义、三角形外角的性质、直角三角形的性质判断即可。 3 【答案】A 【解析】【解答】连接 AF，如图， AB=AC，BAC=120 B=C=30 ， ED 垂直平分 AC， FA=FC， FAC=C=30 ， AFD=60 ，D=30 ， BAF=90 在 R
15、tAED 中， = tan = 3 tan30 = 3， 在 RtAEF 中， =cos=3cos30= 2， 在 RtABF 中，BF=2AF=4 故答案为：A 【分析】连接 AF，先求出AFD=60 ，D=30 ，再利用锐角三角函数求出 AE 和 AF 的长，最后利用BF=2AF 可得答案。 4 【答案】C 【解析】【解答】 = 50， + = 130 点 M 在 PA 的中垂线上，点 N 在 PC 的中垂线上， = ， = ， = ， = = 180 = 180 + = + =12( + ) =12 130 = 65， = 180 65 = 115 故答案为：C 【分析】由三角形的内角和
16、定理可得 + = 130，由中垂线的性质可得 AM=PM，PN=CN，由等边对等角可得 = ， = ，进而得出MAP+PCN=PAC+ACP=12( + ) =12 130 = 65，再根据三角形内角和定理即可求解. 5 【答案】C 【解析】【解答】解：ABC 是等边三角形， BACE60 ，BCAC， AFDCAE+ACD60 ，BCD+ACDACB60 ， BCDCAE， 在BCD 和CAE 中， = = = ， BCDCAE（ASA） ， BDCE，故符合题意； 作 CMAE 交 AE 的延长线于 M，作 CNHF 于 N，如图： EFCAFD60 AFC120 ， FG 为AFC 的角
17、平分线， CFHAFH60 ， CFHCFE60 ， CMAE，CNHF， CMCN， CEMACE+CAE60 +CAE，CGNAFH+CAE60 +CAE， CEMCGN， 在ECM 和GCN 中 = = = 90 = ， ECMGCN（AAS） ， CECG，EMGN，ECMGCN， MCNECG60 ， 由知CAEBCD， AECD， HGCD， AEHG， AE+EMHG+GN，即 AMHN， 在AMC 和HNC 中， = = = 90 = ， AMCHNC（SAS） ， ACMHCN，ACHC， ACMECMHCNGCN，即ACEHCG60 ， ACH 是等边三角形， AHC60
18、，故符合题意； 由知CFHAFH60 ，若 FCCG，则CGF60 ，从而FCG60 ，这与ACB60矛盾，故不符合题意； ECMGCN，AMCHNC， SAMCSECMSHNCSGCN，即 SACESCGH， CAEBCD， SBCDSACESCGH，故符合题意， 正确的有：， 故答案为：C 【分析】由“ASA”证明BCDCAE，再利用全等三角形的性质可得 BD=CE，从而可得正确；作CMAE交AE的延长线于M， 作CNHF于N， 利用“AAS”证明ECMGCN可得CECG，EMGN，ECMGCN，再利用“SAS”证明AMCHNC 可得ACMHCN，ACHC，再证明ACH 是等边三角形，可得
19、AHC60 ，故符合题意；利用全等三角形的性质求解可得FCG60 ，这与ACB60 矛盾，故不符合题意；利用全等三角形的性质求解即可。 6 【答案】C 【解析】【解答】如图所示，画出的不同的等腰三角形的个数最多为 4 个. 故答案为：C. 【分析】根据等腰三角形的判定方法求解即可。 7 【答案】B 【解析】【解答】解：根据作图过程可知：AM 平分BAC，GH 是边 AB 的垂直平分线， ABAC6，AM 平分BAC， AM 是边 BC 上的中线， BMCM， GH 是边 AB 的垂直平分线， ANBN， MN 是ABC 的中位线， MN=12AC3 故答案为：B 【分析】先证明 MN 是ABC
20、 的中位线，再利用中位线的性质可得 MN=12AC3。 8 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，作 ， ， = 90 = 2+ 2= 32+ 42= 5 =12 =12 4 3 = 5 =125 = 2 2=32 (125)2=95 = = 3 = = 3 95=65 = 2+ 2=(125)2+ (65)2=655 故答案为：C 【分析】 作 ， 根据=12 =12 求出 =125， 再利用勾股定理求出 BD 的长，利用线段的和差求出 = = 3 95=65，最后利用勾股定理求出= 2+ 2=(125)2+ (65)2=655即可。 9 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，作射线 CE，
21、 BAC=DAE=90 ， BAD+DAC=CAE+DAC=90 ， BAD=CAE， AB=AC，AD=AE， ABDACE（SAS） ， ABD=ACE=45 ， E 点在射线 CE 上运动， 当 OECE 时，OE 最小，此时OCE 是等腰直角三角形，OC=2，则 OE=2sinOCE=2， 故答案为：C 【分析】 作射线 CE， 利用“SAS”证明ABDACE 可得ABD=ACE=45 ， 再利用当 OECE 时，OE 最小，此时OCE 是等腰直角三角形，最后利用锐角三角函数求出 OE=2sinOCE=2即可。 10 【答案】D 【解析】【解答】解：过 I 点作 IEAB 于点 E，I
22、FAC 于点 F，如图， AI，BI，CI 分别平分BAC，ABC，ACB， IE=IF=ID=3， = + + =12 3 +12 3 +12 3 =32( + + ) =32 18 = 27 故答案为：D 【分析】过 I 点作 IEAB 于点 E，IFAC 于点 F，根据角平分线的性质可得 IE=IF=ID=3，再利用割补法和三角形的面积公式可得= + += 27。 11 【答案】25 【解析】【解答】解：如图，连接 BM 由作图可知 MN 垂直平分线段 BD， BMDM5 四边形 ABCD 是矩形， C90 ，CDAB BC2 252 324 BD2+ 242+ 8245 OBOD25
23、MOD90 ， OM2 252 (25)25 CDAB， MDONBO 在MDO 和NBO 中， = ， = ， = ， MDOBNO（ASA） OMON5 MN25 故答案为：25 【分析】利用勾股定理，全等三角形的判定与性质求解即可。 12 【答案】2：1 【解析】【解答】解：四边形 ABCD 是矩形， D=B=DAB=90 ， 由操作一可知：DAB=DAB=45，ADB=D=90 ，AD=AD， ABD是等腰直角三角形， AD=AD= BD， 由勾股定理得 AB=2AD， 又由操作二可知：AB=AB， 2AD=AB， =2， A4 纸的长 AB 与宽 AD 的比值为2：1 故答案为：2：
24、1 【分析】由操作一可知：DAB=DAB=45，ADB=D=90 ，AD=AD，得出ABD是等腰直角三角形，由勾股定理得 AB=2AD，又由操作二可知：AB=AB，即可得解。 13 【答案】30 【解析】【解答】解： = ， = ， = 120， + + = 180， =1801202= 30， 故答案为：30 【分析】根据等腰三角形的性质和三角形的内角和公式可得 =1801202= 30。 14 【答案】49203 【解析】【解答】解：如图，过作 于， 由对折， 为等边三角形可得： = = = 6， = = = = 60， = ， = ， + = 120 = + ， = ， ， =， =12
25、， = 2， = 4， 64=2， =46， =86， 而 + = + = 6， 46+86= 6， 解得： = 2.8， 经检验正确，则 = = 2.8， = 6 2.8 = 3.2，3.24=2.8， = 3.5， = sin60 =7232=734， =12145734=49320. 故答案为：49320. 【分析】过作 于，由对折， 为等边三角形可得 = = = 6， = = = = 60， = ， = ，利用相似得出 ， 得出=， 得出 AE、BE、GF、FQ 的值，再利用三角形面积公式即可得解。 15 【答案】2 +6 【解析】【解答】解：如图，作 DEAC 的延长线于点 E， A
26、CB60 ，DCBC， DCE=30 ， 设 CD=CB=x，AC=y，则 DE=12x， =32， = + = +32 在 中，由勾股定理得2= 2+ 2， 2= (12)2+ ( +32)2= 2+ 2+ 3， ( )2 0， 2+ 2 2 0， 2+22，且当 = 时，等号成立， 2= 2+ 2+ 3 2+ 2+ 3 2+22=(2+3)(2+2)2 ， 当 = 时，AD 有最大值， 且2=(2+3)(2+2)2， = 2， = 60， ABC 为等边三角形， 当 = = 2时，2=(2+3)(2+2)2= 8 + 43， 又0， = 6 + 2 故答案为：6 +2 【分析】作 DEAC
27、 的延长线于点 E，由含 30 度角的直角三角形的性质得出设 CD=CB=x，AC=y，则 DE=12x， =32， = + = +32， 再由勾股定理得出2= 2+ 2， 当 = 时，AD 有最大值， 且2=(2+3)(2+2)2，此时，ABC 为等边三角形，则当 = = 2时， 2=(2+3)(2+2)2= 8 + 43，即可得解。 16 【答案】80 【解析】【解答】解： = = ， = ， = ， 设 = = ，则 = = + = 2， = + = + 2 = 75， 解得 = 25， = = 2 = 50， = 180 = 180 4 = 80， 故答案为：80 【分析】由等腰三角形
28、的性质得出 = ， = ，由外角性质得出即可得解。 17 【答案】165 【解析】【解答】解：过点 P 作 PHAB 于点 H，如图所示： = 5，sin =45， ， = sin = 4， = 2 2= 3， sin =35， = sin =35， +35 = + ， 若使 +35的值为最小，也就相当于 + 为最小， 当点 C、P、H 三点共线时， + 的值为最小，如图所示： = 4， = sin = 4 45=165， +35的最小值为165； 故答案为165 【分析】过点 P 作 PHAB 于点 H，利用解直角三角形的方法可得 +35 = + ，因此若使 +35的值为最小，也就相当于 +
29、 为最小， 再根据当点 C、P、H 三点共线时， + 的值为最小，最后求出 CH 的长即可。 18 【答案】72 【解析】【解答】AC=BC， B=BAC， C=36 ， B=BAC=180362= 72， 根据题意可知 AD 平分BAC， DAC=12BAC=12 72= 36， ADB=DAC+C=36+ 36= 72， 故答案为：72 【分析】 根据等腰三角形的性质和三角形的内角和可得B=BAC=180362= 72， 再利用角平分线的定义可得DAC=12BAC=12 72= 36，最后利用角的运算可得ADB=DAC+C=36+ 36=72。 19 【答案】4 【解析】【解答】解：连接，
30、 在中， = ， = 90， = = 45， 点是的中点，点是的中点， = = ， = ， ， = 45， = = 45， = ， = = ， 是直角三角形，且 = 90， + = + = 90， = ， 在和中， = = = ， ()， = = 2， = = 4， 故答案为：4 【分析】连接 DF，AF 和 EF，先利用“ASA”证明 可得 AD=BE=2，再利用线段的和差可得 = = 4。 20 【答案】40 【解析】【解答】解：根据折叠的性质可得 BD=DE，AB=AE AC=AE+EC，AB+BD=AC， DE=EC EDC=C=20 ， AED=EDC+C=40 B=AED=40 故
31、答案为：40 【分析】根据折叠的性质可知B=AED，DE=EC，由三角形外角的性质可知AED=EDC+C，即可求解。 21 【答案】解：如图，作线段 MN 的垂直平分线，具体作法为：以 M 点为圆心，大于12长为半径作弧，再以 N 点为圆心，同样长半径作弧，与前弧相交得到两个交点，通过两个交点的直线即为线段MN 的垂直平分线，垂直平分线与 MN 的交点即为要求的 A 点 证明如下： 过点 A 作 a，b 的垂线，交直线 a 于 D 点，交直线 b 于 C 点， /， = ， 在与中， = = = ， （)， = ， 即点 A 到 a，b 的距离相等 【解析】【分析】作线段 MN 的垂直平分线交
32、 MN 于点 A 即可。 22 【答案】解：作图如下： 就是所求的等腰直角三角形 【解析】【分析】根据要求作出图形即可。 23 【答案】解：如图所示：该半圆即为所求 【解析】【分析】先作A 的平分线 AD 交 BC 于点 O，再以点 O 为圆心，点 O 到 AC 的距离 OD 为半径画半圆，此时半圆与 AC，AB 都相切，此时该半圆的面积最大. 24 【答案】解：作图如下： 步骤：第一步：作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交、于点和点，再分别以点和点为圆心，以大于12的长为相同半径分别画弧使其相交于点 P，连接； 第二步：作的角平分线，以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别、于点
33、和点，再分别以点和点为圆心，以大于12长为相同半径分别画弧使其相交于点，连接； 第三步：确定圆心和的交点就是内切圆的圆心； 第四步：确定半径过点圆心作的垂线，垂足为点，以点为圆心，以大于的长为半径画弧，交于点和点， 再分别以点和点为圆心， 以大于12的长为半径画弧， 使其相交于点， 连接，交于点，点就是垂直于的垂足 第五步：连接，以点为圆心，以的长为半径画圆， 即为所求 【解析】【分析】根据要求作出图形即可（详解见解析） 。 25 【答案】解：作图如下： 【解析】【分析】根据要求作出图形即可。 26 【答案】（1）(0，233)或（0，2） （2）解：设点 D 的坐标为（0，a） ，则 ODa
34、，CD3a，AOB 是等边三角形， = = = 60， = 90 = 90 60= 30，在 RtAOC 中，tan =， = tan = 3 33= 1， = 2 = 2， ， + = 90， + = 90， = ， = = 90， ，=，即：3=1， = 2+ 3 = ( 32)2+34，当 =32时，m 的最大值为34；m 的最大值为34时，点 D 坐标为(0，32)；存在这样的 m 值，使 BEBF；作 FHy 轴于点 H，ACPDFHx 轴， =，=， = ， = ， + = 180， + = 180， = ， = = 60， ()， = ，=， = ，设 = ，则 = = 2 3，
35、 = tan30=33(3 )， = ， = = 90， ，=，231=33(3)3，解 得： = 3 或 =233 ，当 = 3时，点 P 与点 A 重合，不合题意，舍去，当 =233时， = ( 32)2+34= (23332)2+34=23 ，存在这样的 m 值，使 BEBF此时 =23 【解析】【解答】 （1）AOB 是等边三角形，AOB=60 ，AOC=30 ，ACy 轴，点 C 的坐标为（0，3） ，OC=3， = tan30 = 3 33= 1，当AOD 是等腰三角形，OD=AD，DAO=DOA=30 ，CDA=60 ， =sin60=233， = =233，D 的坐标为(0，2
36、33)，当AOD 是等腰三角形，此时 OA=OD 时， =cos30= 2，OD=OA=2，点 D 坐标为（0，2） ，故答案为：(0，233)或（0，2） ； 【分析】 （1）先求出AOB=60 ，再分类讨论，利用等腰三角形的性质求解即可； （2）利用锐角三角函数，相似三角形的判定与性质计算求解即可； 结合函数图象，利用相似三角形的判定与性质求解即可。 27 【答案】（1） 解： 线段 AE，EF，BF 组成的是直角三角形，理由如下： AM=AC-CM=4-a，BN=4-b，AE=2AM=2 (4a)， BE=2 (4b)， AE2+BF2=2 （4-a）2+2 （4-b）2=2 （a2+b
37、2-8a-8b+32） ，2AC=42，EF=AB-AE-BF=2 4-（4-a）-（4-b），ab=8，EF2=2（a+b-4）2=2（a2+b2-8a-8b+16+2ab）=2（a2+b2-8a-8b+32） ，AE2+BF2=EF2，线段 AE，EF，BF 组成的是直角三角形； （2）解：如图 1， 连接 PC 交 EF 于 G，a=b，ME=AM=BN=NF，四边形 CNPM 是矩形，矩形 CNPM 是正方形，PC 平分ACB， CGAB， PEG=90 ， CM=CN=PM=PN， PE=PF， AEM， BNF， PEF是等腰直角三角形，EF2=AE2+BF2，EF2=PE2+PF
38、2，PE=AE=PF=BF，ME=EG=FG=FN，MCE=GCE，NCF=GCF，ACB=90 ，ECG+FCG=12ACB=45 ； 如图 2， 仍然成立，理由如下：将BCF 逆时针旋转 90 至ACD，连接 DE，DAC=B=45 ，AD=BF，DAE=DAC+CAB=90 ，DE2=AD2+AE2=BF2+AE2，EF2=BF2+AE2，DE=EF，CD=CF，CE=CE，DCFFCE（SSS） ，ECF=DCF=12DCF=12 90 =45 【解析】【分析】 （1）利用勾股定理计算求解即可； （2）先求出 ME=AM=BN=NF， 再求出 PEG=90 ， 最后求解即可； 利用勾股
39、定理，全等三角形的判定与性质求解即可。 28 【答案】（1）解：如图，延长 CE 交 AB 于 H， ABC=45 ，ADBC， ADC=ADB=90 ，ABC=DAB=45 ， DE=CD， DCE=DEC=AEH=45 ， BHC=BAD+AEH=90 ， CEAB； （2）解：在 旋转的过程中与的位置关系与（1）中的 CE 与 AB 的位置关系是一致的，理由如下： 如图 2，延长交于 H， 由旋转可得：CD=，=AD， ADC=ADB=90 ， = ， = 1， ， = ， +DGC=90 ，DGC=AGH， DA+AGH=90 ， AHC=90 ， ； （3）解：如图 3，过点 D 作
40、 DH 于点 H， BED 绕点 D 顺时针旋转 30 ， = 30，= = ， = 120，= = 30， ， = ， AD=2DH，AH=3DH=， = 3， 由（2）可知： ， = = 30， ADBC，CD=3， DG=1，CG=2DG=2， CG=FG=2， = 30， ， AG=2GF=4， AD=AG+DG=4+1=5， = 3 = 53 【解析】【分析】 （1）先求出 ADC=ADB=90 ，ABC=DAB=45 ， 再计算求解即可； （2）结合图形，利用相似三角形的判定与性质计算求解即可； （3）先求出 DG=1，CG=2DG=2， 再求出 AG=2GF=4， 最后计算求解即
41、可。 29 【答案】（1）解：如图， ACB90 ，ACBC4cm， AB2+ 242+ 42= 42（cm） ， 由题意得，AP2tcm，BQtcm， 则 BP（422t）cm， PQBC， PQB90 ， PQBACB， PQAC， = = ， ， ， 42242=4， 解得：t2， 当 t2 时，PQBC （2）解：作 于， 于，如图， = 2， = ，(0 4) = 90， = = 4， 为直角三角形， = = 45， 和为等腰直角三角形， = =22 = ， = ， = = (4 )， 四边形为矩形， = = (4 )， = (4 )， = = (4 2)， 在 中，2= 2+ 2=
42、 2+ (4 )2， 在 中，2= 2+ 2= (4 )2+ (4 2)2， 四边形为菱形， = ， 2+ (4 )2= (4 )2+ (4 2)2， 1=43，2= 4（舍去） 的值为43 【解析】【分析】 （1）利用勾股定理，相似三角形的判定与性质计算求解即可； （2）结合题意，利用勾股定理计算求解即可。 30 【答案】（1）解： = 证明： 是等边三角形， = ， = 60 线段绕点 A 按逆时针方向旋转60得到， = ， = 60， = ， = ， 即 = 在 和 中 = = = ， ()， = ； （2） = + ； 过点 A 作 于点 G，连接 AF，如下图 是等边三角形， ， =12 = 30， = cos =32 是等边三角形，点 F 为线段 BC 中点， = ， ， =12 = 30， = cos =32， = ，=， + = + ， 即 = ， ， = = 90 = ， = ， 即 是等腰直角三角形， = 45 【解析】【解答】解： （2）解： = + 理由：线段绕点 A 按逆时针方向旋转60得到， 是等边三角形， = = ， 由（1）得 = ， = + = + ； 【分析】 （1）先求出 = ，再利用全等三角形的判定与性质证明求解即可； （2）先求出 是等边三角形，再求解即可； 先求出 =12 = 30， 再利用相似三角形的判定与性质证明求解即可
