1、第第 1313 讲讲 三角形三角形 一、单选题一、单选题 1 （2022 徐州）如图，若方格纸中每个小正方形的边长均为 1，则阴影部分的面积为（ ） A5 B6 C163 D173 2 （2022 南通）用一根小木棒与两根长分别为3，6的小木棒组成三角形，则这根小木棒的长度可以为（ ） A1 B2 C3 D4 3（2022 南通模拟）在如图的方格中， 的顶点 、 、 都是方格线的交点， 则三角形 的外角 的度数等于（ ） A130 B140 C135 D145 4（2022 泰州）如图， 正方形 ABCD 的边长为 2， E 为与点 D 不重合的动点， 以 DE 为边作正方形 DEFG.设 D
2、E=d1，点 F、G 与点 C 的距离分别为 d2，d3，则 d1d2d3的最小值为( ) A2 B2 C22 D4 5（2022 无锡）如图， 在 ABCD中， = ， = 105 ， 点E在AD上， = 60 ， 则 的值是（ ） A23 B12 C32 D22 6 （2022 无锡）在 RtABC 中，C=90 ，AC=3，BC=4，以 AC 所在直线为轴，把ABC 旋转 1 周，得到圆锥，则该圆锥的侧面积为（ ） A12 B15 C20 D24 7（2022 扬州）如图， 在中， ， 将 以点为中心逆时针旋转得到 ， 点在边上，交于点.下列结论： ；平分； = ，其中所有正确结论的序号
3、是（ ） A B C D 8 （2022 宿迁）若等腰三角形的两边长分别是 3cm 和 5cm，则这个等腰三角形的周长是（ ） A8cm B13cm C8cm 或 13cm D11cm 或 13cm 9 （2022 海陵模拟）在ABCD 中，对角线 AC、BD 的长分别为 4、6，则边 BC 的长可能为（ ） A4 B5 C6 D7 10 （2022 九下 沭阳模拟）如图，在ABC 中，点 P 从点 B 出发，沿 BC 方向以 1cm/s 的速度匀速运动到点 C，图是点 P 运动时，线段 AP 的长 y(cm)随时间 x(s)变化的关系图象，当ABP 与APC面积相等时，AP 的长为（ ） A
4、3 B2 C23 D4 二、填空题二、填空题 11 （2022 徐州）如图，将矩形纸片 ABCD 沿 CE 折叠，使点 B 落在边 AD 上的点 F 处若点 E 在边AB 上，AB3，BC5，则 AE 12 （2022 镇江）一副三角板如图放置， = 45， = 30， ，则1 = 13 （2022 南通）平面直角坐标系中，已知点(，6)，(3，2)，(3， 2)是函数 =( 0)图象上的三点。若= 2，则 k 的值为 14 （2022 盐城）庄子天下篇记载“一尺之锤，日取其半，万世不竭”如图，直线1： =12 + 1与轴交于点，过点作轴的平行线交直线2： = 于点1，过点1作轴的平行线交直线
5、1于点1，以此类推，令 = 1，11= 2，11= ，若1+ 2+ + 对任意大于 1 的整数恒成立，则的最小值为 15（2022 常州）如图， 在Rt 中， = 90， = 9， = 12.在Rt 中， = 90， = 3， = 4.用一条始终绷直的弹性染色线连接，Rt 从起始位置（点与点重合）平移至终止位置（点与点重合） ，且斜边始终在线段上，则Rt 的外部被染色的区域面积是 . 16（2022 常州）如图， 是 的内接三角形.若 = 45， = 2， 则 的半径是 . 17 （2022 泰州）如图上，中， = 90， = 8， = 6，O 为内心，过点 O 的直线分别与AC、AB 相交于
6、 D、E，若 DE=CD+BE，则线段 CD 的长为 . 18 （2022 苏州）定义：一个三角形的一边长是另一边长的 2 倍，这样的三角形叫做“倍长三角形”.若等腰ABC 是“倍长三角形”，底边 BC 的长为 3，则腰 AB 的长为 . 19（2022 扬州）将一副直角三角板如图放置， 已知 = 60， = 45， ， 则 = . 20 （2022 连云港）如图，在 中， = 150 .利用尺规在 、 上分别截取 、 ，使 = ；分别以 、 为圆心，大于 12 的长为半径作弧，两弧在 内交于点 ；作射线 交 于点 .若 = 3 + 1 ，则 的长为 . 三、综合题三、综合题 21 （2022
7、 徐州）如图，在ABC 中，BAC90 ， ABAC12，点 P 在边 AB 上，D、E 分别为 BC、PC 的中点，连接 DE过点 E 作 BC 的垂线，与 BC、AC 分别交于 F、G 两点连接 DG，交 PC 于点H （1）EDC 的度数为 ； （2）连接 PG，求APG 的面积的最大值； （3）PE 与 DG 存在怎样的位置关系与数量关系？请说明理由； （4）求的最大值 22 （2022 南通模拟）如图， 和 相交于点 ， = ， = （1）求证： = ； （2）求证： / 23 （2022 常州）在四边形中，是边上的一点.若 ，则点叫做该四边形的“等形点”. （1）正方形 “等形点”
8、（填“存在”或“不存在”） ； （2）如图，在四边形中，边上的点是四边形的“等形点”.已知 = 42， = 5， = 12，连接，求的长； （3）在四边形中，EH/FG.若边上的点是四边形的“等形点”，求的值. 24 （2022 泰州）已知：ABC 中，D 为 BC 边上的一点. （1）如图，过点 D 作 DEAB 交 AC 边于点 E，若 AB=5，BD=9，DC=6，求 DE 的长； （2）在图，用无刻度的直尺和圆规在 AC 边上做点 F，使DFA=A； （保留作图痕迹，不要求写作法） （3）如图，点 F 在 AC 边上，连接 BF、DF，若DFA=A，FBC 的面积等于12 ，以 FD为
9、半径作F，试判断直线 BC 与F 的位置关系，并说明理由. 25（2022 泗洪模拟）如图， 在 中， = 42， = 50， 通过尺规作图， 得到直线和射线， 仔细观察作图痕迹，完成下列问题： （1）直线是线段的 线，射线是的 线； （2）求的度数. 26 （2022 苏州）如图 （1）如图 1，在ABC 中， = 2 ，CD 平分 ，交 AB 于点 D， / ，交 BC于点 E. 若 = 1 ， =32 ，求 BC 的长； 试探究 是否为定值.如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. （2）如图 2， 和 是ABC 的 2 个外角， = 2 ，CD 平分 ，交 AB的延长线于点 D，
10、 / ， 交 CB 的延长线于点 E.记ACD 的面积为 1 ， CDE 的面积为 2 ，BDE 的面积为 3 .若 1 3=91622 ，求 cos 的值. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】C 【解析】【解答】解：如图： CDAB， ABECDE， =42=2， 阴影=23=2312 4 4 =163. 故答案为：C. 【分析】对图形进行点标注，易证ABECDE，根据相似三角形的性质可得=2，根据同高三角形的面积之比等于底之比得 S阴影=23SABC，然后结合三角形的面积公式进行计算. 2 【答案】D 【解析】【解答】解：设第三根木棒长为 x，根据题意得 6-3x6+3 解之：3x9
11、349， 这根小木棒的长度可以为 4cm. 故答案为：D. 【分析】利用三角形的三边关系定理：两边之差第三边两边之和；设第三根木棒长为 x，可得到关于 x 的不等式组，然后求出不等式组的解集，可得到符合题意的选项. 3 【答案】C 【解析】【解答】解，设每个小方格的边长为 1， 由勾股定理可得 = 22+ 12= 5 ， = 22+ 12= 5 ， = 32+ 12= 10 ， (5)2+ (5)2= (10)2 ， 2+ 2= 2 ，且 = ， 为等腰直角三角形， = 90 ， = 45 ， = + = 135. 故答案为：C 【分析】设每个小方格的边长为 1，利用勾股定理可得 AB、BC、
12、AC，结合勾股定理逆定理知ABC为直角三角形且 AB=BC，ABC=90 ，BCA=45 ，由外角的性质可得ACD=ABC+BAC，据此计算. 4 【答案】C 【解析】【解答】解：如图，连接 CF、CG、AE， = = 90 = 在和中， = = = () = + + = + + 当 + + = 时，最小， = 2+ 2= 22+ 22= 22 d1d2d3的最小值为22. 故答案为：C. 【分析】连接 CF、CG、AE，由正方形的性质得ADC=90 ，EDG=90 ，AD=CD，DE=DG，由同角的余角相等得ADE=CDG，证ADECDG，得到 AE=CG，则 DE+CF+CG=EF+CF+
13、AE，当EF+CF+AE=AC 时，取得最小值，然后利用勾股定理计算即可. 5 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，过点 B 作 BFAD 于 F， 四边形 ABCD 是平行四边形， CD=AB，CDAB， ADC+BAD=180 ， = 105 A=75 ， ABE=60 ， AEB=180 -A-ABE=45 ， BFAD， BFD=90 ， EBF=AEB=45 ， BF=FE， AD=BD， ABD=A=75 ， ADB=30 ， 设 BF=EF=x，则 BD=2x，由勾股定理，得 DF= 3 ， DE=DF-EF=（ 3 -1）x，AF=AD-DF=BD-DF=（2- 3 ）x，
14、由勾股定理，得 AB2=AF2+BF2=（2- 3 ）2x2+x2=（8-4 3 ）x2， 22=(31)22(843)2=12 =22 ， AB=CD， =22 . 故答案为：D. 【分析】过点 B 作 BFAD 于 F，根据平行四边形的性质可得 CD=AB，CDAB，由平行线的性质可得ADC+BAD=180 ，结合ADC 的度数可得A 的度数，利用内角和定理可得AEB=45 ，进而推出 BF=FE，由等腰三角形的性质可得ABD=A=75 ，则ADB=30 ，设 BF=EF=x，则 BD=2x，由勾股定理，得 DF=3x，DE=DF-EF=( 3 -1)x，AF=(2- 3)x，由勾股定理可
15、得 AB2，据此可得的值，然后结合 AB=CD 进行求解. 6 【答案】C 【解析】【解答】解：C=90 ，AC=3，BC=4， AB= 32+ 42 =5， 以直线 AC 为轴，把ABC 旋转一周得到的圆锥的侧面积= 12 245=20. 故答案为：C. 【分析】首先利用勾股定理求出 AB 的值，然后根据 S圆锥的侧面积=122BCAB 进行计算. 7 【答案】D 【解析】【解答】解：将ABC 以点 A 为中心逆时针旋转得到ADE， ， = ， = ， ，故正确； ， = ， = = ， = ， 平分，故正确； ， = ， = ， ， = ， = ， 故正确 故答案为：D. 【分析】根据旋转
16、的性质可得ADEABC，则E=C，根据对顶角的性质可得AFE=DFC，然后根据相似三角形的判定定理可判断；根据全等三角形的性质可得 AB=AD，ADE=ABC，由等腰三角形的性质可得ABD=ADB，则ADB=ADE，据此判断；根据全等三角形的性质可得BAC=DAE，则BAD=CAE，根据相似三角形的性质可得CAE=CDF，据此判断. 8 【答案】D 【解析】【解答】解：当 3 是腰时， 335， 3，3，5 能组成三角形， 此时等腰三角形的周长为 33511（cm） ， 当 5 是腰时， 355， 5，5，3 能够组成三角形， 此时等腰三角形的周长为 55313（cm） ， 则三角形的周长为
17、11cm 或 13cm. 故答案为：D. 【分析】 分腰长为 3、 腰长为 5， 利用等腰三角形的性质以及三角形的三边关系确定出三角形的三边长，据此不难求出周长. 9 【答案】A 【解析】【解答】解：如图所示，在ABCD 中，对角线 AC、BD 的长分别为 4、6， =12 = 3， =12 = 2， 在 中， + ， 即1 5 故答案为：A 【分析】先求出 =12 = 3， =12 = 2，再利用三角形的三边关系求解即可。 10 【答案】D 【解析】【解答】解：如图，作 ADBC 由图象可知， = 0时， = = 4cm； = 2时， ， = = 1 2 = 2cm； = 8时， = ， =
18、 = 1 8 = 8cm； 在 RtABD 中，由勾股定理得 = 2 2= 23cm 当ABP 与APC 面积相等时， = =12 = 4cm， = 4 2 = 2cm， 在 RtADP 中，由勾股定理得 = 2+ 2= 4cm. 故答案为：D. 【分析】作 ADBC，由图象知：当 x=0 时，AP=AB=4cm；当 x=2 时，APBC，BP=BD=2cm；当x=8 时， AP=AC， BP=BC=8cm， 由勾股定理可得 AD， 然后根据ABP 与APC 面积相等可得 BP=PC=4cm，DP=2cm，然后利用勾股定理进行计算. 11 【答案】43 【解析】【解答】解：由折叠性质可得 CF
19、=BC=5，BE=EF， 由矩形性质有 CD=AB=3，BC=AD=5， D=90 ， = 2 2= 4， 所以 = = 5 4 = 1， 所以 BE=EF=x，则 AE=AB-BE=3-x，在 RtAEF 中： 2+ 2= 2， (3 )2+ 12= 2， 解得 =53， = 3 53=43 故答案为：43. 【分析】由折叠的性质可得 CF=BC=5，BE=EF，由矩形性质可得 CD=AB=3，BC=AD=5，利用勾股定理可得 DF，由 AF=AD-DF 可得 AF，设 BE=EF=x，则 AE=3-x，利用勾股定理可得 x，进而可得 AE. 12 【答案】105 【解析】【解答】解：如图，
20、 ， 2 = = 45 ， = 30 ， = 90 ， = 60 ， 1 = 2 + = 45 + 60 = 105 故答案为：105. 【分析】对图形进行角标注，根据平行线的性质可得2=A=45 ，由内角和定理可得D=60 ，由外角的性质可得1=2+D，据此计算. 13 【答案】34 【解析】【解答】解：连接 OA，过点 A 作 ADx 轴于点 D，BEx 轴于点 E， 点 A（m，6m） ，B（3m，2n） ，C（3m，2n）是函数 ykx（k0）图象上的三点 k6m26mn， m0 nm， B（3m，2m） ，C（3m，2m） ， B、C 关于原点对称， BOCO， SABC2， SAO
21、B1， SAOBS梯形ADEBSAODSBOES梯形ADEB， 12|6m2m|）|3mm|1， 218， 6 18=34， 故答案为：34. 【分析】连接 OA，过点 A 作 ADx 轴于点 D，BEx 轴于点 E，利用点 A，B，C 的坐标及反比例函数的解析式，可得到 nm，可推出 B、C 关于原点对称，可证得 BOCO；再利用ABC 的面积可得到AOB 的面积；然后根据 SAOBS梯形ADEBSAODSBOES梯形ADEB，可得到关于 m 的方程，解方程求出 m2的值，即可求出 k 的值. 14 【答案】2 【解析】【解答】解：直线2： = 与 y 轴的夹角是 45 ， 1， 112，都
22、是等腰直角三角形， = 1，11= 21，22= 32， 点 A 的坐标为(0，1)，点 O1的坐标为 1， 当 = 1时， =12 1 + 1 =32，点1的坐标为(1，32)， 11= 21=32 1 =12， 点2的横坐标1 +12=32， 当 =32时， =1232+ 1 =74， 点2的坐标为(32，74)， 32= 22=7412 1 =14， 以此类推， 得 = 1= 1， 11= 2=12， 22= 3=14， 33= 4=18， ，11= =121， 1+ 2+ 3+ + = 1 +12+14+ +121= 2 121 ， 的最小值为 2 故答案为：2. 【分析】易得OAO1
23、、O1A1O2都是等腰 Rt，则 OA=O1A，O1A1=O2A1，O2A2=O3A2，表示出点 A1、A2的坐标，推出 OA=a1=1，O1A1=a2=12，O2A2=a3=14，O3A3=a4=18，On-1An-1=an=121，据此计算. 15 【答案】21 【解析】【解答】解：过点 F 作 AB 的垂线交于 G，同时在图上标出 M、N、F如下图： = 90， = 9， = 12， = 2+ 2= 15， 在Rt 中， = 90， = 3， = 4. = 2+ 2= 5， = = 15 5 = 10， /， = ， 四边形为平行四边形， = = 10， =12 =12 = 6， 解得：
24、 =125， /， = ， = ， ， =13， =13 =14 =154， /， 同理可证： ， =13， = 3 =34 =454， = =454154=304， 的外部被染色的区域面积为梯形=12 (304+ 10) 125= 21， 故答案为：21. 【分析】过点 F 作 AB 的垂线交于 G，同时在图上标出 M、N、F，利用勾股定理可得 AB、DE，由AE=AB-DE 可得 AE，推出四边形 AEFF为平行四边形，得到 AE=FF=10，根据三角形的面积公式可得GF，证明DFMACM，ANFDNC，根据相似三角形的性质可得 DM、DN，由 MN=DN-DM可得 MN，然后根据 RtA
25、BC 的外部被染色的区域面积为 S梯形MNFF结合梯形的面积公式进行计算. 16 【答案】1 【解析】【解答】解：连接 OA、OC， = 45， = 2 = 90， 2+ 2= 2，即22= 2， 解得： = 1， 故答案为：1. 【分析】连接 OA、OC，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的 2 倍可得AOC=2ABC=90 ，然后利用勾股定理进行计算即可. 17 【答案】2 或12 【解析】【解答】解：如图，作/， ， ，连接 OB，则 ODAC， /， = O 为的内心， = ， = = ， 同理， = ， DE=CD+BE， = 2+ 2= 62+ 82= 10 O 为的内心， = = =
26、 ， = ， = = + = + = 6 + 8 = 10 = 2 如图，作 ， 由知， = 4， = 6， = ， = = =1068=152 = = 8 152=12 = 2 2=(152)2 62=92 = + = 4 +12=92 =12 故答案为：2 或12. 【分析】 作 DEBC， OFBC， OGAB， 连接 OB， 则 ODAC， 由平行线的性质得OBF=BOE，根据内心的概念可得OBF=OBE，推出 BE=OE，同理可得 CD=OD，则 DE=CD+BE，利用勾股定理可得AB， 根据内心的概念可得OF=OD=OG=CD， 则BF=BG， AD=AC， AB=BG+AG=6-
27、CD+8-CD=10，据此可得 CD 的值；作 DEAB，则 BE=4，AE=6，易证ABCADE，根据相似三角形的性质可得AD 的值，由 CD=AC-AD 可得 AD，利用勾股定理可得 DE，由 DE=BE+CD 就可求出 CD 的值. 18 【答案】6 【解析】【解答】解：ABC 是等腰三角形，底边 BC=3 AB=AC 当 AB=AC=2BC 时，ABC 是“倍长三角形”； 当 BC=2AB=2AC 时，AB+AC=BC，根据三角形三边关系，此时不构成三角形，不符合题意； 所以当等腰ABC 是“倍长三角形”，底边 BC 的长为 3，则腰 AB 的长为 6. 故答案为：6. 【分析】由等腰
28、三角形的性质可得 AB=AC，当 AB=AC=2BC 时，ABC 是“倍长三角形”；当BC=2AB=2AC 时，AB+AC=BC，此时不能构成三角形，据此解答. 19 【答案】105 【解析】【解答】解： = = 45， ， = = 45， E=60 ， F=30 ， = = 180 = 105 故答案为：105. 【分析】根据平行线的性质可得FAN=B=45 ，根据余角的性质可得F=90 -E=30 ，由对顶角的性质可得BND=ANF，然后结合内角和定理进行计算. 20 【答案】2 【解析】【解答】解：如图，过点 B 作 BMCD 于点 M， 由题意得：BH 平分ABC， ABH=CBH，
29、四边形 ABCD 是平行四边形， BC=AD=3+1，ABCD， CHB=ABH=CBH，C+ABC=180 ， CH=BC=3+1，C=180 -150 =30 ， BM=12BC=3+12， CM=2 2=3+32， HM=3+1-3+32=312， BH=2+ 2=2. 故答案案为：2. 【分析】过点 B 作 BMCD 于点 M，由题意得 BH 平分ABC，即得出ABH=CBH，根据平行四边形的性质得出 BC=AD=3+1，ABCD，从而得出CHB=ABH=CBH，C+ABC=180 ，进而得出 CH=BC=3+1，C=30 ，再求出 BM 和 HM 的长，最后根据勾股定理即可求得 BH
30、 的长. 21 【答案】（1）45 （2）解：如图：连接 PG EDC=ACB=45 ，GFDC EDF 和GFC 是等腰直角三角形 DF=EF=22 ，GF=CF=22 ， 设 AP=x，则 BP=12-x，BP=12-x=2DE DE=122，EF=1222 RtAPC， PC=2+ 2=2+ 144 CE=122+ 144 RtEFC FC=FG=2 2=(122+ 144)2 (1222)2=(+12)82=12+22 CG=2CF=12+2 AG=12-CG=12-12+2=122 SAPG=12 =12 122=1224=(6)2+364 所以当 x=6 时，SAPG 有最大值 9
31、 （3）解：DG=PE，DGPE，理由如下： DF=EF，CFE=GFD，GF=CF GFDCFE(SAS) DG=CE E 是 PC 的中点 PE=CE PE=DG； GFDCFE ECF=DGF CEF=PEG GHE=EFC=90 ，即 DGPE （4）解：GFDCFE CEF=CDH 又ECF=DCH CEFCDH =，即 = =2 FC=12+22 ，CE=122+ 144，CD=12 =122+ 122= 62 =12+2262(122+144)2= 12 +122+144=12+12+288+1224 12228824=1224224=1222=22+24=2+12 的最大值为2
32、+12 【解析】【解答】解： （1）在ABC 中，BAC90 ，ABAC12 B=ACB=45 D、E 分别为 BC、PC 的中点 DEBP，DE=12 EDC=B=45 故答案为：45 ； 【分析】 （1）根据等腰直角三角形的性质可得B=ACB=45 ，由题意可得 DE 为BCP 的中位线，则 DEBP，DE=12BP，然后根据平行线的性质进行解答； （2）连接 PG，易得EDF 和GFC 是等腰直角三角形，则 DF=EF=22DE，GF=CF=22CG，设 AP=x，则 BP=12-x，BP=12-x=2DE，表示出 DE、EF，由勾股定理可得 PC、FC，然后表示出 CE、CG、AG，根
33、据三角形的面积公式可得 SAPG，再利用二次函数的性质进行解答； （3）易证GFDCFE，得到 DG=CE，根据中点的概念可得 PE=CE，则 PE=DG，根据全等三角形的性质可得ECF=DGF，推出GHE=EFC=90 ，据此解答； （4） 根据全等三角形的性质可得CEF=CDH， 证明CEFCDH， 根据相似三角形的性质可得，然后结合不等式的性质进行解答. 22 【答案】（1）证明：在 和 中， = = = ， () ， = ； （2）证明：由 (1) 得 = ， / 【解析】【分析】 （1）根据已知条件可知 OA=OC，OB=OD，由对顶角的性质可得AOB=COD，证明AOBCOD，据此
34、可得结论； （2）根据（1）的结论结合平行线的判定定理进行证明. 23 【答案】（1）不存在 （2）解：如图，过 A 点作 AMBC 于点 M，如图， O 点是四边形 ABCD 的“等形点”， OABOCD， AB=CD，OA=OC，OB=OD，AOB=COD， = 42，OA=5，BC=12， AB=CD=42，OA=OC=5， OB=BC-OC=12-5=7=OD， AMBC， AMO=90 =AMB， 设 MO=a，则 BM=BO-MO=7-a， 在 RtABM 和 RtAOM 中，2= 2 2= 2 2， 2 2= 2 2，即(42)2 (7 )2= 52 2， 解得： =207，即
35、=207， MC=MO+OC=207+ 5 =557， = 2 2=52 (207)2=5733 在 RtAMC 中， = 2+ 2=(5733)2+ (557)2=57154， 即 AC 的长为57154； （3）解：如图， O 点是四边形 EFGH 的“等形点”， OEFOGH， OF=OH，OE=OG，EOF=GOH， ， EOF=OEH，GOH=EHO， 根据EOF=GOH 有OEH=OHE， OE=OH， OF=OH，OE=OG， OF=OG， = 1. 【解析】【解答】解： （1）不存在， 理由如下： 假设正方形 ABCD 存在“等形点”点 O，即存在OABOCD， 在正方形 AB
36、CD 中，点 O 在边 BC 上， ABO=90 ， OABOCD， ABO=CDO=90 ， CDDO， CDBC， ， O 点在 BC 上， DO 与 BC 交于点 O， 假设不成立， 故正方形不存在“等形点”； 故答案为：不存在； 【分析】（1） 设正方形ABCD存在“等形点”点O， 即存在OABOCD， 由正方形的性质得 ABO=90 ，由全等三角形的性质可得ABO=CDO=90 ，则 CDDO，结合 CDBC 可得 DOBC，而 DO 与BC 交于点 O，据此判断； （2）过 A 点作 AMBC 于点 M，易得OABOCD，则 AB=CD=42，OA=OC=5，OB=OD，AOB=C
37、OD， OB=BC-OC=7=OD， 根据垂直的概念可得AMO=90 =AMB， 设 MO=a， 则 BM=7-a，根据勾股定理可得 a 的值，由 MC=MO+OC 可得 MC，利用勾股定理可得 AM、AC，据此解答； （3）易得OEFOGH，则 OF=OH，OE=OG，EOF=GOH，根据平行线的性质可得EOF=OEH，GOH=EHO，结合EOF=GOH 得OEH=OHE，则 OE=OH，结合 OF=OH，OE=OG可得 OF=OG，据此求解. 24 【答案】（1）解：DEAB， ， =， AB=5，BD=9，DC=6， 5=66+9， = 2； （2）解：作 DTAC 交 AB 于点 T，
38、作TDF=ATD，射线 DF 交 AC 于点 F，则点 F 即为所求； 如图所示：点 F 即为所求， （3）解：直线 BC 与F 相切，理由如下： 作 BRCF 交 FD 的延长线于点 R，连接 CR，如图， DFA=A， 四边形 ABRF 是等腰梯形， = ， FBC 的面积等于12 ， = =12 =12 ， CDDF， FD 是F 的半径， 直线 BC 与F 相切. 【解析】【分析】 （1）易证CDECBA，然后根据相似三角形的对应边成比例就可求出 DE 的长； （2）作 DTAC 交 AB 于点 T，作TDF=ATD，射线 DF 交 AC 于点 F，则点 F 即为所求； （3）作 BR
39、CF 交 FD 的延长线于点 R，连接 CR，易得四边形 ABRF 是等腰梯形，则 AB=FR，根据SCFB=SCFR可得 CDDF，据此证明. 25 【答案】（1）线段垂直平分；角平分 （2）解：垂直平分 = = = 42 = 50 = 180 = 180 42 50 = 88 = = 88 42 = 46 平分 =12 =12 46 = 23 【解析】【解答】解： （1）解：根据作图痕迹可知， 直线 DE 是线段 AB 的线段垂直平分线； 射线 AF 是EAC 的角平分线； 故答案为：线段垂直平分，角平分； 【分析】 （1）由作图痕迹知直线 DE 是线段 AB 的线段垂直平分线； 射线 A
40、F 是EAC 的角平分线； （2） 由 DE 垂直平分 AB，可得 AE=BE，利用等边对等角可得 = = 42，由三角形内角和定理可求出BAC=88 ，从而由 = 算出EAC 的度数，根据角平分线的定义，可得 =12 ，继而得解. 26 【答案】（1）解：CD 平分 ， = =12 . = 2 ， = = . = =32 . ， = . = = . = = 1 . . = . =94 . ， = . 由可得 = ， = . = 1 . 是定值，定值为 1. （2）解： ， = 12= . 32= ， 1322= . 又1 3=91622 ， =916 . 设 = 9 ，则 = 16 . CD
41、 平分 ， = =12 . = 2 ， = = . = . ， = . = = . = . = ， . = . 2= = 1442 . = 12 . 如图，过点 D 作 于 H. = = 12 ， =12 =92 . cos =9212=38 . 【解析】【分析】 （1）根据角平分线的概念可得ACD=DCB=12ACB，由已知条件可得ACB=2B，则ACD=DCB=B，推出 CD=BD=32，根据平行线的性质可得ACD=EDC，则EDC=DCB=B，推出 CE=DE=1，证明 CEDCDB，然后根据相似三角形的性质进行计算； 根据平行线分线段成比例的性质可得=，由可得 CE=DE，则=，据此解答； （2）易证 BDEBAC，根据相似三角形的性质结合三角形的面积公式可得 12= ，易得1322=，由已知条件知 S1 S3=916S22，则=916，设 BC=9x，则 CE=16x，根据角平分线的概念可得ECD=FCD=12CBF， 由已知条件知BCF=2CBG， 则ECD=FCD=CBD， 推出 BD=CD，根据平行线的性质可得EDC=FCD，推出 CE=DE，证明 CDBCED，根据相似三角形的性质可得 CD=12x，过点 D 作 DHBC 于 H，则 BD=CD=12x，BH=92x，然后根据三角函数的概念进行计算
