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2023年湖北省中考数学一轮复习专题训练22:锐角三角函数(含答案解析)

1、 专题专题 22 22 锐角三角函数锐角三角函数 一、单选题一、单选题 1我国魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术:割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体,而无所失矣,即通过圆内接正多边形割圆,从正六边形开始,每次边数成倍增加,依次可得圆内接正十二边形,内接正二十四边形,边数越多割得越细,正多边形的周长就越接近圆的周长再根据“圆周率等于圆周长与该圆直径的比”来计算圆周率设圆的半径为 R,图 1 中圆内接正六边形的周长6= 6,则 62= 3再利用圆的内接正十二边形来计算圆周率则圆周率约为( ) A12sin15 B12cos15 C12sin30 D12cos30 2由 4 个形状

2、相同,大小相等的菱形组成如图所示的网格,菱形的顶点称为格点,点 A,B,C 都在格点上,O=60 ,则 tanABC=( ) A13 B12 C33 D32 3 (2022 鄂州)如图,定直线 MNPQ,点 B、C 分别为 MN、PQ 上的动点,且 BC=12,BC 在两直线间运动过程中始终有BCQ=60 .点 A 是 MN 上方一定点,点 D 是 PQ 下方一定点,且 AEBCDF,AE=4,DF=8,AD=243,当线段 BC 在平移过程中,AB+CD 的最小值为( ) A2413 B2415 C1213 D1215 4 (2022 十堰)如图,坡角为 的斜坡上有一棵垂直于水平地面的大树

3、AB,当太阳光线与水平线成45 角沿斜坡照下,在斜坡上的树影 BC 长为 m,则大树 AB 的高为( ) A(cos sin) B(sin cos) C(cos tan) Dsincos 5 (2022 荆州)如图,在平面直角坐标系中,点 A,B 分别在 x 轴负半轴和 y 轴正半轴上,点 C 在 OB上, : = 1:2 , 连接AC, 过点O作 交AC的延长线于P.若 (1,1) , 则 tan 的值是( ) A33 B22 C13 D3 6 (2022 随州)如图,已知点 B,D,C 在同一直线的水平,在点 C 处测得建筑物 AB 的顶端 A 的仰角为 ,在点 D 处测得建筑物 AB 的

4、顶端 A 的仰角为 , = ,则建筑物 AB 的高度为( ) Atantan Btantan Ctantantantan Dtantantantan 7 (2022 八下 黄冈期中)如图所示,E 是边长为 1 的正方形 ABCD 的对角线 BD 上一点,且 BE=BC,P 为 CE 上任意一点,PQBC 于点 Q,PRBE 于点 R,则 PQ+PR 的值是( ) A22 B12 C32 D23 8 (2022 八下 崇阳期中)如图,在平行四边形 ABCD 中,ABC45 ,E、F 分别在 CD 和 BC 的延长线上,AEBD,EFC30 ,AB1,则 CF 的长为( ) A2 +6 B22 C

5、4 D2+3 9 (2022 九下 鄂州月考)如图,在菱形 ABCD 中,ABC120 ,AB10cm,点 P 是这个菱形内部或边上的一点.若以 P,B,C 为顶点的三角形是等腰三角形,则 P,A(P,A 两点不重合)两点间的最短距离为 ( ) A10 B53 C10310 D1053 10 (2021 九上 鄂城期末)如图, 中, = 90 , = ,点 D 是边 上一动点,连接 ,以 为直径的圆交 于点 E.若 长为 4,则线段 长的最小值为( ) A5 1 B25 2 C210 22 D102 二、填空题二、填空题 11 (2022 黄石)某校数学兴趣小组开展无人机测旗杆的活动:已知无人

6、机的飞行高度为 30m,当无人机飞行至 A 处时, 观测旗杆顶部的俯角为 30 , 继续飞行 20m 到达 B 处, 测得旗杆顶部的俯角为 60 ,则旗杆的高度约为 m (参考数据:3 1.732,结果按四舍五八保留一位小数) 12 (2022 鄂州)如图,在边长为 6 的等边ABC 中,D、E 分别为边 BC、AC 上的点,AD 与 BE 相交于点 P,若 BD=CE=2,则ABP 的周长为 . 13 (2022 宜昌)如图, 岛在 A 岛的北偏东 50 方向, 岛在 岛的北偏西 35 方向, 则 的大小是 . 14 (2022 孝感)如图,有甲乙两座建筑物,从甲建筑物点处测得乙建筑物点的俯

7、角为45,点的俯角为58,为两座建筑物的水平距离.已知乙建筑物的高度为6,则甲建筑物的高度为 .(sin58 0.85,cos58 0.53,tan58 1.60,结果保留整数). 15 (2022 随州)如图 1,在矩形 ABCD 中, = 8, = 6,E,F 分别为 AB,AD 的中点,连接EF.如图 2, 将AEF 绕点 A 逆时针旋转角(0 90), 使 , 连接 BE 并延长交 DF 于点 H,则BHD 的度数为 ,DH 的长为 . 16 (2022 武汉)如图,沿方向架桥修路,为加快施工进度,在直线上湖的另一边的处同时施工.取 = 150, = 1600, = 105,则,两点的

8、距离是 . 17 (2022 九下 黄石月考)如图,正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为 CD,DA 延长线上的点,连接 EF,BF, BE, BE 交 AD 于点 P, 过点 F 作 FKBE 垂足为 G, FK 与 AB, CD 分别交于点 H, K, 若 DC=DE,EFB=FBC.则下列结论中:BPHK;ABF+FEB45 ;PG:GB:PE1:2:3;sin =1010 ;若连接 AG,则 + = 2 ;HF2+HK22HB2.结论正确的有 (只填序号). 18 (2022 九下 黄石月考)如图,在大楼 AB 的正前方有一斜坡 CD,CD4 米,坡角DCE30 ,小红在斜坡下的点

9、 C 处测得楼顶 B 的仰角为 60 ,在斜坡上的点 D 处测得楼顶 B 的仰角为 45 ,其中点A、C、E 在同一直线上.则大楼 AB 的高度 .(结果保留根号) 19 (2022 九下 黄石开学考)某中学九年级数学兴趣小组想测量建筑物 AB 的高度.他们在 C 处仰望建筑物顶端,测得仰角为 48 ,再往建筑物的方向前进 6 米到达 D 处,测得仰角为 64 ,则建筑物的高度 米. (测角器的高度忽略不计, 结果精确到 0.1 米)(参考数据: sin48 710 , tan48 1110 , sin64 910 ,tan642) 20 (2021 九上 江夏月考)如图,点 C 是以 AB

10、为直径的半圆上任意一点, = 8,连接 AC,将线段AC 绕点 A 逆时针旋转 120 得到线段,则的最大值为 . 三、计算题三、计算题 21 (2021 十堰)计算: 2cos45 + (13)1 | 3| . 22 (2021 黄冈)计算: |1 3| 2sin60 + ( 1)0 . 23 (2021 房县模拟)计算:-2+2sin30 - 4 -( 2 -)0; 24 (2021 汉川模拟)计算: 12 21+ (13)0 4cos30 25 (2021 孝感模拟)计算: |3 1| 4sin60 + (16)1 . 四、综合题四、综合题 26 (2021 荆门)某海域有一小岛 P,在

11、以 P 为圆心,半径 r 为 10(3 + 3) 海里的圆形海域内有暗礁.一海监船自西向东航行,它在 A 处测得小岛 P 位于北偏东 60 的方向上,当海监船行驶 202 海里后到达 B 处,此时观测小岛 P 位于 B 处北偏东 45 方向上. (1)求 A,P 之间的距离 AP; (2)若海监船由 B 处继续向东航行是否有触礁危险?请说明理由.如果有触礁危险,那么海监船由B 处开始沿南偏东至多多少度的方向航行能安全通过这一海域? 27 (2021 荆门)如图,在 中, = 90 ,点 E 在 BC 边上,过 A,C,E 三点的 交AB 边于另一点 F,且 F 是弧 AE 的中点,AD 是 的

12、一条直径,连接 DE 并延长交 AB 边于 M 点. (1)求证:四边形 CDMF 为平行四边形; (2)当 =25 时,求 sin 的值. 28(2021 襄阳)如图, 直线 经过 上的点 , 直线 与 交于点 和点 , 与 交于点 ,与 交于点 , = , = . (1)求证: 是 的切线; (2)若 / , = 6 ,求图中阴影部分面积. 29(2021 仙桃)如图1, 已知 = 45 , 中 = 90 , 动点P从点A出发, 以 25/ 的速度在线段 上向点 C 运动, , 分别与射线 交于 E,F 两点,且 ,当点 P与点 C 重合时停止运动,如图 2,设点 P 的运动时间为 , 与

13、 的重叠部分面积为 2 ,y 与 x 的函数关系由 1(0 5) 和 2(5 ) 两段不同的图象组成. (1)填空:当 = 5 时, = ; sin = ; (2)求 y 与 x 的函数关系式,并写出 x 的取值范围; (3)当 362 时,请直接写出x 的取值范围. 30(2021 宜昌)如图, 在矩形 中, 是边 上一点, = , , 垂足为 .将四边形 绕点 顺时针旋转 (0 90) ,得到四边形 . 所在的直线分别交直线 于点 , 交直线 于点 , 交 于点 . 所在的直线分别交直线 于点 ,交直线 于点 ,连接 交 于点 . (1)如图 1,求证:四边形 是正方形; (2)如图 2,

14、当点 和点 重合时. 求证: = ; 若 = 1 , = 2 ,求线段 的长; (3)如图 3,若 / 交 于点 , tan =12 ,求 的值. 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解:如图: 十二边形1212是正十二边形, 67=36012= 30, 67于 H,又6= 7, 6 = 15, 圆内接正十二边形的周长12= 12 2sin15 = 24sin15, 122= 12sin15 故答案为:A 【分析】利用正十二边形的性质得中心角的度数为 30 ,利用等腰三角形的性质可求出A6OH=15 ,A6A7=2A6H,利用正弦函数的定义求出 A6H,进而即可求出正十二

15、边形的周长,然后求出圆周率. 2 【答案】C 【解析】【解答】解:连接 AD,如图: 网格是有一个角 60 为菱形, AOD、BCE、BCD、ACD 都是等边三角形, AD= BD= BC= AC, 四边形 ADBC 为菱形,且DBC=60 , ABD=ABC=30 , tanABC= tan30 =33. 故答案为:C. 【分析】连接 AD,易得AOD、BCE、BCD、ACD 都是等边三角形,则 AD= BD= BC= AC,推出四边形 ADBC 为菱形,且DBC=60 ,则ABD=ABC=30 ,然后根据特殊角的三角函数值进行解答. 3 【答案】C 【解析】【解答】解:如图所示,过点 F

16、作 FHCD 交 BC 于 H,连接 EH, , , 四边形 CDFH 是平行四边形, CH=DF=8,CD=FH, BH=4, BH=AE=4, 又 , 四边形 ABHE 是平行四边形, AB=HE, + , 当 E、F、H 三点共线时,EH+HF 有最小值 EF 即 AB+CD 有最小值 EF, 延长 AE 交 PQ 于 G,过点 E 作 ETPQ 于 T,过点 A 作 ALPQ 于 L,过点 D 作 DKPQ 于 K, , , 四边形 BEGC 是平行四边形,EGT=BCQ=60 , EG=BC=12, = cos = 6, = sin = 63, 同理可求得 = 8, = 83, =

17、4, = 43, = 2, ALPQ,DKPQ, , ALODKO, = 2, =23 = 163, =13 = 83, = 2 2= 24, = 2 2= 12, = + + + = 42, = 2+ 2= 1213. 故答案为:C. 【分析】过点 F 作 FHCD 交 BC 于 H,连接 EH,易得四边形 CDFH、ABHE 是平行四边形,根据平行四边形的性质得 CH=DF=8,CD=FH,AB=HE,故当 E、F、H 三点共线时,EH+HF 有最小值 EF 即AB+CD 有最小值 EF,延长 AE 交 PQ 于 G,过点 E 作 ETPQ 于 T,过点 A 作 ALPQ 于 L,过点 D

18、作 DKPQ 于 K,则四边形 BEGC 是平行四边形,EGT=BCQ=60 ,EG=BC=12,根据三角函数的概念可得 GT、ET,同理可得 GL、AL、FK、DK,易证ALODKO,根据相似三角形的性质可得AO、DO,利用勾股定理可得 OL、OK,由 TF=TL+OL+OK+KF 可得 TF,然后利用勾股定理进行计算. 4 【答案】A 【解析】【解答】解:如图,过点 C 作水平线与 AB 的延长线交于点 D,则 ADCD, BCD=,ACD=45 . 在 RtCDB 中,CD=mcos,BD=msin, 在 RtCDA 中, AD=CD tan45 =mcostan45 =mcos, AB

19、=AD-BD =(mcos-msin) =m(cos-sin). 故答案为:A. 【分析】 过点 C 作水平线与 AB 的延长线交于点 D, 则 ADCD, 根据锐角三角形函数的定义求出 CD= mcos,BD=msin,在 RtCDA 中,可得 AD=CDtan45=mcos,根据 AB=AD-BD 即可求解. 5 【答案】C 【解析】【解答】解:P 点坐标为(1,1) , 则 OP 与 x 轴正方向的夹角为 45 , 又 OPAB , 则BAO=45 , OAB 为等腰直角形, OA=OB, 设 OC=x,则 OB=3OC=3x, 则 OB=OA=3x, tan =3=13 . 故答案为:

20、C. 【分析】 由 P 点坐标为 (1, 1) , 可得 OP 与 x 轴正方向的夹角为 45 , 由平行线的性质可得BAO=45 ,即得OAB 为等腰直角形,设 OC=x,则 OB=3OC=3x,则 OB=OA=3x,根据tan =即可求解. 6 【答案】D 【解析】【解答】设 AB=x,由题意知,ACB=,ADB=, =tan, =tan, CD=BC-BD, tantan= , =tantantantan,即 AB=tantantantan, 故答案为:D. 【分析】利用解直角三角形分别表示出 BD,BC 的长;再根据 CD=BC-BD=a,建立关于 x 的方程,解方程表示出 x,即可得

21、到建筑物 AB 的高. 7 【答案】A 【解析】【解答】连接 BP,过 C 作 CMBD, BC=BE, SBCE=SBPE+SBPC =BC PQ12+BE PR12 =BE (PQ+PR)12 =BE CM12, PQ+PR=CM, BE=BC=1,BD 是正方形 ABCD 的对角线, BD=2BC=2, BC=CD,CMBD, M 为 BD 中点, BDC 为直角三角形, CM=12BD=22, 即 PQ+PR 值是22 故答案为:A 【分析】连接 BP,过 C 作 CMBD, 由 BC=BE,利用三角形的面积公式可得到 SBCE=SBPE+SBPC, 可证得 SBCE=12BE CM,

22、可推出 PQ+PR=CM,利用解直角三角形求出 BD 的长,利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半,可求出 CM 的长,即可得到 PQ+PR 的长. 8 【答案】A 【解析】【解答】解:如图,过 E 作 EHBF 于点 H, 四边形 ABCD 是平行四边形, , AB=DC, , 四边形 ABDE 是平行四边形, AB=DE=CD,即 D 为 CE 中点. AB=1, CE=2, , ECF=ABC=45 , CE=8,ECF=45 , = = 2, = 30, = 3 = 6, = 2 + 6. 故答案为:A. 【分析】如图,过 E 作 EHBF 于点 H,先证明四边形 ABDE 是平行四

23、边形,可得 AB=DE=CD,即 D为 CE 中点,然后求出 CE=2,再求出CEF 为等腰直角三角形,可得 EH=CH=22CE=2,利用锐角三角形函数求出 = 3 = 6,根据 CF=CH+HF 即可得解. 9 【答案】C 【解析】【解答】解:连接, 在菱形中, = 120, = = = = 10, = = 60, ,都是等边三角形, 若以边为底,则垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,此时就转化为了“直线外一点与直线上所有点连线的线段中垂线段最短”, 即当点 P 与点 D 重合时, 最小, 最小值 = 10; 若以边为底,为顶角时,以点 C 为圆心,长为半径作圆,与相交于一点,

24、则弧(除点 B 外)上的所有点都满足是等腰三角形,当点 P 在上时,最小,如图所示, 连接交 于 O, 为菱形, , = 2, = 120, = 60, 在中, = 10, = sin60 = 10 32= 53, = 2 = 103, = = 103 10, 最小值为103 10; 若以边为底, 为顶角, 以点B为圆心, 为半径作圆, 则弧上的点A与点D均满足为等腰三角形,当点 P 与点 A 重合时,最小,显然不满足题意,故此种情况不存在; 综上所述,的最小值为103 10(); 故答案为:103 10. 故答案为:C. 【分析】连接 BD,根据菱形的性质可得 AB=BC=CD=AD=10,

25、A=C=60 ,推出ABD、BCD 都是等边三角形,若以边 BC 为底,则 BC 垂直平分线上(在菱形的边及其内部)的点满足题意,根据垂线段最短的性质可得当点 P 与点 D 重合时,PA 最小;若以边 PB 为底,PCB 为顶角时,以点 C 为圆心,BC 长为半径作圆,与 AC 相交于一点,则弧 BD(除点 B 外)上的所有点都满足PBC是等腰三角形, 当点 P 在 AC 上时, AP 最小, 连接 AC 交 BD 于 O, 根据菱形的性质可得ABD=60 ,AC=2AO,ACBD,根据三角函数的概念可得 AO,进而得到 AC,由 AP=AC-CP 可得 PA 的最小值;若以边 PC 为底,P

26、BC 为顶角,以点 B 为圆心,BC 为半径作圆,则弧 AC 上的点 A 与点 D 均满足PBC 为等腰三角形,当点 P 与点 A 重合时,PA 最小,显然不满足题意,据此解答. 10 【答案】D 【解析】【解答】解:如图,连接 CE, 由 CD 为直径, = 90 = , 点 E 在以 BC 的中点 O 为圆心, BC 为直径的 上运动, 连接 AO, 交 于点 E, 则此时 AE=AO-OE 最小, = 90 , = , = 4, = = 45, = = sin45 = 22, = = = 2, =(22)2+ (2)2= 10, = 10 2. 故答案为:D. 【分析】 连接 CE, 由

27、圆周角定理可得CED=BEC=90 , 连接 AO, 交 于点 E, 则此时 AE=AO-OE最小,根据等腰直角三角形的性质可得ABC=BAC=45 ,根据三角函数的概念可得 AC=BC=2,利用勾股定理求出 AO,进而可得 AE. 11 【答案】12.7 【解析】【解答】 解: 设旗杆底部为点 C, 顶部为点 D, 延长 CD 交直线 AB 于点 E, 依题意则 DEAB, 则 CE=30m,AB=20m,EAD=30 ,EBD=60 , 设 DE=x m, 在 RtBDE 中,tan60 = 3 解得 =33 则 = + = (20 +33)m, 在 RtADE 中,tan30 =20+3

28、3=33, 解得 = 103 17.3m, CD=CE-DE= 12.7 故答案为:12.7 【分析】设旗杆底部为点 C,顶部为点 D,延长 CD 交直线 AB 于点 E,设 DE=xm,利用解直角三角形表示出 BE 的长,同时可表示出 AE 的长;在 RtADE 中,利用解直角三角形可得到关于 x 的方程,解方程求出 x 的值,然后求出 CD 的长. 12 【答案】6 +1877 【解析】【解答】解:如图所示,过点 E 作 EFAB 于 F, ABC 是等边三角形, AB=BC,ABD=BAC=BCE=60 , CE=BD=2,AB=AC=6, AE=4, = cos = 2, = sin

29、= 23, BF=4, = 2+ 2= 27, 又BD=CE, ABDBCE(SAS) , BAD=CBE,AD=BE, 又BDP=ADB, BDPADB, =, 227=6=2, =677, =277, = =1277, ABP 的周长= + + = 6 +1877. 故答案为:6 +1877. 【分析】过点 E 作 EFAB 于 F,根据等边三角形的性质可得 AB=BC,ABD=BAC=BCE=60 ,则 AE=AC-CE=4,根据三角函数的概念可得 AF、EF,利用勾股定理可得 BE,证明ABDBCE,得到BAD=CBE,AD=BE,证明BDPADB,根据相似三角形的性质可得 BP、PD

30、,然后根据AP=AD-AP 求出 AP,据此不难求出ABP 的周长. 13 【答案】85 【解析】【解答】解: C 岛在 A 岛的北偏东 50 方向, = 50 , C 岛在 B 岛的北偏西 35 方向, = 35 , 过 C 作 CFDA 交 AB 于 F ,如图所示: , = = 50, = = 35 , = + = 85. 故答案为:85 . 【分析】易得DAC=50 ,CBE=35 ,过 C 作 CFDA 交 AB 于 F,根据平行线的性质得FCA=DAC=50 ,FCB=CBE=35 ,然后根据ACB=FCA+FCB 进行计算. 14 【答案】16 【解析】【解答】解:如图,过点作

31、于点,设 = , 根据题意可得: , , = = = = 90, 四边形 BCDE 是矩形, 从甲建筑物 A 点处测得乙建筑物 D 点的俯角为45,C 点的俯角为58,为两座建筑物的水平距离,乙建筑物的高度 CD 为 6, = = 6, = 45, = 58, 在 中, = 45, = 90 = 45, = , = = , = = , = + = + 6, 在 中,tan = 即tan58 =+6 1.60, tan = tan58 =+6 1.60 解得 10, 经检验 10是原分式方程的解且符合题意, = + 6 16(). 故答案为:16. 【分析】过 D 点作 DEAB 于 E,设 A

32、E=x,易得四边形 BCDE 是矩形,由题意可得 BE=CD=6,ADE=45 ,ACB=58 ,则 DE=AE=x,BC=DE=x,AB=AE+BE=x+6,根据三角函数的概念可得 x,进而可得 AB. 15 【答案】90 ;455 【解析】【解答】解:如图,设 EF 交 AD 于点 M,BH 交 AD 于点 N, 根据题意得:BAE=DAF,EAF=90 , =12 = 3, =12 = 4, =34, 在矩形 ABCD 中, = 8, = 6,BAD=90 , =34, ADFABE, ADF=ABE, ANB=DNH, BHD=BAD=90 ; 如图,过点 E 作 EGAB 于点 G,

33、 AGE=AME=BAD=90 , 四边形 AMEG 是矩形, EG=AM,AG=ME,MEAB, ABE=MEN, 在 中, = 2+ 2= 5, tan =34, =12 =12 , = =125, = =tan=165, = = 8 165=245, tan = tan =12, =12,即 =85, = = 2, ADF=ABE, tan = tan =12, 即 DH=2HN, 2+ 2= 2+ (12)2= 2= 4, 解得: =455或455(舍去). 故答案为:90 ,455 【分析】设 EF 交 AD 于点 M,BH 交 AD 于点 N,利用旋转的性质及线段中点的定义可证得B

34、AE=DAF,EAF=90 ,同时可求出 AF,AE 的长,即可求出 AE 与 AF 的比值;同时可得到 AD 与 AB的比值; 利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可证得ADFABE, 利用相似三角形的性质可证得ADF=ABE,可推出BHD=BAD=90 ;过点 E 作 EGAB 于点 G,易证四边形 AMEG是矩形,利用矩形的性质可证得 EG=AM,AG=ME,MEAB,利用平行线的在可知ABE=MEN,利用勾股定理求出 EF 的长,利用锐角三角函数的定义及三角形的面积公式可求出 AG 的长,即可求出BG 的长; 再利用解直角三角形求出 MN 的长, 根据 DN=AD-AM 可求出

35、DN 的长; 利用ADF=ABE及解直角三角形可得到 DH=2HN;然后利用勾股定理可求出 DH 的长. 16 【答案】8002 【解析】【解答】解:过点 C 作 CEAD 于点 D, ABC=150 , CBD=180 -ABC=30 , BCE=90 -30 =60 . BCD=105 , DCE=BCD-BCE=45 , CE=DE. sinBCE=sin30 =1600=12, CE=800, CE=DE=800, CD=2+ 2=8002. 故答案为:8002. 【分析】过点 C 作 CEAD 于点 D,根据邻补角的性质可得CBD=30 ,则BCE=60 ,DCE=BCD-BCE=4

36、5 ,推出 CE=DE,根据BCE 的正弦三角函数的概念可得 CE,然后利用勾股定理进行计算. 17 【答案】 【解析】【解答】解:过点 A 作 ALBE 交 CD 于点 L, 四边形 AHKL 是平行四边形, ALHK, ABAD,ADLBAP90 , DAJAPBDALALD90 , APBALD, ADLBAP(AAS) , BPALHK,故正确; 延长 EF、CB 相交于点 N,过点 B 作 BMEN 于点 M,连接 BK, EFBFBC, BFNFBNBFA, BMBABC, FEGKEG, EFGEKG(ASA) , FGKG, BE 垂直平分 FK, BFBK, BABC, Rt

37、ABFRtCBK(HL) , ABFCBK, FBKABFABKCBKABK90 , FBEKBE45 , ABFFEBABFBEDABFABPFBE45 ,故正确; DFK90EKGBEC, tanDFKtanBEC 12 , BGFG2PG, PEPBPGBG3PG, PG:BG:PE1:2:3,故正确; 设正方形边长为 a,由 tanDFK 12 , DF2DK, 即:aAF2(aCK) , AFCK 13 a, BF 22 = 103 a, sinABF = 1010 ,故正确; 过点 G 作 GQAG 交 AB 于点 Q, PGFHGB,FGBG,PFGHBG, FPGBHG(ASA

38、) , PFBH,PGHG, AGQFGB90 , AGQFGQ=BGFFGQ, AGFBGQ, AFGQBG,FGBG, AFGBHG(ASA) , AGQG,AFBQ, HQBHBQPFAFAP, 2 AGAQAHHQAHAP,故正确; 在 BC 上截取 BIBH,连接 KI,HI,则 AHCI, AFHCKI(SAS) , AFHCKI, KIFH, HKI180FKDAFH180FKDCKI90 , HF2HK2KI2HK2HI22BH2,故正确; 故答案为:. 【分析】过点 A 作 ALBE 交 CD 于点 L,根据平行四边形的性质可得 ALHK,根据同角的余角相等可得APBALD,

39、证明ADLBAP,据此判断;延长 EF、CB 相交于点 N,过点 B 作 BMEN 于点 M,连接 BK,由等腰三角形的性质可得FEGKEG,证明EFGEKG,得到 FGKG,由垂直平分线的性质可得 BFBK,证明 RtABFRtCBK,得到ABFCBK,易得FBEKBE45 ,进而判断;根据三角函数的概念可得 BGFG2PG,则 PEPB3PG,据此判断;设正方形边长为 a,由三角函数的概念得 DF2DK,则 AFCK13a,由勾股定理得 BF,然后根据三角函数的概念可判断;过点 G 作 GQAG 交 AB 于点 Q,证明FPGBHG,得到 PFBH,PGHG,根据角的和差关系可推出AGFB

40、GQ,证AFGBHG,得到 AGQG,AFBQ, 则 HQBH-BQPF-AFAP, 据此判断; 在 BC 上截取 BIBH, 连接 KI, HI, 则 AH=CI,证AFHCKI,得到AFHCKI,根据内角和定理可得HKI90 ,结合勾股定理可判断. 18 【答案】(6+4 3 )米 【解析】【解答】解:在 RtDCE 中,DC4 米,DCE30 ,DEC90 , DE =12 DC2(米), 过 D 作 DFAB,交 AB 于点 F, BFD90 ,BDF45 , FBD45 ,即BFD 为等腰直角三角形, 设 BFDFx 米, 四边形 DEAF 为矩形, AFDE2 米,即 AB(x+2

41、)米, 在 RtABC 中,ABC30 , =cos30=+232=2+43=3(2+4)3 (米) , BD = 2 BF = 2 x 米,DC4 米, DCE30 ,ACB60 , DCB90 , 在 RtBCD 中,根据勾股定理得: 22=(2+4)23+ 16 , 解得:x4+4 3 , 则 AB(6+4 3 )米. 故答案为: (6+4 3 )米. 【分析】根据含 30 角的直角三角形的性质可得 DE=12CD=2 米,过 D 作 DFAB,交 AB 于点 F,易得BFD 为等腰直角三角形,设 BFDFx 米,根据矩形的性质可得 AFDE2 米,则 AB(x+2)米,根据三角函数的概

42、念可得 BC、BD,在 RtBCD 中,根据勾股定理可求出 x,进而可得 AB. 19 【答案】14.7 【解析】【解答】解:根据题意,得 = 64, = 48 , = 6 米, 在 中, tan64 = , =tan6412 , 在 中, tan48 = , =tan481011 , = ,即 6 =1011 12 解得: =1329 14.7 米, 建筑物的高度约为 14.7 米. 故答案为:14.7. 【分析】根据题意得 :ADB=64 ,ACB=48 ,CD=6 米,根据ADB、ACB 的正切函数可求出BD、BC,然后根据 CD=BC-BD 进行计算. 20 【答案】47 + 4 【解

43、析】【解答】解:如图所示,找出线段 AB 的中点 O,连接 OC,将线段 AC 绕点 A 旋转 120 可看作将AOC 绕点 A 旋转 120 得到AOC, , OC=OC=4, 以点 O为圆心,OC为半径作圆,当 O、C、B 三点共线时,BC取得最大值, 如图所示: = 60, = 4, = 8, = cos60 = 2, = 23, = 2+ 2=102+ (23)2= 47, = + = 47 + 4. 故答案为:47 + 4. 【分析】找出线段 AB 的中点 O,连接 OC,将线段 AC 绕点 A 旋转 120 可看作将AOC 绕点 A 旋转120 得到AOC,则AOCAOC,得到 O

44、C=OC=4,以点 O为圆心,OC为半径作圆,当 O、C、B 三点共线时,BC取得最大值,根据三角函数的概念求出 AD、OD,由勾股定理求出 BO,进而可得BC的最大值. 21 【答案】解:原式 = 2 22+ 3 3 = 1 . 【解析】【分析】利用特殊角三角函数值、负整数幂的性质、绝对值的性质分别进行计算,再合并即可. 22 【答案】解:原式 = 3 1 2 32+ 1 , = 3 3 , = 0 【解析】【分析】先算乘方运算,同时化简绝对值,代入特殊角的三角函数值,再算乘法运算,挺好合并即可. 23 【答案】解:原式= 2 + 2 12 2 1 = 0 【解析】【分析】根据绝对值的性质、

45、算术平方根以及 0 次幂的运算性质将原式化简,同时代入特殊角的三角函数值,进而根据有理数的混合运算顺序算出答案. 24 【答案】解: 12 21+(13 )0 4cos30 = 23 12+ 1 4 32 = 23 +12 23 =12 【解析】【分析】第一项根据二次根式性质的化简,第二项根据负指数幂的法则计算,第三项根据 0 指数幂的法则计算,第四项代入特殊锐角三角函数值,进而再合并同类二次根式及进行有理数的加减法即可. 25 【答案】解:原式 = 3 1 4 32+ 6 = 3 1 23 + 6 = 3 + 5 . 【解析】【分析】由特殊角的三角函数值可得 sin60 =32,由负整数指数

46、幂的意义“任何一个不为 0 的数的负整数指数幂等于这个数的正整数指数幂的倒数.”可得(16)-1=6,然后根据二次根式的混合运算法则计算即可求解. 26 【答案】(1)解:如图 1,作 ,交 AB 的延长线于 C, 由题意知: = 30 , = 45 . 设 = :则 = , tan30 =202+=33 , 解得 = 102(3 + 1) , 经检验: = 102(3 + 1) 是原方程的根,且符合题意, = 2 = 206 + 202 (2)解: = 102(3 + 1) 103(3 + 1) = 10(3 + 1)(2 3) 0 , . 因此海监船继续向东航行有触礁危险; 设海监船无触礁

47、危险的新航线为射线 BD, 以 为圆心, 10(3 + 3) 为半径作圆, 过 作圆 P 的切线 , 交 于点 D, PDB=90 , 由(1)得: = 2, sin =10(3+3)2=32 , PBD=60 , CBD=15 , 海监船由 B 处开始沿南偏东小于 75 的方向航行能安全通过这一海域 【解析】【分析】 (1) 作 ,交 AB 的延长线于 C,设 = , = , 由tan30 =202+=33,解出 x 值即可; (2)先判断出海监船继续向东航行有触礁危险;设海监船无触礁危险的新航线为射线 BD, 以 为圆心, 10(3 + 3) 为半径作圆,过 作圆 P 的切线 , 交 于点

48、 D,可得PDB=90 , 由(1)得 = 2,可得sin =10(3+3)2=32,据此可得PBD=60 ,由CBD=PBD-PBC,求出CBD 的度数即可. 27 【答案】(1)证明:连接 , ,则 = 90 , + = 90 , + = 90 , F 是 的中点, = , = , = = + = 90, + = 90 = , = , / ; = = 90 , / . 即 / , 四边形 CDMF 是平行四边形 (2)解:由(1)可知:四边形 ACDF 是矩形, = = = , 由 =25 =25(2 + ) = 2 , BM/CD =12 , 设 = ,那么 = 3 , = 2 , 在

49、中, = 2 2= 92 42= 5 , = 25 在 中, = 2+ 2= 42+ 202= 26 在 中, sin =226=66 【解析】【分析】 (1)连接,根据圆周角定理可得 = ,利用等腰三角形的性质可得 = ,利用余角的性质可得 = ,从而可得 = ,可证/,由 = = 90 ,/ 即 / ,根据平行四边形的定义即证; (2) 由(1)可知:四边形 ACDF 是矩形,可得 = = = ,由 =25 时,可得 = 2 , 利用平行线的性质可证 ,=12 , 设 = , 那么 = 3 , = 2 ,利用勾股定理求出 = 25, = 26, 利用sin =即可求出结论. 28 【答案】

50、(1)证明:连接 . = , = . . 是 的半径, 是 切线 (2)解: 是 的直径, = 90 , / , = = 90 , =12 = 3 , = , = , = , = , = , = = = 60 , 在 中, =sin= 23 , = cos = 3 , 阴影= 扇形 =60(23)2360123 3 = 2 332 【解析】【分析】 (1)连接 OC,利用等腰三角形的性质可证得 OCAB,再利用切线的判定定理可证得 AB 是圆 O 的切线. (2)利用切线的性质可证得DCF=90 滴,利用平行线的性质,可证得DGO=90 ,即可求出 DG 的长;再证明DOG=60 ,利用解直角