1、 专题专题 4 4 一元一次方程一元一次方程 一、单选题一、单选题 1方程2 =12的解是（ ） A = 14 B = 4 C =14 D = 4 2一段跑道长 100 米，两端分别记为点 A、B甲、乙两人分别从 A、B 两端同时出发，在这段跑道上来回练习跑步，甲跑步的速度是 6m/s，乙跑步的速度为 4m/s，练习了足够长时间，他们经过了多次相遇，相遇点离 A 端不可能是（ ） A60 米 B0 米 C20 米 D100 米 3已知等式 3a2b+5，则下列等式变形不正确的是（ ） A3a52b B3a+12b+6 Ca23b+53 D3ac2bc+5 4 （2022 七上 大余期末）在明朝
2、程大位算法统宗中，有这样的一首歌谣，叫做浮屠增级歌：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”这首古诗描述的这个宝塔，其古称浮屠，本题说它一共有七层宝塔，每层悬挂的红灯数是上一层的 2 倍，则这个塔顶有（ ）盏灯 A1 B2 C3 D7 5 （2022 七上 景德镇期末）孙子算经中有个问题，原文：“今有共买羊，人出五，不足四十五；人出七，不足三，问人数、羊价几何？”这道题的意思是：今有若干人共同买羊，如果每人出 5 枚钱，则相差 45 枚钱；如果每人出 7 枚钱，则仍然相差 3 枚钱，求买羊人数和羊价？设有买羊人数为人，则可列方程为（ ） A5 + 45 = 7 + 3
3、 B5 45 = 7 3 C5 + 45 = 7 3 D5( + 45) = 7( + 3) 6 （2022 七上 高安期末）下列运用等式的性质对等式进行的变形中，错误的是（ ） A若 ab，则 acbc B若 a（x21）b （x21） ，则 ab C若 ab，则= D若 xy，则 x3y3 7 （2021 七上 宜春期末）若方程( 1)|2| 8 = 0是关于 x 的一元一次方程，则 =（ ） A1 B2 C3 D1 或 3 8 （2021 七上 南昌期中）马小哈在计算一道有理数运算 |(3) + | 时，一不小心将墨水泼在作业本上了，其中“ ”是被墨水污染看不清的一个数，他便问同桌，同桌
4、故弄玄虚地说：“该题计算的结果等于 6”，那么被墨水遮住的数是（ ） A3 B-3 C9 D-3 或 9 9 （2021 七上 宜春期末）如图为在电脑屏幕上出现的色块图，它的形状是由 6 个颜色不同的正方形，如果中间最小的正方形边长为 1，则所拼成的长方形的面积是（ ） A144 B154 C143 D169 10 （2021 七上 玉山期末）如果 x=2 是方程 x+a=2 的根，那么 a 的值是（ ） A0 B1 C-1 D-2 二、填空题二、填空题 11 （2022 赣州模拟）我国古代数学著作孙子算经中有“多人共车”问题：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步问人与车各几何？其大意是：每
5、车坐 3 人，两车空出来；每车坐 2 人，多出 9 人无车坐问人数和车数各多少？设车 x 辆，根据题意，可列出的方程是 12 （2021 七上 章贡期末）中国古代数学著作算法统宗中有这样一段记载：“三百七十八里关，初日健步不为难，次日脚痛减一半，六朝才得到其关”其大意是：有人要去某关口，路程 378 里，第一天健步行走， 从第二天起， 由于脚痛， 每天走的路程都为前一天的一半， 一共走了六天才到达目的地 设此人第三天走的路程为 x 里，则列方程为 13某人下午 6 点多钟外出购物，表上时针和分针的夹角恰好是 110 ，将近 7 点钟回到家，此时，表上时针和分针的夹角又恰好是 110 ，则此人外
6、出购物所用时间是 分钟 14 （2022 七上 景德镇期末）若 = 4是关于的方程 = 1( 0)的解，则关于的方程(2 3) 1 = 0( 0)的解为 15 （2022 七上 大余期末）如图，数轴上 A，B 两点对应的数分别为 10，-3，点 P 和点 Q 同时从原点出发，点 P 以每秒 1 个单位长度的速度沿数轴正方向运动，点 Q 以每秒 3 个单位长度的速度先沿数轴负方向运动，到达 B 点后再沿数轴正方向运动，当点 Q 到达点 A 后，两个点同时结束运动设运动时间为 t 秒，当 P，Q 两点距离为 2 个单位长度时，t 的值为 16 （2021 七上 宜春期末）七年级部分学生去某处旅游，
7、如果每辆汽车坐 30 人，那么有 15 个学生没有座位； 如果每辆汽车坐45人， 那么空出1辆汽车 若设有x辆汽车， 则可列方程为 17 （2021 七上 宜春期末）一个角比它的补角的 3 倍多 40 ，则这个角的度数为 18（2021 七上 余干期中）已知关于 x 的方程 kx2x5 的解为整数， 则正整数 k 的值为 19 （2021 章贡模拟）我国古代数学著作增删算法统宗记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托：折回索子却量竿，却比竿子短一托，”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺设绳索长 x 尺则正
8、确的方程是 20 （2021 七下 九江期中）某段铁路两旁安置了两座可旋转探照灯，主道路是平行，即 PQMN 如图所示，灯 A 射线从 AM 开始顺时针旋转至 AN 便立即回转，灯 B 射线从 BP 开始顺时针旋转至 BQ便立即回转， 两灯不停交叉照射巡视 若灯 A 转动的速度是每秒 2 度， 灯 B 转动的速度是每秒 1 度 若灯 B 射线先转动 30 秒， 灯 A 射线才开始转动， 在灯 B 射线到达 BQ 之前， A 灯转动 秒，两灯的光束互相平行 三、计算题三、计算题 21解一元一次方程： （1）12( 5) = 36 （2）3(20 ) = 6 4( 10) （3）7624+75=
9、1 22 （2022 七上 大余期末）解下列方程：2134+25= 1 23 （2021 七上 宜春期末）解方程： 22= 1 +213 24 （2021 七上 峡江期末）解方程： （1）x-3(x+2)=14； （2） 13=+56 四、综合题四、综合题 25 （2022 九下 吉安期中）下表是 2021 年三月份某居民小区随机抽取 20 户居民的用水情况： 月用水量/吨 15 20 25 30 35 40 45 户数 2 4 m 4 3 0 1 月用水梯级标准 级（30 吨以内含 30 吨） 级（超过 30 吨的部分） 单价（元/吨） 2.4 4 （1）m= ，补全图中三月份用水量的条形统
10、计图； （2）根据上表中的有关信息，分别写出众数 ，中位数 （3）为了倡导节约用水的常识，自来水公司实行“梯级用水，分类计费”，价格表如上，如果该小区有 500 户家庭，请估算该小区三月份有多少户家庭在级标准？ （4）按上表收费，如果某用户本月交水费 120 元，请问该用户本月用水多少吨？ 26 （2022 高安模拟）政府为应对新冠疫情，促进经济发展，对商家打折销售进行了补贴，不打折时，6 个 A 商品，5 个 B 商品，总费用为 114 元，3 个 A 商品，7 个 B 商品，总费用为 111 元，打折后，小明购买了 9 个 A 商品和 8 个 B 商品共用了 141.6 元 （1）求出商品
11、 A，B 每个的标价； （2）若商品 A，B 的折扣相同，商店打几折出售这两商品？小明在此次购物中得到了多少优惠？ 27 （2021 七上 章贡期末）已知方程3( 13) = 2 + 7与关于 x 的方程 3a-8=2（x+a）-a 的解相同 （1）求 a 的值； （2）若 a、b 在数轴上对应的点在原点的两侧，且到原点的距离相等，c 是倒数等于本身的数，求（a + b - c）2022的值 28 （2021 七上 章贡期末）如图，点 O 为数轴的原点，A，B 在数轴上按顺序从左到右依次排列，点 B表示的数为 8，AB=12 （1）直接写出数轴上点 A 表示的数 （2）动点 P、Q 分别从 A
12、、B 同时出发，点 P 以每秒 3 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动，点Q 以每秒 2 个单位长度的速度沿数轴向右匀速运动 经过多少秒，点 P 是线段 OQ 的中点？ 在 P、Q 两点相遇之前，点 M 为 PO 的中点，点 N 在线段 OQ 上，且 QN=23OQ问：经过多少秒，在 P、M、N 三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点（把一条线段分成 1：2 的两条线段的点叫做这条线段的三等分点）？ 答案解析部分答案解析部分 1 【答案】A 【解析】【解答】解：2 =12 方程两边同除以2，得： = 14 故答案为：A 【分析】方程两边同除以2，即可得到答案。 2 【答案】B
13、【解析】【解答】解：设跑步时间为 ts， 第一次相遇：100 = 6 + 4 = 10， 相遇点距 A 为 60 米，故 A 不符合题意； 第二次相遇：300 = 6 + 4， = 30， 6 30 = 180（米） ， 相遇点距 A 为 20 米，故 C 不符合题意； 第三次相遇：500 = 6 + 4， = 50， 6 50 = 300（米） ， 相遇点距 A 为 100 米，选项 D 说法符合题意，不符合题意； 第四次相遇：700 = 6 + 4， = 70， 6 70 = 420（米） ， 相遇点距 A 为 20 米； 第五次相遇：900 = 6 + 4， = 90， 6 90 = 5
14、40（米） ， 相遇点距 A 为 60 米； 综上，相遇点离 A 端不可能是 0 米， 故答案为：B 【分析】设跑步时间为 ts，第一次相遇：100 = 6 + 4，第二次相遇：300 = 6 + 4，第三次相遇： 500 = 6 + 4，第四次相遇：700 = 6 + 4，第五次相遇：900 = 6 + 4，分讨论即可。 3 【答案】D 【解析】【解答】解：A3a2b+5， 等式两边都减去 5，得 3a52b，故本选项不符合题意； B3a2b+5， 等式两边都加 1，得 3a+12b+6，故本选项不符合题意； C3a2b+5， 等式两边都除以 3，得 a23b+53，故本选项不符合题意； D
15、3a2b+5， 等式两边都乘 c，得 3ac2bc+5c，故本选项符合题意； 故答案为：D 【分析】利用等式的性质逐项判断即可。 4 【答案】C 【解析】【解答】解：设塔顶的灯数为 x 盏， 则从塔顶向下，每一层灯的数量依次是 x，2x，4x，8x，16x，32x，64x， 所以 x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381， 127x=381 x=381 127 x=3 答：这个塔顶的灯数为 3 盏 故答案为：C 【分析】 设塔顶的灯数为 x 盏， 根据题意列出方程 x+2x+4x+8x+16x+32x+64x=381， 再求出 x 的值即可。 5 【答案】A 【解析】【解答】若每人
16、出 5 枚钱，则这些羊总计价格为：5x+45， 若每人出 7 枚钱，则这些羊总计价格为：7x+3， 故可列方程：5x+45=7x+3， 故答案为：A 【分析】用不同的表达式表示羊总价，即可得到方程 5x+45=7x+3。 6 【答案】C 【解析】【解答】解：A、ab，等式两边都乘以 c，得到 acbc，不符合题意； B、a（x21）b （x21） ，等式两边同时除以（x21） ，得到 ab，不符合题意； C、ab，等式两边同时除以 c，c 为零时不成立，故符合题意； D、xy，等式两边都减 3，得到 x3y3，不符合题意 故答案为：C 【分析】根据等式的性质逐项判断即可。 7 【答案】C 【解
17、析】【解答】解：由题意得| 2| = 1， 1 0， 解得 m=3， 故答案为：C 【分析】根据一元一次方程的定义求解即可。 8 【答案】D 【解析】【解答】解：设这个数为 x，则 |(3) + | = 6 ， 3x6 或3x6， x3 或 x9， 故答案为：D 【分析】先求出3x6 或3x6，再解方程即可。 9 【答案】C 【解析】【解答】解：设右下方两个并排的正方形的边长为 x， 则 + 2 + + 3 = + 1 + + ， 解得： = 4 ， 长方形的长为 3 + 1 = 13 ， 宽为 2 + 3 = 11 ， 长方形面积为 13 11 = 143 ； 故答案选 C 【分析】先求出
18、= 4 ，再利用长方形的面积公式进行计算求解即可。 10 【答案】A 【解析】【解答】解：由题意得， = 2 是方程 + = 5 的根， 将 = 2 代入方程得到： 2 + = 2 ， 再解关于 a 的一元一次方程， 解得： = 0 ， 故答案为：A. 【分析】先求出2 + = 2 ，再计算求解即可。 11 【答案】3（x2）2x+9 【解析】【解答】解：设车有 x 辆， 依题意，得：3（x2）2x+9 故答案为：3（x2）2x+9 【分析】根据每车坐 3 人，两车空出来；每车坐 2 人，多出 9 人无车坐 ，列方程求解即可。 12 【答案】4 + 2 + +12 +14 +18 = 378
19、【解析】【解答】解：设此人第三天走的路程为 x 里，则其它五天走的路程分别为 4x 里，2x 里，12x 里，14x 里，18x 里， 依题意，得：4x+2x+x+12x+14x+18x=378， 故答案为：4x+2x+x+12x+14x+18x=378 【分析】设此人第三天走的路程为 x 里，则其它五天走的路程分别为 4x 里，2x 里，12x 里，14x 里，18x里，根据“ 路程 378 里 ”列出方程 4x+2x+x+12x+14x+18x=378 即可。 13 【答案】40 【解析】【解答】解：分针速度：6 度/分，时针速度是：0.5 度/分， 设共用了 x 分， 6x-0.5x=1
20、10+110， 解得 x=40， 答：共外出 40 分钟， 故答案为：40 【分析】设共用了 x 分，根据题意列出方程 6x-0.5x=110+110 求解即可。 14 【答案】12 【解析】【解答】解：将 = 4代入方程 = 4 = 1， (2 3) 1 = 0，整理得(2 3) = 1， 则(2 3) = 4 ， 2 3 = 4，解得 = 12， 故答案为：12 【分析】 将 = 4代入方程 = 4 = 1， 可得(2 3) = 4 ， 所以2 3 = 4，再求出 x 的值即可。 15 【答案】12，2 或 4 【解析】【解答】数轴上 A，B 两点对应的数分别为 10，-3， AB=10-
21、(-3)=13， 当点 B 向负方向运动时，3t+t=2，解得 t=12； 当点 B 向正方向运动时，分两种情况： 点 P 与点 Q 相遇前，-3+3（t-1）+2=t，解得 t=2； 点 P 与点 Q 相遇后，-3+3（t-1）-2=t，解得 t=4； 故答案为：12，2 或 4 【分析】分两种情况：点 P 与点 Q 相遇前，点 P 与点 Q 相遇后，分别列出方程求解即可。 16 【答案】30 + 15 = 45( 1) 【解析】【解答】解：设有 x 辆汽车，根据题意列方程得， 30 + 15 = 45( 1) 故答案为：30 + 15 = 45( 1) 【分析】根据题意设有 x 辆汽车，即
22、可列出方程。 17 【答案】145 【解析】【解答】解：设这个角的补角的度数为 ，则这个角的度数为180 ，根据题意得： 180 3 = 40 ， 解得： = 35 ， 这个角的度数为180 = 145 故答案为：145 【分析】根据题意设这个角的补角的度数为 ，则这个角的度数为180 ，列出方程求解即可。 18 【答案】1 或 3 或 7 【解析】【解答】解：解方程 kx2x5，得 x 52 ， 由 x 为整数，得到正整数 k 的值为 1 或 3 或 7 故答案为：1 或 3 或 7 【分析】先求出 x 52 ，再计算求解即可。 19 【答案】12 x=（x-5）-5 【解析】【解答】解：设
23、绳索长 x 尺，则竿长（x-5）尺， 依题意，得： 12 x=（x-5）-5， 故答案为： 12 x=（x-5）-5 【分析】根据现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长 5 尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短 5 尺，列方程求解即可。 20 【答案】30 或 110 【解析】【解答】解：设灯转动 t 秒，两灯的光束互相平行，即 ACBD， 当 0t90 时，如图 1 所示： PQMN，则PBDBDA， ACBD，则CAMBDA， PBDCAM 有题意可知：2t30t 解得：t30， 当 90t150 时，如图 2 所示： PQMN，则PBDBDA180 ， ACBD，则CANBD
24、A， PBDCAN180 ， 30t（2t180）180 解得：t110 综上所述，当 t30 秒或 t110 秒时，两灯的光束互相平行 故答案为：30 或 110 【分析】设灯转动 t 秒，两灯的光束互相平行，即 ACBD，当 0t90 时，当 90t150 时，分别得出 t 的值即可。 21 【答案】（1）解：12( 5) = 36 5 = 3 解得： = 2 （2）解：3(20 ) = 6 4( 10) 60 3 = 6 4 + 40 5 = 20 解得 = 4 （3）解：7624+75= 1 5(7 6) 2(4 + 7) = 10 35 30 8 14 = 10 27 = 54 解得
25、 = 2 【解析】【分析】 （1）先去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为 1 即可； （2）先去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为 1 即可； （3）先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为 1 即可。 22 【答案】解：2134+25= 1 去分母得5(2 1) 3(4 + 2) = 15 去括号得10 5 12 6 = 15 移项得10 12 = 15 + 5 + 6 合并同类项得2 = 4 解得 = 2 【解析】【分析】先去分母，再去括号，然后移项、合并同类项，最后系数化为 1 即可。 23 【答案】解：两边同乘以 6 去分母，得 6 3( 2) = 6 + 2
26、(2 1) ， 去括号，得 6 3 + 6 = 6 + 4 2 ， 移项，得 6 3 4 = 6 2 6 ， 合并同类项，得 = 2 ， 系数化为 1，得 = 2 【解析】【分析】先去分母，再去括号，最后解方程求解即可。 24 【答案】（1）解：x-3(x+2)=14， 去括号得：x-3x-6=14， 移项，合并同类项，未知数系数化为 1，得：x=-10； （2）解： 13=+56 ， 去分母，得：6x-2+2x=x+5， 移项，合并同类项，未知数系数化为 1，得：x=1 【解析】【分析】 （1）先去括号，再移项，合并同类项，系数化为 1，解方程求解即可； （2）先去分母，再解方程即可。 25
27、 【答案】（1）解：m202443016， 这 20 户家庭三月份用电量的条形统计图： （2）25；25 （3）解：小区三月份达到级标准的用户数：2+4+6+420 500 = 400（户） 答：该小区三月份有 400 户家庭在级标准 （4）解：2.4 3072120， 该用户本月用水超过了 30 吨， 设该用户本月用水 x 吨， 2.4 304（x30）120， 解得 x42， 答：该用户本月用水 42 吨 【解析】【解答】 （2）解：根据题意可知，25 出现的次数最多，则众数为 25， 由表可知，共有 20 个数据，则中位数为第 10、11 个的平均数，第 10 和 11 个数都是 25，
28、平均数也为25，所以中位数是 25； 故答案为 25，25； 【分析】 （1）根据总户数求出 m 的值，再作出条形统计图即可； （2）根据众数和中位数的定义求解即可； （3）先求出“级标准”的百分比，再乘以 500 可得答案； （4）设该用户本月用水 x 吨，根据题意列出方程 2.4 304（x30）120，求出 x 的值即可。 26 【答案】（1）解：设每个 A 商品的标价为 x 元，每个 B 商品的标价为 y 元， 依题意得：6 + 5 = 1143 + 7 = 111， 解得： = 9 = 12 答：每个 A 商品的标价为 9 元，每个 B 商品的标价为 12 元 （2）解：设商店打 m
29、 折出售这两种商品， 依题意得：9 910+8 1210=141.6， 解得：m8， 9 9+12 8141.635.4（元） 答：商店打 8 折出售这两种商品，小明在此次购物中得到了 35.4 元的优惠 【解析】【分析】 （1）设每个 A 商品的标价为 x 元，每个 B 商品的标价为 y 元，根据“不打折时，6 个 A商品，5 个 B 商品，总费用为 114 元，3 个 A 商品，7 个 B 商品，总费用为 111 元”列出方程组并解之即可； （2）设商店打 m 折出售这两种商品， 根据“ 打折后，小明购买了 9 个 A 商品和 8 个 B 商品共用了141.6 元”列出方程并解之即可. 2
30、7 【答案】（1）解：3( 13) = 2 + 7， 去括号得： 3x-1=2x+7， 移项合并得：x=8， 把 x=8 代入 3a-8=2（x+a）-a 中得：3a-8=2（8+a）-a， a=12； （2）解：由题意得：b=-12，c= 1， （a+b-c）2022=（0 1）2022=1 【解析】【分析】 （1）先求出方程3( 13) = 2 + 7的解为 x=8，再将 x=8 代入方程 3a-8=2（x+a）-a求出 a 的值即可； （2）根据题意先求出 b、c 的值，再将 b、c 的值代入（a + b - c）2022计算即可。 28 【答案】（1）解：设点 A 表示的数为 a，点
31、B 表示的数为 8，AB=12 8-a=12， 解得，a=-4， 即数轴上点 A 表示的数为-4； （2） 解： 设经过 t 秒， 点 P 是线段 OQ 的中点， 则点 P 表示的数为： -4+3t， 点 Q 表示的数为： 8+2t， 有 8+2t=2（3t-4） ， 解得，t=4， 答：经过 4 秒，点 P 是线段 OQ 的中点； 由知点 P 表示的数为 3t4，点 Q 表示的数为 8+2t， 点 M 为 PO 的中点， 点 M 表示的数为32t2， QN=23OQ，即 ON=13OQ， 点 N 表示的数为23t+83， 当 M 是线段 PN 的三等分点时， 23t+83-32t+2=2（3
32、2t2-3t+4）或23t+83-32t+2=12（32t2-3t+4） ， 解得：t=413（舍去）或 t=44（舍去） ； 当 P 是线段 MN 的三等分点时， 23t+83-3t+4=2（3t-4-32t+2）或23t+83-3t+4=12（3t-4-32t+2） ， 解得：t=2 或 t=9237； 当 N 是线段 MP 的三等分点时， 3t-4-23t-83=2（23t+83-32t+2）或 3t-4-23t-83=12（23t+83-32t+2） ， 解得：t=4 或 t=3611； 综上所述，经过 2 秒或9237秒或 4 秒或3611秒，在 P、M、N 三个点中其中一个点为以另外两个点为端点的线段的三等分点 【解析】【分析】 （1）根据点 B 表示的数位 7，AB=12，根据数轴上两点之间的距离计算方法列方程求解即可； （2） 根据点 P 是线段 OQ 的中点列方程即可解答； 分情况讨论： 当 M 是线段 PN 的三等分点时，当 P 是线段 MN 的三等分点时，当 N 是线段 MP 的三等分点时，分类讨论即可
