1、2022年中考数学一轮复习 06 一元一次方程 考点考点 课标要求课标要求 考查角度考查角度 1 一元一次一元一次方程相关方程相关概念概念及及 解法解法 了解方程、一元一次方程的了解方程、一元一次方程的概念，会解一元一次方程概念，会解一元一次方程 考查方程的解、解方程、列方程等基础考查方程的解、解方程、列方程等基础知识知识 常以选择题、填空题的形式常以选择题、填空题的形式 2 解一解一元元 一次方程一次方程 能够根据具体问题中的数量能够根据具体问题中的数量关系，列出一元一次方程解关系，列出一元一次方程解决实际问题，能根据具体问决实际问题，能根据具体问题的实际意义，检验结果是题的实际意义，检验结
2、果是否合理否合理 以列方程解应用题的形式考查解方程的以列方程解应用题的形式考查解方程的基本思想和列方程解应用题的能力基本思想和列方程解应用题的能力 常以选择、常以选择、填空、填空、解答题的形式命题解答题的形式命题 中考命题说明中考命题说明 思维导图思维导图 知识知识点点1 1：方程的有关概念方程的有关概念 知识点梳理知识点梳理 1方程、方程的解、解方程方程、方程的解、解方程： （1）含有未知数的）含有未知数的 等式等式 叫做叫做方程方程 （2）使方程左右）使方程左右两边的两边的值相等的值相等的 未知数的值未知数的值 ，叫做方程的解，叫做方程的解 （3）求）求 方程解方程解 的过程叫做解方程的过
3、程叫做解方程 注意：方程的解与解方程不同注意：方程的解与解方程不同 知识知识点点1 1：方程的有关概念方程的有关概念 知识点梳理知识点梳理 2一元一次方程一元一次方程： 在在整式方程中，只含有整式方程中，只含有 1 个未知数，并且未知数的最高次数是个未知数，并且未知数的最高次数是 1 ，系数不，系数不等于等于0的方程叫做一元一次方程的方程叫做一元一次方程 3. 一元一次方程一元一次方程的一般形式的一般形式： ax+b=0(a，b为常数，且为常数，且a0) . 典型例题典型例题 知识知识点点1 1：方程的有关概念方程的有关概念 【例【例1】（4分）（分）（2021重庆重庆A卷卷15/26）若关于
4、）若关于x的的方程方程 的的解是解是x=2，则则a的值为的值为 442xa【考点】一元一次方程的解【考点】一元一次方程的解 【解答】解：把【解答】解：把x=2代入代入方程方程 得：得： ， 解得：解得：a=3， 故答案为：故答案为：3 【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是【点评】本题考查了解一元一次方程和一元一次方程的解，能熟记方程的解的定义是解此题的关键，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解解此题的关键，注意：使方程左右两边相等的未知数的值，叫方程的解 442xa4242a典型例题典型例题 【例例2】（3分）分）（2019呼和浩特呼和浩特14
5、/25）关于）关于x的方程的方程mx2m-1+(m1)x20如如果是一元一次方程，则其解为果是一元一次方程，则其解为 【考点】一元一次方程的定义；方程的解【考点】一元一次方程的定义；方程的解 【解答】【解答】解：解：关于关于x的方程的方程mx2m1+（m1）x20如果是一元一次方程，如果是一元一次方程， 2m11，即，即m1或或m0， 方程为方程为x20或或x20，解得：，解得：x2或或x2， 故答案为：故答案为：x2或或x2 知识知识点点1 1：方程的有关概念方程的有关概念 知识点梳理知识点梳理 1. 等式等式的基本性质的基本性质： （1）等式的性质）等式的性质1：等式两边加（或减）同一个数
6、（或式子），结果仍相等：等式两边加（或减）同一个数（或式子），结果仍相等 如果如果a=b，那么，那么ac= bc （2）等式的性质）等式的性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等的数，结果仍相等 如果如果a=b，那么，那么ac= bc；如果；如果a=b(c0)，那么那么 （3）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：对称性：等式的左、右两）等式除了以上两条性质外，还有其他的一些性质：对称性：等式的左、右两边交换位置，所得的结果仍是等式如果边交换位置，所得的结果仍是等式如果a=b，那么，那么b= a传递性：如果传递性：如果a=b，且
7、，且b=c，那么，那么a= c等式的传递性，习惯上也称作是等量代换等式的传递性，习惯上也称作是等量代换 知识知识点点2 2：一元一次方程的解法：一元一次方程的解法 =abcc知识点梳理知识点梳理 2解一元一次方程的步骤解一元一次方程的步骤： 去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为去分母；去括号；移项；合并同类项；系数化为1. 知识知识点点2 2：一元一次方程的解法：一元一次方程的解法 典型例题典型例题 【例例3】（4分）（分）（2021安徽安徽7/23）设）设a，b，c为互不相等的实数，为互不相等的实数，且且 ，则下列结论正确的是（则下列结论正确的是（ ） Aabc Bcba Cab4（b
8、c） Dac5（ab） 知识知识点点2 2：一元一次方程的解法：一元一次方程的解法 4155bac 【解答】解：【解答】解： ， 5b4a+c， 在等式的两边同时减去在等式的两边同时减去5a，得到，得到5（ba）ca， 在等式的两边同时乘在等式的两边同时乘1，则，则5（ab）ac 故选：故选：D 4155bac典型例题典型例题 【例【例4】（4分）（分）（2021重庆重庆B卷卷15/26）方程）方程2(x-3)=6的解是的解是 【解答】解：方程两边同除以【解答】解：方程两边同除以2得：得： x-3=3 移项移项，合并同类项得：，合并同类项得： x=6 故答案为：故答案为：x=6 【点评】本题主
9、要考查了解一元一次方程解一元一次方程常见的过程有去分母，【点评】本题主要考查了解一元一次方程解一元一次方程常见的过程有去分母，去括号、移项、合并同类项，系数化为去括号、移项、合并同类项，系数化为1等等 知识知识点点2 2：一元一次方程的解法：一元一次方程的解法 典型例题典型例题 【例例5】（4分）分）（2020重庆重庆A卷卷7/26）解）解一元一次方程一元一次方程 时时，去分母，去分母正确的是正确的是（ ） A3(x+1)=1- -2x B2(x+1)=1- -3x C2(x+1)=6- -3x D3(x+1)=6- -2x 【考点】解一元一次方程【考点】解一元一次方程 【分析】根据等式的基本
10、性质将方程两边都乘以【分析】根据等式的基本性质将方程两边都乘以6可得答案可得答案 【解答】解：方程两边都乘以【解答】解：方程两边都乘以6，得：，得：3(x+1)=6- -2x， 故选：故选：D 【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的【点评】本题主要考查解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的步骤和等式的基本性质步骤和等式的基本性质 知识知识点点2 2：一元一次方程的解法：一元一次方程的解法 11(1)123xx 知识知识点点3 3 ：一元一次方程的实际应用一元一次方程的实际应用 知识点梳理知识点梳理 1列一元一次方程解应用题的一般步骤列一元一次方程解应用题
11、的一般步骤： 审题审题找出找出 相等关系相等关系 设未知数设未知数列出一元一次方程列出一元一次方程解一元一次方程解一元一次方程检验检验是否是方程的解及是否符合实际意义是否是方程的解及是否符合实际意义写出答案写出答案 2. 关键关键：寻找等量关系是关键，注意两点：（：寻找等量关系是关键，注意两点：（1）设适当的未知数；（）设适当的未知数；（2）题中各）题中各个量的单位个量的单位 典型例题典型例题 【例例6】（2分）（分）（2021吉林吉林6/26）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：）古埃及人的“纸草书”中记载了一个数学问题：一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总
12、共是一个数，它的三分之二，它的一半，它的七分之一，它的全部，加起来总共是33 若若设这个数是设这个数是x，则所列方程为（，则所列方程为（ ） A B C D 知识知识点点3 3 ：一元一次方程的实际应用一元一次方程的实际应用 213337xxx21133327xxx211+33327xxx x21133372xxxx【解答】解：由题意可【解答】解：由题意可得得 故选：故选：C 【点评】本题考查列一元一次方程，解题关键是通过题干找出等量关系【点评】本题考查列一元一次方程，解题关键是通过题干找出等量关系 211+33327xxx x典型例题典型例题 【例【例7】（3分）（分）（2021陕西陕西11
13、/26）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横）幻方，最早源于我国，古人称之为纵横图如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，图如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个数字之和均相等，则图中则图中a的值为的值为 知识知识点点3 3 ：一元一次方程的实际应用一元一次方程的实际应用 典型例题典型例题 【考点】一元一次方程的应用【考点】一元一次方程的应用 【分析】根据各行的三个数字之和相等，即可得出关于【分析】根据各行的三个数字之和相等，即可得出关于a的一元一次方程，解之即的一元一次方程，解之即可得出结论可得出结论 【解答】解：依题意得：【解答】解：依题意得：16+10+a
14、4， 解得：解得：a2 故答案为：故答案为：2 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系， 正确正确列出一元一次方程是解题的关键列出一元一次方程是解题的关键 知识知识点点3 3 ：一元一次方程的实际应用一元一次方程的实际应用 典型例题典型例题 【例例8】（5分）（分）（2021陕西陕西19/26）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，）一家商店在销售某种服装（每件的标价相同）时，按这种服装每件标价的按这种服装每件标价的8折销售折销售10件的销售额，与按这种服装每件的标价降低件的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销元销售售1
15、1件的销售额相等求这种服装每件的标价件的销售额相等求这种服装每件的标价 知识知识点点3 3 ：一元一次方程的实际应用一元一次方程的实际应用 【考点】一元一次方程的应用【考点】一元一次方程的应用 【分析】设这种服装每件的标价是【分析】设这种服装每件的标价是x元，根据“这种服装每件标价的元，根据“这种服装每件标价的8折销售折销售10件件的销售额，与按这种服装每件的标价降低的销售额，与按这种服装每件的标价降低30元销售元销售11件的销售额相等”从而得出件的销售额相等”从而得出方程，解方程即可方程，解方程即可求解求解 典型例题典型例题 【解答】【解答】解：设这种服装每件的标价是解：设这种服装每件的标价
16、是x元，根据题意得，元，根据题意得， 100.8x11（x30），）， 解得解得x110， 答：这种服装每件的标价为答：这种服装每件的标价为110元元 【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，此题应用比较广泛，设出标价得【点评】本题主要考查了一元一次方程的应用，此题应用比较广泛，设出标价得出方程是解决问题的关键出方程是解决问题的关键 知识知识点点3 3 ：一元一次方程的实际应用一元一次方程的实际应用 知识知识点点4 4 ：常见的几种应用题类型常见的几种应用题类型 知识点梳理知识点梳理 1. 行程行程问题问题： 基本量间的关系：路程基本量间的关系：路程=速度速度时间时间 相遇相遇问题：全路程问
17、题：全路程=甲走的路程甲走的路程+乙走的路程乙走的路程 追及追及问题：被追的路程问题：被追的路程=甲走的路程甲走的路程-乙走的路程（若甲为快者）乙走的路程（若甲为快者） 知识知识点点4 4 ：常见的几种应用题类型常见的几种应用题类型 知识点梳理知识点梳理 2. 工程工程问题问题： 基本量间的关系：工作效率基本量间的关系：工作效率= 其他常用关系量：甲、乙合作的工作效率其他常用关系量：甲、乙合作的工作效率=甲的工作效率甲的工作效率+乙的工作效率乙的工作效率； 通常把工作总量看作通常把工作总量看作“1”. 工作总量工作时间知识知识点点4 4 ：常见的几种应用题类型常见的几种应用题类型 知识点梳理知
18、识点梳理 3. 销售销售问题问题： 商品利润商品利润=商品售价商品售价- -商品进价商品进价 利润率利润率= 100% 商品售价商品售价=标价标价 商品售价商品售价=商品进价商品进价(1+利润率利润率) 商品利润商品进价10折扣数典型例题典型例题 【例【例9】（3分）分）（2020吉林吉林10/26）我国古代数学著作算学启蒙中有这样）我国古代数学著作算学启蒙中有这样一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走一个数学问题，其大意是：跑得快的马每天走240里，跑得慢的马每天走里，跑得慢的马每天走150里，里，慢马先走慢马先走12天，快马几天可以追上慢马？设快马天，快马几天可以追上慢马？设快马x天可以
19、追上慢马，根据题意，天可以追上慢马，根据题意，可列方程为可列方程为 知识知识点点4 4 ：常见的几种应用题类型常见的几种应用题类型 【分析】【分析】设快马设快马x天可以追上慢马，根据两马的速度之差天可以追上慢马，根据两马的速度之差快马出发的时间快马出发的时间=慢马慢马的速度的速度慢马提前出发的时间，即可得出关于慢马提前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解的一元一次方程，此题得解 典型例题典型例题 【分析】【分析】设快马设快马x天可以追上慢马，根据两马的速度之差天可以追上慢马，根据两马的速度之差快马出发的时间快马出发的时间=慢马慢马的速度的速度慢马提前出发的时间，即可得出关于慢马提
20、前出发的时间，即可得出关于x的一元一次方程，此题得解的一元一次方程，此题得解 【解答】解：设快马【解答】解：设快马x天可以追上慢马，天可以追上慢马， 依题意，得：依题意，得：(240- -150)x=15012 故答案为：故答案为：(240- -150)x=15012 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键一元一次方程是解题的关键 知识知识点点4 4 ：常见的几种应用题类型常见的几种应用题类型 典型例题典型例题 【例例10】（8分分）（2019安徽省安徽省17/23）为
21、实施乡村振兴战略为实施乡村振兴战略，解决某山区老百解决某山区老百姓出行难的问题姓出行难的问题，当地政府决定修建一条高速公路当地政府决定修建一条高速公路其中一段长为其中一段长为146米的山体米的山体隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工隧道贯穿工程由甲乙两个工程队负责施工甲工程队独立工作甲工程队独立工作2天后天后，乙工程队乙工程队加入加入，两工程队又联合工作了两工程队又联合工作了1天天，这这3天共掘进天共掘进26米米已知甲工程队每天比乙已知甲工程队每天比乙工程队多掘进工程队多掘进2米米，按此速度完成这项隧道贯穿工程按此速度完成这项隧道贯穿工程，甲乙两个工程队还需联合甲乙两个工程队还需联合工作多少天
22、工作多少天？ 知识知识点点4 4 ：常见的几种应用题类型常见的几种应用题类型 典型例题典型例题 知识知识点点4 4 ：常见的几种应用题类型常见的几种应用题类型 【分析】设甲工程队每天掘进【分析】设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（米，则乙工程队每天掘进（x2）米根据“甲）米根据“甲工程队独立工作工程队独立工作2天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了天后，乙工程队加入，两工程队又联合工作了1天，这天，这3天共掘天共掘进进26米”列出方程，然后求工作时间米”列出方程，然后求工作时间 【解答】解：设甲工程队每天掘进【解答】解：设甲工程队每天掘进x米，则乙工程队每天掘进（米，则乙工程队每天掘
23、进（x2）米，）米， 由题意，得由题意，得2x+（x+x2）26， 解得解得x7， 所以乙工程队每天掘进所以乙工程队每天掘进5米米， （天）天） 答：甲乙两个工程队还需联合工作答：甲乙两个工程队还需联合工作10天天 146261075典型例题典型例题 【例例11】（8分分）（2020山西山西17/23）2020年年5月份月份，省城太原开展了省城太原开展了“活力太活力太原原 乐购晋阳乐购晋阳”消费暖心活动消费暖心活动，本次活动中的家电消费券单笔交易满本次活动中的家电消费券单笔交易满600元立减元立减128元元（每次只能使用一张每次只能使用一张）某品牌电饭煲按进价提高某品牌电饭煲按进价提高50%后
24、标价后标价，若按标若按标价的八折销售价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后使用一张家电消费券后，又付现金又付现金568元元求该电饭煲的进价求该电饭煲的进价 知识知识点点4 4 ：常见的几种应用题类型常见的几种应用题类型 典型例题典型例题 【分析分析】设该电饭煲的进价为设该电饭煲的进价为x元元，则售价为则售价为80%(1+50%)x元元，根据某顾客购买根据某顾客购买该电饭煲时该电饭煲时，使用一张家电消费券后使用一张家电消费券后，又付现金又付现金568元列出方程元列出方程，求解即可求解即可 【解答】解：设该电饭煲的进价为【解答】解：设该电饭煲的进价为x元，则标
25、价为元，则标价为(1+50%)x元，售价为元，售价为80%(1+50%)x元，元， 根据题意，得根据题意，得80%(1+50%)x- -128=568， 解得解得x=580 答：该电饭煲的进价为答：该电饭煲的进价为580元元 【点评点评】此题考查一元一次方程的实际运用此题考查一元一次方程的实际运用，找出题目蕴含的数量关系是解决问找出题目蕴含的数量关系是解决问题的关键题的关键 知识知识点点4 4 ：常见的几种应用题类型常见的几种应用题类型 典型例题典型例题 【例例12】 （3分分）（2018 通辽通辽8/26）一商店以每件一商店以每件150元的价格卖出两件不同元的价格卖出两件不同的商品的商品，其
26、中一件盈利其中一件盈利25%，另一件亏损另一件亏损25%，则商店卖这两件商品总的盈亏则商店卖这两件商品总的盈亏情况是情况是（ ） A亏损亏损20元元 B盈利盈利30元元 C亏损亏损50元元 D不盈不亏不盈不亏 知识知识点点4 4 ：常见的几种应用题类型常见的几种应用题类型 【分析分析】设盈利的商品的进价为设盈利的商品的进价为x元元，亏损的商品的进价为亏损的商品的进价为y元元，根据销售收入根据销售收入进价利润进价利润，即可分别得出关于即可分别得出关于x、y的一元一次方程的一元一次方程，解之即可得出解之即可得出x、y的的值值，再由两件商品的销售收入再由两件商品的销售收入成本利润成本利润，即可得出商店卖这两件商品总的即可得出商店卖这两件商品总的亏损亏损情况情况 典型例题典型例题 【解答】解：设盈利的商品的进价为【解答】解：设盈利的商品的进价为x元，亏损的商品的进价为元，亏损的商品的进价为y元，元， 根据题意得：根据题意得：150 x25%x，150y25%y， 解得：解得：x120，y200， 150+15012020020（元）（元） 故选：故选：A 【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次【点评】本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键方程是解题的关键 知识知识点点4 4 ：常见的几种应用题类型常见的几种应用题类型
