1、思维特训(十一) 含有绝对值的一元一次方程的解法方法点津 定义：我们把绝对值符号内含有未知数的方程叫做含有绝对值的方程解含有绝对值的方程的基本思路：含有绝对值的方程不含有绝对值的方程一般有以下两种解法：1几何解法：在数轴上到一个点的距离等于一个常数的点有两个，分别在这个点的左右两侧，可利用数轴直接观察得到方程的解2代数解法：利用绝对值的性质去掉绝对值符号，把含有绝对值的一元一次方程转化成两个不含有绝对值的一元一次方程求解|a| a（a0），0（a 0）， a（a0）.)典题精练 类型一 几何解法1阅读材料：我们知道|x|的几何意义表示在数轴上的数 x 对应的点与原点的距离，即|x|x 0|，也
2、就是说 |x|表示在数轴上数 x 与数 0 对应的点之间的距离这个结论可以推广为|x 1x 2|表示在数轴上数 x1 与数 x2 对应的点之间的距离例 1：已知|x| 2，求 x 的值解：在数轴上与原点的距离为 2 的点对应的数为2 或 2，即 x2 或 x2.例 2：已知|x 1|2，求 x 的值解：在数轴上与数 1 对应的点之间的距离为 2 的点对应的数为 3 和1，即 x3 或x1.例 3：解方程|x1| |x2| 5.图 11S1解：由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数 1 和数2 对应的点之间的距离之和为 5 的点对应的数，即为 x 的值在数轴上，数 1 和2 对应的点的距
3、离为 3，满足方程的 x 在数轴上的对应点在 1 的右边或2 的左边若 x 对应的点在 1 的右边，如图11S1，可以看出 x2；同理，若 x 对应的点在2 的左边，可得 x3.故原方程的解是 x2 或 x3.仿照阅读材料的解法，求下列各式中 x 的值：(1)|x3|3；(2)|4x2| 8；(3)|x3|x 4|9.类型二 代数解法2有些含绝对值的方程，可以通过讨论去掉绝对值符号，转化成一元一次方程求解例 1：解方程|2x1| 3.我们只要把 2x1 看成一个整体就可以根据绝对值的意义进一步解决问题解：根据绝对值的意义，得 2x13 或 2x13.解这两个一元一次方程，得 x2或 x1.检验
4、：(1)当 x2 时，原方程的左边|2x1|2 21|3，原方程的右边3.因为左边右边，所以 x2 是原方程的解(2)当 x1 时，原方程的左边|2x1|2 (1)1| 3，原方程的右边3.因为左边右边，所以 x1 是原方程的解综上可知，原方程的解是 x2 或 x1.例 2：解方程 x2|x|3.解：当 x0 时，方程可化为 x2x3，解得 x1，符合题意；当 x0 时，方程可化为 x2x3，解得 x3，符合题意所以原方程的解为 x1 或 x3.仿照上面的解法，解下列方程：(1)x3|x1| 7；(2)| |x1.x 12详解详析1解：(1)由题意，得在数轴上与数 3 对应的点之间的距离为 3
5、 的点对应的数为 0 和6，即 x0 或 x6.(2)由题意，得在数轴上与数2 对应的点之间的距离为 8 的点对应的数为 6 或10，即 4x6 或 4x10，所以 x 或 x .32 52(3)由绝对值的几何意义知，该方程表示求在数轴上与数 3 和数4 对应的点之间的距离之和为 9 的点对应的数，即为 x 的值在数轴上，数 3 和4 对应的点的距离为 7，满足方程的 x 在数轴上的对应点在 3 的右边或4 的左边若 x 对应的点在 3 的右边，可得x4；同理，若 x 对应的点在4 的左边，可得 x5.故原方程的解是 x4 或 x5.2解：(1)当 x1 时，方程可化为 x3(1 x)7，即 32x7，解得 x2，符合题意；当 x1 时，方程可化为 x3(x1) 7，即 4x37，解得 x ，符合题意52所以原方程的解为 x2 或 x .52(2)原方程可变形为| |x 1，x 12根据绝对值的意义，得 1x 或 (1x) ，解得 x3 或 x ，x 12 x 12 13经检验：x3 不是原方程的解，x 是原方程的解所以原方程的解是 x .13 13
