1、江苏省南通市如东县2022-2023学年高三上期中数学试题一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1.已知复数（i为虚数单位），则A.2B.3C.4D.52.满足的集合的个数为（ ）个.A.16B.15C.8D.73.下列选项正确的是A.B.C.D.4.2022年9月16日，接迎第九批在韩志愿军烈士遗骸回国的运20专机在两架歼20战机护航下抵达沈阳国际机场.歼20战机是我国自主研发的第五代最先进的战斗机，它具有高隐身性、高态势感知、高机动性能等特点，歼20机身头部是一个圆锥形，这种圆锥的轴截面是一个边长约为2米的正三角形，则机身头部空间大约（ ）立方米A.B.C.D.5.过双曲线的右顶
2、点作轴的垂线与两渐近线交于两点，这两个点与双曲线的左焦点恰好是一个正三角形的三顶点，则双曲线的离心率为（ ）A.B.2C.D.46.已知，则不等式的解集为A.B.C.D.7.已知函数的定义域为，且，对定义域内任意的，当时，.若，则a，b，c的大小关系为A.B.C.D.8.对于集合A，B，我们把集合记作.例如，则，.现已知，集合A，B是M的子集，若，则内元素最多有（ ）个A.20个B.25个C.50个D.75个二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.若函数，则下列命题正确的是A.函数
3、的图象与的图象重合B.C.D.存在唯一的，使得10.用一个平面去截正方体，截面形状不可能是下列哪个图形A.五边形B.直角三角形C.直角梯形D.钝角三角形11.已知函数，其导函数为，下列说法正确的是A.函数的单调减区间为B.函数的极小值是-15C.当时，对于任意的，都有D.函数的图象有条切线方程为12.已知圆：直线：，下列说法正确的是A.直线上存在点，过向圆引两切线，切点为A，B，使得B.直线上存在点，过点向圆引割线与圆交于A，B，使得C.与圆内切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线D.与圆外切，与直线相切的动圆圆心的轨迹是一条抛物线三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出
4、解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.如图，已知M，N是边BC上的两个三等分点，若，则=_.14.若数列第二项起，每一项与前一项的差构成等差数列，则称数列为二阶等差数列，已知数列是一个二阶等差数列，且，则_.15.已知直线与抛物线交于A，B两点，若（O为坐标原点），则实数m的值为_.16.已知正实数x，y满足，函数的最小值为，则实数取值的集合为_.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.（本小题满分10分）在中，a，b，c分别为内角A，B，C的对边，其中，且.（1）求A的大小；（2）求的面积.18.（本小题满
5、分12分）如图，四棱锥中，O是AD的中点，且，.（1）求证：平面POB；（2）求点B到面PAC的距离.19.（本小题满分12分）已知正项数列的前项和为，且，.（1）求；（2）求数列的前项的和.20.（本小题满分12分）已知直三棱柱，.（1）证明：面；（2）当最短时，求二面角的余弦值.21.（本小题满分12分）已知直线：，：，线段AB的两个端点分别在直线与上滑动，且.（1）求线段AB中点P的轨迹C的方程；（2）直线：，：与轨迹C有四个交点，求以这四个点为顶点的四边形面积的最大值.22.（本小题满分12分）已知函数（1）求函数的单调区间；（2）若直线与函数的图象相切于点，且，求直线的方程.参考答案
6、一、单选题：本大题共8小题，每题5分，共40分.1.【答案】A【解析】，选A.2.【答案】C【解析】A可取，共8个结果，选C.3.8【答案】C.【解析】在，A错.，在，即，B错.，C对.4.【答案】B【解析】，.5.【答案】B【解析】，为正三角形，即，即，选B.6.【答案】D【解析】当时，解得当时，因为，所以，解得.综上，不等式的解集为.7.【答案】D【解析】当时，所以为上的增函数.令，因为，所以为上的增函数.因为，所以.8.【答案】B【解析】设集合A中元素个数为m，集合B中元素个数为n，A，B是M的子集，若，则.所以.当且仅当时取等号二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选
7、对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.【答案】AC.【解析】，A对.，B错.，C对.，则有两解，D错.10.【答案】BCD【解析】如图所示，截面为如图设，为锐角三角形，B，D都不可能，BD都要选如图截面可以是五边形EFGHI，A可能，A不选如图（红色）截面可以是梯形，但不可以是直角梯形，C要选.11.【答案】AB【解析】方法一：，的单调减区间为，A对.在，B对.，可得到，矛盾，C错.，或，时切点不在上时切点不在上，D错，选AB.12.【答案】ABCD【解析】，A对.有解，B对.动圆圆心设为，半径设为，对于C，作的平行线与的距离为1，这样的平行线有两条，与同侧的设为，与异侧的设为则A
8、到O的距离等于A到的距离，A点轨迹为抛物线，C对.对于D，则A到O的距离等于A到的距离A点的轨迹为抛物线，D对，ABCD全对.三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上.13.【答案】-4【解析】取MN中点E，.14.【答案】【解析】，.15.【答案】【解析】令，消可得，.16.【答案】【解析】，令，当时，矛盾当时，在，的取值集合.四、解答题：本大题共6小题，共70分.请在答题卡指定区域内作答.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.【解析】（1）因为，根据正弦定理得，即，所以.因为，所以，所以，所以.（2）在中，根据余弦定理
9、，解得，所以.18.【解析】（1）设BO与AC交于M，连接PM，OC.因为，所以，所以四边形ABCO为平行四边形，因为，所以平行四边形ABCO为菱形，所以，且在中，所以因为，面POB，面POB，所以面POB.（2）因为平行四边形ABCO为菱形，所以，.在中，为AD的中点，所以，所以.同理，.在中，为AD的中点，所以.因为面POB，面POB，所以.因为，面ABCD，面ABCD，所以面ABCD，所以.所以点B到面PAC的距离.19.【解析】（1）因为，所以，整理得，因为数列为正项数列，所以，所以，即.因为，所以数列是以1为首项，2为公比的等比数列.所以，即.（2）由（1）得当时，.当时，.，-，得
10、，即.当时，适合上式综上，.20.【解析】（1）直三棱柱中，以为正交基底如图建立空间直角坐标系设，则，所以，.因为，所以，所以.因为面，所以面的一个法向量为.因为，面，所以面ABC.（2）由（1）得，.当时，最短，所以，.所以，.设平面的一个法向量为，则，令，则，所以平面的一个法向量为.同理，平面的一个法向量为设二面角的平面角为，则.所以二面角的余弦值为.21.【解析】（1）设，则，所以，所以，所以P的轨迹C的方程为（2）设直线与直线相交于点，当点在椭圆内部时设直线与椭圆相交于，由图象的对称性可知，直线与椭圆相交于，所以，即，因为直线：与轨迹有交点，且点在椭圆内部，所以，且所以所以，当时，取最大值为.当点在椭圆外部时设直线与椭圆相交于，由图象的对称性可知，直线与椭圆相交于，所以，即，因为直线：与轨迹有交点，且点在椭圆外部，所以，且所以所以，.令，则在区间上单调递减于是综上得：当时，以这四个点为顶点的四边形面积的最大值为.22.【解析】（1）因为所以当时，因为在上单调递减，且，令，解得，当时，令，解得.综上，的增区间为，；减区间为，.（2）直线与函数图像的两个切点坐标分别为，则当时，；当时，.所以的方程为.所以将代入得，即.令，则，所以在上单调递减，所以，则直线的方程为，即.
