1、山东省青岛市胶州市山东省青岛市胶州市二校联考二校联考九年级上九年级上 1010 月月考数学试题月月考数学试题 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 关于方程220 x 理解错误的是（ ） A. 这个方程是一元二次方程 B. 方程的解是2 C. 这个方程可以化成一元二次方程的一般形式 D. 这个方程可以用公式法求解 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 直角三角形斜边上中线等于斜边的一半 B. 菱形对角线平分一组对角，并且菱形是轴对称图形 C. 矩形的对角线把这个矩形分成 4个等腰三角形 D. 对角线互相垂直的菱形是正方形 3. 某蔬菜种植基地 2018年的蔬
2、菜产量为 800 吨，2020年的蔬菜产量为 968 吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为 x，则年平均增长率 x应满足的方程为（ ） A. 2800(1)968x B. 2800(1)968x C. 2968(1)800 x D. 2968(1)800 x 4. 一元二次方程22xx的解是（ ） A. x2 B. x0 C. x12，x20 D. x12，x20 5. 用配方法解一元二次方程26100 xx时，下列变形正确的为（ ） A. 2(3)1x B. 2(3)1x C. 2(3)19x D. 2(3)19x 6. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A. 对边相等 B. 对
3、角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 7. 如图，在菱形ABCD中，13AB ，对角线10AC ，若过点A作AEBC，垂足为E，则AE的长为（ ） A. 8 B. 6013 C. 12013 D. 24013 8. 如图，矩形ABCD两条对角线AC、BD相交于点 O，=120?AOD，=2AB，则矩形的对角线AC的长为（ ） A. 2 3 B. 4 3 C. 4 D. 2 9. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场） ，共需安排15 场比赛，则八年级班级的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，在矩形ABCD中
4、有两个一条边长为 1 的平行四边形则它们的公共部分(即阴影部分)的面积是( ) A. 大于 1 B. 等于 1 C. 小于 1 D. 小于或等于 1 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 11. 如果关于 x 的一元二次方程230 xxk有两个相等的实数根，那么实数 k的值是_ 12. 已知一个菱形的边长为 2，较长的对角线长为 23，则这个菱形的面积是_ 13. 顺次连接矩形各边中点所得四边形为_形 14. 当=m_时，2m2(2)230mxx 是一元二次方程 15. 如果关于 x 的一元二次方程 kx23x+1=0有两个实数根，那么 k的取值范围是_ 16.
5、一幅长20cm，宽12cm的图案中有一横两竖的彩条，两彩条的宽度相等，设彩条的宽度为cmx，若图案中三条彩条所占面积是图案面积的40%，则可列方程_ 17. 如图，矩形ABCD中，1,2BCDC，如果将该长方形沿对角线折叠，使点 B 落在点B处，那么重叠部分的面积是_ 18. 如图， 四边形ABCD是菱形，50DAB， 对角线AC，BD相交于点O，DHAB于H， 连接OH，则DHO=_度. 19. 已知一元二次方程 x2=2x+1 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1x1x2+x2的值为_ 20. 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，P是 AD 上的动点，PEAC，PFBD于
6、F，则 PE+PF的值为_ 三、解方程（每题三、解方程（每题 6 分，共分，共 24 分）分） 21. 2418 xx（配方法） 22. 210 xx 23. 3 (2)2x xx 24. 解方程： （x+8） （x+1）12 四、解答与证明（每题四、解答与证明（每题 8+8+10+0 分，共分，共 36分）分） 25. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，且 OC=OD,PDAC，PCBD，PD，PC 相交于点 P，四边形 PCOD是菱形吗？试说明理由 26. 如图，在长方形ABCD中，6cm,7cmABBC，点 P从点 A开始沿边AB向点 B 以1cm/s的速度移动，与此同时
7、，点 Q 从点 B 开始沿边BC向点 C 以2cm/s的速度移动当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动设运动时间为s t多少秒后三角形BPQ的面积等于25cm？ 27. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售 20件，每件盈利 40元为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2件 (1)若商场平均每天要盈利 1200元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元？ (2)商场平均每天可能盈利 1700元吗？请说明理由 28. 如图所示，在正方形ABCD中，DFAPBQCE （1）试判断四边形PQEF否是正
8、方形，并证明； （2）PE是否总过某一定点，并说明理由 山东省青岛市胶州市山东省青岛市胶州市二校联考二校联考九年级上九年级上 1010 月月考数学试题月月考数学试题 一、选择题（每题一、选择题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 关于方程220 x 的理解错误的是（ ） A. 这个方程是一元二次方程 B. 方程的解是2 C. 这个方程可以化成一元二次方程的一般形式 D. 这个方程可以用公式法求解 【答案】B 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义、解法、一般式逐一判断即可. 【详解】A、这个方程是一元二次方程,正确; B、方程的解是 x=2,错误; C、这个方程可以化成一元二次方程
9、的一般形式,正确; D、这个方程可以用公式法求解,正确; 故选 B. 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和解法，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的解法. 2. 下列说法中错误的是（ ） A. 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 B. 菱形的对角线平分一组对角，并且菱形是轴对称图形 C. 矩形的对角线把这个矩形分成 4个等腰三角形 D. 对角线互相垂直的菱形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据直角三角形斜边上的中线性质对 A 进行判断；根据菱形的性质对 B进行判断；根据矩形的性质对 C进行判断，根据正方形的判定定理对 D进行判断 【详解】A、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，该选
10、项正确； B、菱形的对角线平分一组对角，并且菱形是轴对称图形，该选项正确； C、矩形的对角线把这个矩形分成 4个等腰三角形，该选项正确； D、对角线相等的菱形是正方形，该选项错误 故选：D 【点睛】本题考查了菱形、矩形的性质以及正方形的判定定理，理解定理是关键 3. 某蔬菜种植基地 2018年的蔬菜产量为 800 吨，2020年的蔬菜产量为 968 吨，设每年蔬菜产量的年平均增长率都为 x，则年平均增长率 x应满足的方程为（ ） A. 2800(1)968x B. 2800(1)968x C. 2968(1)800 x D. 2968(1)800 x 【答案】B 【解析】 【分析】根据该种植基
11、地 2018年及 2020 年的蔬菜产量，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解 【详解】解：依题意得：2800(1)968x 故选：B 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 4. 一元二次方程22xx的解是（ ） A. x2 B. x0 C. x12，x20 D. x12，x20 【答案】D 【解析】 【分析】首先移项，将方程右边 2x移到左边，再提取公因式 x，可得(2)0 x x，将原式化为两式相乘的形式，再根据“两式相乘值为 0，这两式中至少有一式值为 0”，即可求得方程的解 【详解】解：原方程移项得： 220 xx， (2)0
12、 x x， 120,2xx， 故选：D 【点睛】本题考查提公因式法解一元二次方程，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键 5. 用配方法解一元二次方程26100 xx时，下列变形正确的为（ ） A. 2(3)1x B. 2(3)1x C. 2(3)19x D. 2(3)19x 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次项系数是 1，先移项，方程的两边同时加上一次项系数的一半的平方，即可求解 【详解】解：26100 xx， 移项，得2610 xx， 269109xx， 即2(3)19x 故选：C 【点睛】本题主要考查了用配方法解一元二次方程，掌握配方法的关键是方程的两边同时加上一次项系数的一半
13、的平方是解题关键 6. 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是( ) A. 对边相等 B. 对角相等 C. 对角线互相平分 D. 对角线互相垂直 【答案】D 【解析】 【详解】试题分析：菱形具有性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； 平行四边形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分； 菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直 故选 D 考点：菱形的性质；平行四边形的性质 7. 如图，在菱形ABCD中，13AB ，对角线10AC ，若过点A作AEBC，垂足为E，则AE的长为（ ） A. 8 B. 6013 C. 12013 D. 24013 【答案】C
14、【解析】 【分析】 连接对角线BD， 根据勾股定理求对角线BD=24， 由菱形的面积列式得： S菱形ABCD=BCAE=12ACBD，代入计算可求 AE 的长 【详解】连接 BD交 AC于 O， 四边形 ABCD是菱形， ACBD，OA=12AC=12 10=5， AB=13=BC， 由勾股定瑆得：OB=22ABOA=22135=12， BD=2OB=24， AEBC， S菱形ABCD=BCAE=12ACBD， 13AE=12 10 24， AE=12013， 故选 C 【点睛】本题考查了菱形的性质，熟练掌握菱形以下的性质是关键：菱形的对角线互相平分且垂直，菱形的四边相等，菱形的面积=两条对角
15、线积的一半=底边 高；根据面积法可以求菱形的边或高 8. 如图，矩形ABCD的两条对角线AC、BD相交于点 O，=120?AOD，=2AB，则矩形的对角线AC的长为（ ） A. 2 3 B. 4 3 C. 4 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质证明=OA OB，进而证明AOB是等边三角形，即可解决问题 【详解】解：四边形ABCD是矩形， =AC BD，=OA OC，ODOB， =OA OB， =120?AOD， =60?AOB， ABO是等边三角形， =2OA OB AB， =2=4ACOA， 故选 C 【点睛】本题考查矩形的性质、等边三角形的判定与性质等知识点，解题的关键
16、是证明AOB是等边三角形 9. 某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场） ，共需安排15 场比赛，则八年级班级的个数为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】设有 x 个班级参加比赛，根据题目中的比赛规则，可得一共进行了1(1)2x x 场比赛，即可列出方程，求解即可 【详解】解：设有 x 个班级参加比赛， 1x( x1)152， 2300 xx， 解得：126,5xx （舍） ， 则共有 6个班级参加比赛， 故选：B 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，解题关键是读懂题意，得到比赛总数的等量关系 10. 如图，在
17、矩形ABCD中有两个一条边长为 1 的平行四边形则它们的公共部分(即阴影部分)的面积是( ) A. 大于 1 B. 等于 1 C. 小于 1 D. 小于或等于 1 【答案】C 【解析】 【详解】如图所示，作 ENAB，FMCD，过点 E作 EGMN 于点 G， 可得阴影部分面积等于四边形 EFMN的面积，且四边形 EFMN是平行四边形，且 EN=FM=1. EN=1， EG1， 它们公共部分(即阴影部分)的面积小于 1. 故选：C. 二、填空题（每题二、填空题（每题 3 分，共分，共 30 分）分） 11. 如果关于 x 的一元二次方程230 xxk有两个相等的实数根，那么实数 k的值是_ 【
18、答案】94 【解析】 【分析】根据方程有两个相等的实数根得到=b2-4ac=0，求出 k的值即可 【详解】解：一元二次方程 x2-3x+k=0 有两个相等的实数根， =b2-4ac=32-4 1 k=0， 9-4k=0， k=94， 故答案为：94 【点睛】此题考查了根的判别式，一元二次方程根的情况与判别式的关系： （1）0方程有两个不相等的实数根； （2）=0方程有两个相等的实数； （3）0方程没有实数根 12. 已知一个菱形的边长为 2，较长的对角线长为 23，则这个菱形的面积是_ 【答案】2 3 【解析】 【分析】根据菱形的性质结合勾股定理可求出较短的对角线的长，再根据菱形的面积公式即可
19、求出该菱形的面积 【详解】依照题意画出图形，如图所示 在 RtAOB 中，AB=2，OB=3， OA=22ABOB=1， AC=2OA=2， S菱形ABCD=12ACBD=12 2 23=23 故答案为 23 【点睛】本题考查了菱形的性质以及勾股定理，根据菱形的性质结合勾股定理求出较短的对角线的长是解题的关键 13. 顺次连接矩形各边中点所得四边形为_形 【答案】菱 【解析】 【分析】根据三角形的中位线定理和菱形的判定，顺次连接矩形各边中点所得的四边形是菱形 【详解】解：如图，连接 AC、BD， E、F、G、H分别是矩形 ABCD 的 AB、BC、CD、AD边上的中点， EFGH12AC，FG
20、EH12BD， 矩形 ABCD的对角线 ACBD， EFGHFGEH， 四边形 EFGH是菱形 故答案为：菱 【点睛】此题主要考查了三角形的中位线定理，矩形的性质和菱形的判定，综合利用了三角形的中位线定理和矩形的性质是解题关键 14. 当=m_时，2m2(2)230mxx 是一元二次方程 【答案】2 【解析】 【分析】根据一元二次方程的概念：只含有一个未知数，且未知数项最高次数为 2 的整式方程，进行列式计算即可 【详解】解：方程2m2(2)230mxx 是一元二次方程， 22=220mm， =?22mm， 2m， 故答案为：2 【点睛】此题主要考查一元二次方程概念，熟练掌握一元二次方程概念和
21、一元二次方程的解法是解决问题的关键 15. 如果关于 x 的一元二次方程 kx23x+1=0有两个实数根，那么 k的取值范围是_ 【答案】k94且 k0 【解析】 【分析】根据关于 x 的一元二次方程 kx23x+1=0有两个实数根，知=（3）24 k10 且 k0，解之可得 【详解】解：关于 x 的一元二次方程 kx23x+1=0有两个实数根， ak，3b，1c ， 2243410back 且0k ， 解得94k 且0k 故答案为：94k 且0k 【点睛】本题主要考查了根的判别式与一元二次方程的定义，一元二次方程 ax2+bx+c=0（a0）的根与=b2-4ac有如下关系：当0时，方程有两个
22、不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根上面的结论反过来也成立 16. 一幅长20cm，宽12cm的图案中有一横两竖的彩条，两彩条的宽度相等，设彩条的宽度为cmx，若图案中三条彩条所占面积是图案面积的40%，则可列方程_ 【答案】(202 )(12)20 12 (1 40%)xx 【解析】 【分析】 根据图案中三条彩条所占面积是图案面积的40%， 那么空白部分的面积为图案面积的(1 40%)，即可得出关于 x 的一元二次方程 【详解】解：根据图案中三条彩条所占面积是图案面积的40%， 那么空白部分的面积为图案面积的(1 40%)， (202 )(12)20 1
23、2 (1 40%)xx， 故答案为：(202 )(12)20 12 (1 40%)xx 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系、正确列出一元二次方程是解此题的关键 17. 如图，矩形ABCD中，1,2BCDC，如果将该长方形沿对角线折叠，使点 B 落在点B处，那么重叠部分的面积是_ 【答案】58#0.625 【解析】 【分析】因为折叠，可证=AF CF，设AFCFx，则=2DFx，在RtADF用勾股定理求出 x，再利用三角形面积公式求重叠部分面积即可 【详解】解：设CFx， 矩形ABCD， ,=2AB CD AB CD， =DCABAC, 长方形沿对角线AC折叠， =,=2B AC
24、BAC ABAB, =DCABAC, =AF CF x, =2DFx， 在RtADF中，222ADDFAF， 即2221 +(2) =xx， 解得54x ， 重叠部分的面积=1=2AFCSCF AD =15 124 = 58 故答案为：58 【点睛】此题考查了矩形的性质与翻折变换，勾股定理，熟练掌握折叠的性质是解决问题的关键 18. 如图， 四边形ABCD是菱形，50DAB， 对角线AC，BD相交于点O，DHAB于H， 连接OH，则DHO=_度. 【答案】25 【解析】 【分析】首先求出HDB的度数，再利用直角三角形斜边中线定理可得 OH=OD，由此可得OHD=ODH即可解决问题 【详解】 四
25、边形 ABCD是菱形， ACBD,DO=OB,DAO=BAO=25， ABO=90BAO=65， DHAB， DHB=90， BDH=90ABO=25， 在 RtDHB中，OD=OB， OH=OD=OB， DHO=HDB=25， 故答案：25. 【点睛】本题考查了菱形的性质，直角三角形斜边中线定理，熟练掌握性质定理是解题的关键. 19. 已知一元二次方程 x2=2x+1 的两个实数根分别为 x1，x2，则 x1x1x2+x2的值为_ 【答案】3 【解析】 【分析】根据一元二次方程根与系数的关系即可求出. 【详解】由题意可得 x2-2x-1=0 x1+x2=2,x1x2=-1, x1-x1x2+
26、x2=2-(-1)=3 故答案为 3. 【点睛】本题考查的知识点是根与系数的关系，解题的关键是熟练的掌握根与系数的关系. 20. 如图所示，在矩形 ABCD 中，AB6，AD8，P是 AD 上的动点，PEAC，PFBD于 F，则 PE+PF的值为_ 【答案】245 【解析】 【分析】根据矩形的性质和三角形的面积求出 SAODSDOCSAOBSBOC14S矩形ABCD146812，根据勾股定理求出 BD、 AO、DO，最后根据三角形面积公式求出答案即可 【详解】解：连接 OP， 四边形 ABCD是矩形， DAB90，AC2AO2OC，BD2BO2DO，ACBD， OAODOCOB， SAODSD
27、OCSAOBSBOC14S矩形ABCD146812， 在 RtBAD 中，由勾股定理得：BD22226810ABAD ， AOOD5， SAPO+SDPOSAOD， 12AOPE+12DOPF12， 5PE+5PF24， PE+PF245， 故答案为：245 【点睛】本题主要考查勾股定理以及利用面积求线段长度，能够找到 PE+PF与 SAOD之间的关系是解题的关键 三、解方程（每题三、解方程（每题 6 分，共分，共 24 分）分） 21. 2418 xx（配方法） 【答案】12551,122xx 【解析】 【分析】利用解一元二次方程的配方法进行求解即可 【详解】解：移项，得248 =1xx 二
28、次项系数变为 1，得212 =4xx， 两边同时加 1，得212 +1=+14xx， 配方，得251=4x（）， 开平方，得51=?2x， 1255=1+,=122xx， 故原方程的根为：1255=1+,=122xx 【点睛】此题考查了解一元二次方程的配方法，熟练掌握配方法的解题步骤与方法是解此题的关键 22. 210 xx 【答案】1152x 2152x 【解析】 【分析】首先根据方程得出 a、b和 c的值，然后求出-4ac 的值，最后根据求根公式得出答案. 【详解】解：a=1，b=1，c=-1， 22414 1 ( 1)50bac 方程有两个不相等的实数根 则2415=22bbacxa 则
29、1152x ，2152x 23. 3 (2)2x xx 【答案】1212,3xx 【解析】 【分析】根据解一元二次方程的方法，可以选择适当的方法求解：因式分解法、公式法，分别进行求解即可 【详解】方法 1：因式分解法 解：提取公因式(2)x，得(2)(31)0 xx， 20 x 或310 x ， 1212,3xx， 方法 2：公式法 解：方程可化为：23720 xx， 3,7,2abc ， 2( 7)4 3 2250 ， 方程有两个不相等的实数根 24( 7)257522 36bbacxa ， 1212,3xx， 故原方程的根为：1212,3xx 【点睛】此题考查了一元二次方程的解法，熟练掌握
30、用因式分解法、公式法等方法是解题的关键 24. 解方程： （x+8） （x+1）12 【答案】14x ，25x 【解析】 【分析】先将方程化简变形为29200 xx，再运用因式分解法求解即可 【详解】解：8112xx ， 整理得：29200 xx， 450 xx， 解得：14x ，25x 【点睛】题目主要考查解一元二次方程的因式分解法，熟练掌握因式分解方法是解题关键 四、解答与证明（每题四、解答与证明（每题 8+8+10+0 分，共分，共 36分）分） 25. 如图，平行四边形 ABCD 的对角线相交于点 O，且 OC=OD,PDAC，PCBD，PD，PC 相交于点 P，四边形 PCOD是菱形
31、吗？试说明理由 【答案】四边形 PCOD是菱形理由见解析 【解析】 【分析】先根据 PDOC，PCOD，说明四边形 PCOD 是平行四边形再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形可证明结论. 【详解】四边形 PCOD 是菱形理由如下： PDOC，PCOD， 四边形 PCOD是平行四边形 又OC=OD， 平行四边形 PCOD是菱形 【点睛】本题考查了菱形的判定，熟练掌握菱形的判定方法是解答本题的关键. 菱形的判定方法有三种:定义:一组邻边相等的平行四边形是菱形;四边相等的四边形是菱形;对角线互相垂直平分的四边形是菱形. 26. 如图，在长方形ABCD中，6cm,7cmABBC，点 P从点 A开始沿
32、边AB向点 B 以1cm/s的速度移动，与此同时，点 Q 从点 B 开始沿边BC向点 C 以2cm/s的速度移动当点 Q 运动到点 C 时，两点停止运动设运动时间为s t多少秒后三角形BPQ的面积等于25cm？ 【答案】1 【解析】 【分析】根据题意，知cm,2 cmAPtBQt，则可求出PB，再由BPQ面积为25cm，列出方程，解方程即可 【详解】解：根据题意，知cm,2 cmAPtBQt， (6)cmPBt， 长方形ABCD， 90B ， BPQ面积为25cm， 152PBQSPB BQ 1(6) 252tt 121,5tt， 当=5st时，210cm7cmBQt， 5t 不符合题意，舍去
33、， 故 1秒后三角形BPQ的面积等于25cm 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用利用长方形的性质与三角形面积，找出等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键 27. 某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可销售 20件，每件盈利 40元为了扩大销售，增加盈利，尽量减少库存，商场决定采取适当的降价措施经调查发现，如果每件衬衫每降价 1 元，商场平均每天可多售出 2件 (1)若商场平均每天要盈利 1200元，且让顾客尽可能多得实惠，则每件衬衫应降价多少元？ (2)商场平均每天可能盈利 1700元吗？请说明理由 【答案】 （1）应降价 20 元； （2）不可能. 【解析】 【分析】 （1）设每件衬衫应降
34、价 x元，则每件盈利（40-x）元，每天可以售出（20+2x） ，所以此时商场平均每天要盈利（40-x） （20+2x）元，根据商场平均每天要盈利=1200 元，为等量关系列出方程求解即可 （2）假设能达到，根据商场平均每天要盈利=1700元，为等量关系列出方程，看该方程是否有解，有解则说明能达到，否则不能 【详解】解： （1）设每件衬衫应降价 x元，则平均每天可销售（20+2x）件， 根据题意得： （40 x） （20+2x）1200， 整理得：x230 x+2000， 解得：x110，x220 要扩大销售量，减少库存， x20 答：每件衬衫应降价 20 元 （2）不可能，理由如下： 根据题
35、意得： （40 x） （20+2x）1700， 整理得：x230 x+4500 （30）24 1 4509000， 该方程无实数根， 商城平均每天不可能盈利 1700元 【点睛】本题主要考查一元二次方程的应用，关键在于理解清楚题意找出等量关系列出方程求解，另外还用到的知识点是“根的判别式”的应用 28. 如图所示，在正方形ABCD中，DFAPBQCE （1）试判断四边形PQEF是否是正方形，并证明； （2）PE是否总过某一定点，并说明理由 【答案】 （1）四边形PQEF是正方形，证明见详解； （2）PE总过AC的中点，理由见详解 【解析】 【分析】 （1）有一组邻边相等且有一个角是直角平行四边
36、形叫做正方形，根据正方形定义可以证明四边形PQEF为正方形； （2）连接AC，证明四边APCE是平行四边形，即可证明PE过定点 【小问 1 详解】 解：四边形PQEF是正方形 证明：正方形ABCD， =AB BC CD DA，=90?BADBBCDD， =DF AP BQ CE =BP QC ED FA， (SAS)AFPBPQCQEDEF， =FP PQ QE EF，=APF BQP， 四边形PQEF为菱形， 又+=90?BQPBPQ， +=90?APFBPQ， =180?(+)=90?FPQAPFBPQ ， 四边形PQEF是正方形 【小问 2 详解】 解：PE总过AC的中点 理由：如下图，连接AC交PE于点 O，连接,AE CP， ,=APEC AP EC， 四边形APCE为平行四边形， 点 O 为对角线AC的中点， PE总过AC的中点 【点睛】此题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行四边形的判定等知识，熟练掌握相关的判定与性质是解题的关键
