1、辽宁省本溪市九年级上第一次模拟数学试题辽宁省本溪市九年级上第一次模拟数学试题 一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 30 分）分） 1. 3 的倒数是（ ） A. 3 B. 3 C. 13 D. 13 2. 下列垃圾分类标识的图案既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 一个几何体如图所示，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A. 2+=3 B. 62=3 C. (2)3=6 D. (+)2=2+2 5. 为了传承传统手工技艺，提高同学们的手工制作能力，某中学七年级一班的
2、美术老师特地给学生们开了一节手工课，教同学们编织“中国结”，为了了解同学们的学习情况，便随机抽取了 20名学生，对他们的编织数量进行统计，统计结果如下表： 编织数量/个 2 3 4 5 6 人数/人 3 6 5 4 2 请根据上表，判断下列说法正确的是( ) A. 样本为 20 名学生 B. 众数是 4个 C. 中位数是 3 个 D. 平均数是 3.8个 6. 不透明的袋子中只有 4个黑球和 2 个白球， 这些球除颜色外无其他差别， 随机从袋子中一次摸出 3 个球，下列事件是不可能事件的是（ ） A. 3 个球都是黑球 B. 3 个球都是白球 C. 三个球中有黑球 D. 3 个球中有白球 7.
3、 已知直线12一块含 45 角的直角三角板如图放置若1=108，则2的度数为（ ） A. 54 B. 63 C. 64 D. 72 8. 直线 y=ax+b 经过第一、二、四象限，则直线 y=bx+a图象只能是图中的（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形 ABCD中， ， = 90， = 4， = 3分别以点 A，C为圆心，大于12长为半径作弧，两弧交于点 E，作射线 BE 交 AD于点 F，交 AC 于点 O若点 O是 AC的中点，则 CD的长为（ ） A. 22 B. 4 C. 3 D. 10 10. 如图 1，点 F 从菱形 ABCD 的顶点 A 出发，沿 A-D-B 以
4、1cm/s 的速度匀速运动到点 B，图 2 是点 F运动时，FBC的面积（cm2）随时间 x（s）变化的关系图像，则 a的值为（ ） A. 5 B. 4 C. 25212 D. 256 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 3 分，共分，共 24 分）分） 11. PM2.5 是指大气中直径小于或等于 0.0000025m的颗粒物，将 0.0000025用科学记数法表示为_. 12. 分解因式：3 =_ 13. 木箱里装有仅颜色不同的 8 张红色和若干张蓝色卡片，随机从木箱里摸出 1 张卡片记下颜色后再放回，经过多次的重复试验， 发现摸到蓝色卡片的频率稳定在
5、0.6 附近， 则估计木箱中蓝色卡片有_张 14. 已知关于方程2+ 2 3 = 0有两个不相等的实数根，则的取值范围是_ 15. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了 90个红包，那么这个微信群共有_人 16. 如图，直线=2与=+相交于点(,2)，则关于 x的方程+=2的解是_. 17. 如图，在ABC中，C90，BC9，AC12，点 D为边 AC的中点，点 P 为边 BC上任意一点，若将CDP沿 DP折叠得EDP，若点 E 在ABC的中位线上，则 CP的长度为 _ 18. 如图，将矩形纸片绕顶点 B 顺时针旋转得到矩形，取、的中点 M、N，连接若 = 4cm
6、， = 2cm，则线段长度的最大值为_cm 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19. 化简求值：先化简再求值：( + 3 3:1) 2:8:162:，其中 a 满足2 4 = 0 20. 为了解班级学生参加课后服务的学习效果，何老师对本班部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为_； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是_ ； （3）请将条形统计图补充完整；
7、 （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的 A类和 D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21. 如图，在ABCD中，对角线 AC、BD交于点 O，E 是 BD延长线上的点，且ACE 是等边三角形 （1）求证：四边形 ABCD是菱形 （2）若AED2EAD，求证：四边形 ABCD 是正方形 22. 近日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版） ，将劳动从原来综合实践活动课程中独立出来某中学为了让学生
8、体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动据了解，市场上每捆 A种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用 300 元在市场上购买的 A 种菜苗比在菜苗基地购买的少 3 捆 （1）求菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格 （2）菜苗基地每捆 B 种菜苗的价格是 30 元学校决定在菜苗基地购买 A，B两种菜苗共 100捆，且 A种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数菜苗基地为支持该校活动，对 A，B两种菜苗均提供九折优惠求本次购买最少花费多少钱 五、解答题（满分五、解答题（满分 12 分）分） 23. 如图，在ABC 中，B90 ，AB5cm，BC7cm，点 P从点 A开始沿 AB边向点 B 以
9、 1cm/s 的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2cm/s 的速度移动 （1）如果 P，Q分别从 A，B同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于 4cm2？ （2）如果 P，Q分别从 A，B同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于 5cm？ （3）在（1）中，PBQ的面积能否等于 8cm2？说明理由 六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分） 24. 某商店销售进价为 20元/件的某种商品，在第 x（x 为190的整数）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间 x（天） 1 13且 0 【解析】 【分析】由方程有两个不相等的实数根，则运用一元二次方程2+ 2 3 = 0（
10、a0）的根的判别式是 2 40即可进行解答 【详解】由关于的方程2+ 2 3 = 0有两个不相等的实数根 得 = 2 4 = 4 + 4 3 0， 解得 13 则 13且 0 故答案为 13且 0 【点睛】本题重点考查了一元二次方程根的判别式，在一元二次方程2+ 2 3 = 0（a0）中， （1）当0时，方程有两个不相等的实数根； （2）当0时，方程有两个相等的实数根； （3）当0 时，方程没有实数根 15. 在小华的某个微信群中，若每人给其他成员都发一个红包，该微信群共发了 90个红包，那么这个微信群共有_人 【答案】10 【解析】 【分析】设这个微信群共有 x人，则每人需发（x1）个红包，
11、根据该微信群共发了 90 个红包，即可得出关于 x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论 【详解】解：设这个微信群共有 x人，则每人需发（x1）个红包， 依题意得：x（x1）90， 整理得：x2x900， 解得：x110，x29（不合题意，舍去） 故答案为：10 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键 16. 如图，直线=2与=+相交于点(,2)，则关于 x的方程+=2的解是_. 【答案】=1 【解析】 【分析】首先利用函数解析式=2求出的值，然后再根据两函数图象的交点横坐标就是关于的方程+=2的解可得答案 【详解】解：直线=2与=+相交于点(,
12、2)， 2=2， =1， (1,2)， 当=1时，=+=2， 关于的方程+=2的解是=1， 故答案为：=1 【点睛】此题主要考查了一次函数与一元一次方程，关键是求得两函数图象的交点坐标 17. 如图，在ABC中，C90，BC9，AC12，点 D为边 AC的中点，点 P 为边 BC上任意一点，若将CDP沿 DP折叠得EDP，若点 E 在ABC的中位线上，则 CP的长度为 _ 【答案】2 或 827 【解析】 【分析】分别画三角形的三条中位线，根据题意点只能落 DM和 MN 上，分别画出图像，利用折叠的性质和勾股定理解答即可 【详解】解：如图，设 BC 边中点为 M，连接 DM， 当 E 在 DM
13、 上时， 由折叠可知，CPPE，CDEP， BC9，AC12，C90， AB15，CM12BC=92， CD=126， DM152，DE6， EM32， 在 RtPEM 中，PM2PE2+EM2， （92CP）2CP2+（32）2， CP2； 如图，设 AB边的中点为 N，连接 DN， 当 E 点落在 DN上时， BC9，AC12，C90， CD6，DN92， 由折叠可知，DECD，CDEP90， DECB， CDE90， 四边形 CDEP是矩形， = =92 DECD， 四边形 DCPE是正方形， CPCD6，此时点落在的延长线上（不符合，舍去） 如图，设 BC、AB 中点分别为 M、N，连
14、接 MN、DN， 当 E 点落在 MN上时， 由折叠可知，DECD，CPPE，CDEP90， BC9，AC12， CM92，CD6，DN92，MN6， 在 RtDEN 中，DE2DN2+EN2， 62NE2+（92）2， NE327， EM6327， 在 RtPEM 中，PE2EM2+PM2， CP2（92CP）2+（6327）2， CP8 27； 综上所述，CP的值为 2或8 27， 故答案为：2或8 27 【点睛】本题考查翻折变换（折叠问题） ，熟练掌握直角三角形的性质，折叠的性质，能够分类讨论并画出适合的图形是解题的关键 18. 如图，将矩形纸片绕顶点 B 顺时针旋转得到矩形，取、的中点
15、 M、N，连接若 = 4cm， = 2cm，则线段长度的最大值为_cm 【答案】2 + 5#5 + 2 【解析】 【分析】取 BE的中点 H，连接 MH、BD、NH，此时，MH 是BDE 的中位线，可求出 MH 的长度，四边形EFNH 是平行四边形，可求出 NH 的长度，根据 + ，可求出线段长度的最大值 【详解】如图，取 BE 的中点 H，连接 MH、BD、NH， 四边形是矩形， = 90， = 4cm， = 2cm， = 2+ 2= 42+ 22= 25(cm)， 点 M 是 ED的中点，点 H是 BE的中点， MH 是BDE 的中位线，即 =12 = 5(cm)， 将矩形纸片绕顶点 B
16、顺时针旋转得到矩形， = = = = 4cm， = = 2cm， 点 H是 BE的中点，点 N是 FG的中点， = ， ， 四边形 EFNH是平行四边形， = = 2cm， + = 2 + 5， 如下图所示，当点 H 在 MN上时，MN 有最大值为(2 + 5)cm 故答案为：2 + 5 【点睛】本题考查了旋转的性质，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，找到长度最大值时的位置，是解答本题的关键 三、解答题（第三、解答题（第 19 题题 10 分，第分，第 20 题题 12 分，共分，共 22 分）分） 19. 化简求值：先化简再求值：( + 3 3:1) 2:8:162:，其中 a 满足2 4
17、 = 0 【答案】2:4，1 【解析】 【分析】 先根据分式四则混合运算法则化简， 再由2 4 = 0得到2= 4 + ， 然后整体代入计算即可 【详解】解：( + 3 3:1) 2:8:162: =(:3)(:1):13:1) (:4)2(:1) =(2:4:3:13:1) (:4)2(:1) =2:4:1(:4)2(:1) =(:4):1(:1)(:4)2 =2:4； 由2 4 = 0得到2= 4 + 所以2:4=22= 1 【点睛】本题主要考查了分式的化简求值、代数求值等知识点，掌握分式的四则混合运算法则和整体法成为解答本题的关键 20. 为了解班级学生参加课后服务学习效果，何老师对本班
18、部分学生进行了为期一个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类：A：很好；B：较好；C：一般；D：不达标，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）此次调查的总人数为_； （2）扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是_ ； （3）请将条形统计图补充完整； （4）为了共同进步，何老师准备从被调查的 A类和 D类学生中各随机抽取一位同学进行“一帮一”互助学习请用画树状图或列表的方法求出所选两位同学恰好是相同性别的概率 【答案】 （1）20 人 （2）36 （3）见解析 （4）12 【解析】 【分析】 （1）由条形统计图中 B类学生数及扇形统计图中 B 类学生的百分比
19、即可求得参与调查的总人数； （2）由扇形统计图可求得不达标的学生所占的百分比，它与 360的积即为所求的结果； （3）现两种统计图及（1）中所求得的总人数，可分别求得 C类、D类学生的人数，从而可求得这两类中未知的学生数，从而可补充完整条形统计图； （4）记 A 类学生中的男生为“男 1”，两个女生分别记为“女 1”、“女 2”，记 D 类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列表即可求得所有可能的结果数及所选两位同学恰好是相同性别的结果数，从而可求得概率 【小问 1 详解】 由条形统计图知，B 类学生共有 6+4=10（人） ，由扇形统计图知，B类学生所占的百分比为 50%，则参与调查的总人数
20、为：10 50% = 20（人） 故答案为：20人 【小问 2 详解】 由扇形统计图知，D类学生所占的百分比为：1 15% 50% 25% = 10%，则扇形统计图中“不达标”对应的圆心角度数是：360 10%=36 故答案为：36 【小问 3 详解】 C类学生总人数为：2025%=5（人） ，则 C类学生中女生人数为：5 2 = 3（人） D 类学生总人数为：2010%=2（人） ，则 C类学生中男生人数为：2 1 = 1（人） 补充完整的条形统计图如下： 【小问 4 详解】 记A类学生中的男生为“男1”， 两个女生分别记为“女1”、 “女2”， 记D类学生的一男一女分别为“男”、“女”，列
21、表如下： 男 1 女 1 女 2 男 男男 1 男女 1 男女 2 女 女男 1 女女 1 女女 2 则选取两位同学的所有可能结果数为 6种，所选两位同学恰好是相同性别的结果数有 3 种，所以所选两位同学恰好是相同性别的概率为：36=12 【点睛】本题是统计图的综合，考查了条形统计图与扇形统计图，简单事件的概率，关键是读懂两个统计图并能从图中获取信息 四、解答题（第四、解答题（第 21 题题 12 分，第分，第 22 题题 12 分，共分，共 24 分）分） 21. 如图，在ABCD中，对角线 AC、BD交于点 O，E 是 BD延长线上的点，且ACE 是等边三角形 （1）求证：四边形 ABCD
22、是菱形 （2）若AED2EAD，求证：四边形 ABCD 是正方形 【答案】 （1）见解析； （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形进而利用菱形的判定证明即可； （2）根据有一个角是 90 的菱形是正方形，进而根据菱形和正方形的判定证明即可 【详解】证明： （1）ABCD， AOOC， ACE是等边三角形， EOAC （三线合一） 即 BDAC， ABCD是菱形； （2）ACE等边三角形，EAC60 由（1）知，EOAC，AOOC AEOOEC30 ，AOE是直角三角形 EAO60 ， AED2EAD， EAD15 ， DAOEAOEAD45 ， ABCD是
23、菱形， BAD2DAO90 ， 菱形 ABCD 是正方形 【点睛】本题考查菱形和正方形的判定，解题关键是要灵活应用判定定理及等腰三角形的性质、外角的性质定理 22. 近日，教育部印发义务教育课程方案和课程标准（2022年版） ，将劳动从原来的综合实践活动课程中独立出来某中学为了让学生体验农耕劳动，开辟了一处耕种园，需要采购一批菜苗开展种植活动据了解，市场上每捆 A种菜苗的价格是菜苗基地的54倍，用 300 元在市场上购买的 A 种菜苗比在菜苗基地购买的少 3 捆 （1）求菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格 （2）菜苗基地每捆 B 种菜苗的价格是 30 元学校决定在菜苗基地购买 A，B两种菜苗共 1
24、00捆，且 A种菜苗的捆数不超过 B 种菜苗的捆数菜苗基地为支持该校活动，对 A，B两种菜苗均提供九折优惠求本次购买最少花费多少钱 【答案】 （1）20 元 （2）2250元 【解析】 【分析】 （1）设菜苗基地每捆 A种菜苗的价格为 x元，根据题意列出方程，解出方程即可； （2）设：购买 A种菜苗捆，则购买 B种菜苗(100 )捆，花费为 y 元，根据 A 种菜苗的捆数不超过 B种菜苗的捆数，解出m的取值范围，列出花费 y 与 A 种菜苗捆之间的关系式，根据关系式求出最少花费多少钱即可 【小问 1 详解】 解：设：菜苗基地每捆 A种菜苗的价格为 x元， 30030054= 3 300 54
25、300 =154 154 = 75 解得 = 20 检验：将 = 20代入54 =54 20 = 25，值不为零， = 20是原方程的解， 菜苗基地每捆 A 种菜苗的价格为 20元 【小问 2 详解】 解：设：购买 A种菜苗捆，则购买 B种菜苗(100 )捆，费用为 y 元， 由题意可知： 100 ， 解得 50， 又 = 20 + 30 (100 ) 0.9， = 9 + 2700( 50)， y随 m 的增大而减小 当 = 50时，花费最少， 此时 = 9 50 + 2700 = 2250 本次购买最少花费 2250元 【点睛】 本题考查分式方程与一次函数表达式求最小值， 根据题意列出分式
26、方程并检验是解答本题的关键 五、解答题（满分五、解答题（满分 12 分）分） 23. 如图，在ABC 中，B90 ，AB5cm，BC7cm，点 P从点 A开始沿 AB边向点 B 以 1cm/s 的速度移动，点 Q从点 B开始沿 BC 边向点 C以 2cm/s 的速度移动 （1）如果 P，Q分别从 A，B同时出发，那么几秒后，PBQ 的面积等于 4cm2？ （2）如果 P，Q分别从 A，B同时出发，那么几秒后，PQ 的长度等于 5cm？ （3）在（1）中，PBQ的面积能否等于 8cm2？说明理由 【答案】 （1）1 秒； （2）0秒或 2 秒； （3）不能，理由见解析 【解析】 【分析】 （1）
27、根据PBQ的面积等于 4cm2，即可得出关于 t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （2）利用勾股定理，即可得出关于 t的一元二次方程，解之取其符合题意的值即可得出结论； （3）根据PBQ的面积等于 8cm2，即可得出关于 t的一元二次方程，由根的判别式 =-70可得出该方程没有实数根，进而可得出PBQ 的面积不能等于 8cm2 【详解】解：7 2=72s， 当运动时间为 t s（0t72）时，PB=（5-t）cm，BQ=2t cm （1）依题意得：12 2t （5-t）=4， 整理得：t2-5t+4=0， 解得：t1=1，t2=4（不合题意，舍去） 答：1 秒后，PBQ 的面
28、积等于 4cm2 （2）依题意得： （5-t）2+（2t）2=52， 解得：t1=0，t2=2 答：0 秒或 2 秒后，PQ 的长度等于 5cm； （3）不能，理由如下： 依题意得：12 2t （5-t）=8， 整理得：t2-5t+8=0 =（-5）2-4 1 8=-70， 该方程没有实数根， PBQ的面积不能等于 8cm2 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，解题的关键是： （1）找准等量关系，正确列出一元二次方程； （2）找准等量关系，正确列出一元二次方程； （3）找准等量关系，正确列出一元二次方程 六、解答题（满分六、解答题（满分 12 分）分） 24. 某商店销售进价为
29、 20元/件的某种商品，在第 x（x 为190的整数）天的售价与销量的相关信息如下表： 时间 x（天） 145 4590 售价（元/件） +30 70 每天销量（件） 160-2 设销售商品的每天利润为 y 元. （1）求出 y与 x的函数关系式； （2）求该商品在第几天时，当天销售利润为 3250 元？ 【答案】 （1）=-22+140+1600(145)-100+8000(4590) （2）该商品在第 15 天时，当天销售利润为 3250 元 【解析】 【分析】 （1）根据利润等于单件利润乘以销量，单件利润等于售价减去进价，可得利润，分段列出函数关系式可得答案； （2）分类讨论，当145时
30、，求出=3250时对应得 x 的值；当4590时，求出=3250时对应得 x 的值，注意判断求出的 x的值是否符合对应的范围，即可求解 【小问 1 详解】 解：当145时，=(+30-20)(160-2)=-22+140+1600； 当4590时，=(70-20)(160-2)=-100+8000 综上所述，=-22+140+1600(145)-100+8000(4590) 【小问 2 详解】 解：当145时，令=-22+140+1600=3250， 解得1=15，2=55（不符合题意，舍去） ； 当4590时，令=-100+8000=3250， 解得=47.5， 为整数， =47.5不符合题
31、意，舍去； 答：该商品在第 15 天时，当天销售利润为 3250元 【点睛】本题考查了二次函数、一次函数、分段函数的应用，利用利润等于单件利润乘以销量可以求出分段函数解析式，还考查了已知函数值求对应的自变量 x的值，解题的关键是求出分段函数的解析式 七、解答题（满分七、解答题（满分 12 分）分） 25. 如图 1，在中，D、E分别是、两边的中点，延长至点 F，使=，连接，易知. （1）探究：如图 2，是的中线，交于于点 E，交于点 F，且=，求证：=. （2）应用：如图 3，在中，=60，=4，=6，是的中位线.过点 D、E作，分别交边于点 F、G，过点 A作，分别与、的延长线交于点 M、N
32、. 四边形的面积 S是否会发生变化？如果变化，请直接写出 S 的范围，如果不变，请直接写出 S 的值. 四边形的周长 C 是否会发生变化？如果变化，请直接写出 C的范围，如果不变，请直接写出 C的值. 【答案】 （1）证明见解析 （2）S的值不变，S 的值为63周长 C 会发生变化，范围是43+647+6 【解析】 【分析】 （1）利用倍长中线法构造全等三角形，再利用等角对等边即可求证 （2）先判定四边形 MFGN 是平行四边形，再利用平行四边形的面积公式“面积=底高”求解即可； 利用平行四边形的周长公式以及= =3转化为求的最大与最小值，由点 F、G 在边上，可以得出的最大与最小值，即可完成
33、求解 【小问 1 详解】 如图 2，延长至使 DG=DF， 是 的中线， = ， =， ， =，=， =， =， 又=， =， = ， = 【小问 2 详解】 的值不变，的值为63； 理由：， 四边形是平行四边形， 又是中位线， ，且 =12 =3， 四边形也是个平行四边形， =3， 如图，过 A点作，垂足为 H， =60，=4， =2， =2-2=23， =323=63, 因此，S的值不变，为63 周长会发生变化，范围是43+647+6 由知，四边形是平行四边形， = =3， =2+2=2+6， 当时，得 = =23， 此时=43+6，且为最小值； 中，=60，=2，=23，=6， =6-2
34、=4， =2+2=(23)2+42=27， 当时， =27， 此时=47+6，且为最大值； 因此周长会发生变化，范围是43+647+6 【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、倍长中线法、等腰三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识，解题关键是能正确作出辅助线，构造全等三角形和直角三角形，再利用勾股定理解决问题 八、解答题（满分八、解答题（满分 14 分）分） 26. 如图 1，已知在平面直角坐标系中，四边形是矩形，点 A，C 分别在 x 轴和 y 轴的正半轴上，连结，=3，=30，点 D是的中点 （1）=_；点 D 的坐标为_； （2）若点 E在线段上，直线 DE把矩形面
35、积分成为 2：1两部分，求点 E坐标； （3）如图 2点 P 为线段上一动点（含线段端点） ，连接；以线段为边，在所在直线的右上方作等边， 当动点 P 从点 B运动到点 A时， 点 Q也随之运动， 当成为以为底的等腰三角形时，直接写出 Q点的横坐标 【答案】 （1）3；(32,3) （2）(52,0)或(12,0) （3）218 【解析】 【分析】 （1）在Rt中，解直角三角形求出即可求出点 C坐标，再根据中点定义求出点 D 坐标； （2）分两种情况讨论：当梯形的面积与梯形的面积之比是2:1时，当梯形的面积与梯形的面积之比是2:1时；分别求解即可； （3）当点 P 在线段上运动时，点 Q在线段
36、上运动，根据等边三角形性质求出点 M、N 坐标，从而可求得直线的解析式为=-33+523，取中点 E，过点 E作垂线，交 x 轴于 F，求得直线解析式为y=3-3，然后联立两解析式，求得两直线交点横坐标即可 【小问 1 详解】 解：如图 1 中， 四边形是矩形， =90， ，=， =3，=30， =3，=30=333=3， 点 D是的中点， =12=32， (32,3)， 故答案为：3；(32,3) 【小问 2 详解】 解：如图 1 中，设(,0) 分两种情况讨论：当梯形的面积与梯形的面积之比是2:1时， 由题意四边形=12(+)=23矩形， 12(+)=2333， 12(32+)3=2333
37、， 解得：=52， (52,0)； 当梯形的面积与梯形的面积之比是2:1时，四边形=12(+)=13矩形， 12(+)=1333， 12(32+)3=1333， 解得：=12； (12,0)； 综上，点 E坐标(52,0)或(12,0)； 【小问 3 详解】 解： 如图， 当点P与点B重合时， 点Q在点M处， 当点P与点A重合时， 点Q在点N处， 当点P在线段上运动时，点 Q 在线段 运动，如图， 等边，=32， (94,734)， 同理 (154,534)， 直线的解析式为：=-33+523， 取中点 E，过点 E 作垂线，交 x 轴于 F， 则(32,32)，(1,0)， 直线解析式为：=3-3， 是以为底的等腰三角形， 点 Q是直线与直线的交点， 联立直线与直线的解析式，得 y=3-3=-33+523， 解得：=218=1338， 点 Q的横坐标为218 【点睛】本题考查矩形的性质，解直角三角形，待定系数法求一欠函数解析式，两直线交点问题，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，本题综合性较强，属中考压轴题目
