1、2022-2023学年江西省名校联考九年级上第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 已知：是关于的一元二次方程，则的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 42. 抛物线与轴的交点坐标是（）A. B. C. D. 3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. B. C. D. 4. 疫情形势下，我国坚持“动态清零”总方针，很多地区疫情得以有效控制，正有序恢复正常生产生活秩序，某商店今年5月份的销售额仅为2万元，恢复生产后，7月份的销售额为4.5万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，根据题意，以下方程正确的是（）A. B. C. D. 5. 如图，在中，
2、点从点出发沿边向点以速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点，的运动时间为（）A. 2sB. 3sC. 4sD. 5s6. 已知抛物线为常数，与轴交于，两点（点在点的左侧），下列关于该抛物线的描述中，说法正确的是（）A. 该抛物线的开口向下B. C. 点在轴的正半轴D. 当时，函数随的增大而增大二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 若是一元二次方程一个根，则m的值为_8. 将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为 _9. 将二次函数化为的形式，则_10. 如图，抛物线与轴交于点，过点且与轴平行的直线交抛物线于
3、，两点，则线段的长为 _11. 对于实数，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 _12. 如图，抛物线y=x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点若PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）解方程；（2）已知抛物线与轴的一个交点为，求该抛物线的顶点坐标14. 已知是方程的一个根，求代数式的值15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴：（1）如图1，点，在抛物线上；（2）如图2，四边形为矩形16. 二次函数，是常数，且自变量和函数的部
4、分对应值如表所示01545（1）根据以上信息可知，（2）求此二次函数的解析式17. 如图，因疫情防控需要，某校利用围墙和隔离带围成一个矩形隔离区，已知墙长，矩形隔离区的一边靠墙，另三边共用了长的隔离带，所围成的矩形隔离区的面积为，求所利用围墙的长四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，（1）求的取值范围；（2）若，求的值19. 我们称顶点相同的抛物线为共顶抛物线，已知抛物线（1）下列四个抛物线中，与是共顶抛物线的是 （填序号）；（2）若抛物线与是共顶抛物线，且抛物线经过点，求抛物线的解析式20. 某服装店销售一款服装，每件成本为50元经市场
5、调研，当该款服装每件的售价为60元时，每个月可销售300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件（1）若该服装店某月销售该款服装200件，求这个月每件服装的售价；（2）若该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，且尽量给客户实惠，则每件服装的售价应定为多少？五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点，抛物线的对称轴是直线，连接、（1）用含a的代数式求；（2）若，求抛物线的函数表达式：（3）在（2）条件下，当时，y的最小值是-2，求m的值22. 问题提出若一元二次方程两根为，我们可以由一元二次方程根与系数的关
6、系得，已知方程的两根为，则，探究引申若多项式中，存在，则多项式可在实数范围内分解因式，分解结果为，而其中即为一元二次方程的两根例如：把多项式分解因式，可以令，解该方程得，故多项式在实数范围内可分解为请利用上述方法在实数范围内把下列多项式分解因式（1）（2）应用拓展已知二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，请直接写出该抛物线的解析式六、解答题（本大题12分）23. 已知抛物线且为常数）的顶点为，且经过两定点，（点在点的左侧）（1）抛物线的对称轴：直线 ，顶点的坐标：（用含的式子表示）（2）求抛物线所经过的定点，的坐标（3）若是等腰直角三角形，请求出抛物线的解析式，并在如图所给定的平面直角坐标系中画
7、出该抛物线；在的条件下，若为对称轴上一点，为抛物线上一点，是否存在以，四点组成的平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由2022-2023学年江西省名校联考九年级上第一次月考数学试卷一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）1. 已知：是关于的一元二次方程，则的值是（）A. 1B. 2C. 3D. 4【答案】A【解析】【分析】先根据一元二次方程的定义得到，然后求解即可得出答案【详解】解：方程是关于的一元二次方程，故选A【点睛】此题考查了一元二次方程的概念，准确理解一元二次函数的定义是解此题的关键2. 抛物线与轴的交点坐标是（）A. B. C. D. 【答案】C【
8、解析】【分析】求抛物线与x轴的交点，也就是令y=0解方程，解即为交点横坐标【详解】解：令，则，解得，所以抛物线与轴的交点坐标是故选：C【点睛】本题主要考查了二次函数与一元二次方程，数形结合思想，转化思想，把交点问题转化成方程的解的问题是解题的关键3. 下列一元二次方程中，没有实数根的是（）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】分别计算四个方程的根的判别式，然后根据判别式的意义判断方程根的情况即可【详解】解：A、，则方程没有实数根，所以该选项符合题意；B、方程整理得，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意；C、，则方程有两个相等的实数根，所以该选项不符合题意；D、整理整理为，
9、则方程有两个不相等的实数根，所以该选项不符合题意故选：A【点睛】本题考查了根的判别式：一元二次方程（a0）的根与有如下关系：当0时，方程有两个不相等的实数根；当=0时，方程有两个相等的实数根；当0时，方程无实数根4. 疫情形势下，我国坚持“动态清零”总方针，很多地区疫情得以有效控制，正有序恢复正常生产生活秩序，某商店今年5月份的销售额仅为2万元，恢复生产后，7月份的销售额为4.5万元，设这两个月销售额的月平均增长率为，根据题意，以下方程正确的是（）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用该商店7月份的销售额=该商店5月份的销售额（1+这两个月销售额的平均增长率），即可得出关于的一
10、元二次方程，此题得解【详解】解：依题意得，故选：D【点睛】本题主要考查了一元二次方程与增长率相关的问题，熟练掌握相关知识，根据题意正确找出等量关系是解题的关键5. 如图，在中，点从点出发沿边向点以的速度移动，点从点出发沿边向点以的速度移动当一个点先到达终点时，另一个点也停止运动，当的面积为时，点，的运动时间为（）A. 2sB. 3sC. 4sD. 5s【答案】B【解析】【分析】在中，利用勾股定理可求出的长度，当运动时间为时，根据的面积为，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出结论【详解】在中，当运动时间为时，依题意得：，即，整理得：，解得：，点，的运动时间为故选：B【点睛】本题考查了一元二次
11、方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键6. 已知抛物线为常数，与轴交于，两点（点在点的左侧），下列关于该抛物线的描述中，说法正确的是（）A. 该抛物线的开口向下B. C. 点在轴的正半轴D. 当时，函数随的增大而增大【答案】B【解析】【分析】根据抛物线中的符号判定抛物线开口方向；根据根与系数的关系判定的值；根据抛物线与轴的交点判定点B的位置；根据抛物线的增减性判定选项D【详解】解： A由于无法确定的符号，所以不能判定抛物线的开口方向，原说法不正确，不符合题意；B令，由根与系数的关系知：，原说法正确，符合题意；C无法判定点与轴交点的位置，原说法不正确，不符合题意；D由抛物线的
12、对称轴为直线知，当且时，函数随的增大而增大；当且时，函数随的增大而减小，原说法不正确，不符合题意故选：B【点睛】此题考查了二次函数的性质、一元二次方程根与系数的关系，解题的关键是熟练掌握各知识点二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）7. 若是一元二次方程的一个根，则m的值为_【答案】-3【解析】【详解】将x=1代入该方程，得：1+2+m=0，解得：m=-3故答案为-3【点睛】本题考查一元二次方程的解的定义掌握方程的解就是使等式成立的未知数的值是解题关键8. 将抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为 _【答案】【解析】【分析】直接根据“左加右减”的原则进行解答【详解】解：将
13、抛物线向左平移1个单位长度得到的抛物线的解析式为，故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的性质，熟练掌握二次函数的平移规律是解题的关键9. 将二次函数化为的形式，则_【答案】【解析】【分析】先利用配方法把一般式化为顶点式得到和的值，然后计算和的和【详解】解：，故答案为：【点睛】此题考查了二次函数的顶点式，熟练地将二次函数的一般式化为顶点式是解此题的关键10. 如图，抛物线与轴交于点，过点且与轴平行直线交抛物线于，两点，则线段的长为 _【答案】【解析】【分析】先由轴上点的横坐标为0求出点坐标为，再将代入，求出的值，得出、两点的坐标，进而求出的长度【详解】解：抛物线与轴交于点，点坐标为当时，解得，点
14、坐标为，点坐标为，故答案为：【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，平行于x轴上的两点之间的距离，求出、两点的坐标是解题的关键11. 对于实数，先定义一种新运算“”如下：，若，则实数的值为 _【答案】【解析】【分析】分两种情况：当时，当时，然后分别进行计算即可解答【详解】分两种情况：当时，或（舍去）；当时，（舍去）；综上所述：，故答案为：【点睛】本题考查了实数的新定义运算，分两种情况进行计算是解题的关键12. 如图，抛物线y=x2+2x+3与y轴交于点C，点D（0，1），点P是抛物线上的动点若PCD是以CD为底的等腰三角形，则点P的坐标为_【答案】（1+，2）或（1，2）【解析】【详解】
15、解：PCD是以CD为底的等腰三角形，点P在线段CD的垂直平分线上，如图，过P作PEy轴于点E，则E为线段CD的中点，抛物线与y轴交于点C，C（0，3），且D（0，1），E点坐标为（0，2），P点纵坐标为2，在中，令y=2，可得，解得x=，P点坐标为（，2）或（，2），故答案为（，2）或（，2）【点睛】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，抛物线与坐标轴的交点坐标，以及抛物线上点的坐标，解决此题的关键是和合理的推理正确的计算三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分）13. （1）解方程；（2）已知抛物线与轴的一个交点为，求该抛物线的顶点坐标【答案】（1），；（2）【解析】【分析】
16、（1）先把方程变形为，然后利用直接开平方法解方程；（2）先把代入中求出得到抛物线解析式为，然后把一般式化为顶点式得到该抛物线的顶点坐标【详解】解：（1），所以，；（2）把代入得，解得，抛物线解析式为，该抛物线的顶点坐标为【点睛】本题考查了抛物线与x轴的交点：把求二次函数（是常数，）与x轴的交点坐标问题转化为解关于x的一元二次方程也考查了二次函数的性质和解一元二次方程14. 已知是方程的一个根，求代数式的值【答案】【解析】【分析】一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值把代入方程即可得到的形式，再整体代入，即可求解【详解】解：把代入方程得：，【点睛】本题考查了
17、代数式求值，一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解的意义是解题的关键能使一元二次方程左右两边相等的未知数的值是一元二次方程的解15. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于，两点，请仅用无刻度的直尺按要求画出图中抛物线的对称轴：（1）如图1，点，在抛物线上；（2）如图2，四边形为矩形【答案】（1）见解析 （2）见解析【解析】【分析】（1）连接、，它们相交于点，再画出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴；（2）先作出和的交点，再作直线交抛物线于、，接着作出和的延长线的交点，则利用抛物线的对称性可判断直线为抛物线的对称轴【小问1详解】解；如图1，直线为所作；【小问
18、2详解】解：如图2，直线为所作【点睛】本题主要考查了画二次函数的对称轴，熟练掌握二次函数的对称性、矩形的性质等知识是解题的关键16. 二次函数，是常数，且的自变量和函数的部分对应值如表所示01545（1）根据以上信息可知，（2）求此二次函数的解析式【答案】（1）5 （2）【解析】【分析】（1）根据表格中对应值可知抛物线与轴的交点，即可求得的值；（2）根据表格中对应值可知对称轴的值，即可得到顶点，然后利用待定系数法求出二次函数解析式即可【小问1详解】根据图表可知：二次函数的图象过点，故答案为：5；【小问2详解】二次函数的图象过点，对称轴为直线，顶点为，设，将代入得，这个二次函数的解析式为【点睛】
19、本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答17. 如图，因疫情防控需要，某校利用围墙和隔离带围成一个矩形隔离区，已知墙长，矩形隔离区的一边靠墙，另三边共用了长的隔离带，所围成的矩形隔离区的面积为，求所利用围墙的长【答案】【解析】【分析】设m，则m，根据矩形的周长公式求得和，再根据题意列方程求解即可。【详解】解：设m，则m，根据题意得：，解得，当时，不符合题意舍去，当时，答：的长为m【点睛】本题考查了一元二次方程在实际问题中的应用，理清题中的数量关系是解题的关键。四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共2
20、4分）18. 已知关于的一元二次方程有两个实数根，（1）求的取值范围；（2）若，求的值【答案】（1） （2）7【解析】【分析】（1）利用判别式的意义得到0，然后解不等式即可；（2）由根与系数的关系和完全平方公式用m表示，解方程即可求解【小问1详解】方程有两个实数根，解得：，故的取值范围是；【小问2详解】原方程的两个实数根为、，即，解得：，故的值是7【点睛】本题考查了根判别式及根与系数的关系，若，是一元二次方程的两根时，19. 我们称顶点相同的抛物线为共顶抛物线，已知抛物线（1）下列四个抛物线中，与是共顶抛物线的是 （填序号）；（2）若抛物线与是共顶抛物线，且抛物线经过点，求抛物线的解析式【答案
21、】（1） （2）【解析】【分析】（1）求各函数的顶点坐标，根据顶点相同的两条抛物线为共顶抛物线，做判断；（2）根据题意得到关于、的方程组，解方程组求得、的值，进而即可求得抛物线的解析式【小问1详解】抛物线，顶点为，顶点为，所以是；，顶点为，所以不是；，顶点为，所以；，顶点为，所以不是；故答案为：【小问2详解】抛物线，顶点为，由抛物线与是共顶抛物线得：，抛物线经过点，即，由构成方程组，解得，抛物线的解析式为：【点睛】本题考查了共顶抛物线的判定，待定系数法求二次函数的解析式，正确求二次函数的顶点坐标是本题的关键20. 某服装店销售一款服装，每件成本为50元经市场调研，当该款服装每件的售价为60元时
22、，每个月可销售300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件（1）若该服装店某月销售该款服装200件，求这个月每件服装的售价；（2）若该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，且尽量给客户实惠，则每件服装的售价应定为多少？【答案】（1）70元 （2）60元【解析】【分析】（1）设这个月每件服装的售价为元，由题意：当该款服装每件的售价为60元时，每个月可销售300件；若每件的售价增加1元，则每个月的销售量将减少10件列出一元一次方程，解方程即可；（2）设每件服装的售价应定为元，由题意：该服装店希望销售该款服装每月获利3000元，列出一元二次方程，解方程即可【小问1详解】解：设这个
23、月每件服装的售价为元，由题意得：，解得：，答：这个月每件服装的售价为70元；【小问2详解】解：设每件服装的售价应定为元，由题意得：，整理得：，解得：或（不符合题意舍去），答：每件服装的售价应定为60元【点睛】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）21. 如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，已知点，抛物线的对称轴是直线，连接、（1）用含a的代数式求；（2）若，求抛物线的函数表达式：（3）在（2）的条件下，当时，y的最小值是-
24、2，求m的值【答案】（1） （2）y=x2+2x-3 （3）【解析】【分析】（1）将点A的坐标代入抛物线表达式列等式，再根据对称轴列等式，依此分别把b、c用含a的代数式表示，即可解答；（2）利用（1）的结果，根据面积为6，建立方程求解即可；（3）分两种情况讨论，即当m-1-1时，当m-1-1时，分别根据二次函数的性质，结合最小值为-2，建立关于m的方程求解，即可解答【小问1详解】解：将点A的坐标代入抛物线表达式得：9a-3b+c=0，函数的对称轴为：，b=2a，将代入得c=-3a，抛物线表达式为：y=ax2+2ax-3a，设y=ax2+2ax-3a=0，解得x=1或-3，B的坐标为（1,0），
25、AB=1-(-3)=4，图象开口向上，a0，当x=0时，y=-3a，C（0,-3a），OC=3a， ；【小问2详解】解：，a=1，抛物线的表达式为：y=x2+2x-3；【小问3详解】解：当m-1-1时，即m0，函数在x= m-1 时，取得最小值，即 ，解得 （负值舍去），；当m-1-1时，即m0，当x=-1时，函数取得最小值，而顶点的纵坐标，故此时，不存在m的值，使得y的最小值是-2；综上所述，【点睛】本题考查了二次函数的图象和性质，二次函数与面积问题，二次函数的最小值问题，解题的关键是要熟练掌握二次函数的性质22. 问题提出若一元二次方程的两根为，我们可以由一元二次方程根与系数的关系得，已知
26、方程的两根为，则，探究引申若多项式中，存在，则多项式可在实数范围内分解因式，分解结果为，而其中即为一元二次方程的两根例如：把多项式分解因式，可以令，解该方程得，故多项式在实数范围内可分解为请利用上述方法在实数范围内把下列多项式分解因式（1）（2）应用拓展已知二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，请直接写出该抛物线的解析式【答案】问题提出3，；探究引申（1）；（2）；应用拓展【解析】【分析】问题提出根据根与系数的关系写出即可；探究引申（1）令，解得方程的解，然后写出即可；（2）令，解得方程的解，然后写出即可；应用拓展根据二次函数与方程的关系以及根与系数的关系写出即可【详解】问题提出已知方程的两根为
27、，则，故答案为：3，探究引申（1）令，解得，则；（2）令，解得，则；应用拓展二次函数与轴的两个交点坐标分别为和，该抛物线的解析式为，【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，二次函数与方程的关系，熟知根与系数的关系是解题的关键六、解答题（本大题12分）23. 已知抛物线且为常数）的顶点为，且经过两定点，（点在点的左侧）（1）抛物线的对称轴：直线 ，顶点的坐标：（用含的式子表示）（2）求抛物线所经过的定点，的坐标（3）若是等腰直角三角形，请求出抛物线的解析式，并在如图所给定的平面直角坐标系中画出该抛物线；在的条件下，若为对称轴上一点，为抛物线上一点，是否存在以，四点组成的平行
28、四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）， （2）， （3）见解析；存在，点坐标为或或【解析】【分析】（1）由，即可求解；（2）由抛物线且为常数）恒经过两个定点和，可得的系数为0，可得，可得这两个定点的坐标；（3）设对称轴交轴于点，根据为等腰直角三角形，可得，求得，得出抛物线解析式为，再画出抛物线即可；分两种情况：当以为对角线时，当以为边时，根据平行四边形的性质求解即可【小问1详解】解：（1）且为常数），顶点的坐标为，对称轴为直线；故答案为：，；【小问2详解】解：抛物线恒经过两个定点和（点在点左侧），与的取值无关，即的系数为0，即，解得：，点在点的左侧，；【小问3详解】解：设对称轴交轴于点，为等腰直角三角形，顶点的坐标为，解得，抛物线解析式为，画出抛物线如图：存在当以为对角线时，如图，四边形为平行四边形，四边形为菱形，点也在对称轴上，即点为抛物线的顶点，点坐标为；当以为边时，如图，以，四点组成的四边形为平行四边形，的横坐标为，的横坐标为8，对于，当时，；当时，点坐标为或综上所述，点坐标为或或【点睛】此题考查了一元二次函数的性质、等腰直角三角形的性质、平行四边形的性质和判定，解题的关键是熟练掌握各知识点，并能结合图形灵活应用
