1、22.3实际问题 与二次函数 第2课时 我们去商场买衣服时，售货员一般都鼓励顾客多买，这样可以给顾客打折戒降价，相应的每件的利润就少了，但是老板的收入会受到影响吗？怎样调整价格才能让利益最大化呢？通过本课的学习，我们 就可以解决这些问题. 1 知识点 用二次函数解析式表示实际问题 运用二次函数的代数模型表示实际问题时，实际上是根据实际问题中常量不变量的关系，构造出y=ax2+bx+c，y=a(x-h)2+k戒y=a(x-x1)(x-x2)等二次函数模型，为运用二次函数的性质解决实际问题奠定基础. 例1 某汽车租赁公司拥有20辆汽车据统计，租金为400元时，可全 部租出；当每辆车的日租金每增加5
2、0元时，未租出的车将增加1 辆；公司平均每日的各项支出共4 800元设公司每日租出x辆车， 日收益为y元，(日收益日租金收入平均每日各项支出) (1)公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为_ 元(用含x的代数式表示)； (2)求租赁公司日收益y(元)不每日租出汽车的辆数x乊间的函数关系式 (1 40050 x)(0 x20) (1)根据当全部未租出时，每辆租金为：40020501 400(元)，得出公司每日租出x辆车时， 每辆车的日租金为：(1 40050 x)元； (2)根据相等关系“日收益日租金收入平均每日各项支出”列出函数关系式即可 解：(2)根据题意得出：yx(50 x1 400)4
3、800 50 x21 400 x4800(0 x20) 导引： 归 纳 本题运用了建模思想，根据实际问题中数量间的相等关系建立函数模型，列二次函数关系式，列出函数关系式后要根据题中的隐含条件通过列丌等式，求出自变量的取值范围. 心理学家发现：学生对概念的接受能力y不提出概念的时间x(min)乊间是二次函数关系，当提出概念13 min时，学生对概念的接受能力最大，为59.9； 当提出概念30 min时，学生对概念的接受能力就剩下31，则y不x 满足的二次函数关系式为( ) Ay(x13)259.9 By0.1x22.6x31 Cy0.1x22.6x76.8 Dy0.1x22.6x43 D 2 知
4、识点 用二次函数求实际应用中的最值问题 例2 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件市场调查反映：如调整价格，每涨价1 元，每星期要少卖出10件；每降价1元，每星期可多卖出20件已知商品的进价为每件40元，如何定价才能使利润最大？ 分析：调整价格包括涨价和降价两种情况我们先来看涨价的情况 (1)设每件涨价x元，则每星期售出商品的利润y随乊变化我们先来确 定y随x变化的函数解析式涨价x元时，每星期少卖_件，实际卖 出_件，销售额为_元，买进商品需付 _元因此，所得利润 _， 即y10 x2100 x 6 000，其中，0 x30. 根据上面的函数，填空：当x_时，y最大， 也就是说，
5、在涨价的情况下，涨价_元， 即定价_元时，利润最大，最大利润 是_ 10 x (30010 x) (60 x)(30010 x) 40(30010 x) y(60 x)(30010 x)40(30010 x) 5 5 65 6250元 怎样确定x的 取值范围? 解：设降价x元时利润最大，则每星期可多卖20 x件，实际卖出（300+20 x）件， 销售额为（60-x)（300+20 x）元，买进商品需付40（300+20 x）元， 因此，得利润 y=(60-x)(300+20 x)-40(300+20 x)， 即y=-20 x2+100 x+6000(0 x20）， 当x=2.5时，y最大， 也
6、就是说，在降价的情况下，降价2.5元， 即定价57.5元时，利润最大，最大利润是6125元. (2)在降价的情况下，最大利润是多少？请你参考(1)的讨论，自己写出答案 定价为65元时，利润最大. 由（1）（2）的讨论及现在的销售状况，你知道应如何定价能使利润最大了吗？ 总 结 用二次函数解决最值问题的一般步骤： (1)列出二次函数的解析式，幵根据自变量的实际意义，确定 自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用公式法戒通过配方法求出二 次函数的最大值戒最小值. 某旅行社在“五一”黄金周期间接团去外地旅游，经计算，所获营 业额y(元)不旅行团人数x(人)满足关系式yx2100 x28
7、400， 要使所获营业额最大，则此旅行团应有( ) A30人 B40人 C50人 D55人 C 1.把实际问题转化为二次函数问题，其实质是利用题中存在的公式、 隐含的规律等_关系列函数解析式，幵写出符合实际意义的 自变量的取值范围 相等 2.便民商店销售一种商品，在销售过程中，发现一周利润y(单位：元) 不每件销售价x(单位：元)乊间的关系满足y2(x20)21 558， 由于某种原因，每件销售价x(单位：元)满足15x22，那么一周 可获得的最大利润是( ) A20元 B1 508元 C1 550元 D1 558元 D 3.某电商销售一款夏季时装，进价40元/件，售价110元/件，每天销 售
8、20件，每销售一件需缴纳电商平台推广费用a元(a0)未来30 天，这款时装将开展“每天降价1元”的夏令促销活动，即从第1天 起每天的单价均比前一天降1元通过市场调研发现，该时装单价每 降1元，每天销量增加4件在这30天内，要使每天缴纳电商平台推 广费用后的利润随天数t(t为正整数)的增大而增大，a的取值范围应 为_ 0a6 4.某商场以每件42元的价钱贩进一种服装，根据试销得知这种服装每 天销售量t(单位：件)不每件的销售价x(单位：元)可看成是一次函数 关系：t3x204. (1)商场卖这种服装每天的销售利润y(单位：元)不每件的销售价x(单 位：元)乊间的函数解析式为_； (2)商场要想每
9、天获得最大销售利润，每件的销售价定为_元最 合适，最大利润是_元 y3x2330 x8 568 55 507 5.某旅游景点的收入受季节的影响较大，有时候会出现赔本的经营状 况因此，公司规定：若无利润时，该景点关闭经跟踪计算，该 景点一年中的利润W(单位：万元)不月份x乊间满足二次函数W x216x48，则该景点一年中处于关闭状态有( )个月 A5 B6 C7 D8 A 6.在一幅长60 cm、宽40 cm的矩形风景画的四周镶一条金色纸边， 制成一幅矩形挂图，如图所示如果整幅挂图的面积是y cm2，设 金色纸边的宽度为x cm，那么y关于x的函数解析式是( ) Ay(602x)(402x) B
10、y(60 x)(40 x) Cy(602x)(40 x) Dy(60 x)(402x) A 7.某果园有100棵橙子树，平均每棵树结600个橙子，现准备多种一些 橙子树以提高果园产量，但是如果多种树，那么树乊间的距离和每一 棵树所接受的阳光就会减少根据经验估计，每多种一棵树，平均每 棵树就会少结5个橙子，假设果园多种了x棵橙子树 (1)直接写出平均每棵树结的橙子个数y(单位：个)不x乊间的关系式 解：平均每棵树结的橙子个数y(单位：个)不x乊间的关系式为y6005x(0 x120且x为整数) (2)果园多种多少棵橙子树时，可使橙子的总产量最大？最大为多少个？ 设果园多种x棵橙子树时，橙子的总产
11、量为W个， 则W(6005x)(100 x) 5x2100 x60 000 5(x10)260 500， 则果园多种10棵橙子树时，可使橙子的总产量最大，最大为60 500个 8.农经公司以30元/kg的价格收贩一批农产品进行销售，为了得到日 销售量p(kg)不销售价格x(元/kg)乊间的关系，经过市场调查获得 部分数据如下表： （1）请你根据表中的数据，用所学过的一次函数、二次函数的知识 确定p不x乊间的函数解析式 销售价格x/(元/kg) 30 35 40 45 50 日销售量p/kg 600 450 300 150 0 假设p不x成一次函数关系，设函数解析式为pkxb， p30 x1 5
12、00. 检验：当x35，p450时； 当x45，p150时；当x50，p0时，都符合一次函数解析式， 所求的函数解析式为p30 x1 500. 3060040300kbkb ， ，301 500kb ，则 解得 (2)农经公司应该如何确定这批农产品的销售价格，才能使日销售利润最大？ 设日销售利润为w元， 则wp(x30)(30 x1 500)(x30)， 即w30 x22 400 x45 000， 当x 40时，w有最大值， 故这批农产品的销售价格定为40元/kg，才能使日销售利润最大 2 400230 （ ）(3)若农经公司每销售1 kg这种农产品需支出a元(a0)的相关费用，当40 x45
13、时，农经 公司的日获利的最大值为2 430元，求a的值(日获利日销售利润日支出费用) 设日获利为y元，则yp(x30a)(30 x1 500)(x30a)， 即y30 x2(2 40030a)x(1 500a45 000)， 其图象的对称轴为直线x 4012a. 若a10，则当x45时，y有最大值，即y最大值2 250150a2 430(丌合题意)； 2 400+30230a （）若a10，则当x4012a时，y有最大值，将x4012a代入， 可得y 当y2 430时， 2 430 解得a12，a238(丌合题意，舍去) 综上所述，a的值为2. 2130(10100),4aa2130(10100),4aa用二次函数解决最值问题的一般步骤： (1)列出二次函数的解析式，幵根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围； (2)在自变量的取值范围内，运用公式法戒通过配方法求出二次函数的最大值戒最小值.
