1、 第第 2121 章一元二次方程章一元二次方程 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 1下列关于 x 的方程：ax2+bx+c0；x2+30；x24+x50；3xx2其中是一元二次方程的有（ ） A1 个 B2 个 C3 个 D4 个 2一元二次方程 x22x+30 的一次项和常数项分别是（ ） A2 和 3 B2 和 3 C2x 和 3 D2x 和 3 3若 x1 是关于 x 的一元二次方程 ax2+bx20（a0）的一个根，则 20192a+2b 的值等于（ ） A2015 B2017 C2019 D2022 4利用配方法解一元二次方程 x26x+70 时，
2、将方程配方为（xm）2n，则 m、n 的值分别为（ ） Am9，n2 Bm3，n2 Cm3，n0 Dm3，n2 5以 x为根的一元二次方程可能是（ ） Ax23xc0 Bx2+3xc0 Cx23x+c0 Dx2+3x+c0 6若关于 x 的一元二次方程（k+2）x22x10 有实数根，则实数 k 的取值范围是（ ） Ak3 Bk3 Ck3 且 k2 Dk3 且 k2 7 若关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的解为 x11， x23， 则方程 a （x1）2+b （x1） +c0 的解为 （ ） Ax10，x22 Bx12，x24 Cx10，x24 Dx12，x22 8当 x 取何值时，代数
3、式 x26x3 的值最小（ ） A0 B3 C3 D9 9某企业通过改革，生产效率得到了很大的提高，该企业一月份的营业额是 1000 万元，月平均增长率相同，第一季度的总营业额是 3390 万元若设月平均增长率是 x，那么可列出的方程是（ ） A1000（1+x）23390 B1000+1000（1+x）+1000（1+x）23390 C1000（1+2x）3390 D1000+1000（1+x）+1000（1+2x）3390 10一元二次方程 M：ax2+bx+c0；N：cx2+bx+a0，其中 ac0，ac，以下四个结论： 若方程 M 有两个不相等的实数根，则方程 N 也有两个不相等的实数
4、根； 若方程 M 有两根符号相同，则方程 N 的两根符号也相同； 若 m 是方程 M 的一个根，则是方程 N 的一个根； 若方程 M 和方程 N 有一个相同的根，则这个根必是 x1 正确的个数是（ ） A1 B2 C3 D4 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 11若方程（a3）x|a|1+2x80 是关于 x 的一元二次方程，则 a 的值是 12一元二次方程（x2） （x+3）2x+1 化为一般形式是 13若 m 是方程 2x23x10 的一个根，则 4m26m+2020 的值为 14一元二次方程 4x290 的根是 15若是一个直角三角形两条直角边的长 a，
5、b，满足（a2+b2） （a2+b2+1）12，则这个直角三角形的斜边长为 16已知 y，无论 x 取任何实数，这个式子都有意义，试求 c 的取值范围 17九年级 8 班第一小组 x 名同学在庆祝 2020 年新年之际，互送新年贺卡，表达同学间的真诚祝福，全组共送出贺卡 30 张，则 x 的值是 18如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c0 有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程” ，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号） 方程 x2x20 是倍根方程； 若（x2） （mx+n）0 是倍根方程：则 4m2+5mn+n20； 若 p，q 满足
6、pq2，则关于 x 的方程 px2+3x+q0 是倍根方程； 若方程以 ax2+bx+c0 是倍根方程，则必有 2b29ac 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 58 分）分） 19解方程 （1）x24x+20 （2） （x3）22x6 20已知关于 x 的一元二次方程 x2+（2m1）x+m230 有实数根 （1）求实数 m 的取值范围； （2）当 m 取满足条件的最大整数时，求方程的解 21已知关于 x 的一元二次方程 x2+（m+3）x+m+20 （1）求证：无论 m 取何值，原方程总有两个实数根； （2）若 x1，x2是原方程的两根，且 x12+x222，求 m 的值
7、22已知 x1、x2是方程 2x25x+10 的两个实数根，求下列各式的值： （1）x1x22+x12x2； （2）x12+x22 23阅读下面的材料： 我们可以用配方法求一个二次三项式的最大值或最小值，例如：求代数式 a22a+5 的最小值 方法如下 a22a+5a22a+1+4（a1）2+4，由（a1）20，得（a1）2+44； 代数式 a22a+5 的最小值是 4 （1）仿照上述方法求代数式 x2+6x5 的最小值 （2）代数式a24a+10 有最大值还是最小值？请用配方法求出这个最值 24如图，某中学准备在校园里利用院墙的一段再用 40 米长的篱笆围三面，形成一个矩形花园 ABCD（院
8、墙 MN 长 25 米） （1）设 ABx 米，则 BC 米； （2）若矩形花园的面积为 150 平方米，求篱笆 AB 的长 25如图，市中心广场有一块长 50m，宽 30m 的矩形场地 ABCD，现计划修建同样宽的人行道，使其中两条与 AB 平行，另一条与 AD 平行，其余部分种植草坪要使草坪部分的总面积为 1000m2，则人行道的宽为多少米？ 26为助力我省脱贫攻坚，某村在“农村淘宝网店”上销售该村优质农产品，该网店于今年六月底收购一批农产品，七月份销售 256 袋，八、九月该商品十分畅销，销售量持续走高，在售价不变的基础上，九月份的销售量达到 400 袋 （1）求八、九这两个月销售量的月
9、平均增长率； （2）该网店十月降价促销，经调查发现，若该农产品每袋降价 1 元，销售量可增加 5 袋，当农产品每袋降价多少元时，这种农产品在十月份可获利 4250 元？（若农产品每袋进价 25 元，原售价为每袋 40 元） 参考答案参考答案 一选择题（共一选择题（共 10 小题，满分小题，满分 30 分）分） 1解：一元二次方程只有，共 1 个， 故选：A 2解：一元二次方程 x22x+30 的一次项是2x，常数项是 3， 故选：C 3解：将 x1 代入方程，得：ab20， 则 ab2， 所以原式20192（ab） 201922 20194 2015， 故选：A 4解：x26x+70， x26
10、x7， x26x+97+9， （x3）22， 则 m3，n2 故选：D 5解：Ax23xc0 的根为 x，符合题意； Bx2+3xc0 的根为 x，不符合题意； Cx23x+c0 的根为 x，不符合题意； Dx2+3x+c0 的根为 x，不符合题意； 故选：A 6解：由题意可知：4+4（k+2）0， 解得：k3， k+20， k3 且 k2， 故选：D 7解：把方程 a（x1）2+b（x1）+c0 看作关于 x1 的一元二次方程， 而关于 x 的方程 ax2+bx+c0 的解为 x11，x23， 所以 x11 或 x13， 所以 x10，x24 故选：C 8解：x26x3（x3）293（x3）
11、212， （x3）20， 当 x3 时， （x3）212 取最小值 故选：C 9解：设月平均增长的百分率是 x，则该超市二月份的营业额为 1000（1+x）万元，三月份的营业额为 1000（1+x）2万元， 依题意，得 1000+1000（1+x）+1000（1+x）23390 故选：B 10解：方程 M 有两个不相等的实数根， b24ac0， 方程 N 也有两个不相等的实数根；所以正确； 方程 M 有两根符号相同（x1、x2为方程的两根） ， x1x20， 即 a、c 异号， 方程 N 的两根之积为0， 方程 N 的两根符号相同；所以正确； m 是方程 M 的一个根， am2+bm+c0（m
12、0） ， c+b+a0， 是方程 N 的一个根；所以正确； 设方程 M 和方程 N 有一个相同的根 t， 则 at2+bt+c0，N：ct2+bt+a0 两式相减得（ac）t2ac， 而 ac， t21，解得 t1， 即方程 M 和方程 N 有一个相同的根为 1 或1，所以错误 故选：C 二填空题（共二填空题（共 8 小题，满分小题，满分 32 分）分） 11解：（a3）x|a|1+2x80 是关于 x 的一元二次方程， a30，|a|12， 解得，a3， 故答案为：3 12解： （x2） （x+3）2x+1， x2+3x2x62x+1， x2+3x2x62x10， x2x70 故答案为：x2
13、x70 13解：m 是方程 2x23x10 的一个根， 2m23m10， 2m23m1， 4m26m2， 4m26m+20202+20202022， 故答案为：2022 14解：4x29， x2， 所以 x1，x2 故答案为 x1，x2 15解：a，b 是一个直角三角形两条直角边的长 设斜边为 c， （a2+b2） （a2+b2+1）12，根据勾股定理得：c2（c2+1）120 即（c23） （c2+4）0， c2+40， c230， 解得 c或 c（舍去） 则直角三角形的斜边长为 故答案为： 16解：原式分母为：x2+2xcx2+2x+1c1（x+1）2c1， （x+1）20，无论 x 取任
14、何实数，这个式子都有意义， c10， 解得：c1 故答案为：c1 17解：依题意，得：x（x1）30， 解得：x16，x25（不合题意，舍去） 故答案为：6 18解：解方程 x2x20 得，x12，x21，得，x12x2， 方程 x2x20 不是倍根方程； 故不正确； 若（x2） （mx+n）0 是倍根方程，x12， 因此 x21 或 x24， 当 x21 时，m+n0， 当 x24 时，4m+n0， 4m2+5mn+n2（m+n） （4m+n）0， 故正确； pq2，则：px2+3x+q（px+1） （x+q）0， x1，x2q， x2q2x1， 因此是倍根方程， 故正确； 方程 ax2+b
15、x+c0 的根为：x1，x2， 若 x12x2，则，2， 即，20， 0， 0， 3b 9（b24ac）b2， 2b29ac 若 2x1x2时，则，2， 即，则，20， 0， b+30， b3， b29（b24ac） ， 2b29ac 故正确， 故答案为： 三解答题（共三解答题（共 8 小题，满分小题，满分 58 分）分） 19解： （1）x24x2， x24x+42+4，即（x2）22， 解得 x2， 则 x2； （2）（x3）22（x3）0， （x3） （x5）0， 则 x30 或 x50， 解得 x3 或 x5 20解： （1）方程有实数根， （2m1）24（m23）134m0 ； （2
16、）m 取最大的整数， m3， 一元二次方程为 x2+5x+60， 方程的解为：x12，x23 21解： （1）证明：（m+3）24（m+2） （m+1）2， 无论 m 取何值， （m+1）20， 原方程总有两个实数根 （2）x1，x2是原方程的两根， x1+x2（m+3） ，x1x2m+2， x12+x222， （x1+x2）22x1x22， 代入化简可得：m2+4m+30， 解得：m3 或 m1 22解：根据根与系数的关系得 x1+x2，x1x2 （1）原式x1x2（x1+x2）； （2）原式（x1+x2）22x1x2（）22 23解： （1）x2+6x5x2+6x+914（x+3）214，
17、由（x+3）20，得（x+3）21414； 代数式 x2+6x5 的最小值是14； （2）a24a+10a24a4+14（a+2）2+14， （a+2）20， （a+2）2+1414， 代数式a24a+10 有最大值，最大值为 14 24解： （1）ABx 米，ABCD，AB+BC+CD40 米， BC（402x）米 故答案为： （402x） （2）依题意，得：x（402x）150， 整理，得：x220 x+750， 解得：x15，x215， 当 x15 时，402x3025（不合题意，舍去） ， 当 x215 时，402x1025（符合题意） 答：花园面积为 150 米2时，篱笆 AB 长为
18、 15 米 25解：设人行道的宽为 x 米，则其余部分可合成长为（502x）米、宽为（30 x）米的矩形， 依题意，得： （502x） （30 x）1000， 整理，得：x255x+2500， 解得：x15，x250（不合题意，舍去） 答：人行道的宽为 5 米 26解： （1）设八、九这两个月的月平均增长率为 x 由题意得：256（1+x）2400， 解得：x1，x2（不合题意，舍去） ， 答：八、九这两个月的月平均增长率为 25% （2）设当农产品每袋降价 m 元时，该淘宝网店 10 月份获利 4250 元 根据题意可得： （4025m） （400+5m）4250， 解得：m15，m270（不合题意，舍去） 答：当农产品每袋降价 5 元时，该淘宝网店 10 月份获利 4250 元
