1、2022 年上海年上海市市中考数学押题中考数学押题试试卷卷 一选择题（共一选择题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） （2021 秋新都区期末）一张比例尺为 1：1000 的图纸上，一块多边形地区的面积是 260 平方厘米，则该地区的实际面积是（ ）平方米 A260000 B260000000 C26000 D2600000 2 （4 分） （2021 秋川汇区期末）如图，在平面直角坐标系中，AB 是M 的直径，若 A（a，b） ，M（1，0） ，则点 B 的坐标是（ ） A （2a，b） B （1a，b） C （a，b） D （a2，b）
2、3 （4 分） （2022普陀区二模）已知| |1，| |2，且 与 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A 2 B 2 C 2 D 2 4 （4 分） （2021 秋文山市期末）直角三角形两直角边长度为 5，12，则斜边上的高（ ） A6 B8 C D 5 （4 分） （2021 秋礼泉县期末）一组数据：1，0，4，5，x，8若它们的中位数是 3，则 x 的值是（ ） A2 B3 C4 D5 6 （4 分） （2022武汉模拟）定义：由 a，b 构造的二次函数 yax2+（a+b）x+b 叫做一次函数 yax+b 的“滋生函数” 若一次函数 yax+b 的“滋生函数”是 yax23x+
3、a+1，t 是关于 x 的方程 x2+bx+ab0 的根，且 t0，则 t32t2+1 的值为（ ） A0 B1 C+1 D3 二填空题（共二填空题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 7 （4 分） （2021 秋松江区期末）已知，AB8，P 是 AB 黄金分割点，PAPB，则 PA 的长为 8 （4 分） （2022庆云县模拟）如图，在 RtABC 中，A90，作 BC 的垂直平分线交 AC 于点 D，连接 BD，若 ADBD，则 tanABC 的值为 9 （4 分） （2022市北区一模）某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费 100 元的
4、顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖规则如下：一个不透明的纸箱里装有 1 个红球、2 个黄球、5 个绿球、12 个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得 50 元、25 元、20 元现金，若取出白球则没有奖若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为 元 10 （4 分） （2022 春金山区校级期中）如图，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 EFBC，分别交 AB、AC于点 E、F，如果，那么 11 （4 分） （2021 秋南召县月考）如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯 BC，已知一楼与二楼之间的地面高度差
5、为 3.5 米，扶梯 BC 的坡度，则扶梯 BC 的长度为 米 12 （4 分） （2021 秋凤凰县期末）如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于 1988 年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为 2 米的正六边形，那么这个地基的周长是 米 13（4分）（2021秋中山市期末） 已知A的半径为5， 圆心A （4， 3） ， 坐标原点O与A的位置关系是 14 （4 分） （2021 秋济阳区期末）如果 A（0，3） ，B（m，3）是抛物线 ya（x2）2上两个不同的点，那么 m 的值为 15 （4 分） （2022 春杨浦区校级期中）ABCD 的周长为 64cm，BC 上高 AE6
6、cm，CD 上高 AF10cm，则BCD 的面积为 16 （4 分） （2021 秋兴化市期末）如图，已知二次函数 y1ax2+bx+c（a0）与一次函数 y2kx+m（k0）的图象相交于点 A（2，4）和 B（8，2） ，若无论 x 取何值，S 总取 y1，y2中的最大值，则 S 的最小值是 17（4 分）（2021 秋武侯区期末） 如图， 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O， 正方形 ABCO 与正方形 ABCD的边长相等， 若两个正方形的重叠部分 （阴影部分） 的面积为， 则正方形 ABCO 的面积为 18 （4 分） （2021 秋黄浦区期末）如图，在ABC 中，AB4，AC5，将
7、ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在AC边上的点D处， 点C落在点E处， 如果点E恰好在线段BD的延长线上， 那么边BC的长等于 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （10 分） （2021 秋长宁区期末）计算：cot30 20 （10 分） （2022黄岛区一模）跳台滑雪是以滑雪板为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 x 轴，过跳台终点 A 作水平线的垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点
8、 O 正上方 3 米的 A 点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到例 A 处的水平距离为 4 米时，例水平线的高度为 7 米 （1）求抛物线 C2的函数解析式； （2）当运动员与点 A 的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； （3）运动员从 A 点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小山坡的高度差最大是多少米？ 21 （10 分） （2021 秋开福区校级期末）如图，在四边形 ABCD 中，BD 所在的直线垂直平分线段 AC，过点 A 作 AFBC 交 CD 于 F，延长 AB、DC 交于点 E （1）求证：AC 平分EAF； （2）求证：FADE； （3
9、）若EAD90，AE5，AF3，求 CF 的长 22 （10 分） （2021溧阳市一模） “只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间” 某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计图表（表、图） 血型统计表： 血型 A B AB O 人数 10 5 血型统计图： （1）本次随机抽取献血者人数为 人，图中 m ； （2）补全表中的数据； （3）若这次活动中该单位有 1300 人义务献血，估计大约有多少人是 A 型血？ 23 （12 分） （2022 春汉阳区校级月考）如图，AB
10、是O 的直径，点 C，D 为O 上两点，CE 是O 的切线，CEBD 于点 E，连接 BC 交 AD 于点 F （1）求证：点 C 是的中点； （2）若，求 tanBAD 的值 24 （12 分） （2021 秋重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与直线 AB 交于 A，B 两点，其中 A（0，1） ，B（4，1） （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点 P，Q 为直线 AB 下方抛物线上任意两点，且满足点 P 的横坐标为 m，点 Q 的横坐标为 m+1，过点 P 和点 Q 分别作 y 轴的平行线交直线 AB 于 C 点和 D 点，连接 PQ，求四边形 PQDC 面
11、积的最大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线 yx2+bx+c 沿射线 AB 平移 2个单位，得到新的抛物线 y1，点 E 为点 P 的对应点，点 F 为 y1的对称轴上任意一点，点 G 为平面直角坐标系内一点，当点 B，E，F，G 构成以 EF 为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点 G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程 25 （14 分） （2022 春朝阳区校级月考） 【模型构建】如图 1，在四边形 ABCD 中，ABC+ADC180，ABAD，ACD45，AC3求四边形 ABCD 的面积琪琪同学的做法是：延长 CD 至 E 点，使 DEBC，连结 AE易证ABCADE进而
12、把四边形 ABCD 的面积转化为ACE 的面积，则四边形 ABCD 的面积为 【应用】如图 2，O 为ABC 的外接圆，AB 是直径，ACBC，点 D 是直径 AB 左侧的圆上一点，连接 DA，DB，DC若 CD4，求四边形 ADBC 的面积； 【灵活运用】 如图 3， 在四边形 ADBC 中， 连结 AB、 CD， CABACBBDC60， 四边形 ADBC的面积为，则线段 CD 参考答案与试题解析参考答案与试题解析 一选择题（共一选择题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） （2021 秋新都区期末）一张比例尺为 1：1000 的图纸上，一
13、块多边形地区的面积是 260 平方厘米，则该地区的实际面积是（ ）平方米 A260000 B260000000 C26000 D2600000 【考点】比例线段 【专题】图形的相似；应用意识 【分析】相似多边形的面积之比等于相似比的平方，据此求解，注意单位 【解答】解：设该地区的实际面积是 xcm2，由题意得， 260：x（1：1000）2， 解得，x260000000， 260000000cm226000m2， 故选：C 【点评】本题考查相似多边形的性质相似多边形对应边之比、周长之比等于相似比，而面积之比等于相似比的平方 2 （4 分） （2021 秋川汇区期末）如图，在平面直角坐标系中，A
14、B 是M 的直径，若 A（a，b） ，M（1，0） ，则点 B 的坐标是（ ） A （2a，b） B （1a，b） C （a，b） D （a2，b） 【考点】坐标与图形性质 【专题】圆的有关概念及性质；推理能力 【分析】设点 B 的坐标为（x，y） ，利用 M 点为 AB 的中点得到 1，0，然后求出 x、y 得到B 点坐标 【解答】解：设点 B 的坐标为（x，y） ， AB 是M 的直径， M 点为 AB 的中点， 而 A（a，b） ，M（1，0） ， 1，0， 解得 x2a，yb， B 点坐标为（2a，b） 故选：A 【点评】本题考查了坐标与图形性质，灵活运用线段的中点坐标公式是解决问题的
15、关键 3 （4 分） （2022普陀区二模）已知| |1，| |2，且 与 的方向相反，那么下列结论中正确的是（ ） A 2 B 2 C 2 D 2 【考点】*平面向量 【专题】三角形 【分析】根据平面向量的性质即可解决问题 【解答】解：| |1，| |2，且 与 的方向相反， 2 ， 故选：D 【点评】本题考查平面向量的性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型 4 （4 分） （2021 秋文山市期末）直角三角形两直角边长度为 5，12，则斜边上的高（ ） A6 B8 C D 【考点】勾股定理 【分析】首先根据勾股定理，得：斜边13再根据直角三角形的面积公式，求出斜边上的高 【解
16、答】解：由题意得，斜边为13所以斜边上的高12513 故选：D 【点评】运用了勾股定理注意：直角三角形斜边上的高等于两条直角边的乘积除以斜边 5 （4 分） （2021 秋礼泉县期末）一组数据：1，0，4，5，x，8若它们的中位数是 3，则 x 的值是（ ） A2 B3 C4 D5 【考点】中位数 【专题】统计的应用；推理能力 【分析】利用中位数的定义，只有 x 和 4 的平均数可能为 3，从而得到 x 的值 【解答】解：除 x 外 5 个数由小到大排列为 0，1，4，5，8， 因为原数据有 6 个数， 因这组数据的中位数是 3； 所以，只有 x+423 才成立， 即 x2 故选：A 【点评】
17、本题考查了中位数：将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数 6 （4 分） （2022武汉模拟）定义：由 a，b 构造的二次函数 yax2+（a+b）x+b 叫做一次函数 yax+b 的“滋生函数” 若一次函数 yax+b 的“滋生函数”是 yax23x+a+1，t 是关于 x 的方程 x2+bx+ab0 的根，且 t0，则 t32t2+1 的值为（ ） A0 B1 C+1 D3 【考点】抛物线与 x 轴的交点；一次函数的性质 【专题】二次函数图象及其性质；
18、运算能力；推理能力 【分析】根据“滋生函数”的定义可得 ax23x+a+1ax2+（a+b）x+b，从而可得关于 a，b 的二元一次方程组，求出 a，b 的值，进而求解 【解答】解：yax+b 的“滋生函数”是 yax23x+a+1， ax23x+a+1ax2+（a+b）x+b，即， 解得， t 是关于 x 的方程 x2+bx+ab0 的根， t2t10， t32t2+1t（t+1）2t2+1t2+t+11+10 故选：A 【点评】本题考查函数的新定义问题，解题关键是理解题意，根据“滋生函数”的定义找出等量关系 二填空题（共二填空题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题
19、4 分）分） 7 （4 分） （2021 秋松江区期末）已知， AB8，P 是 AB 黄金分割点， PAPB， 则 PA 的长为 【考点】黄金分割 【专题】计算题 【分析】根据黄金分割点的定义，知 PA 是较长线段；则 PAAB，代入数据即可 【解答】解：由于 P 为线段 AB8 的黄金分割点， 且 PAPB， 则 PA844 故本题答案为：44 【点评】理解黄金分割点的概念熟记黄金比的值进行计算 8 （4 分） （2022庆云县模拟）如图，在 RtABC 中，A90，作 BC 的垂直平分线交 AC 于点 D，连接 BD，若 ADBD，则 tanABC 的值为 【考点】解直角三角形；线段垂直平
20、分线的性质 【专题】计算题；解直角三角形及其应用；运算能力 【分析】利用线段垂直平分线的性质说明 BD 与 CD 的关系，再在 RtABD 中利用勾股定理求出 AB，最后在 RtABC 中求出ABC 的正切 【解答】解：D 是 BC 垂直平分线上的点， BDCD 设 AD 的长为 m，则 BDCD3m，AC4m 在 RtABD 中， AB 2m 在 RtABC 中， tanABC 【点评】本题考查了解直角三角形，掌握勾股定理及直角三角形的边角间关系是解决本题的关键 9 （4 分） （2022市北区一模）某大型商场为了吸引顾客，规定凡在本商场一次性消费 100 元的顾客可以参加一次摇奖活动，摇奖
21、规则如下：一个不透明的纸箱里装有 1 个红球、2 个黄球、5 个绿球、12 个白球，所有球除颜色外完全相同，充分掘匀后，从中随机取出一球，若取出的球分别是红、黄、绿球，顾客将分别获得 50 元、25 元、20 元现金，若取出白球则没有奖若某位顾客有机会参加摇奖活动，则他每参与一次的平均收益为 10 元 【考点】算术平均数 【专题】数据的收集与整理；数据分析观念 【分析】求出任摸一球，摸到红球、黄球、绿球和白球的概率，那么获奖的平均收益可以加权平均数的方法求得 【解答】解：50+25+20+010（元） ， 答：他每参与一次的平均收益为 10 元 故答案为：10 【点评】本题考查概率的计算和加权
22、平均数的计算方法，理解获奖平均收益实际就是求各种奖项的加权平均数 10 （4 分） （2022 春金山区校级期中）如图，点 G 是ABC 的重心，过点 G 作 EFBC，分别交 AB、AC于点 E、F，如果，那么 【考点】三角形的重心；*平面向量；平行线的性质 【专题】三角形；推理能力；应用意识 【分析】连接 AG，延长 AG 交 BC 于点 T由 EFBC，推出2，推出，推出，可得结论 【解答】解：连接 AG，延长 AG 交 BC 于点 T G 是ABC 的重心， AG2GT， EFBC， 2， ， ， BCEF， 故答案为： 【点评】本题考查三角形的重心，平行线的性质，平行线分线段成比例定
23、理等知识，解题的关键是掌握三角形重心的性质，灵活运用所学知识解决问题 11 （4 分） （2021 秋南召县月考）如图所示，某商场要在一楼和二楼之间搭建扶梯 BC，已知一楼与二楼之间的地面高度差为 3.5 米，扶梯 BC 的坡度，则扶梯 BC 的长度为 7 米 【考点】解直角三角形的应用坡度坡角问题 【专题】解直角三角形及其应用；应用意识 【分析】根据坡度的概念、正切的定义以及特殊角的三角函数值求出B，根据含 30角的直角三角形的性质计算即可 【解答】解：扶梯 BC 的坡度为：3， tanB， B30， BC23.57（米） ， 故答案为：7 【点评】本题考查的是坡度的概念，掌握坡度是坡面的铅
24、直高度 h 和水平宽度 l 的比是解题的关键 12 （4 分） （2021 秋凤凰县期末）如图，万名塔，位于凤凰古城沙湾的沱江之滨，于 1988 年建成，该塔是一个六角塔，如果它的地基是半径为 2 米的正六边形，那么这个地基的周长是 12 米 【考点】正多边形和圆 【专题】正多边形与圆；应用意识 【分析】由正六边形的半径为 2，则 OAOB2 米；由AOB60，得出AOB 是等边三角形，则ABOAOB2 米，即可得出结果 【解答】解：如图所示： 正六边形的半径为 2 米， OAOB2 米， 正六边形的中心角AOB60， AOB 是等边三角形， ABOAOB， AB2 米， 正六边形的周长为 6
25、212（米） ； 故答案为：12 【点评】本题考查了正六边形的性质、等边三角形的判定与性质；解决正多边形的问题，常常把多边形问题转化为等腰三角形或直角三角形来解决 13 （4 分） （2021 秋中山市期末）已知A 的半径为 5，圆心 A（4，3） ，坐标原点 O 与A 的位置关系是 在A 上 【考点】点与圆的位置关系；坐标与图形性质 【专题】与圆有关的位置关系；推理能力 【分析】先根据两点间的距离公式计算出 OA，然后根据点与圆的位置关系的判定方法判断点 O 与A的位置关系 【解答】解：点 A 的坐标为（4，3） ， OA5， 半径为 5， OAr， 点 O 在A 上 故答案为：在A 上 【
26、点评】本题考查了点与圆的位置关系：点与圆的位置关系有 3 种设O 的半径为 r，点 P 到圆心的距离 OPd，当点 P 在圆外dr；当点 P 在圆上dr；当点 P 在圆内dr 14 （4 分） （2021 秋济阳区期末）如果 A（0，3） ，B（m，3）是抛物线 ya（x2）2上两个不同的点，那么 m 的值为 4 【考点】二次函数图象上点的坐标特征 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力；推理能力 【分析】根据函数值相等两点关于对称轴对称，可得答案 【解答】解：由点 A（0，3） 、B（m，3）是抛物线 ya（x2）2上两个不同的点，得 A（0，3）与 B（m，3）关于对称轴 x2 对称， m
27、220， 解得 m4， 故答案为：4 【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，利用函数值相等两点关于对称轴对称得出 m220 是解题关键 15 （4 分） （2022 春杨浦区校级期中）ABCD 的周长为 64cm，BC 上高 AE6cm，CD 上高 AF10cm，则BCD 的面积为 60 【考点】平行四边形的性质；三角形的面积 【专题】多边形与平行四边形；推理能力 【分析】设 BCa，CDb，列出方程组即可解决问题 【解答】解：设 BCa，CDb， 由题意：， 解得， 故 SBCD62060 故答案为：60 【点评】本题考查平行四边形的性质，平行四边形的面积等知识，解题的关键是列出方程
28、组解决问题，学会转化的思想，属于中考常考题型 16 （4 分） （2021 秋兴化市期末）如图，已知二次函数 y1ax2+bx+c（a0）与一次函数 y2kx+m（k0）的图象相交于点 A（2，4）和 B（8，2） ，若无论 x 取何值，S 总取 y1，y2中的最大值，则 S 的最小值是 2 【考点】二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的最值；一次函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征 【专题】二次函数图象及其性质；推理能力 【分析】根据图象可得 x2，2x8，x8 时 S 的取值范围，进而求解 【解答】解：当 x2 时，Sax2+bx+c，S 最小值为 4， 当2x8 时，S
29、kx+m，2S4， 当 x8 时，Sax2+bx+c，S 最小值为 2， S 的最小值为 2， 故答案为：2 【点评】本题考查二次函数的性质，解题关键是根据图象求出 S 在不同 x 的取值范围时的取值范围 17（4 分）（2021 秋武侯区期末） 如图， 正方形 ABCD 的对角线相交于点 O， 正方形 ABCO 与正方形 ABCD的边长相等， 若两个正方形的重叠部分 （阴影部分） 的面积为， 则正方形 ABCO 的面积为 4 【考点】正方形的性质；全等三角形的判定与性质 【专题】矩形 菱形 正方形；推理能力 【分析】 根据正方形的性质得出 OBOC， OBAOCB45， BOCAOC90，
30、推出AOBCOC，证出OBMOCN 可得答案 【解答】解：四边形 ABCD 和四边形 OABC都是正方形， OBOC，OBAOCB45，BOCAOC90， AOBCOC 在OBM 与OCN 中， ， OBMOCN（ASA） ， 四边形 OMBN 的面积等于三角形 BOC 的面积， 即重叠阴影部分面积不变，总是等于正方形 ABCD 和正方形 ABCO 面积的， 正方形 ABCO 的面积为 4 故答案为：4 【点评】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质，解决不规则图形的面积，要通过分割图形，利用全等知识转化三角形，使不规则图形转化为规则图形进行求解 18 （4 分） （2021 秋黄
31、浦区期末）如图，在ABC 中，AB4，AC5，将ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在 AC 边上的点 D 处，点 C 落在点 E 处，如果点 E 恰好在线段 BD 的延长线上，那么边 BC 的长等于 【考点】旋转的性质 【专题】图形的全等；平移、旋转与对称；图形的相似；推理能力 【分析】根据旋转的性质得到 ADAB4，AEAC5，BACDAE，根据全等三角形的性质得到CE，DEBC，根据相似三角形的性质即可得到结论 【解答】解：将ABC 绕点 A 旋转，使点 B 落在 AC 边上的点 D 处，点 C 落在点 E 处，AB4，AC5， ADAB4，AEAC5，BACDAE， BACDAE（SA
32、S） ， CE，DEBC， BDCADE， ADEBDC， ， ， BC， 故答案为： 【点评】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，熟练掌握旋转的性质定理是解题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （10 分） （2021 秋长宁区期末）计算：cot30 【考点】特殊角的三角函数值 【专题】实数；运算能力 【分析】把特殊角的三角函数值代入计算即可 【解答】解：cot30 （） 1 【点评】本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握特殊角的三角函数值是解题的关键 20 （10 分） （2022黄岛区一模）跳台滑雪是以滑雪板
33、为工具，在专设的跳台上以自身的体重通过助滑坡获得的速度比跳跃距离和动作姿势的一种雪上竞技项目如图是某跳台滑雪训练场的横截面示意图，取某一位置的水平线为 x 轴，过跳台终点 A 作水平线的垂线为 y 轴，建立平面直角坐标系图中的抛物线近似表示滑雪场地上的一座小山坡，某运动员从点 O 正上方 3 米的 A 点滑出，滑出后沿一段抛物线运动，当运动员运动到例 A 处的水平距离为 4 米时，例水平线的高度为 7 米 （1）求抛物线 C2的函数解析式； （2）当运动员与点 A 的水平距离是多少米时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； （3）运动员从 A 点滑出后直至和小山坡到水平线的高度相同时，运动员与小
34、山坡的高度差最大是多少米？ 【考点】二次函数的应用 【专题】二次函数的应用；应用意识 【分析】 （1）根据题意将点（0，4）和（4，8）代入 C2：yx2+bx+c 求出 b、c 的值即可写出 C2的函数解析式； （2）令x2+x+1x2+x+4，解方程即可； （3）设运动员与小山坡的高度差为 h，根据题意得 hx2+x+4（x2+x+1）x2+x+3（x4）2+，由函数的性质可以求出 h 的最大值 【解答】解： （1）由题意可知抛物线 C2：yx2+bx+c 过点（0，4）和（4，8） ，将其代入得： ， 解得：， 抛物线 C2的函数解析式为：yx2+x+4； （2）当运动员和小山坡到水平线
35、的高度相同时， x2+x+1x2+x+4， 整理得：x28x720， 解得：x14+2，x242（舍去） ， 当运动员与点 A 的水平距离是 4+2时，运动员和小山坡到水平线的高度相同； （3）设运动员与小山坡的高度差为 h， 则 hx2+x+4（x2+x+1）x2+x+3（x4）2+， 0， 当 x4 时，h 有最大值，最大值为， 运动员与小山坡的高度差最大是米 【点评】本题考查二次函数的基本性质及其应用，熟练掌握二次函数的基本性质，并能将实际问题与二次函数模型相结合是解决本题的关键 21 （10 分） （2021 秋开福区校级期末）如图，在四边形 ABCD 中，BD 所在的直线垂直平分线段
36、 AC，过点 A 作 AFBC 交 CD 于 F，延长 AB、DC 交于点 E （1）求证：AC 平分EAF； （2）求证：FADE； （3）若EAD90，AE5，AF3，求 CF 的长 【考点】等腰三角形的判定与性质；平行线的性质；线段垂直平分线的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；推理能力 【分析】 （1）根据线段垂直平分线的性质得到 BABC，根据等腰三角形的性质得到BACBCA，根据平行线的性质得到CAFBCA，等量代换证明结论； （2）根据线段垂直平分线的性质得到 DADC，根据等腰三角形的性质得到DACDCA，再根据三角形的外角性质证明即可； （3）根据三角形的内角和定理得到E+
37、ADE90，由（2）知，FADE，求得AFDAFE90，根据勾股定理得到 EF4，设 DFx，求得 DF，得到 AD，根据线段垂直平分线的性质得到 ADCD，于是得到结论 【解答】 （1）证明：BD 所在的直线垂直平分线段 AC， BABC， BACBCA， BCAF， CAFBCA， CAFBAC， 即 AC 平分EAF； （2）证明：BD 所在的直线垂直平分线段 AC， DADC， DACDCA， DCA 是ACE 的一个外角， DCAE+EAC， E+EACFAD+CAF， CAFEAC， FADE； （3）解：EAD90， E+ADE90， 由（2）知，FADE， DAF+ADE90，
38、 AFDAFE90， AE5，AF3， EF4， 设 DFx， DE2AE2AD2AF2+DF2， （4+x）25232+x2， 解得 x， DF， DE， AD， BD 所在的直线垂直平分线段 AC， ADCD， CF 【点评】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键 22 （10 分） （2021溧阳市一模） “只要人人献出一点爱，世界将变成美好的人间” 某单位利用“世界献血日”开展自愿义务献血活动，经过检测，献血者血型有“A、B、AB、O”四种类型，随机抽取部分献血结果进行统计，根据结果制作了如图两幅不完整统计
39、图表（表、图） 血型统计表： 血型 A B AB O 人数 12 10 5 23 血型统计图： （1）本次随机抽取献血者人数为 50 人，图中 m 20 ； （2）补全表中的数据； （3）若这次活动中该单位有 1300 人义务献血，估计大约有多少人是 A 型血？ 【考点】用样本估计总体；统计表 【专题】统计的应用；数据分析观念 【分析】 （1）用 AB 型的人数除以它所占的百分比得到随机抽取的献血者的总人数，然后计算 m 的值； （2）先计算出 O 型的人数，再计算出 A 型人数，从而可补全上表中的数据； （3）用总人数乘以样本中 A 型血人数所占比例 【解答】解： （1）这次随机抽取的献血者
40、人数为 510%50（人） ， 所以 m10020； 故答案为 50，20； （2）O 型献血的人数为 46%5023（人） ， A 型献血的人数为 501052312（人） ， 血型 A B AB O 人数 12 10 5 23 故答案为 12，23； （3）1300100%312（人） ， 答：估计有 312 人是 A 型血 【点评】本题考查了用样本估计总体、统计表、扇形统计图，解决本题的关键是综合运用以上知识 23 （12 分） （2022 春汉阳区校级月考）如图，AB 是O 的直径，点 C，D 为O 上两点，CE 是O 的切线，CEBD 于点 E，连接 BC 交 AD 于点 F （1）
41、求证：点 C 是的中点； （2）若，求 tanBAD 的值 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形；圆周角定理；切线的性质 【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；解直角三角形及其应用；推理能力 【分析】 （1）由平行线的性质可证 COAD，即可得解； （2） 连接 CD、 AC、 OC， OC 与 AD 交于点 G， 由相似三角形的性质得， 设 ACCD2x，GFy，再证明ACGAFC，列出 x、y 的方程，用 x 表示 y，再设O 为 r，由勾股定理得出 r 与 x的关系式，进而由三角函数定义求得结果 【解答】 （1）证明：连接 OC，交 AD 于点 P， CE 为切线， OCCE，
42、 又CEBD， COBE， AB 为直径， ADB90， BEAD， COAD， 又CO 是半径， ， 点 C 是的中点； （2）解：连接 CD、AC、OC，OC 与 AD 交于点 G，如下图， ， ACCD，OCAD，AGDG， BCDBAD，CFDAFB， CDFABF， ， ， 设 ACCD2x，GFy，则 DF3x， AGDG3x+y，AF3x+2y， AB 是直径， ACF90AGF， CAGFAC， ACGAFC， ，即 AC2AGAF， ， yx，或 yx（舍） ， AG3x+y4x， CG， 设 OAOCr，则 OGr2x， OA2OG2AG2， r2（r2x）2（4x）2，
43、r5x， OGr2x3x， tanBAD 【点评】本题主要考查了圆的切线性质，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的性质与判定，解直角三角形，勾股定理的应用，关键在于作辅助线 24 （12 分） （2021 秋重庆期末）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 yx2+bx+c 与直线 AB 交于 A，B 两点，其中 A（0，1） ，B（4，1） （1）求该抛物线的函数表达式； （2）点 P，Q 为直线 AB 下方抛物线上任意两点，且满足点 P 的横坐标为 m，点 Q 的横坐标为 m+1，过点 P 和点 Q 分别作 y 轴的平行线交直线 AB 于 C 点和 D 点，连接 PQ，求四边形 PQDC 面积的最
44、大值； （3）在（2）的条件下，将抛物线 yx2+bx+c 沿射线 AB 平移 2个单位，得到新的抛物线 y1，点 E 为点 P 的对应点，点 F 为 y1的对称轴上任意一点，点 G 为平面直角坐标系内一点，当点 B，E，F，G 构成以 EF 为边的菱形时，直接写出所有符合条件的点 G 的坐标，并任选其中一个点的坐标，写出求解过程 【考点】二次函数综合题 【专题】数形结合；分类讨论；待定系数法；函数的综合应用；矩形 菱形 正方形；几何直观；应用意识 【分析】 （1）用待定系数法直接可得抛物线的函数表达式； （2） 用待定系数法求出直线 AB 为 yx+1， 即可得 P （m， m2m+1） ，
45、 Q （m+1，（m+1）2 （m+1）+1） ，C（m，m+1） ，D（m+1，（m+1）+1） ，从而得 PCm2+4m，QDm2+2m+3，即可求出四边形 PQDC 面积为PC|xQxP|+QD|xQxP|m2+3m+，根据二次函数性质即得答案 （3）由（2）知 P（，） ，根据直线 AB 为 yx+1 与 x 轴交点为（2，0） ，与 y 轴交点为（0，1） ，两交点之间距离是，可知沿射线 AB 平移 2个单位，实际可看成向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位，即得 E（，） ，抛物线 yx2x+1 平移后 y1x2x+33，抛物线 y1的对称轴为：直线 x，当 BEEF 时，设
46、 F（，t） ，可得（4）2+（+1）2（）2+（t+）2， 即可解得 F （，） 或 （，） ， 由平移性质可得 G （，）或 G（，） ，当 BFEF 时，同理可得 G（，） 【解答】解： （1）把 A（0，1） ，B（4，1）代入抛物线 yx2+bx+c 得： ，解得， 抛物线的函数表达式为 yx2x+1； （2）设直线 AB 为 ykx+n，将 A（0，1） ，B（4，1）代入得： ，解得， 直线 AB 为 yx+1， 点 P 的横坐标为 m，点 Q 的横坐标为 m+1， P（m，m2m+1） ，Q（m+1， （m+1）2（m+1）+1） ，C（m，m+1） ，D（m+1，（m+1）+
47、1） ， PCm+1（m2m+1）m2+4m，QD（m+1）+1（m+1）2（m+1）+1m2+2m+3， 四边形 PQDC 面积为PC|xQxP|+QD|xQxP| （m2+4m） （m+1m）+（m2+2m+3） （m+1m） m2+3m+ （m）2+， 10， m时，四边形 PQDC 面积的最大值为； （3）由（2）知 P（，） ， 直线 AB 为 yx+1 与 x 轴交点为（2，0） ，与 y 轴交点为（0，1） ，两交点之间距离是， 沿射线 AB 平移 2个单位，实际可看成向右平移 4 个单位，再向下平移 2 个单位， E（，） ， 抛物线 yx2x+1 平移后 y1x2x+33，
48、抛物线 y1的对称轴为：直线 x， 当 BEEF 时，如图： 设 F（，t） ， 四边形 BEFG 为菱形， BEEF， （4）2+（+1）2（）2+（t+）2， 解得 t或 t， F（，）或（，） ， 当 F（，）时，E（，）平移到 B（4，1） ，F（，）即平移到 G， G（，） ， 当 F（，）时，E（，）平移到 B（4，1） ，F（，）即平移到 G， G（，） ， 当 BFEF 时，如图： 同理可得 G（，） ， 综上所述，G 坐标为（，）或（，）或（，） 【点评】本题考查二次函数综合应用，涉及待定系数法，四边形面积、菱形的性质及应用等知识，解题的关键是用含字母的代数式表示相关点坐标和
49、相关线段的长度 25 （14 分） （2022 春朝阳区校级月考） 【模型构建】如图 1，在四边形 ABCD 中，ABC+ADC180，ABAD，ACD45，AC3求四边形 ABCD 的面积琪琪同学的做法是：延长 CD 至 E 点，使 DEBC，连结 AE易证ABCADE进而把四边形 ABCD 的面积转化为ACE 的面积，则四边形 ABCD 的面积为 9 【应用】如图 2，O 为ABC 的外接圆，AB 是直径，ACBC，点 D 是直径 AB 左侧的圆上一点，连接 DA，DB，DC若 CD4，求四边形 ADBC 的面积； 【灵活运用】 如图 3， 在四边形 ADBC 中， 连结 AB、 CD，
50、CABACBBDC60， 四边形 ADBC的面积为，则线段 CD 4 【考点】圆的综合题 【专题】代数几何综合题；推理能力 【分析】 【模型构建】 延长 CD 至 E 点， 使 DEBC， 连结 AE 易证ABCADE 进而把四边形 ABCD的面积转化为ACE 的面积； 【应用】同【模型构建】的方法，即可解答； 【灵活运用】同【模型构建】的方法，即可解答 【解答】解： 【模型构建】如题干图 1，延长 CD 至 E 点，使 DEBC，连结 AE， ADE+ADC180， ABC+ADE180， ABCADE， ABAD， ABCADE（SAS） ， SABCSADE，ACAE， EACD45，
