1、 2022 年上海中考数学模拟试卷年上海中考数学模拟试卷 一选择题（共一选择题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） （2021 春宝山区校级月考）下列式子中无意义的是（ ） A B C D 2 （4 分） （2021 秋晋江市校级期末）下列单项式中，与 2a 是同类项的是（ ） A2 Ba2 C2a D3a 3 （4 分） （2020 秋龙口市期末）关于抛物线 y1（1+x）2与 y2（1x）2，下列说法不正确的是（ ） A图象 y1与 y2的开口方向相同 By1与 y2的图象关于 y 轴对称 C图象 y2向左平移 2 个单位可得到 y1的图
2、象 D图象 y1绕原点旋转 180可得到 y2的图象 4 （4 分） （2021高密市二模）如图，反映的是某中学九（1）班学生出行方式（乘车、步行、骑车）的不完全频数（人数）分布直方图，如果乘车的频率是 0.4，那么步行的频率为（ ） A0.24 B0.3 C0.36 D0.4 5 （4 分） （2020 春虹口区期末）如图，点 E 在平行四边形 ABCD 的边 BC 上，ABAE，下列结论中正确的是（ ） A与是相等的向量 B与是相等的向量 C与互为相反向量 D与是平行向量 6 （4 分） （2022宝山区模拟） 如图， 在 RtABC 中， C90， AB5， BC3， DEBC， 且 A
3、D2CD，则以点 C 为圆心、DC 长为半径的圆 C 和以点 E 为圆心、EB 长为半径的圆 E 的位置关系是（ ） A外离 B相交 C外切 D不能确定 二填空题（共二填空题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 7 （4 分） （2022 春东营区校级月考） （1）a5a ； （2） （x）5（x）2 ； （3）y16 y11； （4） （xy）9（xy）6 8 （4 分） （2021 春普陀区期末）已知 f（x），那么 f（） 9 （4 分） （2022 春淮北月考） （1）如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数是 （2）若，则 a 10 （4
4、 分） （2022 春江干区校级月考）已知关于 x 的不等式 axb 的解集是 x3，则不等式 bxa 的解集是 11 （4 分） （2019浦东新区二模）已知一个角的度数为 50 度，那么这个角的补角等于 12 （4 分） （2022平凉模拟）关于 x 的一元二次方程 2x23x+c0 有两个不相等的的实数根，则 c 的取值范围是 13 （4 分） （2022北京模拟）盒中有 x 枚黑棋和 y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别从盒中随机取出一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则 x 和 y 满足的关系式为 14 （4 分） （2019 秋沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx（
5、k0）经过点（m，m） （m0） 线段 BC 的两个端点分别在 x 轴与直线 ykx 上滑动（B、C 均与原点 O 不重合） ，且 BC分别作 BPx 轴，CP直线 ykx，直线 BP、CP 交于点 P经探究，在整个滑动过程中，O、P两点间的距离为定值，则该距离为 15 （4 分） （2020 春沙坪坝区校级月考）已知“成都重庆”两地相距 350 公里，现有一直达高铁往返于两城市之间，该高铁每次到达成都、重庆后均需停留 1 小时再重新出发寒假期间，重庆市铁路局计划在同线上临时加开一辆慢速直达旅行专列在试运行期间，该旅行专列与高铁同时从重庆出发，在整个行驶过程中， 两车均保持各自速度匀速行驶，
6、经过 3.75 小时两车第一次相遇 已知两车之间的距离 y （千米） 与行驶时间 x （小时） 之间的部分函数关系如图所示， 当两车第二次相遇时， 两车共行驶了 千米 16 （4 分） （2021 秋攸县期末）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DEBC，已知 AE6，则 EC 的长是 17 （4 分） （2021虹口区二模）如果正六边形的边长是 1，那么它的边心距是 18 （4 分） （2021 秋乌拉特前旗期末）如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90得到CBP，若 PB3，则 PP的长是 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题
7、，满分 78 分）分） 19 （10 分） （2021浦东新区模拟）计算： （）1+|1| 20 （10 分） （2021 春长宁区期末）解方程组： 21 （10 分） （2021 秋石景山区期末）如图，在ABC 中，B45，tanC，AC2，求 BC 的 长 22 （10 分） （2021河南模拟）学生的体重监测是教育主管部门每学期都要进行的学生体检中的重要一项，为了解这一指标的大致情况，某校校医室对该校八年级学生的体重进行检测，随机抽取了八年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表信息回答下列问题： 组别 体重（千克） 人数 A 40 x45 3 B
8、45x50 12 C 50 x55 a D 55x60 10 E 60 x65 8 F 65x70 2 （1）填空：a ；在扇形统计图中，D 组所在扇形的圆心角的度数等于 ； （2）调查的这组数据的中位数落在 组； （3）如果体重不低于 55 千克，属于偏胖，该校八年级有 1200 名学生，请估算该年级体重偏胖的学生大约有多少人 23 （12 分） （2021 秋荆门期末）如图，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，直径 AE 交 BC于点 H，点 D 在弧 AC 上，过点 E 作 EFBC 交 AD 的延长线于点 F，延长 BC 交 AF 于点 G （1）求证：EF 是O 的切线；
9、 （2）若 BC2，AHCG3，求 EF 的长； （3）在（2）的条件下，直接写出 CD 的长 24 （12 分） （2020云南）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（1，0） ，点 C 的坐标为（0，3） 点 P 为抛物线 yx2+bx+c 上的一个动点过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点 E （1）求 b、c 的值； （2）设点 F 在抛物线 yx2+bx+c 的对称轴上，当ACF 的周长最小时，直接写出点 F 的坐标； （3）在第一象限，是否存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离
10、的 5 倍？若存在，求出点 P 所有的坐标；若不存在，请说明理由 25 （14 分） （2021罗湖区校级模拟） 【基础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，ACB90，直线 l 过点 C，分别过 A、B 两点作 AEl，BDl，垂足分别为 E、D求证：BDCCEA 【尝试应用】 （2）如图 2，在ABC 中，ACB90，D 是 BC 上一点，过 D 作 AD 的垂线交 AB 于点 E若 BEDE，tanBAD，AC20，求 BD 的长 【拓展提高】 （3）如图 3，在ABCD 中，在 BC 上取点 E，使得AED90，若 AEAB，CD，求ABCD 的面积 参考答案与试题解析参考答案与试题解
11、析 一选择题（共一选择题（共 6 小题，满分小题，满分 24 分，每小题分，每小题 4 分）分） 1 （4 分） （2021 春宝山区校级月考）下列式子中无意义的是（ ） A B C D 【考点】二次根式的性质与化简；负整数指数幂；二次根式有意义的条件 【专题】二次根式；运算能力 【分析】根据二次根式的性质及其有意义的条件即可求解 【解答】解：A、有意义，不符合题意； B、5 有意义，不符合题意； C、0，故无意义，符合题意； D、有意义，不符合题意； 故选：C 【点评】此题考查的是二次根式的性质与化简，负整数指数幂，二次根式有意义的条件等知识，正确掌握它们的性质与运算法则是解决此题的关键 2
12、 （4 分） （2021 秋晋江市校级期末）下列单项式中，与 2a 是同类项的是（ ） A2 Ba2 C2a D3a 【考点】同类项；单项式 【专题】整式；符号意识 【分析】根据同类项的定义（所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，这样的项叫做同类项）进行解答 【解答】解：与 2a 是同类项的是3a 故选：D 【点评】本题考查了同类项，同类项定义中的两个“相同” ： （1）所含字母相同； （2）相同字母的指数相同，是易混点，还有注意同类项与字母的顺序无关，几个常数项也是同类项 3 （4 分） （2020 秋龙口市期末）关于抛物线 y1（1+x）2与 y2（1x）2，下列说法不正确的是（ ） A
13、图象 y1与 y2的开口方向相同 By1与 y2的图象关于 y 轴对称 C图象 y2向左平移 2 个单位可得到 y1的图象 D图象 y1绕原点旋转 180可得到 y2的图象 【考点】二次函数图象与几何变换；二次函数的性质 【专题】二次函数图象及其性质；运算能力 【分析】两个抛物线解析式都是顶点式，可以根据顶点式直接判断顶点坐标，对称轴，开口方向及与 y 轴的关系 【解答】解：抛物线 y1（1+x）2（x+1）2，抛物线 y2（1x）2（x1）2， 抛物线 y1的开口向上，顶点为（1，0） ，对称轴为直线 x1，抛物线 y2的开口向上，顶点为（1，0） ，对称轴为直线 x1，故选项 A 说法正确
14、； y1与 y2的顶点关于 y 轴对称，故选项 B 说法正确； y1与 y2的图象关于 y 轴对称，y2向左平移 2 个单位可得到 y1的图象，故选项 C 说法正确； y1绕原点旋转 180得到的抛物线为 y（x1）2，与 y2开口方向不同， 图象 y1绕原点旋转 180不能得到 y2的图象，故选项 D 说法不正确， 故选：D 【点评】主要考查二次函数的性质以及二次函数图象上点的坐标特征，利用函数解析式确定顶点坐标，对称轴以及开口方向和与 y 轴的关系是解题的关键 4 （4 分） （2021高密市二模）如图，反映的是某中学九（1）班学生出行方式（乘车、步行、骑车）的不完全频数（人数）分布直方图
15、，如果乘车的频率是 0.4，那么步行的频率为（ ） A0.24 B0.3 C0.36 D0.4 【考点】频数（率）分布直方图 【专题】数据的收集与整理；统计的应用；数据分析观念 【分析】根据乘车的人数和所对应的频率，可以计算出本次调查人数，然后即可计算出步行人数，从而可以得到步行的频率 【解答】解：由直方图可得， 乘车人数为 20， 乘车的频率是 0.4， 本次调查的人数为：200.450， 步行的人数为：50201218， 步行的频率为：18500.36， 故选：C 【点评】本题考查频数分布直方图，解答本题的关键是求出步行的人数 5 （4 分） （2020 春虹口区期末）如图，点 E 在平行
16、四边形 ABCD 的边 BC 上，ABAE，下列结论中正确的是（ ） A与是相等的向量 B与是相等的向量 C与互为相反向量 D与是平行向量 【考点】*平面向量；平行四边形的性质 【专题】特定专题；多边形与平行四边形；推理能力 【分析】根据相等向量，平行向量的定义一一判断即可 【解答】解：A、与是相等的向量，错误它们方向不同，本选项不符合题意 B、与是相等的向量，错误它们方向不同，本选项不符合题意 C、与互为相反向量，错误数量不相等，本选项不符合题意 D、与是平行向量，本选项符合题意 故选：D 【点评】本题考查平面向量，平行四边形的性质，平行向量，相等向量等知识，解题的关键是平行向量，相等向量的
17、定义，属于中考常考题型 6 （4 分） （2022宝山区模拟） 如图， 在 RtABC 中， C90， AB5， BC3， DEBC， 且 AD2CD，则以点 C 为圆心、DC 长为半径的圆 C 和以点 E 为圆心、EB 长为半径的圆 E 的位置关系是（ ） A外离 B相交 C外切 D不能确定 【考点】圆与圆的位置关系；勾股定理 【专题】与圆有关的位置关系；图形的相似；推理能力 【分析】根据勾股定理得到 AC4，根据相似三角形的性质得到 BE，CD，DE2，求得 CE，于是得到结论 【解答】解：C90，AB5，BC3， AC4， DEBC， ADEACB， ， AD2CD， ， BE，CD，D
18、E2， CE， BE+CD， 以点 C 为圆心、DC 长为半径的圆 C 和以点 E 为圆心、EB 长为半径的圆 E 的位置关系是相交， 故选：B 【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键 二填空题（共二填空题（共 12 小题，满分小题，满分 48 分，每小题分，每小题 4 分）分） 7 （4 分） （2022 春东营区校级月考） （1）a5a a4 ； （2） （x）5（x）2 x3 ； （3）y16 y5 y11； （4） （xy）9（xy）6 （xy）3 【考点】同底数幂的除法 【专题】整式；运算能力 【分析】 （1）利用同底数幂的
19、除法的法则进行求解即可； （2）利用同底数幂的除法的法则进行求解即可； （3）利用同底数幂的除法的法则进行求解即可； （4）利用同底数幂的除法的法则进行求解即可； 【解答】解： （1）a5aa51a4； 故答案为：a4； （2） （x）5（x）2（x）52（x）3x3； 故答案为：x3； （3）由题意得：y16y11y1611y5； 故答案为：y5； （4） （xy）9（xy）6（xy）96（xy）3； 故答案为： （xy）3 【点评】本题主要考查同底数幂的除法，解答的关键是熟记同底数幂的除法的法则：底数不变，指数相减 8 （4 分） （2021 春普陀区期末）已知 f（x），那么 f（） 【
20、考点】函数值；算术平方根 【专题】函数及其图象；运算能力 【分析】将 x代入计算即可 【解答】解：当 x时，f（） 故答案为： 【点评】本题主要考查的是求函数值，将 x 的值代入解析式是解题的关键 9 （4 分） （2022 春淮北月考） （1）如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数是 0 或 1 （2）若，则 a a或1 【考点】算术平方根 【专题】二次根式；运算能力 【分析】 （1）根据算术平方根的定义即可求出答案 （2）根据算术平方根的定义即可求出答案 【解答】解： （1）如果一个数的算术平方根等于这个数本身，那么这个数是 0 或 1， 故答案为：0 或 1 （2），2a20，
21、 2a2（2a2）2， 2a20 或 2a21， a22 或 a21， a或1 故答案为：a或1 【点评】本题考查算术平方根，解题的关键是正确理解算术平方根的定义，本题属于基础题型 10 （4 分） （2022 春江干区校级月考）已知关于 x 的不等式 axb 的解集是 x3，则不等式 bxa 的解集是 x 【考点】解一元一次不等式 【专题】一元一次不等式（组）及应用；运算能力 【分析】根据不等式 axb 的解集是 x3，可判断出 a0，3，从而可求出不等式 bxa 的解集 【解答】解：关于 x 的不等式 axb 的解集是 x3， a0，3， b3a0， 故可得不等式 bxa 的解集为：x 故
22、答案为：x 【点评】此题考查了不等式的解集，解答本题的关键是得出 a 和 b 的数量关系及 a 和 b 的正负情况，有一定难度，注意不等式求解的步骤 11 （4 分） （2019浦东新区二模）已知一个角的度数为 50 度，那么这个角的补角等于 130 【考点】余角和补角 【专题】线段、角、相交线与平行线 【分析】根据如果两个角的和等于 180，那么这两个角叫互为补角计算即可 【解答】解：18050130 故这个角的补角等于 130 故答案为：130 【点评】本题考查的是余角和补角的定义，如果两个角的和是一个直角，那么称这两个角互为余角如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫互为补角其中一个角叫
23、做另一个角的补角 12 （4 分） （2022平凉模拟）关于 x 的一元二次方程 2x23x+c0 有两个不相等的的实数根，则 c 的取值范围是 c 【考点】根的判别式 【专题】判别式法；一元二次方程及应用；运算能力 【分析】根据根的判别式和已知条件得出（3）242c0，再求出不等式的解集即可 【解答】解：关于 x 的一元二次方程 2x23x+c0 有两个不相等的实数根， （3）242c0， 解得：c 故答案为：c 【点评】本题考查了根的判别式和解一元一次不等式，注意：已知一元二次方程 ax2+bx+c0（a、b、c为常数，a0） ，当b24ac0 时，方程有两个不相等的实数根，当b24ac0
24、 时，方程有两个相等的实数根，当b24ac0 时，方程没有实数根 13 （4 分） （2022北京模拟）盒中有 x 枚黑棋和 y 枚白棋，这些棋除颜色外无其他差别从盒中随机取出 一枚棋子，如果它是黑棋的概率是，则 x 和 y 满足的关系式为 yx 【考点】概率公式 【专题】概率及其应用；数据分析观念 【分析】 根据盒中有 x 枚黑棋和 y 枚白棋， 得出袋中共有 （x+y） 个棋， 再根据概率公式列出关系式即可 【解答】解：盒中有 x 枚黑棋和 y 枚白棋， 袋中共有（x+y）个棋， 黑棋的概率是 ， 可得关系式， x 和 y 满足的关系式为 yx 故答案为：yx 【点评】此题考查概率公式：如
25、果一个事件有 n 种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件 A 出现m 种结果，那么事件 A 的概率 P（A） 14 （4 分） （2019 秋沙坪坝区校级月考）如图，在平面直角坐标系中，直线 ykx（k0）经过点（m，m） （m0） 线段 BC 的两个端点分别在 x 轴与直线 ykx 上滑动（B、C 均与原点 O 不重合） ，且 BC分别作 BPx 轴，CP直线 ykx，直线 BP、CP 交于点 P经探究，在整个滑动过程中，O、P两点间的距离为定值，则该距离为 【考点】一次函数图象上点的坐标特征；正比例函数的性质 【专题】一次函数及其应用；运算能力；推理能力 【分析】过 C 作 CEx 轴
26、，垂足为 E，设 P（x，y） ，由条件可知COE60，根据直角三角的性质可分别表示出 CE 和 BE 的长，在 RtBCE 中，可求得 x2+y2的值，则可求得 PO 的长，可得出答案 【解答】解：直线 ykx（k0）经过点（m，m） （m0） tanCOB， COB60， 过点 C 作 CEx 轴于点 E，延长 CP 交 x 轴于点 F，连接 OP，如图， 则OCECFE30， 设 P 点坐标为（x，y） （不妨设点 P 在第二象限，其他同理可求得） ，则 OBx，PBy， 在 RtPBF 中，可得 BFy， OFOB+BFx+y， 在 RtOCF 中，OCOF（x+y） ， 在 RtOC
27、E 中，OEOC（x+） ， 则 CEOE（x+y） ，BEOBOEx（x+y）xy， 在 RtBCE 中，由勾股定理可得 CE2+BE2BC2， （x+y）2+（xy）25， 整理可求得 x2+y2， OP， 即 O、P 两点的距离为定值， 故答案为： 【点评】本题主要考查一次函数的综合应用，涉及知识点有三角函数的定义、直角三角形的性质、勾股定理、两点间的距离等解题的关键是用 P 点的坐标表示出 OP 的距离，所以用 P 点的坐标分别表示出CE、BE 的长是突破口注意方程思想的应用 15 （4 分） （2020 春沙坪坝区校级月考）已知“成都重庆”两地相距 350 公里，现有一直达高铁往返于
28、两城市之间，该高铁每次到达成都、重庆后均需停留 1 小时再重新出发寒假期间，重庆市铁路局计划在同线上临时加开一辆慢速直达旅行专列在试运行期间，该旅行专列与高铁同时从重庆出发，在整个行驶过程中， 两车均保持各自速度匀速行驶， 经过 3.75 小时两车第一次相遇 已知两车之间的距离 y （千 米）与行驶时间 x（小时）之间的部分函数关系如图所示，当两车第二次相遇时，两车共行驶了 1250 千米 【考点】一次函数的应用 【专题】函数及其图象；应用意识 【分析】首先求该旅行专列与高铁的速度分别为 200 千米/小时和 40 千米/小时，确定第二次相遇时的位置，因为 8.757.25，说明第二次相遇时，
29、旅行专列还没走完全程；根据路程相等列方程可得结论 【解答】解：由图形可知：高铁 1.75 小时，由重庆到达成都， 速度为：3501.75200（千米/小时） ， 设旅行专列的速度为 a 千米/小时， 则 3.75a+200（3.751）3502， a40， 350408.75（小时） ， 高铁：第一次去成都：1.75 小时，休息 1 小时； 第一次返回：2.75+1.754.5 小时，休息 1 小时； 第二次去成都：5.5+1.757.258.75， 设当两车第二次相遇时，该旅行专列共行驶了 b 千米， 则 200（5.5）b， b275， 则当两车第二次相遇时，该旅行专列共行驶了 275 千
30、米，高铁共行驶了 3502+275975（千米） ， 当两车第二次相遇时，两车共行驶了 275+9751250（千米） 故答案为：1250 【点评】本题考查利用函数的图象解决行程实际问题，正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决 16 （4 分） （2021 秋攸县期末）如图，在ABC 中，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，DEBC，已知 AE6，则 EC 的长是 8 【考点】平行线分线段成比例 【专题】图形的相似；应用意识 【分析】根据平行线分线段成比例定理的推论得出，将 AE6 代入，求出 AC14，那么ECACAE8 【解答】解：DEB
31、C， ， AE6， ， 解得：AC14， ECACAE1468 故答案是：8 【点评】此题主要考查平行线分线段成比例定理的推论：平行于三角形的一边，并且和其他两边（或两边的延长线） 相交的直线， 所截得的三角形的三边与原三角形的三边对应成比例 正确理解定理是关键 17 （4 分） （2021虹口区二模）如果正六边形的边长是 1，那么它的边心距是 【考点】正多边形和圆 【专题】正多边形与圆；运算能力 【分析】根据正六边形的中心角为 60以及正六边形边心距的性质解直角三角形OBG 可得结论 【解答】解：ABCDDEF 为正六边形， BOC360660，OGBC BOGBOC30 在 RtBOG 中
32、，cosBOG OB1， OGOBcosBOG1 故答案为： 【点评】本题主要考查了正六边形与圆的有关计算，利用正六边形的中心角和边心距的性质是解题的关键 18 （4 分） （2021 秋乌拉特前旗期末）如图，P 是正方形 ABCD 内一点，将ABP 绕点 B 顺时针旋转 90得到CBP，若 PB3，则 PP的长是 3 【考点】旋转的性质；正方形的性质 【专题】等腰三角形与直角三角形；矩形 菱形 正方形；平移、旋转与对称；几何直观；运算能力；推理能力 【分析】根据旋转的性质，旋转前后图形的大小和形状没有改变即 PBPB，ABP 绕点 B 按顺时针方向旋转 90至CBP，则PBP90，在 RtP
33、BP中，利用勾股定理，可求出 PP的长 【解答】解：由旋转的性质得到旋转角PBP90，对应边 PBPB3， 在 RtPBP中，PP2PB2+PB2， PP3， 故答案为：3 【点评】此题主要考查了旋转的性质，正方形的性质，勾股定理，掌握旋转前后图形的对应关系是解决问题的关键 三解答题（共三解答题（共 7 小题，满分小题，满分 78 分）分） 19 （10 分） （2021浦东新区模拟）计算： （）1+|1| 【考点】实数的运算；分数指数幂；负整数指数幂 【专题】实数；运算能力 【分析】直接利用二次根式的性质和绝对值的性质、分数指数幂的性质分别化简得出答案 【解答】解：原式 2+3+32+1 【
34、点评】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键 20 （10 分） （2021 春长宁区期末）解方程组： 【考点】高次方程 【专题】转化思想；方程与不等式；运算能力 【分析】由得 y3x，把代入得关于 x 的一元二次方程，可解得 x 的值，即可求出原方程组的解 【解答】解：由得：y3x， 把代入得：x2+x（3x）6（3x）20， 整理得：2x2+13x+180， 解得 x1，x22， 当 x1时，y3x， 当 x22 时，y3x1， 原方程组的解为：， 【点评】本题考查解二元二次方程组，解题的关键是用代入消元法，把二元二次方程组转化为一元二次方程 21 （10 分） （2021 秋石景
35、山区期末）如图，在ABC 中，B45，tanC，AC2，求 BC 的长 【考点】解直角三角形 【专题】计算题；解直角三角形及其应用；应用意识 【分析】过点 A 作 ADBC，垂足为 D得到 RtACD 和 RtABD，先在 RtACD 中求出 AD、CD，再在 RtABD 中求出 BD，最后利用线段的和差关系求出 BC 【解答】解：过点 A 作 ADBC，垂足为 D ABD、ACD 均为直角三角形 在 RtACD 中， tanC， ADCD AD2+CD2AC2， （CD）2+CD2（2）2 CD236 CD6，AD4 在 RtABD 中， B45， ADBD4 BCAD+CD 4+6 10
36、【点评】 本题考查了解直角三角形， 构造直角三角形并掌握直角三角形的边角间关系是解决本题的关键 22 （10 分） （2021河南模拟）学生的体重监测是教育主管部门每学期都要进行的学生体检中的重要一项，为了解这一指标的大致情况，某校校医室对该校八年级学生的体重进行检测，随机抽取了八年级部分学生进行调查，将抽取学生的体重情况绘制成如下不完整的统计图表，请根据图表信息回答下列问题： 组别 体重（千克） 人数 A 40 x45 3 B 45x50 12 C 50 x55 a D 55x60 10 E 60 x65 8 F 65x70 2 （1）填空：a 15 ；在扇形统计图中，D 组所在扇形的圆心角
37、的度数等于 72 ； （2）调查的这组数据的中位数落在 C 组； （3）如果体重不低于 55 千克，属于偏胖，该校八年级有 1200 名学生，请估算该年级体重偏胖的学生大约有多少人 【考点】扇形统计图；中位数；用样本估计总体；频数（率）分布表 【专题】数据的收集与整理；统计的应用；应用意识 【分析】 （1）设总共抽查了 x 人，由 D 组有 10 人，占总人数的 20%，可列等式%，求解 x 即可计算出抽查的总人数，用总人数减去 A、B、D、E、F 组的人数，即可计算出 a 的值，用 36020%即可算出 D 组所在扇形的圆心角的度数； （2）根据中位数的概念进行求解即可得出答案； （3） 先
38、计算出抽查的50人中体重不低于55千克的人数， 根据用样本估计总体的计算方法即可求出答案 【解答】解： （1）设总共抽查了 x 人， 根据题意可知，D 组有 10 人，占总人数的 20%， 则%， 解得 x50， 所以 a50（3+12+10+8+2）15， D 组所在扇形的圆心角的度数为 36020%72 故答案为：15，72； （2）共调查了 50 人，中位数是第 25，26 个同学体重的中位数， 3+12+1530， 第 25，26 个同学体重在 C 组 故答案为：C （3）抽查的 50 名同学中，体重不低于 55kg 的同学有 10+8+220（人） ， 根据题意可得，（人） ， 答：
39、八年级体重偏胖的学生大约有 480 人 【点评】本题主要考查了扇形统计图、频数分布表、中位数及用样本估计总体，熟练掌握扇形统计图、频数分布表、中位数及用样本估计总体相关知识进行求解是解决本题的关键 23 （12 分） （2021 秋荆门期末）如图，在ABC 中，ABAC，O 是ABC 的外接圆，直径 AE 交 BC于点 H，点 D 在弧 AC 上，过点 E 作 EFBC 交 AD 的延长线于点 F，延长 BC 交 AF 于点 G （1）求证：EF 是O 的切线； （2）若 BC2，AHCG3，求 EF 的长； （3）在（2）的条件下，直接写出 CD 的长 【考点】圆的综合题 【专题】几何综合题
40、；与圆有关的位置关系；运算能力；推理能力 【分析】 （1）由题意可证BAECAE，由等腰三角形的性质可得 AEBC，由平行线的性质可证 EFAE，可得结论； （2） 在 RtOHC 中， 利用勾股定理可求半径， 可得 AE 的长， 通过证明AEFAHG， 可得，可求 EF 的长； （3）证明DCGBAG，可得，可求 CD 的长 【解答】 （1）证明：ABAC， ， AE 是直径， ， BAECAE， 又ABAC， AEBC， 又EFBC， EFAE， OE 是半径， EF 是O 的切线； （2）解：连接 OC，设O 的半径为 r， AEBC， CHBHBC1， HGHC+CG4， AG5， 在
41、 RtOHC 中，OH2+CH2OC2， （3r）2+1r2， 解得：r， AE， EFBC， AEFAHG， ， ， EF； （3）解：AH3，BH1， AB， 四边形 ABCD 内接于O， B+ADC180， ADC+CDG180， BCDG， 又DGCAGB， DCGBAG， ， ， CD 【点评】本题是圆的综合题，考查了圆周角定理，切线的判定，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键 24 （12 分） （2020云南）抛物线 yx2+bx+c 与 x 轴交于 A、B 两点，与 y 轴交于点 C，点 A 的坐标为（ 1，0） ，点
42、C 的坐标为（0，3） 点 P 为抛物线 yx2+bx+c 上的一个动点过点 P 作 PDx 轴于点 D，交直线 BC 于点 E （1）求 b、c 的值； （2）设点 F 在抛物线 yx2+bx+c 的对称轴上，当ACF 的周长最小时，直接写出点 F 的坐标； （3）在第一象限，是否存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的 5 倍？若存在，求出点 P 所有的坐标；若不存在，请说明理由 【考点】二次函数综合题 【专题】数形结合；二次函数图象及其性质；函数的综合应用；平移、旋转与对称；图形的相似；运算能力；应用意识 【分析】 （1）把 A、C 点的坐标代入抛物线的
43、解析式列出 b、c 的方程组，解得 b、c 便可； （2）连接 BC 与对称轴交于点 F，此时ACF 的周长最小，求得 BC 的解析式，再求得 BC 与对称轴的交点坐标便可； （3）设 P（m，m22m3） （m3） ，根据相似三角形的比例式列出 m 的方程解答便可 【解答】解： （1）把 A、C 点的坐标代入抛物线的解析式得， ， 解得，； （2）直线 BC 与抛物线的对称轴交于点 F，连接 AF，如图 1， 此时，AF+CFBF+CFBC 的值最小， AC 为定值， 此时AFC 的周长最小， 由（1）知，b2，c3， 抛物线的解析式为：yx22x3， 对称轴为直线 x1， 令 y0，得 y
44、x22x30， 解得，x1，或 x3， B（3，0） ， C（0，3） ， 设直线 BC 的解析式为：ykx+b（k0） ，得 ， 解得， 直线 BC 的解析式为：yx3， 当 x1 时，yx32， F（1，2） ； （3）设 P（m，m22m3） （m3） ，过 P 作 PHBC 于 H，过 D 作 DGBC 于 G，如图 2， 则 PH5DG，E（m，m3） ， PEm23m，DEm3， PHEDGE90，PEHDEG， PEHDEG， ， ， m3（舍） ，或 m5， 点 P 的坐标为 P（5，12） 故存在点 P，使点 P 到直线 BC 的距离是点 D 到直线 BC 的距离的 5 倍，
45、其 P 点坐标为（5，12） 【点评】本题是二次函数的综合题，主要考查了待定系数法，二次函数的图象与性质，相似三角形的性 质与判定，轴对称的性质应用求线段的最值，第（2）题关键是确定 F 点的位置，第（3）题关键在于构建相似三角形 25 （14 分） （2021罗湖区校级模拟） 【基础巩固】 （1）如图 1，在ABC 中，ACB90，直线 l 过点 C，分别过 A、B 两点作 AEl，BDl，垂足分别为 E、D求证：BDCCEA 【尝试应用】 （2）如图 2，在ABC 中，ACB90，D 是 BC 上一点，过 D 作 AD 的垂线交 AB 于点 E若 BEDE，tanBAD，AC20，求 BD
46、 的长 【拓展提高】 （3）如图 3，在ABCD 中，在 BC 上取点 E，使得AED90，若 AEAB，CD，求ABCD 的面积 【考点】相似形综合题 【专题】几何综合题；图形的相似；运算能力；推理能力 【分析】 （1）由直角三角形的性质证得BDCAEC，由相似三角形的判定定理可得出结论； （2）过点 E 作 EFBC 于点 F，由相似三角形的性质得出，由锐角三角函数的定义求出 DF16，则可求出答案； （3） 过点 A作 AMBC 于点 M， 过点 D作 DNBC， 交 BC的延长线于点N， 证明ABMDCN （AAS） ，由全等三角形的性质得出 BMCN， AMDN， 设 BE4a， E
47、C3a， DNb， 由 （1） 得AEMEDN，得出比例线段，求出 a1，b，由平行四边形的面积公式可得出答案 【解答】 （1）证明：ACB90， BCD+ACE90， AECE， AEC90， ACE+CAE90， BCDCAE， BDDE， BDC90， BDCAEC， BDCCEA； （2）解：过点 E 作 EFBC 于点 F， 由（1）得EDFDAC， ， ADDE，tanBAD，AC20， ， DF16， BEDE， BFDF， BD32； （3）过点 A 作 AMBC 于点 M，过点 D 作 DNBC，交 BC 的延长线于点 N， AMBDNC90， 四边形 ABCD 是平行四边形， ABCD，ABCD， BDCN， ABMDCN（AAS） ， BMCN，AMDN， ABAE，AMBC， BMME， ， 设 BE4a，EC3a，DNb， BMMECN2a，EN5a， AED90， 由（1）得AEMEDN， ， ， ba， CD， （2a）2+b214， a1，b， BC7，DN， ABCD 的面积BCDN77
