1、八年级下数学期末难点特训（一）与特殊四边形有关的压轴题1小乾同学提出一种新图形定义：一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形如图1，四边形ABCD中，AB=CD，ABCD，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB、CD称为腰，另两边AD、BC称为底(1)性质初探：小乾同学探索了等垂四边形的一些性质，请你补充完整：等垂四边形两个钝角的和为 ；若等垂四边形的两底平行，则它的最小内角为 (2)拓展研究：小坤同学发现两底中点的连线与腰长有特定的关系，如图2，M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点，试探索MN与AB的数量关系，小坤的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180，请按此方法求出MN
2、与AB的数量关系，并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角度数如图1，等垂四边形ABCD的腰为AB、CD，AB=CD=AD=3，则较长的底BC长的取值范围是 (3)实践应用：如图3，直线l1，l2是两条相互垂直的公路，利用三段围栏AB、BC、AD靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边CD做成一条隔离带，已知AB=250米，BC=240米，AD=320米，此隔离带最长为多少米？2【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE2，BE4，AEB90，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（0180）点B、E的对应点分别为点B、E；【问题解决】：（1）如图2，在旋转的过程中，点B落在
3、了AC上，求此时CB的长；（2）若90，如图3，得到ADE（此时B与D重合），延长BE交BE于点F，试判断四边形AEFE的形状，并说明理由；连接CE，求CE的长；（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE长度的取值范围3【问题背景】如图，点是等边内一点，求的度数【方法探索】小丽通过分析、思考，形成如下思路：思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数；思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，从而求出的度数下面是某位同学的解题，请你完成后续解题过程；解：把绕着点逆时针旋转得到，连接请接着写下去：【类比探究】如图，若点是正方形内一点，直接写出 _如图，点在正方形的对
4、角线上，且满足直接写出线段间的数量关系为_ ；【拓展延伸】如图，在四边形中，过点作，连接，问线段是否存在最小值?若存在，请求出最小值若不存在，请说明理由4在中，点为直线上一动点（点不与重合），以为边在右侧作正方形，连接（1）探究猜想如图1，当点在线段上时，与的位置关系为 ；之间的数量关系为 ；（2）深入思考：如图2，当点在线段的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展延伸如图3，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点若已知，请求出的长5（1）【发现证明】问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且，求证：
5、观察：EF、DF、BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？思路：将绕点A顺时针旋转90使AB与AD重合，得到了旋转后的根据上述思路在图1中画图分析并证明（写出详细的证明过程）若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？（写出详细的解答过程）（2）【类比迁移】若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，EF、BE、DF三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探究如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且，EF、BE、DF之间的数量关系是什
6、么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD延长线上的动点，且，则EF、BE、DF之间的数量关系是_（直接写出关系式，无需证明）6已知矩形中，点是边的中点（1）如图，连接并延长，与的延长线交干点，问：线段上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由（2）如图，把矩形沿直线折益，使点落在点上，直线与、的交点分别为、，求折痕的长（3）如图：在（2）的条件下，以点为原点、分别以矩形的两条边、所在的直线为轴和轴建立平面直角坐标系，若点在轴上，在平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存
7、在，请说明理由（4）如图：若点为边上的一个动点，连结，以为边向下方作等边，连结，则的最小值是_（请直接写出答案）7问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是180，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点如图1，四边形中，是一条对角线，则点与点关于互为顶针点；若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点初步思考(1)如图2，在中，、为外两点，为等边三角形点与点_关于互为顶针点；点与点_关于互为勾股顶针点，并说明理由实践操作(2)在长方形中，如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点(不
8、写作法，保留作图痕迹)思维探究如图4，点是直线上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由8社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图，点为边上一定点，点为边上一动点，以为一边在MON的内部作正方形，过点作，垂足为点（在点、之间），交与点，试探究的周长与的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：【动手操作，归纳发现】（1）通过测量图、中线段、和的长，他们猜想的周长是长的_倍请你完善这个猜想【推理探索，尝试证明】为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后
9、续探索过程：（2）如图，过点作，垂足为点则又四边形正方形，则在与中，【类比探究，拓展延伸】（3）如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、与长度之间的等量关系为 9在数学的学习中，有很多典型的基本图形（1）如图，中，直线经过点，直线，直线，垂足分别为、试说明； （2）如图，中，点、在同一条直线上，则菱形面积为_（3）如图，分别以的直角边、向外作正方形和正方形，连接，是的高，延长交于点，若，求的长度10定义：在平面直角坐标系中，对于任意两点A（a，b），B（c，d），若点T（x，y）满足x，y，那么称点T是点A，B的三分点例如：A（1，5），B（7，7），当点T（x，y）满足x2，y4时，则点
10、T（2，4）是点A，B的三分点（1）已知点C（1，8），D（1，2），E（4，2），请说明其中一个点是另外两个点的三分点（2）如图，点A为（3，0），点B（t，2t+3）是直线l上任意一点，点T（x，y）是点A，B的三分点试确定y与x的关系式若中的函数图象交y轴于点M，直线l交y轴于点N，当以M，N，B，T为顶点的四边形是平行四边形时，求点B的坐标若直线AT与线段MN有交点，直接写出t的取值范围11同学们：八年级下册第9章我们学习了一种新的图形变换旋转，图形旋转过程中蕴含着众多数学规律，以图形旋转为依托构建的解题方法是解决各类几何问题的常用方法（1）【问题提出】如图，在正方形ABCD中，MAN
11、=45，点M、N分别在边BC、CD上求证：MNBMDN证明思路如下：第一步：如图，将绕点A按顺时针方向旋转90得到ABE，再证明E、B、M三点在一条直线上第二步：证明请你按照证明思路写出完整的证明过程.（2）【初步思考】如图，四边形ABCD和CEFG为正方形，连接DG、BE，得到和下列关于这两个三角形的结论：周长相等； 面积相等； CBE=CDG其中所有正确结论的序号是 （3）【深入研究】如图，分别以ABCD的四条边为边向外作正方形，连接EF，GH，IJ，KL若ABCD的面积为8，则图中阴影部分（四个三角形）的面积之和为 12（1）【发现】如图1，在中，分别交于，交于已知，求的值思考发现，过点
12、作，交延长线于点，构造，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）请回答：的值为_（2）【应用】如图3，在四边形中，与不平行且，对角线，垂足为若，求的长（3）【拓展】如图4，已知平行四边形和矩形，与交于点，且，判断与的数量关系并证明八年级下数学期末难点特训（一）与特殊四边形有关的压轴题1小乾同学提出一种新图形定义：一组对边相等且垂直的四边形叫等垂四边形如图1，四边形ABCD中，AB=CD，ABCD，四边形ABCD即为等垂四边形，其中相等的边AB、CD称为腰，另两边AD、BC称为底(1)性质初探：小乾同学探索了等垂四边形的一些性质，请你补充完整：等垂四边形两个钝角的和为 ；若等垂四边形的两底平行
13、，则它的最小内角为 (2)拓展研究：小坤同学发现两底中点的连线与腰长有特定的关系，如图2，M、N分别为等垂四边形ABCD的底AD、BC的中点，试探索MN与AB的数量关系，小坤的想法是把其中一腰绕一个中点旋转180，请按此方法求出MN与AB的数量关系，并写出AB与MN所在直线相交所成的锐角度数如图1，等垂四边形ABCD的腰为AB、CD，AB=CD=AD=3，则较长的底BC长的取值范围是 (3)实践应用：如图3，直线l1，l2是两条相互垂直的公路，利用三段围栏AB、BC、AD靠路边按如图方式围成一块四边形种植园，第四条边CD做成一条隔离带，已知AB=250米，BC=240米，AD=320米，此隔离
14、带最长为多少米？【答案】(1)270；45；(2)，AB与MN所在直线相交所成的锐角度数为45，理由见解析；(3)650米【解析】【分析】（1）延长CD与BA延长线交于点P，则P=90，可以得到B+C=90，再由B+C+BAD+ADC=360，即可得到BAD+ADC=270；延长CD交BA延长线于P，过点D作DEAB交BC于E，则DEC=B，由等垂四边形的两底平行，即ADBC，可证四边形ABED是平行四边形，得到DE=AB，再由AB=CD，ABCD得到DE=CD，DECD，则DEC=C=45，即四边形ABCD的最小内角为45；（2）延长CD交BA延长线与P，交NM延长线与Q，NM延长线与BA延
15、长线交于点F，将腰AB绕中点M旋转180得到DE，连接CE，BE，由旋转的性质可得：MB=ME，AB=DE，ABM=DEM，则CD=AB=DE，ABDE，即可推出DEC=DCE，EDC=EDP=BPD=90，由勾股定理得到，DEC=DCE=45，再证MN是BCE的中位线，得到，MNCE，则NQC=DCE=45，由此即可推出直线AB与直线MN所在直线相交所成的锐角度数为45；延长CD交BA延长线于P，取AD，BC的中点，M、N连接PM，PN，同理可得APD=90，则，即，由（2）可知，即可推出，再由PMN随着PA减小而减小，当点P与点A重合时，PMN最小，此时PN最小，即BC最小，即此时A、D、
16、C三点共线由勾股定理得：，则；（3）仿照（2）进行求解即可(1)解：如图所示，延长CD与BA延长线交于点P，四边形ABCD为等垂四边形，即AB=CD，ABCD，P=90，B+C=90，B+C+BAD+ADC=360，BAD+ADC=270，故答案为：270；如图所示，延长CD交BA延长线于P，过点D作DEAB交BC于E，DEC=B，等垂四边形的两底平行，即ADBC，四边形ABED是平行四边形，DE=AB，又AB=CD，ABCDDE=CD，DECD，DEC=C=45，四边形ABCD的最小内角为45，故答案为：45；(2)解：，AB与MN所在直线相交所成的锐角度数为45，理由如下：延长CD交BA延
17、长线与P，交NM延长线与Q，NM延长线与BA延长线交于点F，将腰AB绕中点M旋转180得到DE，连接CE，BE，四边形ABCD是等垂四边形，AB=CD，ABCD，BPC=90，M是AD的中点，MA=MD，由旋转的性质可得：MB=ME，AB=DE，ABM=DEM，CD=AB=DE，ABDE，DEC=DCE，EDC=EDP=BPD=90，DEC=DCE=45，又M、N分别是BE，BC的中点，MN是BCE的中位线，MNCE，NQC=DCE=45，BPC=90，QPF=90，QFP=45，直线AB与直线MN所在直线相交所成的锐角度数为45；如图所示，延长CD交BA延长线于P，取AD，BC的中点，M、N
18、连接PM，PN，同理可得APD=90，即，由（2）可知，又PMN随着PA减小而减小，当点P与点A重合时，PMN最小，此时PN最小，即BC最小，即此时A、D、C三点共线由勾股定理得：，故答案为：；(3)解：如图所示，取AB，CD的中点M，N，连接MN，作点C关于M的对称点E，连接CE，AE，DE，设直线l1与直线l2交于点P，由（2）可知，AEBC，AE=BC=240米，l1l2，APB=PAE=90，DAE=90，米，M、N分别是CE，CD的中点，MN是CED的中位线，米，MNDE，M为AB的中点，APB=90，米，同理可得，即米，米，隔离带最长为650米【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的
19、性质与判定，三角形中位线定理，直角三角形斜边上的中线，勾股定理，三角形三边的关系等等，解题的关键在于能够正确理解题意作出辅助线求解2【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE2，BE4，AEB90，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（0180）点B、E的对应点分别为点B、E；【问题解决】：（1）如图2，在旋转的过程中，点B落在了AC上，求此时CB的长；（2）若90，如图3，得到ADE（此时B与D重合），延长BE交BE于点F，试判断四边形AEFE的形状，并说明理由；连接CE，求CE的长；（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE长度的取值范围【答案】（
20、1）；（2）四边形是正方形，理由见解析；（3）【解析】【分析】（1）连接AC，先利用勾股定理求出AB，AC的长即可得到的值；（2）根据旋转的性质，再根据，即可证明；过点C作CGBE于G，证明ABEBCG，得到CG=BE=4，BG=AE=2，EG=2，再利用勾股定理求解即可；（3）由题意可知，点的运动轨迹为以A为圆心，以AE长为半径的圆弧上，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（0180），的最小值即为E点的位置，最大值即为在CA延长线上的位置，由此即可求解【详解】解：（1）如图，连接AC，AE2，BE4，AEB90，四边形ABCD是正方形，ABC=90，由旋转的性质可得，；（2）四边形是正
21、方形，理由如下：由旋转的性质可知：，又，四边形是矩形，又，四边形是正方形；如图过点C作CGBE于G，则BGC=AEB=90，CBG+BCG=CBG+ABE，BCG=ABE，又AB=BC，ABEBCG（AAS），CG=BE=4，BG=AE=2，EG=2，；（3）如图所示，由题意可知，点的运动轨迹为以A为圆心，以AE长为半径的圆弧上，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（0180），的最小值即为E点的位置，最大值即为在CA延长线上的位置，由（2）得的最小值为CE的长即，【点睛】本题主要考查了正方形的性质与判定，旋转的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行
22、求解3【问题背景】如图，点是等边内一点，求的度数【方法探索】小丽通过分析、思考，形成如下思路：思路一：将绕点逆时针旋转，得到，连接，从而求出的度数；思路二：将绕点顺时针旋转，得到，连接，从而求出的度数下面是某位同学的解题，请你完成后续解题过程；解：把绕着点逆时针旋转得到，连接请接着写下去：【类比探究】如图，若点是正方形内一点，直接写出 _如图，点在正方形的对角线上，且满足直接写出线段间的数量关系为_ ；【拓展延伸】如图，在四边形中，过点作，连接，问线段是否存在最小值?若存在，请求出最小值若不存在，请说明理由【答案】（1）见解析；（2）；（3）AF2+EC2=EF2；（4）【解析】【分析】（1）
23、由将绕点逆时针旋转，易证明为等边三角形，且，由勾股定理逆定理可判定，则；（2）将绕点逆时针旋转，得到，则为等腰直角三角形，由勾股定理可得由，可得，在直角三角形中用勾股定理可求，由旋转可得；（3）将绕点逆时针旋转，得到，由正方形性质可得由旋转可知，由，可得，从而可用证明，所以又，则在中，由勾股定理有，即；（4）由勾股定理易得过点作，且使，则易证，从而得由于为定点，为定长，故点的轨迹为以为圆心、为半径的圆当、三点共线时，最小由勾股定理可得，则最小值为【详解】解：（1）由于将绕点逆时针旋转，得到，又，为等边三角形，（2）如答图，将绕点逆时针旋转，得到，则，在中，由旋转的性质可知，故答案为：（3）如答
24、图，将绕点逆时针旋转，得到，则，四边形为正方形，为对角线，由旋转可知，在和中，又，在中，由勾股定理可得：，即，故答案为：（4），如答图，过点作，且使，又，由于为定点，为定长，故点的轨迹为以为圆心、为半径的圆，则当、三点共线时，最小，最小为【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理（及其逆定理），正方形的性质，图形旋转的性质，解题的关键是学会利用旋转法构造辅助线，利用全等三角形的性质或相似三角形的性质解决问题4在中，点为直线上一动点（点不与重合），以为边在右侧作正方形，连接（1）探究猜想如图1，当点在线段上时，与的位置关系为 ；之间的数量关系为 ；（2）深入思考：
25、如图2，当点在线段的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展延伸如图3，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点若已知，请求出的长【答案】（1）垂直；BC=CF+CD；（2）CFBC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC，证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据正方形的性质得到BAC=DAF=90，推出DABFAC（SAS），根据全等三角形的性质即可得到结论；由DABFAC（SAS）得出CF=BD，则可得出结论；（2）根据正方形的性质得到BAC=DAF=90，推出DABFAC（SAS），根据全等三角形的性质以及等腰直角三角
26、形的角的性质可得到结论（3）求出BD=5，由（2）同理可证得DABFAC，得出BCCF，CF=BD=5，由勾股定理求出DF，则可得出答案【详解】解：（1）正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90，BAD=CAF，在DAB与FAC中，DABFAC（SAS），ABC=ACF，AB=AC，BAC=90，ABC=ACB=45，ACB+ACF45+45=90，即BCCF；故答案为：垂直；DABFAC，CF=BD，BC=BD+CD，BC=CF+CD；故答案为：BC=CF+CD；（2）CFBC成立；BC=CD+CF不成立，CD=CF+BC理由如下：正方形ADEF中，AD=AF，BAC=DAF=90
27、，BAD=CAF，在DAB与FAC中，DABFAC（SAS），ABD=ACF，BAC=90，AB=AC，ACB=ABC=45ABD=180-45=135，BCF=ACF-ACB=135-45=90，CFBCCD=DB+BC，DB=CF，CD=CF+BC（3）BAC=90，AB=AC=，BC=4，CD=BC=1，BD=5，由（2）同理可证得DABFAC，BCCF，CF=BD=5，四边形ADEF是正方形，OD=OF，DCF=90，DF=，OC=【点睛】本题是四边形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，余角的性质，勾股定理，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解
28、题的关键5（1）【发现证明】问题：如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD边上的动点，且，求证：观察：EF、DF、BE三条线段都不在同一条直线上，能不能借助图形的运动，将部分线段放置在一条直线上加以证明呢？思路：将绕点A顺时针旋转90使AB与AD重合，得到了旋转后的根据上述思路在图1中画图分析并证明（写出详细的证明过程）若正方形ABCD的边长为6，当动点E在BC边上运动到中点位置时，动点F在CD边上距离D点多长的位置？（写出详细的解答过程）（2）【类比迁移】若点E、F分别为正方形两条边的延长线上的动点，EF、BE、DF三者之间还存在（1）中的关系吗？根据解决（1）中问题的经验加以探
29、究如图2，在正方形ABCD中，点E、F分别是CB、DC延长线上的动点，且，EF、BE、DF之间的数量关系是什么？请借助图2加以分析，并写出详细的证明过程如图3，在正方形ABCD中，点E、F分别是BC、CD延长线上的动点，且，则EF、BE、DF之间的数量关系是_（直接写出关系式，无需证明）【答案】（1）见解析；动点F在CD边上距离D点长为2的位置；（2）EF=DF-BE，证明见解析；BE=EF+DF【解析】【分析】（1）发现证明证明EAFGAF，可得出EF=FG，则结论得证；设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6-x，在RtEFC中，得出关于x的方程，解出x则可得解；（2）类比迁移将ABE绕
30、点A顺时针旋转90至ADM根据SAS可证明EAFMAF，可得EF=FM，即可得结论；将ADF绕点A逆时针旋转90至ABN，证明AFEANE，可得出EF=EN，即可得结论【详解】解：（1）发现证明证明：将ABE绕点A顺时针旋转90使AB与AD重合，得到了旋转后的ADG，如图1，BAE=DAG，AE=AG，B=ADG=90，ADF+ADG=180，F，D，G三点共线，EAF=45，BAE+FAD=45，DAG+FAD=45，EAF=FAG，AF=AF，EAFGAF（SAS），EF=FG=DF+DG，EF=DF+BE；解：正方形ABCD的边长为6，点E在BC边上运动到中点位置，BE=BC=3，由可知
31、DG=BE=3，正方形ABCD的边长为6，DC=BC=AD=6，CE=BC-BE=6-3=3，设DF=x，则EF=FG=x+3，CF=6-x，在RtEFC中，CF2+CE2=EF2，（6-x）2+32=（x+3）2，解得：x=2DF=2，动点F在CD边上距离D点长为2的位置；（2）类比迁移解：EF=DF-BE证明：如图2，将ABE绕点A顺时针旋转90至ADM，EAB=MAD，AE=AM，EAM=90，BE=DM，FAM=45=EAF，AF=AF，EAFMAF（SAS），EF=FM=DF-DM=DF-BE；如图3，将ADF绕点A逆时针旋转90至ABN，AN=AF，NAF=90，EAF=45，NA
32、E=45，NAE=FAE，AE=AE，AFEANE（SAS），EF=EN，BE=BN+NE=DF+EF即BE=EF+DF故答案为：BE=EF+DF【点睛】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质以及勾股定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应边相等进行推导6已知矩形中，点是边的中点（1）如图，连接并延长，与的延长线交干点，问：线段上是否存在点，使得为等腰三角形，若存在，请求出的长，若不存在，请说明理由（2）如图，把矩形沿直线折益，使点落在点上，直线与、的交点分别为、，求折痕的长（3）如图：在（2）的条件下，以点为原点、
33、分别以矩形的两条边、所在的直线为轴和轴建立平面直角坐标系，若点在轴上，在平面内是否存在点，使以、为顶点的四边形是菱形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由（4）如图：若点为边上的一个动点，连结，以为边向下方作等边，连结，则的最小值是_（请直接写出答案）【答案】（1）存在，4或1或；（2）；（3）存在，、；（4）【解析】【分析】（1）先证明,再求得、的长，为等腰三角形分情形讨论根据分别求出的长；（2）连接,，证明，得，在中根据勾股定理求得,从而求得（3）建立平面直角坐标系，根据（2）的结论，知：，分情形讨论，当为对角线时，关于轴对称，当为对角线时，与点重合，当为对角线时，根据平移即可
34、求得点的坐标；（4）分别以,为边向下方作等边,过点作,垂足为,连接,，证明，可知，求得即可【详解】（1）存在，理由如下：四边形是矩形,点是边的中点又（ASA）,在中：为等腰三角形，分为三种情形：当时,此时点与点重合，故当时,如图：设，则在中即：解得：当时，如图：,4综合，的长为：4或1或（2）如图：连接,根据题意可知：垂直平分,四边形是矩形又,四边形是菱形设，则在中即：解得：在中在中（3）建立平面直角坐标系如图：由（2）知：，,、为顶点的四边形是菱形，点在轴上当为对角线时，,都在轴上，关于轴对称当为对角线时，,由（2）知四边形是菱形，则与点重合，此时当为对角线时，则,综合可知，存在点使得以、为
35、顶点的四边形是菱形，点坐标为：、；（4）如图：分别以,为边向下方作等边,过点作,垂足为,连接,为中点，为等边三角形，,点为边上的一个动点，以为边向下方作等边；当点与点重合时，点与点重合，当点与点重合时，点与点重合，点在线段上运动，当时，最小为等边三角形,当时,在和中（ASA）当时,故答案为：【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形全等，菱形的性质，等腰三角形性质，等边三角形性质，勾股定理，图像的平移，图形的旋转，垂线段最短等知识点，熟悉以上知识点并正确的作出辅助线和图形是解题的关键7问题背景若两个等腰三角形有公共底边，则称这两个等腰三角形的顶角的顶点关于这条底边互为顶针点；若再满足两个顶角的和是1
36、80，则称这两个顶点关于这条底边互为勾股顶针点如图1，四边形中，是一条对角线，则点与点关于互为顶针点；若再满足，则点与点关于互为勾股顶针点初步思考(1)如图2，在中，、为外两点，为等边三角形点与点_关于互为顶针点；点与点_关于互为勾股顶针点，并说明理由实践操作(2)在长方形中，如图3，点在边上，点在边上，请用圆规和无刻度的直尺作出点、，使得点与点关于互为勾股顶针点(不写作法，保留作图痕迹)思维探究如图4，点是直线上的动点，点是平面内一点，点与点关于互为勾股顶针点，直线与直线交于点在点运动过程中，线段与线段的长度是否会相等？若相等，请直接写出的长；若不相等，请说明理由【答案】（1）、，理由见解析
37、；（2）作图见解析；与可能相等，的长度分别为，2或18【解析】【分析】（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义即可判断（2）以C为圆心，CB为半径画弧交AD于F，连接CF，作BCF的角平分线交AB于E，点E，点F即为所求分四种情形：如图中，当时；如图中，当时；如图中，当时，此时点F与D重合；如图中，当时，点F与点D重合，分别求解即可解决问题【详解】解：（1）根据互为顶点，互为勾股顶针点的定义可知：点A与点D和E关于BC互为顶针点；点D与点A关于BC互为勾股顶针点，理由：如图2中，BDC是等边三角形，D60，ABAC，ABC30，ABCACB30，BAC120，AD180，点D与点A关于BC互为
38、勾股顶针点，故答案为：D和E，A （2）如图，点、即为所求(本质就是点关于的对称点为，相当于折叠)与可能相等，情况如下：情况一：如图，由上一问易知，当时，设，连接，在中，解得，即；情况二：如图当时，设，同法可得，则，则，在中，则有，解得：；情况三：如图，当时，此时点与重合，可得；情况四：如图，当时,此时点与重合，可得综上所述，与可能相等，的长度分别为，2或18【点睛】本题属于四边形综合题，考查了矩形的性质，等边三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考压轴题8社团活动课上，数学兴趣小组的同学探索了这样的一个问题：如图，点为
39、边上一定点，点为边上一动点，以为一边在MON的内部作正方形，过点作，垂足为点（在点、之间），交与点，试探究的周长与的长度之间的等量关系该兴趣小组进行了如下探索：【动手操作，归纳发现】（1）通过测量图、中线段、和的长，他们猜想的周长是长的_倍请你完善这个猜想【推理探索，尝试证明】为了探索这个猜想是否成立，他们作了如下思考，请你完成后续探索过程：（2）如图，过点作，垂足为点则又四边形正方形，则在与中，【类比探究，拓展延伸】（3）如图，当点在线段的延长线上时，直接写出线段、与长度之间的等量关系为 【答案】（1）2；（2）证明见解析过程；（3）AE+EF-AF=2OA【解析】【分析】（1）通过测量可得
40、；（2）过点C作CGON，垂足为点G，由AAS可证ABOBCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可证ABECBE，可得AE=CE，由线段的和差关系可得结论；（3）过点C作CGON，垂足为点G，由AAS可证ABOBCG，可得BG=AO，BO=CG，由SAS可证ABECBE，可得AE=CE，可得结论【详解】解：（1）AEF的周长是OA长的2倍，故答案为：2；（2）如图4，过点C作CGON，垂足为点G，则CGB=90，GCB+CBG=90，又四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=90，DBC=DBA=45，则CBG+ABO=90，GCB=ABO，在BCG与ABO中，BCGABO（AAS），BG=AO，CG=BO，AOB=90=CGB=CFO，四边形CGOF是矩形，CF=GO，CG=OF=OB，在ABE和CBE中，ABECBE（SAS），AE=CE，AEF的周长=AE+EF+AF=CE+EF+AF=CF+AF=GO+AF=BG+BO+AF=2AO；（3）如图5，过点C作CGON于点G，则CGB=90，GCB+CBG=90，又四边形ABCD是正方形，AB=BC，ABC=90，DBC=DBA=45，则CB
