1、考题2：轴对称图形问题综合一、单选题1（2021·江苏东台·八年级期末）在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知识的是（）ABCD2（2021·江苏常州·八年级期末）如图，在ABC中，C90°，AD平分BAC，DEAB，垂足为E，下列结论：CDED；BDCD；ACBEAB；SBDE：SACDBD：AC，其中正确的有（ ）ABCD3（2020·江苏·宿迁市钟吾初级中学八年级期中）如图，等边ABC中，AB=2，D为ABC内一点，且DA=DB，E为ABC外一点，BE=AB，且EBD=CBD，连接DE，CE，则下列结论：DAC=DB
2、C；BEAC；DEB=30°；若ECAD，则SEBC=1，其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个4（江苏高邮·八年级期末）如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）AB CD5（2020·江苏·常熟市第一中学八年级期末）直线与两坐标轴分别交于两点，点在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点最多有( )A4个B6个C7个D8个6（2020·江苏海安·八年级期末）如图，在ABC中，BAC45°，CDA
3、B于点D，AEBC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：AFBC；DEB45°，AECE+2BD，若CAE30°，则，正确的有（ ）A4个B3个C2个D1个7（2020·江苏·昭阳湖初中八年级期中）如图，在中，点D是BC边上一点，已知，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（ ）ABCD8（2021·江苏·泰州市第二中学附属初中八年级期末）如图，点P为AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若AOB=40°，则MPN的度数是（ ）A90°
4、B100°C120°D140°9（2021·江苏如皋·八年级期末）如图，中，垂足为，为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为（ ）ABCD10（2021·江苏·南通第一初中八年级期末）如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点则周长的最小值为（）A6cmB8cmC9cmD10cm二、填空题11（2021·江苏淮安·八年级期末）如图，为内部一条射线，点为射线上一点，点分别为边上动点，则周长的最小值为_1
5、2（2021·江苏玄武·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点，的垂直平分线分别与交于点，则的周长是_13（2021·江苏句容·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，BCD90°，BD平分ABC，AB12，BC18，CD8，则四边形ABCD的面积是_14（2021·江苏靖江·八年级期末）如图，已知AOB=30°，点P在射线OA上，OP=16，点E、点F在射线OB上，PE=PF，EF=6若点D是射线OB上一动点，当PDE=45°时，DF的长为_15（2021·江苏海安·八年
6、级期末）如图，中，若是的中点，垂足是，则的值等于_16（2021·江苏徐州·八年级期末）如图，MON=33°，点P在MON的边ON上，以点P为圆心，PO为半径画弧，角OM于点A，连接AP，则APN=_17（2021·江苏东台·八年级期末）如图，在ABC中，ACB90°，AC6，AB10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQCA交PO的延长线于点Q，OMPQ交BC边于点M当CP1时，BM的长为_18（2021·江苏泰兴·八年级期末）如图，BD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，ABC的面积为60，
7、AB16，BC14，则DE的长等于_19（2021·江苏无锡·八年级期末）如图，在ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若BOC80°，则A_20（2021·江苏高邮·八年级期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为_°三、解答题21（2021·江苏泰兴·八年级期末）如图1，将三角形纸片ABC，沿AE折叠，使点B落在BC上的F点处；展开后，再沿BD折叠，使点A恰好仍落在BC上的F点处（如图2），连接DF（1）求ABC的度数；（2）若CDF为直角三角形，且CFD=90°，求C的度数
8、；（3）若CDF为等腰三角形，求C的度数22（2021·江苏无锡·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，B90°，AC平分DAB，DEAC，垂足为E，且AEAB（1）请找出图中的全等三角形，并给予证明；（2）若DAC30°，求DCA的度数23（2021·江苏金湖·八年级期末）如图，点D是ABC内部的一点，BDCD，过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，且BECF（1）求证：DBEDCF；（2）求证：ABC为等腰三角形24（2021·江苏海陵·八年级期末）折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法例如，在ABC
9、中，ABAC（如图1），怎样证明CB呢？把AC沿A的平分线AD翻折，因为ABAC，所以点C落在AB上的点C处（如图2）于是，由ACDC，ACDB，可得CB利用上述方法（或者思路）解决下列问题：（1）如图2，上述阅读材料中，若B45°，C60°，则CDB_°（2）如图3，ABC中，ACB90°，AD平分BAC，交BC于点D若CD2，AB6求ABD的面积（3）如图4，ABC中，已知ADBC于点D，且CDABBD若C24°，求CAB的度数25（2021·江苏溧水·八年级期末）（1）（探索研究）老师在课堂上给出了这样一道题目：如图，
10、在ABC中，ABAC，BAC90°，CD平分ACB，BECD，垂足E在CD的延长线上试探究线段BE和CD的数量关系小明同学经过认真思考后认为：先延长CA、BE相交于点为F，再证明ACDABF即可，请根据小明同学的思路补全图形并直接写出线段BE和CD的数量关系（2）（类比探究）老师引导同学们继续研究：如图，在ABC中，ABAC，BAC90°，点D在线段BC上，EDBC，BEDE，垂足为E，DE与AB相交于点F，试探究线段BE与FD的数量关系，并证明你的结论26（2021·江苏海安·八年级期末）如图，在中，点是边上的动点，连接，点关于直线的对称点为点，射线与
11、直线交于点（1）当时，求的度数；（2）当时，连接，求证：；（3）当时，猜想和的数量关系，并证明27（2021·江苏·扬州中学教育集团树人学校八年级期末）在中，点是的中点，点是射线上的一个动点（点不与点、重合），过点作于点，过点作于点，连接，（问题探究）如图1，当点在线段上运动时，延长交于点， （1）求证：；（2）与的数量关系为：_（直接写结论，不需说明理由）；（拓展延伸）（3）如图2，当点在线段上运动，的延长线与的延长线交于点，的大小是否变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由；当点在射线上运动时，若，直接写出的面积，不需证明28（2021·江苏·无
12、锡市钱桥中学八年级期末）如图，已知在RtABC中，ABBC，ABC90°，BOAC于点O，点P、D分别在边AC和射线BC上，PBPD，DEAC于点 E（1）如图1，当点P在线段AO（不含点A和点O）上时，求证BPOPDE，（2）如图2，在（1）中，若PB平分ABO，求证：APCD；（3）当点P在线段OC（不含点C和点O）上时，在备用图中画出相应图形，判断（1）中结论是否成立，若成立，请证明；若不成立，请说明理由29（2021·江苏如皋·八年级期中）过三角形的顶点作射线与其对边相交，将三角形分成两个三角形若得到的两个三角形中有等腰三角形，这条射线就叫做原三角形的“友
13、好分割线”（1）下列三角形中，不存在“友好分割线”的是_（只填写序号）等腰直角三角形；等边三角形；顶角为150°的等腰三角形（2）如图1，在中，直接写出被“友好分割线”分得的等腰三角形顶角的度数；（3）如图2，中，CD为AB边上的高，E为AD的中点，过点E作直线交AC于点F，作，垂足为M，N若射线CD为的“友好分割线”，求的最大值30（2021·江苏·如皋市港城实验学校八年级期末）定义：如果经过三角形一个顶点的线段把这个三角形分成两个小三角形，其中一个三角形是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形的三个内角分别相等，那么这条线段称为原三角形的“和谐分割线”，例如：如
14、图1，等腰直角三角形斜边上的中线就是一条“和谐分割线”（1）下列三角形，不存在“和谐分割线”的是 （ 填序号）等边三角形 等腰直角三角形 顶角150°的等腰三角形（2）如图2，RtABC，C90°，B30°，BC2，试探索RtABC是否存在“和谐分割线”？若存在，求出“和谐分割线”的长度；若不存在，请说明理由（3）如图3，ABC中，A42°，若线段CD是ABC的“和谐分割线”，且BCD是等腰三角形，求出所有符合条件的B的度数考题2：轴对称图形问题综合一、单选题1（2021·江苏东台·八年级期末）在下列四个图案的设计中，没有运用轴对称知
15、识的是（）ABCD【答案】C【分析】直接利用轴对称图形的定义得出符合题意的答案【详解】解：A、，是轴对称图形，故此选项错误；B、，是轴对称图形，故此选项错误；C、，不是轴对称图形，故此选项正确；D、，是轴对称图形，故此选项错误；故选：C【点睛】本题考查了轴对称图形，正确把握轴对称图形的定义是解题的关键2（2021·江苏常州·八年级期末）如图，在ABC中，C90°，AD平分BAC，DEAB，垂足为E，下列结论：CDED；BDCD；ACBEAB；SBDE：SACDBD：AC，其中正确的有（ ）ABCD【答案】A【分析】根据角平分线的性质，可得CDED，易证得ADCAD
16、E，可得ACBEAB；又由CDED，ABD和ACD的高相等，所以SBDE：SACDBE：AC进而可以判断【详解】解：正确，因为在ABC中，C90°，AD平分BAC，DEAB于E，所以CDED；错误，因为在RtBDE中，DBDE，所以DBCD；正确，因为由HL可知ADCADE，所以ACAE，即ACBEAB；错误，因为ADCADE，DECD，所以ADE和ACD面积相等，高相等都等于DE，所以SBDE：SACDBE：AC故选：A【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，解决本题的关键是掌握角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等3（2020·江苏&#
17、183;宿迁市钟吾初级中学八年级期中）如图，等边ABC中，AB=2，D为ABC内一点，且DA=DB，E为ABC外一点，BE=AB，且EBD=CBD，连接DE，CE，则下列结论：DAC=DBC；BEAC；DEB=30°；若ECAD，则SEBC=1，其中正确的有（）A1个B2个C3个D4个【答案】C【分析】连接，DE，证得出；再证，得出；其它两个条件运用假设成立推出答案即可【详解】连接，DE，是等边三角形，在与中，DAC=DBC，在与中，故正确，EBC=2ACE，在中三角和为，即EBC+BCE+BEC=180°，这时是边上的中垂线，故结论错误边上的高，故结论是正确的故选C【点睛
18、】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，全等三角形的判定定理有，全等三角形的对应角相等，对应边相等4（江苏高邮·八年级期末）如图，直线是一条河，、是两个新农村定居点欲在上的某点处修建一个水泵站，直接向、两地供水现有如下四种管道铺设方案，图中实线表示铺设的供水管道，则铺设管道最短的方案是（ ）ABCD【答案】D【分析】利用轴对称的性质，通过作对称点找到修建水泵站的位置【详解】解：作点A关于直线l的对称点，然后连接与直线l交于一点，在这点修建水泵站，根据轴对称的性质和连点之间线段最短的性质可以证明此事铺设的管道最短故选：D【点睛】本题考查利用轴对称的性质找线段和最小的问题，解题的关键是
19、掌握这个作图方法5（2020·江苏·常熟市第一中学八年级期末）直线与两坐标轴分别交于两点，点在坐标轴上，若为等腰三角形，则满足条件的点最多有( )A4个B6个C7个D8个【答案】C【分析】分点C为顶角顶点、点A为顶角顶点、点B为顶角顶点三种情况，再分别根据等腰三角形的判定找出满足条件的点C即可【详解】如图，设直线交x轴于点A，交y轴于点B，则，因此有，是等腰直角三角形，由题意，分以下三种情况：（1）当点C为顶角顶点时，则点C在线段AB的中垂线上，由等腰直角三角形的性质可知，AB的中垂线交坐标轴于原点，即此时原点是满足条件的点；（2）当点A为顶角顶点时，如图，以点A为圆心，A
20、B长为半径画圆，交坐标轴于点；（3）当点B为顶角顶点时，如图，以点B为圆心，BA长为半径画圆，交坐标轴于点；综上，满足条件的点最多有7个，故选：C【点睛】本题考查了等腰三角形的判定，依据题意，正确分三种情况讨论是解题关键6（2020·江苏海安·八年级期末）如图，在ABC中，BAC45°，CDAB于点D，AEBC于点E，AE与CD交于点F，连接BF，DE，下列结论中：AFBC；DEB45°，AECE+2BD，若CAE30°，则，正确的有（ ）A4个B3个C2个D1个【答案】B【分析】只要证明ADFCDB即可解决问题；易证DMFDNB，想办法证明A
21、ECEBC+EFECEF+BE2DN2BD即可；如图2中，延长FE到H，使得FHFB连接HC、BH，想办法证明BFH是等边三角形，ACAH即可解决问题【详解】解：AEBC，CDAB，AECADCCDB90°，AFDCFE，DAFDCB，BAC45°，ADC90°，ADDC，ADFCDB，AFBC，DFDB，故正确，DFBDBF45°，过点D作DMAE于M，DNBC于N，ADFCDB，SADFSCDB，AFBC，DMDN，DEBDEA45°，故正确，DMFDNB90°，DMDN，MFDNBD，DMFDNB，MFBN，DMEDNE90&#
22、176;，DEBDEA45°，DEDE，DMEDNE，EMEN，EF+EBEMFM+EN+NB2EM2DN，AECEBC+EFECEF+BE2DN2BD，AECE2BD，即AEEC+2BD，故错误，如图2中，延长FE到H，使得FHFB连接HC、BHCAE30°，CAD45°，ADF90°，DAF15°，AFD75°，DFB45°，AFB120°，BFH60°，FHBF，BFH是等边三角形，BFBH，BCFH，FEEH，CFCH，CFHCHFAFD75°，ACH75°，ACHAHC75&
23、#176;，ACAH，AF+FBAF+FHAH，AF+BFAC，故正确，故选：B【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造特殊三角形解决问题，属于中考选择题中的压轴题7（2020·江苏·昭阳湖初中八年级期中）如图，在中，点D是BC边上一点，已知，CE平分交AB于点E，连接DE，则的度数为（ ）ABCD【答案】B【分析】过点E作于M，于N，于H，如图，先计算出，则AE平分，根据角平分线的性质得，再由CE平分得到，则，于是根据角平分线定理的逆定理可判断DE平分，再根据三角形外角性质解答即
24、可【详解】解：过点E作于M，于N，于H，如图，平分，平分，平分，由三角形外角可得：，而，故选：B【点睛】本题考查了角平分线的性质和判定定理，三角形的外角性质定理，解决本题的关键是运用角平分线定理的逆定理证明DE平分8（2021·江苏·泰州市第二中学附属初中八年级期末）如图，点P为AOB内一点，分别作出P点关于OA、OB的对称点P1，P2，连接P1P2交OA于M，交OB于N，若AOB=40°，则MPN的度数是（ ）A90°B100°C120°D140°【答案】B【分析】先根据轴对称的性质、垂直平分线的性质、对顶角相等可求得、，
25、再利用平角定义、角的和差以及等量代换求得，最后根据三角形内角和定理即可求得答案【详解】解：与关于对称垂直平分平分同理可得，故选：B【点睛】本题考查了轴对称的性质、垂直平分线的性质、对顶角的性质、平角定义、角的和差、等量代换以及三角形内角和定理，体现了逻辑推理的核心素养9（2021·江苏如皋·八年级期末）如图，中，垂足为，为直线上方的一个动点，的面积等于的面积的，则当最小时，的度数为（ ）ABCD【答案】B【分析】由三角形面积关系得出P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P，则BB'l，PBPB&
26、#39;，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PMBC于M，则BB'2PMAD，证明BB'C是等腰直角三角形，得出B'45°，求出PBB'B'45°，即可得出答案【详解】SPBCSABC，P在与BC平行，且到BC的距离为AD的直线l上，如图，lBC，作点B关于直线l的对称点B'，连接B'C交l于P， 则BB'l，PBPB'，此时点P到B、C两点距离之和最小，作PMBC于M，则BB'2PMAD，ADBC，ADBC，BB'BC，BB'BC，BB'C是等腰直角三角形，B'
27、;45°，PBPB'，PBB'B'45°，PBC90°45°45°；故选B【点睛】本题考查了轴对称最短路线问题、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质、三角形面积等知识；熟练掌握轴对称的性质是解题的关键10（2021·江苏·南通第一初中八年级期末）如图，等腰的底边BC长为4cm，面积为，腰AC的垂直平分线EF交AC于点E，交AB于点F，D为BC的中点，M为直线EF上的动点则周长的最小值为（）A6cmB8cmC9cmD10cm【答案】D【分析】连接AD，AM，由于ABC是等腰三角形，点D是BC边的
28、中点，故ADBC，再根据三角形的面积公式求出AD的长，再根据EF是线段AC的垂直平分线可知，点A关于直线EF的对称点为点C，MAMC，推出MC+DMMA+DMAD，故AD的长为BM+MD的最小值，由此即可得出结论【详解】解：连接AD，MA ABC是等腰三角形，点D是BC边的中点，ADBC，SABCBCAD×4×AD16，解得AD8 cm，EF是线段AC的垂直平分线，MAMC，MC+DMMA+DMAD，AD的长为CM+MD的最小值，CDM的周长最短（CM+MD）+CDAD+BC8+×410（cm）故选：D【点睛】本题考查的是轴对称最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一
29、的性质和垂直平分线的性质是解答此题的关键二、填空题11（2021·江苏淮安·八年级期末）如图，为内部一条射线，点为射线上一点，点分别为边上动点，则周长的最小值为_【答案】6【分析】作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2，与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，则此时M、N符合题意，求出线段P1P2的长即可【详解】解：作点P关于OA的对称点P1，点P关于OB的对称点P2，连结P1P2与OA的交点即为点M，与OB的交点即为点N，PMN的最小周长为PMMNPNP1MMNP2NP1P2，即为线段P1P2的长，连结OP1、OP2，则OP1OP2OP6，
30、又P1OP22AOB60°，OP1P2是等边三角形，P1P2OP16，即PMN的周长的最小值是6故答案是：6【点睛】本题考查了等边三角形的性质和判定，轴对称最短路线问题的应用，关键是确定M、N的位置12（2021·江苏玄武·八年级期末）如图，在中，的垂直平分线分别与交于点，的垂直平分线分别与交于点，则的周长是_【答案】16【分析】根据线段的垂直平分线的性质得到EBEA、AFFC，根据三角形的周长公式计算，得到答案【详解】解：DE是AB边的垂直平分线，EBEA，FG是AC边的垂直平分线，AFFC，AEF的周长=AF+AE+EF=FC+BE+EF=EC+EF+BE+E
31、F=BC+2EF=10+6=16，故答案为：16【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键13（2021·江苏句容·八年级期末）如图，已知在四边形ABCD中，BCD90°，BD平分ABC，AB12，BC18，CD8，则四边形ABCD的面积是_【答案】【分析】过点D作DEBA的延长线于点E，利用角平分线的性质可得出DEDC8，再利用三角形的面积公式结合S四边形ABCDSABDSBCD，可求出四边形ABCD的面积【详解】解：过点D作DEBA的延长线于点E，如图所示又BD平分ABC，BCD90°
32、，DEDC8，S四边形ABCDSABDSBCD，ABDEBCCD，×12×8×18×8，120故答案为：120【点睛】本题考查了角平分线的性质以及三角形的面积，利用角平分线的性质，找出DE8是解题的关键14（2021·江苏靖江·八年级期末）如图，已知AOB=30°，点P在射线OA上，OP=16，点E、点F在射线OB上，PE=PF，EF=6若点D是射线OB上一动点，当PDE=45°时，DF的长为_【答案】5或11【分析】过点P作PHOB于点H，根据PE=PF，可得EH=FH=EF=3，根据AOB=30°，O
33、P=16，可得PH=OP=8，当点D运动到点F右侧或当点D运动到点F左侧时，分别计算可得DF的长【详解】如图，过点P作PHOB于点H，PE=PF，EH=FH=EF=3，AOB=30°，OP=16，PH=OP=8，当点D运动到点F右侧时，PDE=45°，DPH=45°，PH=DH=8，DF=DH-FH=8-3=5；当点D运动到点F左侧时，DF=DH+FH=8+3=11所以DF的长为5或11故答案为：5或11【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、等腰三角形的性质，解决本题的关键是分两种情况画图解答15（2021·江苏海安·八年级期末）如图
34、，中，若是的中点，垂足是，则的值等于_【答案】【分析】已知AB=AC，BAC=120°，根据等腰三角形性质及内角和定理可推出B=C=30°，连接AD，可求得ADE=B=30°，再由直角三角形性质即可求解【详解】解：如图，连接AD，AB=AC，BAC=120°，D是BC的中点，B=C=30°，ADB=90°DEAB，BED=ADB90°B+BDE=ADE+BDE=90°ADE=B=30°，设AE=x，则AD=2x，AB=2AD=4x，EB=AB-AE=3x，故答案为：【点睛】本题考查了等腰三角形与直角三角形
35、的性质，掌握等腰三角形与含30°角的直角三角形的性质并准确作出辅助线是解答本题的关键16（2021·江苏徐州·八年级期末）如图，MON=33°，点P在MON的边ON上，以点P为圆心，PO为半径画弧，角OM于点A，连接AP，则APN=_【答案】66°【分析】根据等腰三角形的性质可知MON=PAO，再用外角的性质求解即可【详解】解：由作图可知，PO=PA，MON=PAO=33°，APN=MON+PAO=66°，故答案为：66°【点睛】本题考查了等腰三角形的性质和外角的性质，解题关键是通过作图得到等腰三角形，依据等腰三角
36、形的性质熟练计算17（2021·江苏东台·八年级期末）如图，在ABC中，ACB90°，AC6，AB10，点O是AB边的中点，点P是射线AC上的一个动点，BQCA交PO的延长线于点Q，OMPQ交BC边于点M当CP1时，BM的长为_【答案】2.5或1【分析】如图，设BM=x，首先证明BQ=AP，分两种情形，利用勾股定理，构建方程求解即可【详解】解：如图，设BMx，在RtABC中，AB10，AC6，BC8，QBAP，AOBQ，O是AB的中点，OAOB，在OAP和OBQ中，OAPOBQ（ASA），PABQ615，OQOP，OMPQ，MQMP，52+x212+（8x）2，解
37、得x2.5当点P在AC的延长线上时，同法可得72+x212+（8x）2，解得x1，综上所述，满足条件的BM的值为2.5或1故答案为：2.5或1【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题18（2021·江苏泰兴·八年级期末）如图，BD是ABC的角平分线，DEAB，垂足为E，ABC的面积为60，AB16，BC14，则DE的长等于_【答案】4【分析】过点D作DFBC，垂足为F，根据角平分线的性质得到FD=DE，再利用面积求DE即可【详解】解：过点D作DFBC，垂足为F，BD
38、是ABC的角平分线，DEAB，DFBC，FD=DE，DE=4，故答案为：4【点睛】本题考查是角平分线的性质，解题关键是熟知角平分线性质，作垂线，利用面积求DE19（2021·江苏无锡·八年级期末）如图，在ABC中，边AB、AC的垂直平分线交于点O，若BOC80°，则A_【答案】40°【分析】连接OA，根据三角形内角和定理得到OBC+OCB=100°，根据线段垂直平分线的性质得到AO=BO，AO=CO，根据等腰三角形的性质计算即可【详解】解：连接OA，BOC80°，OBC+OCB100°，OAB+OBA+OAC+OCA80&#
39、176;，AB、AC的垂直平分线交于点O，AOBO，AOCO，OABOBA，OACOCA，BACOAB+OAC40°，故答案为：40°【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键20（2021·江苏高邮·八年级期末）如图，在中，线段的垂直平分线交于点，连接，若，则的度数为_°【答案】30【分析】根据三角形的外角性质求出CDB，根据线段垂直平分线的性质得到DA=DB，根据等腰三角形的性质得到A=B，根据三角形的外角性质计算，得到答案【详解】解：C=80°，CBD=40
40、76;，CDB=180°-C-CBD=60°，线段AB的垂直平分线交AC于点D，DA=DB，A=DBA=CDB=30°，故答案为：30【点睛】本题考查的是线段的垂直平分线的性质、三角形的外角性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键三、解答题21（2021·江苏泰兴·八年级期末）如图1，将三角形纸片ABC，沿AE折叠，使点B落在BC上的F点处；展开后，再沿BD折叠，使点A恰好仍落在BC上的F点处（如图2），连接DF（1）求ABC的度数；（2）若CDF为直角三角形，且CFD=90°，求C的度数；（3）若CDF
41、为等腰三角形，求C的度数【答案】（1）60°；（2）30°；（3）20°或40°【分析】（1）由折叠的性质可知ABF是等边三角形，即可得出结论；（2）根据折叠的性质及三角形内角和定理即可得出结论；（3）根据折叠的性质、三角形外角的性质及等腰三角形的性质表示出AFD，根据平角的定义表示出DFC，然后分三种情况讨论即可得出结论【详解】解：（1）由折叠的性质可知：AB=AF，BA=BF，AB=BF=AF，ABF是等边三角形，ABC=AFB=60°；（2）CFD=90°，BFD=90°由折叠的性质可知：BAD=BFD，BAC=BAD
42、=90°，C=180°-BAC-ABC=180°-90°-60°=30°；（3）设C=x°由折叠的性质可知，AD=DF，FAD=AFDAFB=FAD+C，FAD=AFB-C=60°-x，AFD=60°-x，DFC=180°-AFB-AFD=180°-60°-（60°-x）=60°+xCDF为等腰三角形，分三种情况讨论：若CF=CD，则CFD=CDF，60°+x+60°+x+x=180°，解得：x=20°；若DF=DC
43、，则DFC=C，60°+x=x，无解，此种情况不成立；若DF=FC，则FDC=C=x，60°+x+x+x=180°，解得：x=40°综上所述：C的度数为20°或40°【点睛】本题考查了等边三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，折叠的性质分三种情况讨论是解答本题的关键22（2021·江苏无锡·八年级期末）如图，在四边形ABCD中，B90°，AC平分DAB，DEAC，垂足为E，且AEAB（1）请找出图中的全等三角形，并给予证明；（2）若DAC30°，求DCA的度数【答案】（1）ABCAED，证
44、明见解析；（2）DCA75°【分析】（1）根据ASA证明ABCAED即可；（2）根据ABCAED可得AC=AD，根据等腰三角形的性质即可解决问题【详解】解：（1）ABCAED证明：在ABC和AED中，ABCAED（ASA）；（2）ABCAED，ACAD，ACDADC，DAC30°，ACD=75°【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质23（2021·江苏金湖·八年级期末）如图，点D是ABC内部的一点，BDCD，过点D作DEAB，DFAC，垂足分别为E、F，且BECF（1）求证：DBEDCF；（2）求证：ABC为等腰三角形【答案】(1)见解析(2)见解析【分析】（1）根据HL可证明RtDBERtDCF；（2）由全等三角形的性质得出EBDFCD，由等腰三角形的性质得出DBCDCB，则可得出结论【详解】证明：（1）DEAB，DFAC，BEDCFD90°在RtBDE和RtCDF中，RtBDERtCDF（HL）；（2）RtDBERtDCF，EBDFCD，BDCD，DBCDCB，DBCEBDDCBFCD，即ABCACB，ABAC【点睛】本题考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等
