1、2021-2022学年苏科版八年级数学下期末历年解答压轴题一、解答题1（2021江苏无锡八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60得到（1）点的坐标为_；连接，若轴，则的值为_；（2）如果当点落在上时，求的长；请直接写出最小值2（2021江苏南通八年级期末）【阅读材料】小慧同学数学写作片段乘法公式“大家族”学习整式的乘法及因式分解之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如，；【解题运用】（1）在实数范围内因式分解：_；（2）设满足
2、等式，求的值；（3）若正数满足等式，求代数式的值3（2019江苏兴化市北郊中心中学八年级期末）先观察下列等式，再回答问题： =1+1=2；=2+ =2 ；=3+=3；（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明4（2018江苏泰兴市黄桥初级中学八年级期末）在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如：.善于动脑的小明继续探究：当为正整数时，若，则有，所以，.请模仿小明的方法探索并解决下列问题：（1）当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得： ， ；（2）填空：
3、= - ；（3）若，且为正整数，求的值.5（2021江苏淮安八年级期末）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线的图象经过点A(1)菱形OABC的边长为 ；(2)求双曲线的函数关系式；(3)点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于x轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；将点P绕点A逆时针旋转90得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标6（2021江苏徐州八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图像经过点A（3，m）与B（6，m6），过点A作ACx轴，垂足为C，连接AB、BC（1）求m的值；（2）
4、求证：ABC为等腰三角形；（3）第一象限是否存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由7（2021江苏常州八年级期末）在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点”（1）若，则点的“影射点”的坐标是_；点的“影射点”的坐标是_；（2）若点在一次函数的图像上，其“影射点”在一次函数的图像上，则的值是_；（3）如图，已知点是点的“影射点，点是反比例函数图像上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求的值8（2021江苏镇江八年级期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般
5、好，隔裂分家万事休”数形结合是解决数学问题的重要思想方法阅读下列材料，回答问题：对任意的实数a、b而言，a22ab+b2（ab）20，即a2+b22ab易知当ab时，（ab）20，即：a22ab+b20，所以a2+b22ab若ab，则（ab）20，所以a2+b22ab类比论证对于任意正实数a、b，0，a+b 2（填“”、“”、“”或“”）几何验证如图（1），在ABC中，ACB90，CDAB于点D，CE为ABC的中线，若ADa，BD=b，试根据图形证明：a+b2结论应用若a0，则当a 时，代数式a+有最小值为 问题解决（1）某汽车零件生产公司为提高工作效率，购进了一批自动化生产设备，已知每台设备
6、每天的运营成本包含以下三个部分：一是固定费用，共3600元；二是材料损耗费，每个零件损耗约为5元（元），三是设备折旧费（元），它与生产的零件个数x的函数关系式为0.0001x2，设该设备每天生产汽车零件x个当x为多少时，该设备每生产一个零件的运营成本最低？最低是多少元？（2）如图（2），在平面直角坐标系中，直线y4与坐标轴分别交于点A、B，点M为反比例函数y（x0）上的任意一点，过点M作MCx轴于点C, MDy轴于点D则四边形ABCD面积的最小值为 9（2021江苏南师附中新城初中八年级期末）问题：我们已经知道反比例函数的图象是双曲线，那么函数y的图象是怎样的呢？【经验】（1）我们在研究反比例
7、函数的图象和性质的时候是从以下两个方面来探究的：由数想形：先根据表达式中x、y的数量关系，初步估计图象的基本概貌如：形状（直线或曲线）；位置（所在区域、与直线或坐标轴的交点情况）；趋势（上升、下降）；对称性等描点画图：根据已有的函数画图的经验，利用描点画图（2）我们知道，函数y的图象是如图1所示的两条曲线，一支在过点(1，0)且平行于y轴的直线的右侧且在x轴的上方，另一支在过点(1，0)且平行于y轴的直线的左侧且在x轴的下方【探索】请你根据以上经验，研究函数y的图象和性质并解决相关问题（1）由数想形： ； （请你写出两条）（2）描点画图：列表：如表是x与y的几组对应值，其中a ；b ； x76
8、54210124567ya23663b36632描点：根据表中各组对应值(x，y)，在平直角坐标系中描出各点连线：用平滑的曲线顺次连接备点，请你把图象（如图2）补充完整【应用】观察你所画的函数图象，解答下列问题：（3）若点A(a，c)，B(b，c)为该函数图象上不同的两点，则a+b ；（4）直接写出当2时，x的取值范围为 10（2021江苏扬州八年级期末）探究函数的图象与性质（1）函数的自变量的取值范围是 ；（2）下列四个函数图象中，函数的图象大致是 ；（3）对于函数，求当时，的取值范围请将下面求解此问题的过程补充完整：解：， ，的取值范围为 【拓展应用】（4）若函数，当时，求的取值范围11（
9、2021江苏连云港八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线l：y2x+2与x轴交于点B，将直线l绕着点B逆时针旋转45后，与y轴交于点A，过点A作ACAB，交直线l于点C（1）点B的坐标为；（2）求C点的坐标；（3）将ABC以每秒2个单位的速度沿y轴向上平移t秒，若存在某一时刻t，使点B、C两点的对应点E、F正好落在某反比例函数的图象上，点A对应点D，请求出此时t的值以及这个反比例函数的解析式；（4）在（3）的情况下，若已知点P是x轴上的动点，点Q是反比例函数图象上的动点，是否存在点P、Q使得以P、Q、E、F四个点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合题意的点Q的坐标；若不存在，
10、请说明理由12（2021江苏苏州八年级期末）定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点A，D在直线上，点B，C在直上，若BAD2BCD，则四边形ABCD是半对角四边形（1）如图2，点E是矩形ABCD的边AD上一点，AB1，AE2若四边形ABCE为半对角四边形，求AD的长：（2）如图3，以ABCD的顶点C为坐标原点，边CD所在直线为x轴，对角线AC所在直线为y轴，建立平面直角坐标系点E是边AD上一点，满足BCAECE求证：四边形ABCE是半对角四边形；（3）在（2）的条件下，当ABAE，B60时，将四边形ABCE向左平移a（a0）个单位后，恰有两个
11、顶点落在反比例函数的图像上，求k的值13（2021江苏淮安八年级期末）（1）【探究新知】如图1，已知与的面积相等，试判断与的位置关系，并说明理由（2）【结论应用】如图2，点M，N在反比例函数的图像上，过点M作轴，过点N作轴，垂足分别为E，F试证明：（3）【拓展延伸】若第（2）问中的其他条件不变，只改变点M，N在反比例函数图像上的位置，如图3所示，与x轴、y轴分别交于点A、点B，若，请求的长14（2021江苏泰州八年级期末）已知：如图1，函数和的图象相交于点和点（1）求点和点的坐标（用含的式子表示）；（2）如图2，点的坐标为，点是第一象限内函数的图象上的动点，且在点的右侧，直线、分别与轴相交于点
12、、判定的形状，并说明理由；点在运动的过程中，和的度数和是否变化？如果变化，说明理由；如果不变，求出和的度数和15（2021江苏泰州八年级期末）如图，一次函数()的图像与轴交于点，与反比例函数()的图像交于点（1） ； ；（2）点是线段上一点(不与重合)，过点且平行于轴的直线交该反比例函数的图像于点，连接，若四边形的面积，求点的坐标；（3）将第（2）小题中的沿射线方向平移一定的距离后，得到，若点 的对应点恰好落在该反比例函数图像上(如图)，求此时点的对应点的坐标16（2022江苏无锡八年级期末）某兴趣小组利用计算机进行电子虫运动实验如图1，在相距100个单位长度的线段AB上，电子虫甲从端点A出发
13、，匀速往返于端点A、B之间，电子虫乙同时从端点B出发，设定不低于甲的速度匀速往返于端点B、A之间他们到达端点后立即转身折返，用时忽略不计兴趣小组成员重点探究了甲、乙迎面相遇的情况，这里的“迎面相遇”包括面对面相遇、在端点处相遇这两种设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第二次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为y个单位长度(1)请直接写出：当x20时，y的值为_；当x40时，y的值为_；(2)兴趣小组成员发现了y与x的函数关系，并画出了部分函数图像（如图2中的线段OM，但不包括点O，因此点O用空心画出）请直接写出：a_；分别求出各部分图像对应的函数解析式，并在
14、图2中补全函数图像，标出关键点的坐标；(3)设甲、乙第一次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为x个单位长度，他们第三次迎面相遇时，相遇地点与点A之间的距离为z个单位长度若z不超过40，则x的取值范围是_（直接写出结果）17（2020江苏南通八年级期末）定义：若两个分式的和为（为正整数），则称这两个分式互为“阶分式”，例如分式与互为“3阶分式”.（1）分式与 互为“5阶分式”；（2）设正数互为倒数，求证：分式与互为“2阶分式”；（3）若分式与互为“1阶分式”（其中为正数），求的值.18（2022江苏淮安八年级期末）模型建立如图1，等腰直角三角形ABC中，ACB=90，CB=CA，直线ED经过点
15、C，过A作ADED于点D，过B作BEED于点E，易证明BECCDA（无需证明），我们将这一个模型称为“K形图”接下来我们就利用这个模型来解决一些问题：模型运用(1)如图1，若AD=2，BE=4，则ABC的面积为_；(2)如图2，在平面直角坐标系中，点C坐标为（0，2），点A坐标为（4，0），将线段CA绕点C逆时针旋转90，得线段CB，连接线段AB，则点B坐标为_；(3)如图3，在平面直角坐标系中，直线l函数关系式为交x轴于点B若将直线l绕点B顺时针旋转45得直线l，问：直线l是否经过点A（，1）请说明理由模型拓展(4)如图4在平面直角坐标系中，已知点B（0，4），P是直线上一点，将线段BP延长
16、至点Q，使，将线段BQ绕点B顺时针旋转45后得BA，直接写出OA的最小值为_（，结果精确到0.1）19（2022江苏宿迁八年级期末）问题背景：如图1，在等边中，点为边上一个动点（点不与，重合），连接，把绕点顺时针旋转60到，连接探究、之间的数量关系小明同学的探究思路是：过点作，交边于点（如图2），易证是等边三角形，并且，所以，从而(1)结论应用：在图1中，若，则_cm；在图1中，若，点为的中点，则的最小值为_cm；(2)类比探究：如图3，若点为等边边延长线上一点，连接，把绕点顺时针旋转60到，连接若，求的长(3)拓展延伸：如图4，是等腰直角三角形，点为边上一个动点（点不与、重合），连接，把绕点
17、顺时针旋转90到，连接直接写出、之间的数量关系20（2022江苏无锡八年级期末）如图1，点的坐标为，点为轴正半轴上一个动点，将点绕着点顺时针旋转90到的位置(1)若点的横坐标为：-2，求直线的函数表达式；(2)如图2，若轴恰好平分，与轴相交于点，过点作于点，试探究与的数量关系；(3)如图3，将点绕着点逆时针旋转90到点，连接，在点的运动过程中，与轴相交于点，则线段的长度是否改变？若不变，求出的长度，若改变，请说明理由21（2022江苏沭阳县怀文中学九年级期末）在矩形ABCD的CD边上取一点E，将沿BE翻折，得到(1)如图1，点F恰好在AD上，若，求出AB：BC的值(2)如图2，E从C到D的运动
18、过程中若，的角平分线交EF的延长线于点M，求M到AD的距离：在的条件下，E从C到D的过程中，直接写出M运动的路径长22（2021江苏镇江八年级期末）综合与实践如图，四边形ABCD和AFGH都为正方形，点F、H分别在AB、AD上，连接BD、BH、FH，点N、M、K分别是它们的中点（1）观察思考图（1）中，线段MN和MK的数量关系和位置关系为 （2）探究证明将正方形AFGH绕点A旋转，在旋转的过程中MN和MK的上述关系是否发生变化？并结合图（2）说明理由（3）连接DF，取DF的中点R，连接NR，KR判断四边形MNRK的形状，并说明理由；若AD6，AH2，在旋转的过程中，四边形MNRK的周长的最大值
19、为 23（2021江苏泰州八年级期末）如图，正方形ABCD边长为4，点G在边AD上（不与点A、D重合），BG的垂直平分线分别交AB、CD于E、F两点，连接EG（1）当AG=1时，求EG的长；（2）当AG的值等于 时，BE=82DF；（3）过G点作GMEG交CD于M求证：GB平分AGM；设AG=x，CM=y，试说明的值为定值24（2021江苏仪征市第三中学八年级期末）【问题情境】：如图1，点E为正方形ABCD内一点，AE2，BE4，AEB90，将直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转度（0180）点B、E的对应点分别为点B、E；【问题解决】：（1）如图2，在旋转的过程中，点B落在了AC上，求此时C
20、B的长；（2）若90，如图3，得到ADE（此时B与D重合），延长BE交BE于点F，试判断四边形AEFE的形状，并说明理由；连接CE，求CE的长；（3）在直角三角形ABE绕点A逆时针方向旋转过程中，直接写出线段CE长度的取值范围25（2021江苏南通八年级期末）如图，四边形为菱形，点E为边上动点（不含端点）点B关于直线的对称点为点F，点H为中点（1）若，求的长；（2）作，垂足为G，当时，求的度数；（3）在（2）的条件下，设射线交于M，求的长26（2021江苏扬州八年级期末）【问题情境】在综合实践课上，同学们以“正方形和直线的旋转”为主题分组开展数学探究活动，已知正方形，直线经过点，并绕点旋转，作
21、点关于直线的对称点，直线交直线于点，连结、【操作发现】（1）如图1，若则 ， 【拓展应用】（2）如图2，当直线在正方形的外部时判断的度数是否为一个定值？如果是，请求出此定值；如果不是，请说明理由线段、之间存在特殊的数量关系，请写出这一关系式，并说明理由27（2021江苏沭阳县修远中学八年级期末）ABC中，BAC=90，AB=AC，点D为直线BC上一动点（点D不与B，C重合），以AD为边在AD右侧作正方形ADEF，连接CF（1）观察猜想如图1，当点D在线段BC上时， BC与CF的位置关系为 ； BC，CD，CF之间的数量关系为 （直接写出结论）（2）数学思考如图2，当点D在线段CB的延长线上时，
22、结论，是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展延伸如图3，当点D在线段BC的延长线上时，延长BA交CF于点G，连接GE若已知AB=， CD=BC，则GE的长为 （请直接写出结果）28（2021江苏南京八年级期末）如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，点F在BC上，AF与DE相交于点G，AFDE，求证：DGF90（1）请完成上题的证明过程（2）如图，在菱形ABCD中，点E在AB上，点F在射线BC上，AF与DE相交于点G，AFDE，求证：DGFB（3）如图，已知四边形ABCD，利用直尺和圆规作线段EF，使点E、F分别在AB、CD上，且满足EFAC，EF与A
23、C相交所形成的锐角等于B29（2021江苏无锡八年级期末）如图，已知正方形点在边上，以为边在左侧作正方形；以为邻边作平行四边形连接 （1）判断和的数量及位置关系，并说明理由；（2）将绕点顺时针旋转，在旋转过程中，和的数量及位置关系是否发生变化？请说明理由30（2021江苏镇江八年级期末）如图，将矩形ABCD绕点顺A时针旋转(0360)，得到矩形AEFG.（1）如图1当点E在BD上时，求证：BEA=BDC；连接AF，判断四边形BAFD的形状，并说明理由（2）若AB=4，AD=，当GCGB时，求ED的长度（画出图形，直接写出结果）31（2021江苏江苏八年级期末）在中，点为直线上一动点（点不与重合
24、），以为边在右侧作正方形，连接（1）探究猜想如图1，当点在线段上时，与的位置关系为 ；之间的数量关系为 ；（2）深入思考：如图2，当点在线段的延长线上时，结论、是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请你写出正确结论再给予证明（3）拓展延伸如图3，当点在线段的延长线上时，正方形对角线交于点若已知，请求出的长32（2021江苏景山中学八年级期末）综合与实践：如图1，已知ABC，ABAC，点D、E分别在边AB、AC上，ADAE，连接DC，点P、Q、M分别为DE、BC、DC的中点（1）观察猜想在图1中，线段PM与QM的数量关系是 （2）探究证明当BAC60，把ADE绕点A顺时针方向旋转到图2的位
25、置，判断PMQ的形状，并说明理由（3）拓展延伸当BAC90，ABAC6，ADAE2，再连接BE，再取BE的中点N，把ADE绕点A在平面内自由旋转，如图3，请你判断四边形PMQN的形状，并说明理由请直接写出四边形PMQN面积的最大值2021-2022学年苏科版八年级数学下期末历年解答压轴题一、解答题1（2021江苏无锡八年级期末）如图1，在平面直角坐标系中，矩形的边、分别在轴、轴上，已知，上有一点，将绕着点顺时针旋转60得到（1）点的坐标为_；连接，若轴，则的值为_；（2）如果当点落在上时，求的长；请直接写出最小值【答案】（1），；（2）的长为；最小值为2【解析】【分析】（1）如图，连接 过作于
26、 证明是等边三角形，利用等边三角形的性质与勾股定理可得的坐标，如图，当轴于时，而再利用等边三角形的性质与勾股定理求解 从而可得答案；（2）如图，当点落在上时，同理可得：为等边三角形，过作于 则 结合 利用含的直角三角形的性质与勾股定理求解 再求解 从而可得答案；如图，作直线 交于 过作于 过作于 先证明在直线上运动，再求解直线的解析式，可得为则 当旋转到与重合时，最短，画出图形，再由旋转可得： 再利用直角三角形的性质可得 从而建立方程求解 从而可得答案.解：（1）如图，连接 过作于 是等边三角形， 如图，当轴于时，而同理可得：为等边三角形， 故答案为：（2）如图，当点落在上时，同理可得：为等边
27、三角形，过作于 则 解得： （负根舍去） 如图，作直线 交于 过作于 过作于 由旋转与矩形的性质可得： 点旋转后落在直线上，由矩形 四边形是矩形， 设 则 设为 则 解得： 为 结合问可得点在直线上， 为则 当旋转到与重合时，最短，如图，由旋转可得： 所以的最小值为：【点睛】本题考查的是等边三角形的性质，勾股定理的应用，坐标与图形，旋转的性质，利用待定系数法求解一次函数的解析式，含的直角三角形的性质，利用平方根的含义解方程，二次根式的运算，本题综合性强，难度大，要求基础知识扎实，对学生的思维发散要求较高.2（2021江苏南通八年级期末）【阅读材料】小慧同学数学写作片段乘法公式“大家族”学习整式
28、的乘法及因式分解之后，我发现乘法公式不只是教材上“黑体字”明确的“平方差公式”“完全平方公式和”，其实在教材或平时的练习中还“隐含”一些“乘法公式”值得积累，比如，；【解题运用】（1）在实数范围内因式分解：_；（2）设满足等式，求的值；（3）若正数满足等式，求代数式的值【答案】（1）；（2）12；（3）【解析】【分析】（1）根据公式即可完成多项式的因式分解；（2）利用公式法将多项式转化为，求得即可计算出结果；（3）利用公式可将分解为，并再根据完全平方公式将分解结果转化为，再由已知可推出，将其代入化简后的代数式即可得出计算结果解：（1），故答案为：（2），则，（3），原式【点睛】本题主要考查了因
29、式分解的应用，掌握因式分解的基本方法，牢记因式分解的相关公式且准确灵活运用公式是解题的关键3（2019江苏兴化市北郊中心中学八年级期末）先观察下列等式，再回答问题： =1+1=2；=2+ =2 ；=3+=3；（1）根据上面三个等式提供的信息，请猜想第四个等式；（2）请按照上面各等式规律，试写出用 n（n 为正整数）表示的等式，并用所学知识证明【答案】（1）；（2），证明见解析【解析】【分析】（1）根据“第一个等式内数字为1，第二个等式内数字为2，第三个等式内数字为3”，即可猜想出第四个等式为44；（2）根据等式的变化，找出变化规律“n”，再利用开方即可证出结论成立（1）1+1=2；22；33；
30、里面的数字分别为1、2、3， （2）观察，发现规律：1+1=2，223344， 证明：等式左边=n右边故n成立【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简以及规律型中数的变化类，解题的关键是：（1）猜测出第四个等式中变化的数字为4；（2）找出变化规律“n”解决该题型题目时，根据数值的变化找出变化规律是关键4（2018江苏泰兴市黄桥初级中学八年级期末）在学习了二次根式后，小明同学发现有的二次根式可以写成另一个二次根式的平方的形式.比如：.善于动脑的小明继续探究：当为正整数时，若，则有，所以，.请模仿小明的方法探索并解决下列问题：（1）当为正整数时，若，请用含有的式子分别表示，得： ， ；（2）填空：=
31、 - ；（3）若，且为正整数，求的值.【答案】（1），；（2）；（3）或46.【解析】试题分析：（1）把等式右边展开，参考范例中的方法即可求得本题答案；（2）由（1）中结论可得： ，结合都为正整数可得：m=2，n=1，这样就可得到：；（3）将右边展开，整理可得：，结合为正整数，即可先求得的值，再求的值即可.试题解析：（1），；（2）由（1）中结论可得： ，都为正整数， 或 ，当m=1，n=2时，而当m=2，n=1时，m=2，n=1，；（3）， ，又为正整数， 或者，当时，；当，即的值为：46或14.5（2021江苏淮安八年级期末）如图，菱形OABC的点B在y轴上，点C坐标为（4，3），双曲线的
32、图象经过点A(1)菱形OABC的边长为 ；(2)求双曲线的函数关系式；(3)点B关于点O的对称点为D点，过D作直线l垂直于x轴，点P是直线l上一个动点，点E在双曲线上，当P、E、A、B四点构成平行四边形时，求点E的坐标；将点P绕点A逆时针旋转90得点Q，当点Q落在双曲线上时，求点Q的坐标【答案】(1)5(2)(3)当E点坐标为（，15）或（4，-3）或（，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；点Q的坐标为（5，）【解析】【分析】（1）如图所示，连接AC交y轴于J，根据菱形的性质可得ACOB，AJ=JC，OJ=BJ，由点C的坐标为（4，3），得到AJ=JC=4，OJ=BJ=3，
33、则；（2）先求出A点坐标，然后用待定系数法求出反比例函数解析式即可；（3）分AB为以P、E、A、B四点构成平行四边形的边和对角线两种情况讨论求解即可；过点A作ATPD于T，过点Q作QRAT于R，先求出AT=9，然后证明APTQRA得到AT=RQ=9，则Q点的横坐标为5，由此求解即可(1)解：如图所示，连接AC交y轴于J，四边形OABC是菱形，ACOB，AJ=JC，OJ=BJ，点C的坐标为（4，3），AJ=JC=4，OJ=BJ=3，故答案为：5；(2)解：AJ=JC=4，OJ=BJ=3，点A的坐标为（-4，3），反比例函数经过点A（-4，3），反比例函数解析式为；(3)解：设E点坐标为（m，），
34、OJ=BJ=3，OB=6，B点坐标为（0，6），D点坐标为（0，-6），直线l为，设P点坐标为（a，-6）当AB是以P、E、A、B四点构成平行四边形的对角线时，线段AB与线段PE的中点坐标相同，点E的坐标为（，15）；如图所示，当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时，与的中点坐标相同，的坐标为（4，-3）；同理可以求出当AB为平行四边形的边时，即以P、E、A、B四点构成平行四边形为时，点的坐标为（，-9）；综上所述，当E点坐标为（，15）或（4，-3）或（，-9）时，以P、E、A、B四点构成的四边形是平行四边形；如图所示，过点A作ATPD于T，过点Q作QRAT于R，
35、点A的坐标为（-4，3），直线l为，AT=9，ATP=QRA=PAQ=90，PAT+APT=90，PAT+QAR=90，APT=QAR，又AP=QA，APTQRA（AAS），AT=RQ=9，Q点的横坐标为5，Q在反比例函数上，点Q的坐标为（5，）【点睛】本题主要考查了反比例函数与几何综合，菱形的性质，勾股定理，全等三角形的性质与判定，平行四边形的性质，坐标与图形，熟知相关知识是解题的关键6（2021江苏徐州八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y的图像经过点A（3，m）与B（6，m6），过点A作ACx轴，垂足为C，连接AB、BC（1）求m的值；（2）求证：ABC为等腰三角形；（3）第
36、一象限是否存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由【答案】（1）；（2）见解析；（3）不存在符合题意的点D，E，理由见解析【解析】【分析】（1）把与分别代入，解方程即可得到结论；（2）过作于点，由（1）得到点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，推出，得到垂直平分，根据等腰三角形的判定定理即可得到结论；（3）分三种情况逐个讨论即可：以为边在右侧作正方形，过作于点，根据全等三角形的判定与性质得到，求得，进而求得点E（9，3）在第四象限，于是得到结论；再以为对角线作正方形，过点E作x轴的垂线，垂足为点H，过点B作BFEH，垂
37、足为点F，根据全等三角形的判定与性质求得，进而求得点D（7.5，1.5），进而可判断此时的这两点都不在反比例函数图象上，由此可得结论；最后以为边在左侧作正方形，过B作于点F，过E作于点H，根据全等三角形的判定与性质求得在第二象限，由此可得结论解：（1）反比例函数的图象经过点与，且，解得：；（2）如图，过作于点，点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为，点纵的坐标为6，即，的纵坐标为12，则，垂直平分，为等腰三角形；（3）不存在，理由如下：如图，以为边在右侧作正方形，过作于点， ，在与中，又，解得：，点E的坐标为（9，3），点在第四象限，不合题意；如图，以为对角线作正方形，过点E作x轴的垂线，垂足为点
38、H，过点B作BFEH，垂足为点F，四边形为正方形，BFEH，EHCH，在与中，设，解得：，点E的坐标为（1.5，4.5），正方形的对角线互相平分，解得：，点D的坐标为（7.5，1.5），反比例函数y的图像经过点B（6， 6），k6636，7.51.536，1.54.536，点D、E均不在反比例函数的图象上，此时不存在符合题意的点D，E，如图，以为边在左侧作正方形，过B作于点F，过E作于点H，四边形为正方形，BFOC，EHOC，在与中，点E的坐标为（3，3），点在第二象限，不合题意，综上所述，在第一象限不存在D、E，使得D在双曲线上，且以点B、C、D、E为顶点的四边形是正方形【点睛】本题是一道反
39、比例函数与几何图形的综合题，考查了反比例的图象与性质，全等三角形的判定和性质，线段垂直平分线的判定和性质，正方形的性质，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键7（2021江苏常州八年级期末）在平面直角坐标系中，点绕点旋转得到点，我们称点是点的“影射点”（1）若，则点的“影射点”的坐标是_；点的“影射点”的坐标是_；（2）若点在一次函数的图像上，其“影射点”在一次函数的图像上，则的值是_；（3）如图，已知点是点的“影射点，点是反比例函数图像上一点，若是以为直角边的等腰直角三角形，求的值【答案】（1）；（2）1；（3）或【解析】【分析】（1）根据“影射点”的定义，将，绕点旋转180，根据中心对
40、称即可求得；（2）根据定义，是轴上的点，先确定直线与轴的交点，根据交点互为“影射点”即可求得；（3）根据点是点的“影射点，是以为直角边的等腰直角三角形，再根据点是反比例函数图像上一点，分类讨论如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为，证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得，同的方法，如图，当时，过点作轴，分别过向作垂线，垂足为，先求得点的坐标，进而证明，进而求得的坐标，根据点是反比例函数图像上一点，根据反比例函数的定义求得（1）设的坐标是的坐标是，绕点旋转180，；，故答案为：；，（2）根据定义，是轴上的点，设，点在一次函数，令，得,则与轴的交点为，其
41、“影射点”在一次函数，令，得，则与轴的交点为，解得：，故答案为：1，（3）如图，当时，连接 ，分别过向轴作垂线，垂足为，在上，解得 或者，如图，当时，过点作轴，分别过向作垂线，垂足为，解得：，即，在上，解得 综上所述，或【点睛】本题考查了中心对称的性质，中点坐标，一次函数与坐标轴交点问题，反比例函数的定义，三角形全等的性质与判定，求一个数的平方根，理解题意，数形结合，分类讨论是解题的关键8（2021江苏镇江八年级期末）我国著名数学家华罗庚先生曾说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事休”数形结合是解决数学问题的重要思想方法阅读下列材料，回答问题：对任意的实数a、b而言，a22ab+b2（ab）20，即a2+b22ab易知当ab时，（ab）20，即：a22ab+b20，所以a2+b22ab若ab，则（ab）20，所以a2+b2
