1、考题3：勾股定理问题综合一、单选题1（江苏邗江·八年级期中）如图，ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AEB=45°，BD=2，将ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B，则DB的长为（ ）A1BCD2（2020·江苏新北·八年级期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度将升旗的绳子拉直到末端刚好接触
2、地面，测得此时绳子末端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A10mB11mC12mD13m3（2021·江苏·淮安外国语学校八年级期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3若S1+S2+S312，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（）AS12BS23CS36DS1+S384（江苏·
3、泗洪县山河路实验学校八年级期末）ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC的周长为（）A42B32C42或32D37或335（2021·江苏宝应·八年级期末）如图，在ABC中，AB2，ABC60°，ACB45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AEl，BFl，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）AB2C2D36如图，等腰直角ABC中，C90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且DFE90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：图中全等的三角形只有两对；ABC的面积是四边形CD
4、FE面积的2倍；CD+CE2FA；AD2+BE2DE2其中错误结论的个数有（）A1个B2个C3个D4个7（2021·江苏苏州·八年级期末）如图，在RtABC中，ACB90°，AC=9，BC=12，AD是BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PCPQ的最小值是( )ABC12D158（2020·江苏金坛·八年级期中）如图，已知中，在BC边上取一点P（点P不与点B、C重合），使得成为等腰三角形，则这样的点P共有（ ） A1个B2个C3个D4个9（2020·江苏赣榆·八年级期中）如图，是等边三角形，点DE分别为边B
5、CAC上的点，且，点F是BE和AD的交点，垂足为点G，已知，则为（ ）A4B5C6D710（2021·江苏海安·八年级期末）如图，在中，平分边的垂直平分线分别交于点以下说法错误的是（ ）ABCD二、填空题11（2020·江苏昆山·八年级期中）如图，等腰梯形中，平分，则等于_.12（江苏·苏州中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，则BD的长为_13（2020·江苏·扬州市梅岭中学八年级期中）如图，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的面积为_14（2020&#
6、183;江苏射阳·八年级期中）如图，在等腰中，高，平分，则三角形的面积为_15（2021·江苏张家港·八年级期末）如图，在ABC中，ACB90°，ACBC6cm，D是AB的中点，点E在AC上，过点D作DFDE，交BC于点F如果AE2cm，则四边形CEDF的周长是_cm16如图，在四边形ABCD中，BAD 90°， ADC 90°，BCD 60° ，BC CD，P为四边形ABCD边上的任意一点，当AB4， APB30°时，BP的长是_17（2021·江苏昆山·八年级期末）如图，在中，是的中点，点在
7、上，过点作，交于点如果，则四边形的周长是_18（2021·江苏常州·八年级期末）如图，RtABC中，BAC90°，分别以ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：ABD、ACE、BCF，若图中阴影部分的面积S16.5，S23.5，S35.5，则S4_19（2021·江苏·姜堰区实验初中八年级期末）如图，在中，且的面积为，以、为边分别往的形外作等边、，分别过点、作、，连接、交于点，则线段的最小值为_20（2020·江苏金坛·八年级期中）如图，纸片的直角边AC落在直线l上，平面内一点O到直线l的距离为9，纸片沿直线l左右移动，
8、则的最小值是_三、解答题21（2021·江苏·南京外国语学校八年级期中）阅读理解：（问题情境）教材中小明用4张全等的直角三角形纸片拼成图1，利用此图，可以验证勾股定理吗？（探索新知）从面积的角度思考，不难发现：大正方形的面积小正方形的面积+4个直角三角形的面积从而得数学等式：（a+b）2c2+4×ab，化简证得勾股定理：a2+b2c2（初步运用）（1）如图1，若b2a，则小正方形面积：大正方形面积 ；（2）现将图1中上方的两直角三角形向内折叠，如图2，若a4，b6，此时空白部分的面积为 ；（3）如图3，将这四个直角三角形紧密地拼接，形成风车状，已知外围轮廓（实线）
9、的周长为24，OC3，求该风车状图案的面积（4）如图4，将八个全等的直角三角形紧密地拼接，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3，若S1+S2+S340，则S2 （迁移运用）如果用三张含60°的全等三角形纸片，能否拼成一个特殊图形呢？带着这个疑问，小丽拼出图5的等边三角形，你能否仿照勾股定理的验证，发现含60°的三角形三边a、b、c之间的关系，写出此等量关系式及其推导过程22（2021·江苏·泰州市第二中学附属初中八年级期末）阅读与理解：折纸，常常能为证明一个命题提供思路和方法例如，在ABC中，ABAC（如图），
10、怎样证明CB呢？分析：把AC沿A的角平分线AD翻折，因为ABAC，所以点C落在AB上的点C'处，即AC=AC'，据以上操作，易证明ACDAC'D，所以AC'D=C，又因为AC'DB，所以CB感悟与应用：（1）如图（a），在ABC中，ACB=90°，B=30°，CD平分ACB，试判断AC和AD、BC之间的数量关系，并说明理由；（2）如图（b），在四边形ABCD中，AC平分BAD，AC=16，AD=8，DC=BC=12， 求证：B+D=180°； 求AB的长23（2021·江苏·盐城市新洋初级中学八年级期末）
11、某研究性学习小组进行了探究活动，在ABC中，C90°，AB10，AC6，点O是AB的中点，将一块直角三角板的直角顶点绕点O旋转，图中的M、N分别为直角三角形的直角边与AC、BC的交点（1）如图，当三角板的一条直角边与OB重合时，点M与点A也重合，求此时CN的长；写出、 满足的数量关系_；（2）当三角板旋转到如图所示的位置时，即点M在AC上（不与A、C重合）猜想图中、这四条线段满足的数量关系：_；说明你得出此结论的理由（3）若在三角板旋转的过程中满足CMCN，请你利用图并联系上述结论，直接写出此时BN长 24（2021·江苏·无锡市查桥中学八年级期末）在小学，我们已
12、经初步了解到，长方形的对边平行且相等，每个角都是90°.如图，长方形ABCD中，AD=9cm，AB=4cm，E为边AD上一动点，从点D出发，以1cm/s向终点A运动，同时动点P从点B出发，以acm/s向终点C运动,运动的时间为ts.（1）当t=3时，求线段CE的长；当EP平分AEC时，求a的值；（2）若a=1,且CEP是以CE为腰的等腰三角形,求t的值；（3）连接DP,直接写出点C与点E关于DP对称时的a与t的值.25（2020·江苏·盐城市初级中学八年级期中）如图，ABC中，AB10cm，BC6cm，AC8cm，若动点P从点C开始，按CAB的路径运动，且速度为每
13、秒2cm，设出发的时间为t秒（1）请判断ABC的形状，说明理由（2）当t为何值时，BCP是以BC为腰的等腰三角形（3）另有一点Q，从点C开始，按CBAC的路径运动，且速度为每秒1cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动直接写出t为何值时，P、Q两点之间的距离为？26（2020·江苏江都·八年级期中）定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么这个三角形叫“恰等三角形”，这条中线叫“恰等中线”（直角三角形中的“恰等中线”）（1）如图1，在中，为的中线求证：是“恰等中线”（等腰三角形中的“恰等中线”）（2）已知，等腰是“恰等三角形”，求
14、底边的平方27（2020·江苏·连云港外国语学校八年级期中）已知，是过点的直线，于点，如图（1）易证，过程如下：过点作于点，与交于点，四边形内角和为，,又，为等腰直角三角形，又，（1）当绕旋转到如图（2）和图（3）两个位置时，、满足什么样关系式，请写出你的猜想，并对图（3）给予证明（2）在绕点旋转过程中，当，时，求的值28（2020·江苏崇川·八年级期末）定义：三角形中，连接一个顶点和它所对的边上一点，如果所得线段把三角形的周长分成相等的两部分，则称这条线段为三角形的“周长平分线”（1）下列与等腰三角形相关的线段中，一定是所在等腰三角形的“周长平分线”的
15、是_（只要填序号）；腰上的高；底边上的中线；底角平分线（2）如图1，在四边形中，为的中点，取中点，连接求证：是的“周长平分线”（3）在（2）的基础上，分别取，的中点，如图2请在上找点，使为的“周长平分线”，为的“周长平分线”用无刻度直尺确定点，的位置（保留画图痕迹）；若，直接写出的长29（2020·江苏·靖江市靖城中学八年级期中）如图1，ABC中，CDAB于点D，且BD：AD：CD2：3：4，（1）试说明ABC是等腰三角形；（2）已知SABC90cm2，如图2，动点P从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A 运动，同时动点Q从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其
16、中一点到达终点时整个运动都停止设点P运动的时间为t（秒），若DPQ的边与BC平行，求t的值；若点E是边AC的中点，问在点P运动的过程中，PDE能否成为等腰三角形？若能，求出t的值；若不能，请说明理由30（2021·江苏苏州·八年级期末）如图1，ABC中，CDAB于D，且BD：AD：CD2：3：4；(1)试说明ABC是等腰三角形；(2)已知SABC40cm2，如图2，动点M从点B出发以每秒1cm的速度沿线段BA向点A运动，同时动点N从点A出发以相同速度沿线段AC向点C运动，当其中一点到达终点时整个运动都停止设点M运动的时间为t(秒)若DMN的边与BC平行，求t的值；若点E是边
17、AC的中点，在点M运动的过程中，MDE能否成为等腰三角形?若能，求出t的值；若不能，请说明理由考题3：勾股定理问题综合一、单选题1（江苏邗江·八年级期中）如图，ABCD中，对角线AC与BD相交于点E，AEB=45°，BD=2，将ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B，则DB的长为（ ）A1BCD【答案】B【解析】【分析】如图，连接BB根据折叠的性质知BBE是等腰直角三角形，则BB=BE又BE是BD的中垂线，则DB=BB【详解】四边形ABCD是平行四边形，BD=2，BE=BD=1如图2，连接BB根据折叠的性质知，AEB=AEB=
18、45°，BE=BEBEB=90°，BBE是等腰直角三角形，则BB=BE=,又BE=DE，BEBD，DB=BB=故选B【点睛】考查了平行四边形的性质以及等腰直角三角形性质此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用2（2020·江苏新北·八年级期中）2019年10月1日，中华人民共和国70年华诞之际，王梓涵和学校国旗护卫队的其他同学们赶到学校举行了简朴而降重的升旗仪式倾听着雄壮的国歌声，目送着五星红旗级缓升起，不禁心潮澎湃，爱国之情油然而生爱动脑筋的王梓涵设计了一个方案来测量学校旗杆的高度将升旗的绳子拉直到末端刚好接触地面，测得此时绳子末
19、端距旗杆底端2米，然后将绳子末端拉直到距离旗杆5m处，测得此时绳子末端距离地面高度为1m，最后根据刚刚学习的勾股定理就能算出旗杆的高度为（）A10mB11mC12mD13m【答案】B【分析】根据题意画出示意图，设旗杆高度为xm，可得ACADxm，AB（x1）m，BC5m，在RtABC中利用勾股定理可求出x【详解】设旗杆高度为xm，可得ACADxm，AB（x1）m，BC5m，根据勾股定理得，绳长的平方x2+22，右图，根据勾股定理得，绳长的平方（x1）2+52，x2+22（x1）2+52，解得x11，故选：B【点睛】此题考查勾股定理，题中有两种拉绳子的方式，故可以构建两个直角三角形，形状不同大小
20、不同但都是直角三角形且绳子的长度是不变的，因此根据绳子建立勾股定理的等式，由此解答问题.3（2021·江苏·淮安外国语学校八年级期末）我国汉代数学家赵爽为了证明勾股定理，创制了一幅“弦图”，后人称其为“赵爽弦图”如图是由弦图变化得到，它是用八个全等的直角三角形拼接而成，记图中正方形ABCD，正方形EFGH，正方形MNKT的面积分别为S1，S2，S3若S1+S2+S312，则下列关于S1、S2、S3的说法正确的是（）AS12BS23CS36DS1+S38【答案】D【分析】根据八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，得出，再根据三个正方形面积公式列式相加
21、：，求出的值，从而可以计算结论即可【详解】解：八个直角三角形全等，四边形ABCD，EFGH，MNKT是正方形，故选：D【点睛】此题主要考查了勾股定理的应用，用到的知识点是勾股定理和正方形、全等三角形的性质，根据已知得出是解决问题的关键4（江苏·泗洪县山河路实验学校八年级期末）ABC中，AB=15，AC=13，高AD=12，则ABC的周长为（）A42B32C42或32D37或33【答案】C【分析】存在2种情况，ABC是锐角三角形和钝角三角形时，高AD分别在ABC的内部和外部【详解】情况一：如下图，ABC是锐角三角形AD是高，ADBCAB=15，AD=12在RtABD中，BD=9AC=1
22、3，AD=12在RtACD中，DC=5ABC的周长为：15+12+9+5=42情况二：如下图，ABC是钝角三角形在RtADC中，AD=12，AC=13，DC=5在RtABD中，AD=12，AB=15，DB=9BC=4ABC的周长为：15+13+4=32故选：C【点睛】本题考查勾股定理，解题关键是多解，注意当几何题型题干未提供图形时，往往存在多解情况.5（2021·江苏宝应·八年级期末）如图，在ABC中，AB2，ABC60°，ACB45°，D是BC的中点，直线l经过点D，AEl，BFl，垂足分别为E，F，则AE+BF的最大值为（）AB2C2D3【答案】A【
23、分析】把要求的最大值的两条线段经过平移后形成一条线段，然后再根据垂线段最短来进行计算即可【详解】解：如图，过点C作CKl于点K，过点A作AHBC于点H，在RtAHB中，ABC60°，AB2，BH1，AH，在RtAHC中，ACB45°，AC，点D为BC中点，BDCD，在BFD与CKD中，BFDCKD（AAS），BFCK，延长AE，过点C作CNAE于点N，可得AE+BFAE+CKAE+ENAN，在RtACN中，ANAC，当直线lAC时，最大值为，综上所述，AE+BF的最大值为故选：A【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定定理和性质定理及平移的性质，构建全等三角形是解答此题的关键
24、6如图，等腰直角ABC中，C90°，点F是AB边的中点，点D、E分别在AC、BC边上运动，且DFE90°，连接DE、DF、EF，在此运动变化过程中，下列结论：图中全等的三角形只有两对；ABC的面积是四边形CDFE面积的2倍；CD+CE2FA；AD2+BE2DE2其中错误结论的个数有（）A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】结论错误，因为图中全等的三角形有3对；结论正确，由全等三角形的性质可以判断；结论错误，利用全等三角形和等腰直角三角形的性质可以判断；结论正确，利用全等三角形的性质以及直角三角形的勾股定理进行判断【详解】连接CF，交DE于点P，如下图所示结论错误，理由如
25、下：图中全等的三角形有3对，分别为AFCBFC，AFDCFE，CFDBFE由等腰直角三角形的性质，可知FA=FC=FB，易得AFCBFCFCAB，FDFE，AFD=CFEAFDCFE（ASA）同理可证：CFDBFE结论正确，理由如下： AFDCFE，SAFD=SCFE， S四边形CDFE=SCFD+SCFE=SCFD+SAFD=SAFC=SABC，即ABC的面积等于四边形CDFE的面积的2倍结论错误，理由如下： AFDCFE，CE=AD，CD+CE=CD+AD=AC=FA结论正确，理由如下： AFDCFE，AD=CE；CFDBFE，BE=CD在RtCDE中，由勾股定理得：， 故选B【点睛】本题
26、是几何综合题，考查了等腰直角三角形、全等三角形和勾股定理等重要几何知识点，综合性比较强解决这个问题的关键在于利用全等三角形的性质7（2021·江苏苏州·八年级期末）如图，在RtABC中，ACB90°，AC=9，BC=12，AD是BAC的平分线，若点P，Q分别是AD和AC上的动点，则PCPQ的最小值是( )ABC12D15【答案】B【分析】过点D作DEAB于点E，过点E作EQAC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ=EQ是最小值，根据勾股定理可求出AB的长度，再根据EQAC、ACB=90°即可得出EQBC，进而可得出，代入数据即可得出EQ的长
27、度，此题得解.【详解】解：如图所示，过点D作DEAB于点E，过点E作EQAC于点Q，EQ交AD于点P，连接CP，此时PC+PQ=EQ是最小值，在RtABC中，ACB=90°，AC=9，BC=12，AD是BAC的平分线，CAD=EAD，在ACD和AED中，ACDAED（AAS），AE=AC=9EQAC，ACB=90°，EQBC，.故选B.【点睛】本题考查了勾股定理、轴对称中的最短路线问题以及平行线的性质，找出点C的对称点E，及通过点E找到点P、Q的位置是解题的关键8（2020·江苏金坛·八年级期中）如图，已知中，在BC边上取一点P（点P不与点B、C重合），
28、使得成为等腰三角形，则这样的点P共有（ ） A1个B2个C3个D4个【答案】B【分析】在BC边上取一点P（点P不与点B、C重合），使得成为等腰三角形，分三种情况分析：、；根据等腰三角形的性质分别对三种情况逐个分析，即可得到答案【详解】根据题意，使得成为等腰三角形，分、三种情况分析：当时，点P位置再分两种情况分析：第1种：点P在点O右侧，于点O 设 ，不符合题意；第2种：点P在点O左侧，于点O设 ，点P存在，即；当时，点P存在；当时，即点P和点C重合，不符合题意；符合题意的点P共有：2个故选：B【点睛】本题考查了等腰三角形、勾股定理、一元一次方程的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理、
29、一元一次方程的性质，从而完成求解9（2020·江苏赣榆·八年级期中）如图，是等边三角形，点DE分别为边BCAC上的点，且，点F是BE和AD的交点，垂足为点G，已知，则为（ ）A4B5C6D7【答案】C【分析】结合等边三角形得性质易证ABECAD，可得FBG30°，BF2FG2，再求解ABE15°，进而两次利用勾股定理可求解【详解】ABC为等边三角形BAEC60°，ABAC，CDAEABECAD（SAS）ABE=CADBFDABE+BADCAD+BAFBAC60°，BGAD，BGF90°，FBG30°，FG1，BF2
30、FG2，BEC75°，BAE60°，ABEBECBAE15°，ABG45°，BGAD，AGB90°，AG=BG=，AB2=AG2+BG2=()2+()2=6故选C【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理，证明ABG为等腰直角三角形是解题关键10（2021·江苏海安·八年级期末）如图，在中，平分边的垂直平分线分别交于点以下说法错误的是（ ）ABCD【答案】B【分析】利用直角三角形的性质、三角形内角和定理、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识对各选项的说法分别进行论证，即可得出结论【详解】解：如图，连
31、接BD、AD，过点D作DMBC于M，DNCA的延长线于N，A、在中，故此选项说法正确；B、DMBC，DNCADNCDMC90°，CD平分ACB，DCNDCM45°DCNCDN45°CN=DN则CDN是等腰直角三角形同理可证：CDM也是等腰直角三角形，CD=CD=，DM=DN= CM=CN，MDN90°DE垂直平分AB，BD=AD，AB=2BERtBDMADN，BDM=ANDBDM+ADM =AND+ADMMDNADB=90°AB=即2BE=AD在RtAND中，AD是斜边，DN是直角边，ADDN，则2BECD故此选项说法错误C、BD=AD，ADB
32、=90°，ABD是等腰直角三角形DE=AB在中，AC=ABDE=AC故此选项说法正确D、RtBDMADN，BM=ANCN=AC+AN=AC+BM=CMBC=BM+CM=AC+2BMCD=CN，CD=2CN=2AC+2BM=AC+2BM+ACAC=AB，CD=AB+BC故此选项说法正确故选：B【点睛】本题属于三角形综合题，考查了直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，难度较大，准确作出辅助线并灵活运用所学知识是解题的关键二、填空题11（2020·江苏昆山·八年级期中）如图，等腰梯形中，平分，则等于_.【答案】3【分析】由，平分，易证得是等腰三角形，
33、即可求得，又由四边形是等腰梯形，易证得，然后由，根据直角三角形的两锐角互余，即可求得，则可求得的值，继而求得的值.【详解】解：，平分，三角形内角和为180°，.故答案为：3【点睛】本题主要考查对勾股定理，含30度角的直角三角形，等腰三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰梯形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键12（江苏·苏州中学八年级期中）如图，在四边形ABCD中，则BD的长为_【答案】5【分析】作ADAD，AD=AD构建等腰直角三角形，根据SAS求证BADCAD，证得BD=CD，DAD=90°，然后在RtADD和RtCDD应用
34、勾股定理即可求解【详解】作ADAD，AD=AD，连接CD，DD，如图：BAC+CAD=DAD+CAD，BAD=CAD，在BAD与CAD中，BADCAD（SAS），BD=CD，DAD=90°，由勾股定理得DD=，DDA+ADC=90°，由勾股定理得CD=，BD=CD=5故答案为5【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，勾股定理，等腰直角三角形，正确引出辅助线构造等腰直角三角形是本题的关键13（2020·江苏·扬州市梅岭中学八年级期中）如图，将边沿翻折，使点落在上的点处；再将边沿翻折，使点落在的延长线上的点处，两条折痕与斜边分别交于点、，则的面积为_【答案
35、】【分析】将B´CF的面积转化为求BCF的面积，由折叠的性质可得CDAC6，ACEDCE，BCFB´CF，CEAB，可证得ECF是等腰直角三角形，EFCE，EFC45°，由等面积法可求CE的长，由勾股定理可求AE的长，进而求得BF的长，即可求解【详解】根据折叠的性质可知，CDAC6，ACEDCE，BCFB´CF，CEAB，DCEB´CFACEBCF，ACB90°，ECF45°，且CEAB，ECF是等腰直角三角形，EFCE，EFC45°，SABCACBCABCE，ACBCABCE，根据勾股定理求得AB10，CE，EF
36、，AE，BFABAEEF10，SCBF×BF×CE××，SCB´F，故填：【点睛】此题主要考查了翻折变换，等腰三角形的判定和性质，勾股定理的应用等知识，根据折叠的性质求得相等的角是解决本题的关键14（2020·江苏射阳·八年级期中）如图，在等腰中，高，平分，则三角形的面积为_【答案】【分析】连接EC，证明，可得它们面积相等，用勾股定理算出AD长，然后设，用面积法列式求出DE的长，就可以算出结果【详解】解：如图，连接EC，AE平分，在和中，在中，设，解得，故答案是：【点睛】本题考查全等三角形的性质和判定，等腰三角形的性质，勾股
37、定理，解题的关键是利用三角形面积相等列式求出对应边长15（2021·江苏张家港·八年级期末）如图，在ABC中，ACB90°，ACBC6cm，D是AB的中点，点E在AC上，过点D作DFDE，交BC于点F如果AE2cm，则四边形CEDF的周长是_cm【答案】62【分析】连接CD、EF，根据等腰三角形的性质并利用AAS可证ADECDF，由此可得DEDF，AECF，求出CF2cm，CE4cm后利用勾股定理依次求得EFcm和DEcm，即可计算出四边形CEDF的周长【详解】解：连接CD、EF，ACB90°，ACBC，ABC是等腰直角三角形，AB45°，D是
38、AB的中点，CDAB，DCADCB45°，ADCADCB45°，ADCD，DFDE，ADECDECDFCDE90°，ADECDF，在ADE和CDF中，ADECDF（AAS）DEDF，AECF，CF2cm，CEACAE4cm，EFcm，DE2DF2EF2，即2DE220，DEDFcm，四边形CEDF的周长CECF2DE62cm故答案为：62【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质以及勾股定理等知识，熟练掌握全等三角形与等腰三角形的判定和性质并结合勾股定理准确求解直角三角形的边长是解题的关键16如图，在四边形ABCD中，BAD 90°
39、， ADC 90°，BCD 60° ，BC CD，P为四边形ABCD边上的任意一点，当AB4， APB30°时，BP的长是_【答案】8或或4【分析】分三种情况考虑：（1）连接BD，由题意得到三角形BCD为等边三角形，根据等边三角形性质得到BDC=60°，进而求出ADB=30°，当点P与点D重合时，APB=30°，求出此时BP的长即可；（2）作APB=30°，利用两直线平行同旁内角互补求出ABC的度数，再利用等角对等边得到AB=BP，求出BP即可，（3）当点P在CD上时，同理可求BP=8【详解】解：分三种情况考虑：（1）连接，
40、如图所示：，为等边三角形，当点与点重合时，在中，；（2）作，如图所示：，在中，（3）过作，连接，可得四边形为矩形，由（1）得为等边三角形，可得，平分，为中点，此时，在中，根据勾股定理得：，故答案为：8或或4【点睛】此题考查了勾股定理，以及等边三角形的判定与性质，熟练掌握勾股定理是解本题的关键17（2021·江苏昆山·八年级期末）如图，在中，是的中点，点在上，过点作，交于点如果，则四边形的周长是_【答案】【分析】连接CD，EF，根据AAS证明AEDCFD，再根据勾股定理可得EF的长，由DEF是等腰直角三角形，即可解决问题【详解】解：如图，连接CD，EF，ACB=90°
41、;，AC=BC，A=45°，D是AB的中点，CD=AB=ADDCA=A=DCB=45°，DFDE，EDF=90°，DEF+DFC=180°，AED+DEF=180°，AED=DFC，在AED和CFD中，AEDCFD（AAS），DE=DF，AE=CF=2cm，CE=AC-AE=6-2=4（cm），EF=（cm），DEF是等腰直角三角形，DE2+DF2=EF2，2DE2=EF2，DE=DF=EF=，四边形CEDF的周长是CE+CF+DE+DF=CE+AE+2DE=AC+2DE=（6+2）cm故答案为：（6+2）【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性
42、质，等腰直角三角形的性质，勾股定理，解决本题的关键是掌握全等三角形的判定与性质18（2021·江苏常州·八年级期末）如图，RtABC中，BAC90°，分别以ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：ABD、ACE、BCF，若图中阴影部分的面积S16.5，S23.5，S35.5，则S4_【答案】2.5【分析】分别交、于点、点；设ABBDa，ACCEb，BCCFc，由，可得，由此构建关系式，通过计算即可得到答案【详解】如图，分别交、于点、点ABD、ACE、BCF均是等腰直角三角形ABBD，ACCE，BCCF，设ABBDa，ACCEb，BCCFc， ， 故答案为：2.
43、5【点睛】本题考查了等腰三角形、直角三角形的知识；解题的关键是熟练掌握等腰三角形、勾股定理的性质，从而完成求解19（2021·江苏·姜堰区实验初中八年级期末）如图，在中，且的面积为，以、为边分别往的形外作等边、，分别过点、作、，连接、交于点，则线段的最小值为_【答案】【分析】连接AE，BE，先证明ECABDE，得到AE=BE，再证明ECABPA，AB=AE=BE，即可得到ABE是等边三角形，由AB长度和位置固定，则 E点位置固定过点E作EFAB于F，当OE最小时，即PE最小，当P在EF上时，此时EP有最小值，由此求解即可得到答案【详解】解：如图所示，连接AE，BE，CE/DP、DE/PC，四边形CPDE是平行四边形，ECP=EDP，ECP+CPD=18
