1、七年级下期末难点特训（一）与三角形内角和有关的压轴题1在中，点在直线上运动（不与点、重合），点在射线上运动，且，设（1）如图，当点在边上，且时，则_，_；（2）如图，当点运动到点的左侧时，其他条件不变，请猜想和的数量关系，并说明理由；（3）当点运动到点的右侧时，其他条件不变，和还满足（2）中的数量关系吗？请在图中画出图形，并给予证明（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）2直线AB、CD相交于点O，AOC，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G（1）如图1，若点E在射线OC上，60，EM、FN分别平分CEF和AFE，求EGF的度数；（2）
2、如图2，点E在射线OC上，MEFmCEF，NFE（12m）AFE，若EGF的度数与AFE的度数无关，求m的值及EGF的度数（用含有的代数式表示）；（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出EGF的度数（用含有a的代数式表示）3【问题情境】已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、设，探索与、之间的数量关系【初步感知】如图1，当点O在的边上时，此时，则与、之间的数量关系是【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、之间的数量关系是_；【拓展延伸】（1）如图4
3、，、的外角平分线相交于点P若，则_；若且，则_；直接写出与、之间的数量关系；（2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则_（用、表示）4如图，ABC和ADE有公共顶点A，ACBAED90，BAC=45，DAE=30（1）若DE/AB，则EAC ；（2）如图1，过AC上一点O作OGAC，分别交AB、AD、AE于点G、H、F若AO2，SAGH4，SAHF1，求线段OF的长；如图2，AFO的平分线和AOF的平分线交于点M，FHD的平分线和OGB的平分线交于点N，N+M的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由5已知，点为射线上一点（1）如图1，写出、之间的数量关系并证明；（2）
4、如图2，当点在延长线上时，求证：；（3）如图3，平分，交于点，交于点，且：，求的度数6某河段两岸安置了两座可旋转探照灯，如图1，2所示，假设河道两岸是平行的，且，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照射巡视，且灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度（1）填空：_；（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图3，若两灯同时转动，在灯射线到达之前若两灯发出的射线与交于点，过作交于点，且，则在转动过程中请探究与的数量关系，并说明理由7【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七下第42页有
5、这样的一个问题：如图1，在中，设的外角、的平分线交于点，求的度数；（1）请你先完成这个问题的解答【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：（2）如图2，在中，若，且射线与射线相交于点，则_； （3）如图3，在中，.若，且与相交于点，若要使射线、能相交，则的取值范围是什么？请说明理由；（4）如图3，在中，.若，请直接写出使射线、能相交的的取值范围是_（其中，请用含、的代数式表示）8已知在中，点在上，边在上，在中，边在直线上，；（1）如图1，求的度数；（2）如图2，将沿射线的方向平移，当点在上时，求度数；（3）将在直线上平移，当以为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出度数9直线与相互垂
6、直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均不与点重合（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点若，则_度（直接写出结果，不需说理）；点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数：若变化，请说明变化规律（3）如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数10已知，如图1，直线l2l1，垂足为A，点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C不与点A重合，点D在直线11上，点A的右侧，过D作l3l1，点E在直线l3上，点D的下方（1）l2与
7、l3的位置关系是 ；（2）如图1，若CE平分BCD，且BCD70，则CED ，ADC ；（3）如图2，若CDBD于D，作BCD的角平分线，交BD于F，交AD于G试说明：DGFDFG；（4）如图3，若DBEDEB，点C在射线AM上运动，BDC的角平分线交EB的延长线于点N，在点C的运动过程中，探索N:BCD的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值11如图，四边形ABCD中，ADBC，BDC=BCD，DEDC交AB于E（1）求证：DE平分ADB；（2）若ABD的平分线与CD的延长线交于F，设F=若50，求A的值；若F，试确定的取值范围12【概念认识】如图，在ABC中，若ABDDB
8、EEBC，则BD，BE叫做ABC的“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”【问题解决】（1）如图，在ABC中，A70，B45，若B的三分线BD交AC于点D，则BDC ；（2）如图，在ABC中，BP、CP分别是ABC邻AB三分线和ACB邻AC三分线，且BPCP，求A的度数；【延伸推广】（3）在ABC中，ACD是ABC的外角，B的三分线所在的直线与ACD的三分线所在的直线交于点P若Am，Bn，直接写出BPC的度数（用含 m、n的代数式表示）13如图1，直角三角形DEF与直角三角形ABC的斜边在同一直线上，EDF30，ABC40，CD平分ACB，将DEF绕点D按逆时针方向旋转，
9、记ADF为（0180），在旋转过程中；（1）如图2，当 时，当 时，DEBC；（2）如图3，当顶点C在DEF内部时，边DF、DE分别交BC、AC的延长线于点M、N，此时的度数范围是 ；1与2度数的和是否变化？若不变求出1与2度数和；若变化，请说明理由；若使得221，求的度数范围七年级下期末难点特训（一）与三角形内角和有关的压轴题1在中，点在直线上运动（不与点、重合），点在射线上运动，且，设（1）如图，当点在边上，且时，则_，_；（2）如图，当点运动到点的左侧时，其他条件不变，请猜想和的数量关系，并说明理由；（3）当点运动到点的右侧时，其他条件不变，和还满足（2）中的数量关系吗？请在图中画出图形
10、，并给予证明（画图痕迹用黑色签字笔加粗加黑）【答案】（1）60，30；（2）BAD=2CDE，证明见解析；（3）成立，BAD=2CDE，证明见解析【解析】【分析】（1）如图，将BAC=100，DAC=40代入BAD=BAC-DAC，求出BAD在ABC中利用三角形内角和定理求出ABC=ACB=40，根据三角形外角的性质得出ADC=ABC+BAD=100，在ADE中利用三角形内角和定理求出ADE=AED=70，那么CDE=ADC-ADE=30；（2）如图，在ABC和ADE中利用三角形内角和定理求出ABC=ACB=40，ADE=AED=根据三角形外角的性质得出CDE=ACB-AED=，再由BAD=D
11、AC-BAC得到BAD=n-100，从而得出结论BAD=2CDE；（3）如图，在ABC和ADE中利用三角形内角和定理求出ABC=ACB=40，ADE=AED=根据三角形外角的性质得出CDE=ACD-AED=，再由BAD=BAC+DAC得到BAD=100+n，从而得出结论BAD=2CDE【详解】解：（1）BAD=BAC-DAC=100-40=60在ABC中，BAC=100，ABC=ACB，ABC=ACB=40，ADC=ABC+BAD=40+60=100DAC=40，ADE=AED，ADE=AED=70，CDE=ADC-ADE=100-70=30故答案为60，30（2）BAD=2CDE，理由如下：
12、如图，在ABC中，BAC=100，ABC=ACB=40在ADE中，DAC=n，ADE=AED=，ACB=CDE+AED，CDE=ACB-AED=40-=，BAC=100，DAC=n，BAD=n-100，BAD=2CDE（3）成立，BAD=2CDE，理由如下：如图，在ABC中，BAC=100，ABC=ACB=40，ACD=140在ADE中，DAC=n，ADE=AED=，ACD=CDE+AED，CDE=ACD-AED=140-=，BAC=100，DAC=n，BAD=100+n，BAD=2CDE【点睛】本题考查了三角形内角和定理，三角形外角的性质，从图形中得出相关角度之间的关系是解题的关键2直线AB
13、、CD相交于点O，AOC，点F在直线AB上且在点O的右侧，点E在直线CD上（点E与点O不重合），连接EF，直线EM、FN交于点G（1）如图1，若点E在射线OC上，60，EM、FN分别平分CEF和AFE，求EGF的度数；（2）如图2，点E在射线OC上，MEFmCEF，NFE（12m）AFE，若EGF的度数与AFE的度数无关，求m的值及EGF的度数（用含有的代数式表示）；（3）如图3，若将（2）中的“点E在射线OC上”改为“点E在射线OD上”，其他条件不变，直接写出EGF的度数（用含有a的代数式表示）【答案】（1）EGF60；（2）m，EGF60；（3）EGF120+，见解析【解析】【分析】（1）
14、利用三角形外角的性质以及角平分线的性质求解；（2）（3）利用三角形外角的性质，得出EGF与AFE的关系式，进而求解【详解】（1）EM、FN分别平分CEF和AFE，MEFCEF，EFGAFE，EGFMEFEFG，EGFCEFAFE（CEFAFE）COF，而AOC60，COF18060120，EGF60；（2）CEFAFECOF180，CEF180+AFE，MEFmCEF，MEFm（180+AFE），EGFMEFNFE，EGFm（180+AFE）（12m）AFEm（180）+（3m1）AFE，EGF的度数与AFE的度数无关，3m10，即m，EGF（180）60；（3）BOCCEF+AFE180，C
15、EF180AFE，MEFmCEFm（180AFE），而NFE（12m）AFE，EGF180MEFNFE180m（180AFE）（12m）AFE180m（180）+（3m1）AFE，EGF的度数与AFE的度数无关，3m10，即m，EGF180（180）120+【点睛】本题重点考察三角形外角的性质，熟练掌握是解决问题的关键3【问题情境】已知，在的两边上分别取点B、C，在的内部取一点O，连接、设，探索与、之间的数量关系【初步感知】如图1，当点O在的边上时，此时，则与、之间的数量关系是【问题再探】（1）如图2，当点O在的内部时，请写出与、之间的数量关系并说明理由；（2）如图3，当点O在的外部时，与、之
16、间的数量关系是_；【拓展延伸】（1）如图4，、的外角平分线相交于点P若，则_；若且，则_；直接写出与、之间的数量关系；（2）如图5，的平分线与的外角平分线相交于点Q，则_（用、表示）【答案】问题再探（1）结论：BOC=BAC+1+2证明见解析；（2）BOC+BAC+1+2=360；拓展延伸（1）25；20；BOC=A+2P；（2）【解析】【分析】问题再探（1）如图2中，结论：连接，延长到利用三角形的外角的性质解决问题即可（2）利用四边形内角和定理解决问题即可拓展延伸（1）求出，再利用结论，构建关系式即可解决问题根据，可得结论根据，可得结论（2）结论：设，构建方程组求解即可【详解】解：问题再探（
17、1）如图2中，结论：理由：连接，延长到，（2）如图3中，结论：理由：连接，拓展延伸如图4中，、的外角平分线相交于点，故答案为：25，故答案为：20，（2）如图5中，结论：理由：设，则有可得，即，故答案为：【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了三角形内角和定理，三角形的外角的性质，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，把四边形转化为三角形解决，学会利用参数构建方程组解决问题，属于中考压轴题4如图，ABC和ADE有公共顶点A，ACBAED90，BAC=45，DAE=30（1）若DE/AB，则EAC ；（2）如图1，过AC上一点O作OGAC，分别交AB、AD、AE于点G、H、F若AO
18、2，SAGH4，SAHF1，求线段OF的长；如图2，AFO的平分线和AOF的平分线交于点M，FHD的平分线和OGB的平分线交于点N，N+M的度数是否发生变化？若不变，求出其度数；若改变，请说明理由【答案】（1）45；（2）1；是定值，M+N=142.5【解析】【分析】（1）利用平行线的性质求解即可（2）利用三角形的面积求出GH，HF，再证明AO=OG=2，可得结论利用角平分线的定义求出M，N（用FAO表示），可得结论【详解】解：（1）如图，ABEDE=EAB=90（两直线平行，内错角相等），BAC=45，CAE=90-45=45故答案为：45（2）如图1中，OGAC，AOG=90，OAG=45
19、，OAG=OGA=45，AO=OG=2，SAHG=GHAO=4，SAHF=FHAO=1，GH=4，FH=1，OF=GH-HF-OG=4-1-2=1结论：N+M=142.5，度数不变理由：如图2中，MF，MO分别平分AFO，AOF，M=180-（AFO+AOF）=180-（180-FAO）=90+FAO，NH，NG分别平分DHG，BGH，N=180-（DHG+BGH）=180-（HAG+AGH+HAG+AHG）=180-（180+HAG）=90-HAG=90-（30+FAO+45）=52.5-FAO，M+N=142.5【点睛】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理，三角形外角的性
20、质等知识，最后一个问题的解题关键是用FAO表示出M，N5已知，点为射线上一点（1）如图1，写出、之间的数量关系并证明；（2）如图2，当点在延长线上时，求证：；（3）如图3，平分，交于点，交于点，且：，求的度数【答案】（1），证明见解析；（2）证明见解析；（3）【解析】【分析】（1）过E作EHAB，根据两直线平行，内错角相等，即可得出AED=AEH+DEH=EAF+EDG； （2）设CD与AE交于点H，根据EHG是DEH的外角，即可得出EHG=AED+EDG，进而得到EAF=AED+EDG； （3）设EAI=BAI=，则CHE=BAE=2，进而得出EDI=+10，CDI=+5，再根据CHE是DE
21、H的外角，可得CHE=EDH+DEK，即2=+5+10+20，求得=70，即可根据三角形内角和定理，得到EKD的度数【详解】解：（1）AED=EAF+EDG理由：如图1，过E作EHAB， ABCD， ABCDEH， EAF=AEH，EDG=DEH， AED=AEH+DEH=EAF+EDG； （2）证明：如图2，设CD与AE交于点H， ABCD， EAF=EHG， EHG是DEH的外角， EHG=AED+EDG， EAF=AED+EDG； （3）AI平分BAE， 可设EAI=BAI=，则BAE=2， 如图3，ABCD， CHE=BAE=2， AED=20，I=30，DKE=AKI， EDI=+3
22、0-20=+10， 又EDI：CDI=2：1， CDI=EDK=+5， CHE是DEH的外角， CHE=EDH+DEK， 即2=+5+10+20， 解得=70， EDK=70+10=80， DEK中，EKD=180-80-20=80【点睛】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角性质以及三角形内角和定理的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造内错角，运用三角形外角性质进行计算求解解题时注意：三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和6某河段两岸安置了两座可旋转探照灯，如图1，2所示，假设河道两岸是平行的，且，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，灯射线从开始顺时针旋转至便立即回转，两灯不停交叉照
23、射巡视，且灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度（1）填空：_；（2）若灯射线先转动30秒，灯射线才开始转动，在灯射线到达之前，灯转动几秒，两灯的光束互相平行？（3）如图3，若两灯同时转动，在灯射线到达之前若两灯发出的射线与交于点，过作交于点，且，则在转动过程中请探究与的数量关系，并说明理由【答案】（1）60；（2）灯转动30秒或110秒，两灯的光束互相平行；（3），理由见解析【解析】【分析】（1）根据题目中图示可得，再根据计算即可（2）根据灯B在到达BQ之前的运动时间，区分灯A射线是否到达AN，并进行分类讨论，再根据两灯光束互相平行，计算动角或与的关系，列方程求解即可（3）设两灯转动
24、时间为秒，根据题意和分别计算和（用含有t的式子表示），再根据其结果寻找其数量关系【详解】解：（1）根据题意可知又，故答案为：60（2）设灯转动t秒，两灯的光束互相平行当时，如图1，A灯的光束AC与B灯的光束BD平行灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度，的度数为2t，的度数为，解得；当时，如图2，A灯的光束AC与B灯的光束BD平行灯转动的速度是每秒2度，灯转动的速度是每秒1度，的度数为，的度数为，解得，综上所述，灯转动30秒或110秒，两灯的光束互相平行（3）与的数量关系为，理由如下：设两灯转动时间为秒，又，与的数量关系为【点睛】本题考查了平行线的性质以及角度的计算，根据平行线的性质得
25、到角之间的数量关系是解题关键7【问题情境】苏科版义务教育教科书数学七下第42页有这样的一个问题：如图1，在中，设的外角、的平分线交于点，求的度数；（1）请你先完成这个问题的解答【变式探究】小明在完成以上问题解答后，作如下变式探究：（2）如图2，在中，若，且射线与射线相交于点，则_； （3）如图3，在中，.若，且与相交于点，若要使射线、能相交，则的取值范围是什么？请说明理由；（4）如图3，在中，.若，请直接写出使射线、能相交的的取值范围是_（其中，请用含、的代数式表示）【答案】（1）BOC=90；（2）82.5；（3）n的取值范围是0n60；理由见解析；（4）0n【解析】【分析】（1）先根据三角
26、形内角和定理求出ABC+ACB=180n，再根据邻补角定义求出DBC+BCE =180+ n，利用角平分线的定义求得CBO +BCO =90+，进而可求得BOC；（2）仿照（1）方法，求得ABC+ACB=100，进而求得DBC+BCE =260，根据，可求得CBM+BCN =97.5，即可求得BOC；（3）由（1）知DBC+BCE=180+ n，由BCNBCE，CBMCBD得BCN+CBM=135+，则可求得BOC= 45，由题意BOC0即可解答；（4）仿照（3）方法可求得BOC，根据题意BOC0即可解答【详解】（1）在ABC中，A=n，ABC+ACB=180n，DBC+BCE=360（180
27、 n） =180+ n，BO、CO分别是DBC、BCE的平分线，CBO=DBC，BCO=BCE，CBO +BCO =DBC +BCE =（180+ n）=90+，BOC=180（90+）=90；（2）在ABC中，A=80，ABC+ACB=18080=100DBC+BCE=360100 =260，CBM+BCN =DBC +BCE =260=97.5，BOC=18097.5=82.5，故答案为：87.5；（3）由（1）知，DBC+BCE=180+ n，BCNBCE，CBMCBD，BCN+CBM=（BCE+CBD）=（180+ n）=135+，若射线CN、BM能相交，设交点为点O，在BOC中， B
28、OC180（135+）= 45，450，解得n60，n的取值范围是0n60；（4）由（1）知，DBC+BCE=180+ n，BCNBCE，CBMCBD，BCN+CBM=（BCE+CBD）=（180+ n），若射线CN、BM能相交，设交点为点O，在BOC中， BOC180（180+ n）=，0，解得：0n，故答案为：0n【点睛】本题考查了三角形的内角和定理、邻补角定义、角平分线的定义、解一元一次不等式，解答的关键是认真分析图形，找到相关联的信息，运用类比的方法解决问题8已知在中，点在上，边在上，在中，边在直线上，；（1）如图1，求的度数；（2）如图2，将沿射线的方向平移，当点在上时，求度数；（3
29、）将在直线上平移，当以为顶点的三角形是直角三角形时，直接写出度数【答案】（1）60；（2）15；（3）30或15【解析】【分析】（1）利用两直线平行，同旁内角互补，得出，即可得出结论；（2）先利用三角形的内角和定理求出，即可得出结论；（3）分和两种情况求解即可得出结论【详解】解：（1），；（2）由（1）知，；（3）当时，如图3，由（1）知，；当时，如图4，点，重合，由（1）知，即当以、为顶点的三角形是直角三角形时，度数为或【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了平行线的性质，三角形的内角和定理，角的和差的计算，求出是解本题的关键9直线与相互垂直，垂足为点，点在射线上运动，点在射线上运动，点、点均
30、不与点重合（1）如图1，平分，平分，若，求的度数；（2）如图2，平分，平分，的反向延长线交于点若，则_度（直接写出结果，不需说理）；点、在运动的过程中，是否发生变化，若不变，试求的度数：若变化，请说明变化规律（3）如图3，已知点在的延长线上，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，请直接写出的度数【答案】（1）135；（2）45；不变；45；（3）45或36【解析】【分析】灵活运用三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和；（1）求出，根据，即可解决问题；（2）求出，根据，即可求出的值；根据即可得出结论；（3）首先证明，再分四种情
31、况讨论当时，时， 时，时， 分别计算，符合题意得保留即可【详解】解：（1）如图1中，又平分，平分，（2）如图2中：（三角形的一个外角等于与其不相邻的两个内角和），平分，平分，；结论：点A、B在运动过程中，理由：点A、B在运动过程中，的角度不变，；（3）如图3中，的角平分线、的角平分线与的角平分线所在的直线分别相交于的点、，又为平角，又在中：，在中，如果有一个角的度数是另一个角的4倍，则：当时，此时，时，此时（不符合题意舍去），时，此时，时，此时（不符合题意舍去），综上所述，当或时，在中，有一个角的度数是另一个角的4倍【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理，以及分类讨论的数学思想的
32、理解及应用，分类讨论时，没有讨论完全是本题的易错点10已知，如图1，直线l2l1，垂足为A，点B在A点下方，点C在射线AM上，点B、C不与点A重合，点D在直线11上，点A的右侧，过D作l3l1，点E在直线l3上，点D的下方（1）l2与l3的位置关系是 ；（2）如图1，若CE平分BCD，且BCD70，则CED ，ADC ；（3）如图2，若CDBD于D，作BCD的角平分线，交BD于F，交AD于G试说明：DGFDFG；（4）如图3，若DBEDEB，点C在射线AM上运动，BDC的角平分线交EB的延长线于点N，在点C的运动过程中，探索N:BCD的值是否变化，若变化，请说明理由；若不变化，请直接写出比值【
33、答案】（1）互相平行；（2）35，20；（3）见解析；（4）不变，【解析】【分析】（1）根据平行线的判定定理即可得到结论；（2）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；（3）根据角平分线的定义和平行线的性质即可得到结论；（4）根据角平分线的定义，平行线的性质，三角形外角的性质即可得到结论【详解】解：（1）直线l2l1，l3l1，l2l3，即l2与l3的位置关系是互相平行，故答案为：互相平行；（2）CE平分BCD，BCEDCEBCD，BCD70，DCE35，l2l3，CEDDCE35，l2l1，CAD90，ADC907020；故答案为：35，20；（3）CF平分BCD，BCFDCF，l2l
34、1，CAD90，BCF+AGC90，CDBD，DCF+CFD90，AGCCFD，AGCDGF，DGFDFG；（4）N:BCD的值不会变化，等于；理由如下：l2l3，BEDEBH，DBEDEB，DBEEBH，DBH2DBE，BCD+BDCDBH，BCD+BDC2DBE，N+BDNDBE，BCD+BDC2N+2BDN，DN平分BDC，BDC2BDN，BCD2N，N:BCD【点睛】本题考查了三角形的综合题，三角形的内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定和性质，角平分线的定义，正确的识别图形进行推理是解题的关键11如图，四边形ABCD中，ADBC，BDC=BCD，DEDC交AB于E（1）求证：DE
35、平分ADB；（2）若ABD的平分线与CD的延长线交于F，设F=若50，求A的值；若F，试确定的取值范围【答案】（1）证明见解析；（2）A=100，理由见解析；0 45，理由见解析【解析】【分析】（1）由ADBC可得同旁内角，由DEDC可得，再根据已知BDC=BCD，进而可得，即可证DE平分ADB；（2）根据ADBC，可得ADC+BCD=180，根据DE平分ADB，BDC=BCD，易得ADE=EDB，EDB+BDC=90，DEC+ DCE=90，根据外角和定理等可得FBD+BDE=90-F=90-50=40,又因为DE平分ADB，BF平分ABD，从而可得ADB+ABD=2(FBD+BDE)=80
36、,根据三角形内角和定理继而即可取出A的值；由知FBD+BDE= 90-F，根据DE平分ADB，BF平分ABD，易得ADB+ABD= 2(FBD+BDE)= 2（90-F），根据AD / BC的性质可得DBC = ADB，ABC = 2（90-F），依据F，可得不等式F2（90-F），解即可得F即的取值范围【详解】（1）证明：ADBC，,DEDC交AB于E， ,BDC=BCD，,DE平分ADB；（2）解：ADBC，ADC+BCD=180，DE平分ADB，BDC=BCD，ADE=EDB，EDB+BDC=90，DEC+ DCE=90，FBD+BDE=90-F=90-50=40,DE平分ADB，BF平
37、分ABD，ADB+ABD=2(FBD+BDE)=80,A = 180-（ADB+ABD）=180- 80= 100；由知FBD+BDE= 90-F，DE平分ADB，BF平分ABD，ADB+ABD= 2(FBD+BDE)= 2（90-F）， 又在四边形ABCD中，AD / BC，DBC = ADB，ABC=ABD +DBC = ABD+ADB =2（90-F），即ABC = 2（90-F），又F，F2（90-F），0 F45，F=，0 45【点睛】本题主要考查三角形内角和定理，平行线的性质定理及多边形内角和外角的性质12【概念认识】如图，在ABC中，若ABDDBEEBC，则BD，BE叫做ABC的
38、“三分线”其中，BD是“邻AB三分线”，BE是“邻BC三分线”【问题解决】（1）如图，在ABC中，A70，B45，若B的三分线BD交AC于点D，则BDC ；（2）如图，在ABC中，BP、CP分别是ABC邻AB三分线和ACB邻AC三分线，且BPCP，求A的度数；【延伸推广】（3）在ABC中，ACD是ABC的外角，B的三分线所在的直线与ACD的三分线所在的直线交于点P若Am，Bn，直接写出BPC的度数（用含 m、n的代数式表示）【答案】（1）85或100；（2）45；（3）m或m或mn或mn或nm【解析】【分析】（1）根据题意可得的三分线有两种情况，画图根据三角形的外角性质即可得的度数；（2）根据、分别是邻三分线和邻三分线，且可得，进而可求的度数；（3）根据的三分线所在的直线与的三分线所在的直线交于点分四种情况画图：情况一：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况二：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况三：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时；情况四：如图，当和分别是“邻三分线”、“邻三分线”时，再根据，即可求出的度数【详解】解：（1）如图，当是“邻三分线”时，；当是“邻三分线”时，；故答案为：85或100；（2）
