1、答案第 1 页，共 21 页 人教版八年级上册数学期末动点最值压轴题人教版八年级上册数学期末动点最值压轴题 一、单选题一、单选题 1在 ABC 中，ABAC，B50 ，P 是边 AB 上的一个动点（不与顶点 A 重合） ，则BPC 的值可能是（ ） A95 B140 C50 D40 2 如图， 等边 ABC 的边长为 4， AD 是 BC 边上的中线， F 是 AD 边上的动点， E 是 AC 边上一点 若 AE=2，当 EF+CF 取得最小值时，则DCF 的度数为（ ） A15 B22.5 C30 D45 3如图，等边三角形 ABC 的边长为 6，A、B、A1三点在一条直线上，且 ABCA1
2、BC1若 D 为线段BC1上一动点，则 ADCD 的最小值是（ ） A10 B12 C16 D18 4如图，边长为 9 的等边三角形 ABC 中，M 是高 CH 所在直线上的一个动点，连接 MB，将线段 BM 绕点B 逆时针旋转 60 得到 BN，连接 HN则在点 M 运动过程中，线段 HN 长度的最小值是（ ） A3 B94 C92 D9 32 答案第 2 页，共 21 页 5如图，矩形 ABCD 中，AB=3，BC=5，点 E 是线段AD上的一个动点（与点 A 不重合） ，点 P 是点 A 关于 BE 的对称点在点 E 的运动过程中，能使得 PCB 为等腰三角形的点 E 的位置共有（ ）
3、A2 个 B3 个 C4 个 D5 个 6如图，在等边ABCV中，AD、CE 是ABCV的两条中线，5AD ，P 是 AD 上一个动点，则PBPE最小值的是（ ） A2.5 B5 C7.5 D10 7 如图， 已知 ABC 为等边三角形， 点 D 为 BC 上一动点， AD=AE， DAE=60 ， 若 AB=4， 当四边形 ADCE的周长取最小值时，BD 的长是（ ） A1 B2 C3 D4 8如图，点A在 y 轴上，点B、C在x轴上，4,0B，2,0D，DB与EC关于y轴对称，60CAB，点P、Q分别是边AB、AC上的动点，则DPPQEQ的最小值是（ ） A6 B8 C10 D12 答案第
4、 3 页，共 21 页 二、填空题二、填空题 9如图，点 P 为AOB 内一点，点 M、N 分别是边 OA 和 OB 上的动点，且 M、P、N 不共线，若AOB30 ，OP8cm，则 PMN 周长的最小值是_ 10如图，在RtABC中，90ACB，ACBC，以 BC 为边在 BC 的右侧作等边BCD，点 E 为 BD的中点，点 P 为 CE 上一动点，连结 AP，BP当APBP的值最小时，CBP的度数为_ 11如图，在等边ABCV中，E 是AC边的中点，P 是ABCV的中线AD上的动点，且6AB，则BPPE的最大值是_ 12如图， ABC 和 DCE 都是边长为 4 的等边三角形，且点 B、C
5、、E 在同一条直线上，点 P 是 CD 边上的一个动点，连接 AP、BP，则 AP+BP 的最小值为 _ 答案第 4 页，共 21 页 13如图，AOB60 ，点 C 是 BO 延长线上一点，OC6cm，动点 P 从点 C 出发沿射线 CB 以 2cm/s 的速度移动，动点 Q 从点 O 出发沿射线 OA 以 1cm/s 的速度移动，如果点 P、Q 同时出发，用 t（s）表示移动的时间，当 t_s 时， POQ 是等腰三角形 14如图，点 M 在等边VABC 的边 BC 上，BM8，射线 CDBC 垂足为点 C，点 P 是射线 CD 上一动点，点 N 是线段 AB 上一动点，当 MP+NP 的
6、值最小时，BN9，则 AC 的长为_ 15如图，等边三角形 ABC 中，D、E 分别为 AB、BC 边上的两个动点，且总使 ADBE，AE 与 CD 交于点 F，AGCD 于点 G，则FAG_ 16如图，在ABCV中，30B ，M、N 为边 AB、BC 上的两个动点，将BMN沿 MN 翻折，翻折后点B 的对应点 D 落在直线 BC 上方，连接 CD，2DCBAMD ，且20AMD，则当CDN是等腰三角形时，AMD_度 三、解答题三、解答题 17如图，四边形 MNPO 中，MP 与 NQ 交于点 0，QMP=18 ，MNQ=42 ，MON=114 ，MPN=78 （1）求证：MQ=NQ； （2）
7、求MPQ 的度数； （3）若 PQ=10，V 是线段 MP 上的一动点，求 QV 的最小值 答案第 5 页，共 21 页 18如图，在直角坐标系中， ABC 的位置如图所示，请回答下列问题： （1）请直接写出 A、B、C 三点的坐标 、 、 （2）画出 ABC 关于 x 轴的对称图形 A1B1C1 （3） ABC 的面积为 （4）已知 P 为 x 轴上一动点，则 AP+BP 的最小值为 19如图，等边三角形 AOB，点 C 为射线 OA 上一动点，连接 BC，以线段 BC 为边在射线 OA 同侧作等边三角形 CBD，连接 DA （1）求证： OBCABD （2）在点 C 的运动过程中，CAD
8、的度数是否会变化？如果不变，请求出CAD 的度数；如果变化，请说明理由 答案第 6 页，共 21 页 20如图， ABC 是边长为 6 的等边三角形，P 是 AC 边上一动点，由 A 向 C 运动（与 A、C 不重合） ，Q是 CB 延长线上一点，与点 P 同时以相同的速度由 B 向 CB 延长线方向运动（Q 不与 B 重合） ，连接 PQ 交AB 于 D （1）若设 APx，则 PC ，QC ； （用含 x 的代数式表示） （2）当BQD30 时，求 AP 的长 参考答案参考答案 1A 解：AB=AC， B=ACB=50 ， A=180 -50 2=80 ， BPC=A+ACP， BPCA，
9、 BPC80 ， B=50 ， BPC180 -50 =130 ， 则 50 BPC130 ， 故BPC 的值可能是 95 故选：A 2C 解：如图， 答案第 7 页，共 21 页 取 AB 的中点 G，连接 CG 交 AD 于点 F， 等边 ABC 的边长为 4，AE=2， 点 E 是 AC 的中点， 所以点 G 和点 E 关于 AD 对称， 此时 EF+FC=CG 最小， 根据等边三角形的性质可知： GCB=12ACB=30 所以DCF 的度数为 30 故选：C 3B 解：如图，连接1CC ， ABCA1BC1，三角形 ABC 是等边三角形，边长为 6， 111606ABCAABBCAC，
10、 ， A、B、A1三点在同一直线上， 点 C 关于1BC的对称点是 A1， 当点 D 与点 B 重合时，ADCD 取最小值， 此时 ADCD=6 6=12， 故选：B 4B 解：如图，取 BC 的中点 G，连接 MG， 答案第 8 页，共 21 页 旋转角为 60 ， MBH+HBN60 ， 又MBH+MBCABC60 ， HBNGBM， CH 是等边 ABC 的对称轴， HB12AB， HBBG， 又MB 旋转到 BN， BMBN， 在 MBG 和 NBH 中， BGBHMBGNBHMBNB ， MBGNBH（SAS） ， MGNH， 根据垂线段最短，当 MGCH 时，MG 最短，即 HN
11、最短， 此时BCH12 60 30 ，CG12AB12 992， MG12CG129294， HN94， 故选 B 5A 解：分三种情况： 以 BC 为底边时，是 BC 的垂直平分线与以 B 为圆心 BA 为半径的圆的交点，此时的情况交点只有一个； 答案第 9 页，共 21 页 以 BP 为底边， C 为顶点时， 有一个， 是以 B 为圆心 BA 为半径的圆与以 C 为圆心 BC 为半径的圆的交点； 以 CP 为底， B 为顶点时， 没有， 因为以 B 为圆心 BA 为半径的圆与以 B 为圆心 BC 为半径的圆没有交点， 综上满足要求的 P 有 2 个， 故选：A 6B 解：连结 PC， AB
12、C 为等边三角形， AB=AC， AD 为中线， ADBC，BD=CD=12BC， 点 P 在 AD 上，BP=CP， PE+PB=PE+PC， PE+PCCE C、P、E 三点共线时 PE+CP最短=CE， CE 为 ABC 的中线， 答案第 10 页，共 21 页 CEAB，AE=BE=12AB， ABC 为等边三角形， AB=BC，ABC=60 ， BE=BD， 在 ABD 和 CBE 中， ABCBABDCBEBDBE ， ABDCBE（SAS） AD=CE=5， PB+PE 的最小值为 5 故选择 B 7B 解：ABC 是等边三角形， AB=AC，BAC=60 ， DAE=60 ，
13、BAD+DAC=CAE+DAC， 即BAD=CAE， 在 ABD 和 ACE 中， ABACBADCAEADAE ， ABDACE（SAS） CE=BD， ABC 是等边三角形， AB=BC=AC=4， 四边形 ADCE 的周长=CE+DC+AD+AE=BD+DC+2AD=4+2AD， 根据垂线段最短，当 ADBC 时，AD 值最小，四边形 ADCE 的周长取最小值， AB=AC， 答案第 11 页，共 21 页 BD=12 BC=12 4=2 故选：B 8C 解：分别作出点D、E关于AB、AC的对称点D、E， 连接D E 分别交AB、AC于P、Q，如图所示， 则,QEQE PDPD 此时DP
14、PQEQD E 为最小 由题知ABC为正三角形，2,0D、4,0B， 连BD，过D作DHx轴于H， 由对称性可得：60 ,PBDPBD 60DBH，2BDBD ， 1BH ，3DH， 5, 3D，同理可得5, 3E ， 5510DE 故选 C 98cm 解：分别作点 P 关于 OA、OB 的对称点 C、D，连接 CD，分别交 OA、OB 于点 M、N，连接 OP、OC、OD、PM、PN，当点 M、N 在 CD 上时， PMN 的周长最小 点 P 关于 OA 的对称点为 C，关于 OB 的对称点为 D， PM=CM，OP=OC，COA=POA； 点 P 关于 OB 的对称点为 D， 答案第 12
15、 页，共 21 页 PN=DN，OP=OD，DOB=POB， OC=OD=OP=8cm，COD=COA+POA+POB+DOB=2POA+2POB=2AOB=60 ， COD 是等边三角形， CD=OC=OD=8cm. PMN 的周长的最小值为 PM+MN+PN=CM+MN+DNCD=8cm 故答案为：8cm 1015 解：连接 PD、AD，设 AD 与 CE 交于点 P1， BCD 是等边三角形，点 E 为 BC 的中点， CBD=BCD=BDC=60 ，BC=CD，CEBD，BE=DE， CE 为线段 BD 的垂直平分线， PD=BP， 当点 P 运动时，AP+BP=AP+PD，而 AP+
16、PDAD， 当点 A、P、D 共线时即点 P 运动到 P1时，AP+BP 有最小值， 连接 BP1，则 BP1=DP1， P1BD=P1DB，又CBD=BDC， CBP1=CDP1， AC=BC=CD， CDP1=CAD，即 延长 AC 至 Q， ACB=90 ，BCD=60 ， DCQ=90 60 =30 ，又DCQ=CDP1+CAD=2CDP1， CDP1=15 ，即CBP1=15 ， 当APBP的值最小时，CBP=15 ， 故答案为：15 113 解：连接 PC， 答案第 13 页，共 21 页 在等边ABCV中，6AB，P 是ABCV的中线AD上的动点， AD 是 BC 的中垂线， B
17、P=CP， BPPE=CP-PE， 在CPE中，CP-PECE， 当点 P 与点 A 重合时，CP-PE=CE， E 是AC边的中点， BPPE的最大值=6 2=3 故答案是：3 128 解：如图，连接 PE， ABC 和 DCE 都是边长为 4 的等边三角形， AC=EC，ACB=DCE=60 ， ACD=60 ， ACD=DCE， 在 ACP 和 ECP 中， ACECACPECPCPCP ， ACPECP（SAS） ， AP=EP， 答案第 14 页，共 21 页 AP+BP=AP+EP， 当点 P 与点 C 重合时，AP+BP 的值最小，正好等于 BE 的长， 所以 AP+BP 的最小
18、值为：2 4=8 故答案为：8 132 或 6 分两种情况： 当点 P 在线段 OC 上， 设 t 秒后POQ是等腰三角形， 有OPOCCPOQ，即62tt，解得：2t ； 当点 P 在 CO 的延长线上时，此时经过 CO 时的时间已用 3s， 当POQ是等腰三角形时，60POQ， POQ是等边三角形， OPOQ， 即23tt，解得：6t ； 故答案是：2 或 6 1413 解：ABC 是等边三角形， AC=BC，B=60 ， 作点 M 关于直线 CD 的对称点 G，过 G 作 GNAB 于 N，交 CD 于 P， 则此时，MP+PN 的值最小， B=60 ，BNG=90 ， G=30 ， B
19、N=9， BG=2BN=18， MG=BG-BM=18-8=10， CM=CG=5， AC=BC=13， 故答案为：13 答案第 15 页，共 21 页 1530 解：ABC 为等边三角形， ACCBAB，ACBB60 ， ADBE， BDCE， 在 ACE 和 CBD 中 ACCBACEBCEBD， ACECBD（SAS） ， CAEBCD， AFGCAFACF， AFGBCDACFACB60 ， AGCD， AGF90 ， FAG906030 故答案为 30 1640 解：连接 BD，如图， 由折叠可得，MB=MD，BN=DN， ,MBDMDBNBDNDB ， =30ABC 30NBDND
20、BMBD 2,2 30AMDMBDDNCDBM 2DCNAMD 4DCNMBD CDN是等腰三角形， 分三种情况讨论： 当 NC=DC 时，2(30)DNCNDCMBD 又180DNCNDCDCN 答案第 16 页，共 21 页 2(30)2(30)4180MBDMBDMBD 整理得，120180 故此种情况不存在； 当 DN=DC 时，DNCDCN 2(30)4MBDMBD 解得，=10MBD 20AMD； AMD20 ， 此种情况须舍去； 当 DN=NC 时，4NDCNCDMBD 180DNCNDCDCN 2(30)44180MBDMBDMBD 解得，20MBD 40AMD 综上，AMD的
21、度数为40 故答案为：40 17 （1）见解析； （2）30； （3）5 （1）QMON=114 ,MNQ=42 ， 24OMN QQMP=18 ， 42QMNQMPPMN ， QMNQNM ， QMQN， （2）QQMNQNM 42， 180424296MQN ， 如图，将QP绕点Q旋转96，得到QS，连接SN,SM， 答案第 17 页，共 21 页 SQPQ 96MQPMQNNQPNQP Q，96NQSNQPPQSNQP ， MQPNQS ， 又QMQNQ， QMPQNS， QMPQNS 18，MPNS，QPMQSN ， 42QNMQ， 60MNSQNMQNS ， 24 ,78OMNMPN
22、 Q， 18078MNPOMNMPN， MNPMPN， MPMN， MPNSQ， NSMN， MSN是等边三角形， SMSN，MSN60， 在SQM和SQN中 SQSQSMSNQMQN SQMSQN， 1302QSNQSMMSN ， MPQNSQ 30， （3）如图，过点Q作QVMP， 当QVMP时，QV最小， 答案第 18 页，共 21 页 PQV是直角三角形， 30MPQQ， 1110522QVPQ， QV 的最小值为5 18 （1）1,44,(), (),(25)3,ABC;（2）见解析； （3）3.5； （4）3 5 （1）由平面直角坐标系中点的位置可知1,44,(), (),(25)
23、3,ABC 故答案为：(1,4),(4,2),(3,5)； （2）根据题意作ABCV的各顶点关于x轴对称的点，顺次连接即可，111A B C即为所求作三角形； （3）1113 31 22 31 33.5222ABCS ； （4）连接1AB，根据11APBPAPBPAB， 答案第 19 页，共 21 页 221363 5AB Q 即 AP+BP 的最小值为3 5 故答案是：3 5 【点睛】 本题考查了坐标与图形，作轴对称图形，轴对称的性质，勾股定理求两点之间的距离，掌握轴对称的性质是解题的关键 19 （1）见解析； （2）变化，60CADo 或120o或 0 【分析】 （1）根据等边三角形可得O
24、BBA，60OBAo，,60BCBDCBDo，可推得OBCABD，可证()OBCABD SASVV； （2）变化，由OBCABDVV，OCB=ADB，由对顶角性质得AEC=BED，利用三角形内角和可求CAD=180 -ACB-AEC=180 -EDB-BED=EBD=60 或CAD=OAB+BAD=60 +60 =120 ，即可 【详解】 证明： （1）OABQV是等边三角形， OBBA，60OBAo， CBD 是等边三角形， ,60BCBDCBDo， 60OBACBD o， OBA+ABC=ABC+CBD，即可OBCABD， 在OBCV和ABDV中, COBABOBABDBCBD， ()OB
25、CABD SASVV ； （2）变化， 当点 C 在线段 OA 的延长线上 答案第 20 页，共 21 页 设 AD 与 BC 交于 E 点， OBCABDQVV， OCB=ADB， AEC=BED， CAD=180 -ACB-AEC=180 -EDB-BED=EBD=60 ， 60CADo 当点 C 在线段 OA 上时， OBCABDQVV BOC=BAD=60 ， OAB 为等边三角形， OAB=60 ， CAD=OAB+BAD=60 +60 =120 ， 当点 C 与点 A 重合时，CAD=0 ， CAD=60 或 120 或 0 ， CAD 大小发生变化 【点睛】 本题考查等边三角形的
26、性质，三角形全等判定与性质，对顶角性质，三角形内角和，掌握等边三角形的性质，三角形全等判定与性质，对顶角性质，三角形内角和是解题关键 20 （1）6x，6x； （2）2AP 【分析】 （1）由ABCV是边长为 6 的等边三角形，设APx，则6PCx ，QBx，由此即可解决问题； （2）易证QCP是直角三角形，30BQD，12PCQC，即16(6)2xx，求出x的值即可 【详解】 答案第 21 页，共 21 页 解： （1）ABCQV是边长为 6 的等边三角形， 6ABBCAC， 设APx，则6PCx ，QBx， 6QCQBBCx， 故答案为：6x，6x； （2）在等边三角形ABCV中，有60C 30BQD, 90QPC 在RtQCP中，30BQD， 12PCQC， 即16(6)2xx， 解得2x， 2AP 【点睛】 本题主要考查含30的直角三角形的性质，牢记30角所对的直角边是斜边的一半是解题的关键，以此建立方程解答问题
