1、2022年中考数学复习专题9：直线与圆锥曲线直线与圆锥曲线的位置关系：1.代数法：把圆锥曲线方程与直线方程联立，消去(也可以消去)，整理得到关于（或者）的一元方程.（1）当时：计算.若0，则与相交；若0，则与相切；若0，则与相离；（2） 当且时：即得到一个一次方程，则与相交，且只有一个交点。若为双曲线，则直线与双曲线的渐近线的位置关系是平行；若为抛物线，则直线与抛物线的对称轴的位置关系是平行或重合2.几何法：在同一直角坐标系中画出圆锥曲线和直线的图像，利用图象和性质可判断与的位置关系1.例题【例1】已知椭圆，直线：，直线与椭圆的位置关系是（ ）A 相离B相交C相切D不确定【解析】直线：化为，可
2、得直线恒过点，由可知该点在椭圆内部.所以直线与椭圆相交，故选：B.【例2】已知点为曲线上两个不同的点，的横坐标是函数的两个极值点，则直线与椭圆的位置关系是（ ）A相离B相切C相交D位置关系不确定【解析】由，得，因为的横坐标是函数的两个极值点，所以是方程的两根，因此，又点为曲线上两个不同的点，所以因此直线的方程为：，即，即直线恒过定点，又点显然在椭圆内，因此直线与椭圆必相交.故选：C.【例3】已知是椭圆的左右焦点，是直线上一点，若的最小值是，则实数_.【解析】依题意椭圆，则，又因为，是直线上一点，若的最小值是，则此直线与椭圆相切.由消去并化简得，判别式，解得.故答案为：.【例4】直线与曲线（ ）
3、A没有交点B只有一个交点C有两个交点D有三个交点【解析】当时，曲线为，与直线方程联立得：解得：， 此时直线与曲线有两个交点当时，曲线为，与直线方程联立得：解得：（舍）， 此时直线与曲线有一个交点综上所述：直线与曲线有三个交点故选：【例5】已知直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则k的取值范围是（ ）ABCD【解析】双曲线渐近线为，直线过定点.画出双曲线的图像以及双曲线渐近线的图像如下图所示，由图可知，要使直线与双曲线的右支相交于不同的两点，则，结合选项可知只有D选项符合.由消去得，化简得，因为直线与双曲线的右支相交于不同的两点，所以，解得.故选：D.【例6】已知双曲线：的左右焦点分别为，过的直
4、线与圆相切于点，且直线与双曲线的右支交于点，若，则双曲线的离心率为_.【解析】如图，由题可知，则，又，又，作，可得，则在，即，又，化简可得，同除以，得解得，双曲线的离心率为【例7】若直线是抛物线的一条切线，则_【解析】联立直线和抛物线得到故答案为：.【例8】已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数的取值范围是（ ）ABCD【解析】据已知可得直线的方程为，联立直线与抛物线方程，得，消元整理，得，由于直线与抛物线无公共点，即方程无解，故有，解得或.【例9】过点且与抛物线只有一个公共点的直线有（ ）A1条B2条C3条D4条【解析】画出图像如下图所示，由图可知，这两条直线与抛物线只
5、有一个公共点，另外过点还可以作出一条与抛物线相切的直线，故符合题意的直线有条，故选C.2.巩固提升综合练习【练习1】已知曲线与曲线怡好有两个不同的公共点，则实数的取值范围是（ ）A B C D【解析】双曲线的方程为，所以，曲线的图象与曲线的图象必相交于点，为了使曲线与曲线恰好有两个公共点，将代入方程，整理可得.当时，满足题意；当时，由于曲线与曲线恰好有两个公共点，且是方程的根，则，解得.所以，当时，.根据对称性可知，当时，可求得.因此，实数的取值范围是.故选：C.【练习2】对不同的实数值,讨论直线与椭圆的位置关系.【解析】由消去得，当时，此时直线与椭圆相交；当 ，此时直线与椭圆相切；当，此时直
6、线与椭圆相离.【练习3】过点和双曲线仅有一交点的直线有（）A1条B2条C4条D不确定【解析】直线斜率不存在时,不满足条件；直线斜率存在时,与渐近线平行的直线,满足题意过点和双曲线仅有一交点的直线有2条故选:B【练习4】已知双曲线的右焦点为F，过点F且倾斜角为45的直线与双曲线的右支一定有两个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD【解析】双曲线的渐近线方程为，由题意可知，双曲线渐近线的倾斜角范围是，渐近线斜率，而，由此得不等式，即，故，所以，故选：C【练习5】已知抛物线，直线l过定点(-1,0)，直线l与抛物线只有一个公共点时，直线l的斜率是_.【解析】由题意可设直线方程为：yk（x
7、+1），联立方程可得，整理可得k2x2+（2k24）x+k20（*）直线与抛物线只有一个公共点（*）只有一个根k0时，y0符合题意k0时，（2k24）24k40整理，得k21，解得或k1综上可得，或k1或k0故答案为1或0或1【练习6】已知抛物线的焦点与椭圆的右焦点重合，抛物线的准线与轴的交点为，过作直线与抛物线相切，切点为，则的面积为（ ）A32B16C8D4【解析】抛物线的焦点为,椭圆的焦点为,所以,即,所以抛物线方程为:,则为,设直线为,则联立,消去,可得,因为直线与抛物线相切,所以,则,当时,直线为,则点为,则,由抛物线的对称性,当时,故选:C直线与圆锥曲线中的弦长与面积问题【一】弦长
8、公式弦长公式：（1）题设：若斜率为的直线与圆锥曲线方程有两个不同的交点，则或；（2）通径：过椭圆的一个焦点且与焦点所在轴垂直的弦，长度为：；过双曲线的一个焦点且与实轴垂直的弦，长度为：；（3）题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，其中，则 ； ；（4）题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与交于两点，其中，则 ； ；1.例题【例1】斜率为1的直线l与椭圆y21相交于A，B两点，则|AB|的最大值为()A2 B. C. D.【解析】选C设A，B两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，直线l的方程为yxt，由消去y，得5x28tx4(t21)0，则x1x2t，x1x2.|A
9、B|x1x2|，当t0时，|AB|max.【例2】已知椭圆M：1(ab0)的离心率为，焦距为2.斜率为k的直线l与椭圆M有两个不同的交点A，B.(1)求椭圆M的方程；(2)若k1，求|AB|的最大值【解析】(1)由题意得解得a，b1.所以椭圆M的方程为y21.(2)设直线l的方程为yxm，A(x1，y1)，B(x2，y2)由得4x26mx3m230，所以x1x2，x1x2.所以|AB| .当m0，即直线l过原点时，|AB|最大，最大值为.【例3】椭圆E：1(ab0)的左焦点为F1，右焦点为F2，离心率e，过F1的直线交椭圆于A，B两点，且ABF2的周长为8.(1)求椭圆E的方程；(2)若直线A
10、B的斜率为，求ABF2的面积【解析】(1)由题意知，4a8，所以a2，又e，所以，c1，所以b22213，所以椭圆E的方程为1.(2)设直线AB的方程为y(x1)，由得5x28x0，解得x10，x2，所以y1，y2.所以SABF2c|y1y2|1.【例4】已知是抛物线的焦点，则过作倾斜角为的直线分别交抛物线于（在轴上方）两点，则的值为( )ABCD【解析】，.【例5】设抛物线C：y24x的焦点为F，过F且斜率为k(k0)的直线l与C交于A，B两点，|AB|8.(1)求l的方程；(2)求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程【解析】(1)由题意得F(1,0)，l的方程为yk(x1)(k0)设A(x
11、1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2(2k24)xk20.16k2160，故x1x2.所以|AB|AF|BF|(x11)(x21).由题设知8，解得k1或k1(舍去)因此l的方程为yx1.(2)由(1)得AB的中点坐标为(3,2)，所以AB的垂直平分线方程为y2(x3)，即yx5.设所求圆的圆心坐标为(x0，y0)，则解得或因此所求圆的方程为(x3)2(y2)216或(x11)2(y6)2144.【例6】已知抛物线y216x的焦点为F，过F作一条直线交抛物线于A，B两点，若|AF|6，则|BF|_.【解析】不妨设A(x1，y1)，B(x2，y2)(A在B上方)，根据焦半径公式|AF|x1
12、x146，所以x12，y14，所以直线AB的斜率为k2，所以直线方程为y2(x4)，与抛物线方程联立得x210x160，即(x2)(x8)0，所以x28，故|BF|8412.答案：12【例7】已知斜率为1的直线l与双曲线y21的右支交于A，B两点，若|AB|8，则直线l的方程为（ ）A yxByxCyxDyx【解析】设斜率为1的直线的方程为，联立双曲线方程，可得，设，可得，则，解得，由于直线与双曲线的右支交于两点，可得，则直线的方程为故选：【例8】过双曲线的左焦点作弦，使，则这样的直线的条数为_.【解析】当直线不存在斜率时，直线方程为，此时把代入双曲线方程中可得：，此时，这样有两条直线过左焦点
13、作弦只与双曲线左支相交，使；直线与双曲线左右两支都相交时，弦的最小值为，所以过左焦点作弦与左右两支都相交，使的直线是不存在的.故答案为：2【例9】已知双曲线（1）求直线被双曲线截得的弦长；（2）过点能否作一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点？【解析】（1）设直线与的交点联立方程组，化简得：，解得，所以，所以弦长（2）假设存在直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.设,易知,由两式相减得,又,，所以,所以,故直线的方程为,即.由,消去得,因为,方程无解,故不存在一条直线与双曲线交于两点,且点是线段的中点.2.巩固提升综合练习【练习1】已知椭圆C的两个焦点为F1(1,0)，F2(1,0)，且
14、经过点E.(1)求椭圆C的方程；(2)过F1的直线l与椭圆C交于A，B两点(点A位于x轴上方)，若2，求直线l的斜率k的值【解析】(1)设椭圆C的方程为1(ab0)，由解得所以椭圆C的方程为1.(2)由题意得直线l的方程为yk(x1)(k0)，联立整理得y2y90，则1440，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2，y1y2，又2，所以y12y2，所以y1y22(y1y2)2，则34k28，解得k，又k0，所以k.【练习2】已知椭圆（）的半焦距为，原点到经过两点，的直线的距离为（）求椭圆的离心率；（）如图，是圆的一条直径，若椭圆经过，两点，求椭圆的方程【答案】（）；（）【解析】（）过
15、点的直线方程为，则原点到直线的距离，由，得，解得离心率.（）由（1）知，椭圆的方程为.依题意，圆心是线段的中点，且.易知，不与轴垂直.设其直线方程为，代入（1）得.设，则，.由，得，解得.从而.于是.由，得，解得.故椭圆的方程为.【练习3】已知抛物线的焦点为，斜率为的直线与的交点为，与轴的交点为（1）若，求的方程；（2）若，求【答案】（1）；（2）.【解析】设直线（1）由题设得，故，由题设可得由，可得，则从而，得所以的方程为（2）由可得由，可得所以从而，故代入的方程得故【练习4】如图，过抛物线的焦点的直线交抛物线于点，交其准线于点，若，且，则为（ ）ABCD【解析】设准线与轴交于点，作垂直于准
16、线，垂足为.由，得：，由抛物线定义可知：，设直线的倾斜角为，由抛物线焦半径公式可得：，解得：，解得：，本题正确选项为B.【练习5】已知复数满足：（），且在复平面上的对应点的轨迹经过点.（1）求的轨迹；（2）若过点，倾斜角为的直线交轨迹于、两点，求的面积.【解析】（1）由于复数满足：（），所以在复平面上的对应点到、两点的距离之差为常数，且.所以的轨迹是双曲线的右支.且.设轨迹的方程为，将点代入上式得，解得或（舍去），所以的轨迹方程为.（2）依题意，直线的方程为，由消去得.设，则.所以.到直线的距离为.所以.【练习6】已知双曲线C：与双曲线有相同的渐近线，且双曲线C过点(1)若双曲线C的左、右焦点
17、分别为，双曲线C上有一点P，使得，求的面积；(2)过双曲线C的右焦点作直线l与双曲线右支交于A，B两点，若的周长是，求直线l的方程【解析】(1) 设双曲线C：，点代入得：双曲线C：在PF1F2中，设，由得：，；(2) ，1当直线AB斜率不存在时，不符合题意（舍）2当直线AB斜率存在时，设AB：，联立：，解得：，此时，直线l方程：或.【二】面积问题 面积问题：涉及面积的计算问题，常用到三角形面积公式、焦点三角形面积公式、点到直线的距离公式，或把待求面积分解成两个易于求和的三角形面积之和.(1)椭圆焦点三角形面积： (2)双曲线焦点三角形面积： (3)抛物线：题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，
18、且与C交于两点，其中，则：.题设：若斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与C交于两点，其中，则： .1.例题【例1】过抛物线的焦点的直线交抛物线于两点,点是原点,若;则的面积为 （ ）ABCD【解析】抛物线焦点为，准线方程为，由得或所以，故答案为C【例2】已知点是抛物线：的焦点，直线与抛物线相切于点，连接交抛物线于另一点，过点作的垂线交抛物线于另一点.（1）若，求直线的方程；（2）求三角形面积的最小值【解析】（1）由得,设直线的方程为,由得,因为直线与抛物线相切,故,解得.故所求直线的方程,即.（2）设切线的方程为,又由,三点共线,故,化简可得,由得,因为直线与抛物线相切,故,即,故直线的方程为,
19、因此点到直线的距离为,由得,故,所以等号成立当且仅当,即时等号成立.此时三角形面积的最小值为16.【例3】已知点，是椭圆的两个焦点，为椭圆上一点，且若的面积为9，则_【解析】,的面积为9，设，则可得：，即，解得【例4】已知点A(0，2)，椭圆E： (ab0)的离心率为，F是椭圆E的右焦点，直线AF的斜率为，O为坐标原点. (1)求E的方程；(2)设过点A的动直线l与E相交于P，Q两点.当OPQ的面积最大时，求l的方程.【解析】（1）设，因为直线的斜率为，所以，. 又解得，所以椭圆的方程为.（2）解：设由题意可设直线的方程为：，联立消去得，当，所以，即或时.所以点到直线的距离所以，设，则，当且仅
20、当，即，解得时取等号，满足所以的面积最大时直线的方程为：或.2.巩固提升综合练习【练习1】抛物线的焦点为F,准线为l,经过F且斜率为的直线与抛物线在x轴上方的部分相交于点A,垂足为K,则的面积是( )A4BCD8【解析】由抛物线可得,因为斜率为,则直线方程为,联立,消得,解得,因为交点在轴上方,所以,则,则,则由抛物线定义可得,因为直线斜率为,即倾斜角为,因为,所以轴,即,所以,故选:C【练习2】已知为椭圆上一点，是椭圆的焦点，则的面积为_【解析】由椭圆方程得：，设，则在中，由余弦定理得：解得：【练习3】如图所示,直线与椭圈交于AB两点,记面积为S;(1)求在,的条件下S的最大值;(2)当,时
21、,求直线的方程;【解析】设,（1）当时,联立,即,所以,所以,则,因为,所以设,则,则,因为,所以,则的最大值为1（2）因为,所以,即,联立,则,所以,则,整理可得,解得,所以或（舍）,则,所以或,所以直线的方程为或【练习4】已知椭圆：的离心率为，椭圆的四个顶点围成四边形的面积为4.（）求椭圆的标准方程；（）直线与椭圆交于，两点，的中点在圆上，求（为坐标原点）面积的最大值.【解析】（）由题意知，得，所以，由椭圆的四个顶点围成的四边形的面积为4，得，所以，椭圆的标准方程为.（）当直线的斜率不存在时，令，得，当直线的斜率存在时，设:，由，得，则，所以，将代入，得，又因为 ，原点到直线的距离，所以
22、.当且仅当，即时取等号.综上所述，面积的最大值为1.四、课后自我检测1.已知直线与抛物线交于，两点，则等于（ ）AB6C7D8【解析】方法一：设为,为,联立得,因为,则,所以方法二：故选：D2.已知直线yx1与椭圆1(ab0)相交于A，B两点，若椭圆的离心率为，焦距为2，则线段AB的长是()A. B. C. D2【解析】选B由条件知c1，e，所以a，b1，椭圆方程为y21，联立直线方程与椭圆方程可得交点坐标为(0,1)，所以|AB|.3.已知焦点在x轴上的椭圆C：y21(a0)，过右焦点作垂直于x轴的直线交椭圆于A，B两点，且|AB|1，则该椭圆的离心率为_【解析】因为椭圆y21(a0)的焦点
23、在x轴上，所以c，又过右焦点且垂直于x轴的直线为xc，将其代入椭圆方程中，得y21，则y ，又|AB|1，所以21，得，所以该椭圆的离心率e.答案：4.已知抛物线的焦点为，过点的直线交抛物线于，两点，为坐标原点，若的面积为，则线段的长是（ ）A.B.C.D.【解析】方法一：当直线垂直于轴时，不符合题设；当直线不垂直于轴时，设方程为，即.点到直线距离.联立得，设,则由韦达定理得,所以由弦长公式得,因为的面积为,所以，所以，所以.故选C.方法二：，所以，所以5.若直线l交双曲线的左，右两支于A，B两点，O为坐标原点，若，则（ ）ABC2D3【解析】设直线OA的方程为，与联立得，则直线OB的方程为（
24、），同理求得，故选B6.已知抛物线，直线，则“”是“直线l与抛物线C有两个不同交点”的（ ）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件【解析】化简可得直线与抛物线有两个不同交点，且等价于，且，“”不能推出“直线l与抛物线C有两个不同交点”，“直线l与抛物线C有两个不同交点”能推导出“”是“直线与抛物线有两个不同交点”的必要不充分条件故选B7.已知双曲线的右焦点为F，过F做斜率为2的直线, 直线与双曲线的右支有且只有一个公共点，则双曲线的离心率范围_【解析】因为过做斜率为2的直线,直线与双曲线的右支有且只有一个公共点,所以,所以,又因为,所以故答案为：8.已知双曲线
25、，过右焦点的直线交双曲线于两点，若中点的横坐标为4，则弦长为（ ）ABC6D【解析】双曲线，则，所以右焦点，根据题意易得过的直线斜率存在，设为，联立，化简得，所以，因为中点横坐标为4，所以，解得，所以，则，则故选：D9.已知双曲线的虚轴长为，且离心率为(1)求双曲线的方程；(2)经过双曲线右焦点作倾斜角为的直线，直线与双曲线交于不同的两点，求【解析】（1）双曲线的虚轴长为，离心率为，解得，双曲线的方程为.（2）由（1）知双曲线的右焦点为，设经过双曲线右焦点且倾斜角为的直线的方程为，由，得，其中，.10.已知椭圆：，短轴长为，离心率为.直线与椭圆交于不同的两点，.（1）求椭圆的方程；（2）若已知
26、点,求的面积.【答案】(1) (2) 【解析】(1)由题意得,解得,所以椭圆的方程为.(2)方法1：由,消去x,得,判别式,设点,的坐标分别为, 所以,所以的面积方法2：由,消去y,得,判别式,设点,的坐标分别为, 所以,又因为点到直线的距离,所以的面积11.已知椭圆的左焦点为，经过点的直线与椭圆相交于，两点，点为线段的中点，点为坐标原点.当直线的斜率为时，直线的斜率为.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点为椭圆的左顶点，点为椭圆的右顶点，过的动直线交该椭圆于，两点，记的面积为，的面积为，求的最大值.【解析】（1）设，则点，由条件知，直线的斜率为，直线的斜率为，而，两式作差得，所以，即，又左焦点为，所以，所以椭圆的标准方程为.（2）设直线的方程为，记，过标为，则，所以.联立方程，消去，得，所以，令，则，且，当且仅当时等号成立，所以，即的最大值为.
