1、人教人教2019版必修第一册版必修第一册 第四章第四章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 4.5.1 4.5.1 函数的零点与方程的解函数的零点与方程的解 课程目标课程目标 1.了解函数的零点、方程的根与图象交点三者之间的联系. 2.会借助零点存在性定理判断函数的零点所在的大致区间. 3.能借助函数单调性及图象判断零点个数 数学学科素养数学学科素养 1.数学抽象：函数零点的概念； 2.逻辑推理：借助图像判断零点个数； 3.数学运算：求函数零点或零点所在区间； 4.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的思想总结函数零点概念. 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本142-
2、143页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1. 函数零点的定义是什么？函数零点的定义是什么？ 2. 函数零点存在性定理要具备哪两个条件函数零点存在性定理要具备哪两个条件？ 3.方程的根、函数的图象与方程的根、函数的图象与x轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什轴的交点、函数的零点三者之间的联系是什么么? 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 1函数的零点对于函数 yf(x)， 把使的实数 x 叫做函数 yf(x)的零点f(x)0 点睛点睛 函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变函数
3、的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值等于零量取该值时，其函数值等于零 2方程、函数、图象之间的关系方程 f(x)0函数 yf(x)的图象与 x 轴有交点函数 yf(x)有实根有实根 有零点有零点 知识清单知识清单 3函数零点的存在性定理如果函数 yf(x)在区间a，b上的图象是的一条曲线，并且有.那么，函数 yf(x)在区间(a，b)内有零点，即存在 c(a，b)，使得，这个 c 也就是方程 f(x)0 的根f(a) f(b)0 连续不断连续不断 f(c)0 点睛点睛 定理要求具备两条定理要求具备两条：函数在区间函数在区间a，b上的图象上的图象是连续不断的一条曲线是连续不
4、断的一条曲线； f (a) f (b)0. 小试身手小试身手 1判断(正确的打“”，错误的打“”)(1)所有的函数都有零点()(2)若方程 f(x)0 有两个不等实根 x1，x2，则函数 yf(x)的零点为(x1,0)(x2,0)()(3)若函数 yf(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有 f(a) f(b)0.() 2函数函数 f(x)log2x 的零点是的零点是 ( ) A1 B2 C3 D4 答案：A答案：D4函数函数 f (x)x25x 的零点是的零点是_ 答案：0,53. 下列各图象表示的函数中没有零点的是() 题型一题型一 求函数的零点求函数的零点 题型分析题型分析 举一反三举一
5、反三 例 1判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出(1) f (x)x3x；(2) f (x)x22x4；(3) f (x)2x3；(4) f (x)1log3x.解：(1)令x3x0，解得 x3，所以函数 f(x)x3x的零点是 x3.(2) 令 x22x40，由于22414120，所以方程 x22x40 无实数根，所以函数 f(x)x22x4 不存在零点(3) 令 2x30，解得 xlog23.所以函数 f(x)2x3 的零点是 xlog23.(4) 令 1log3x0，解得 x3，所以函数 f(x)1log3x 的零点是 x3.解题方法解题方法（函数零点的求法） 求函数的零点通常有两
6、种方法:一是代数法,令f(x)=0,通过求方程f(x)=0的根求得函数的零点;二是几何法,画出函数y=f(x)的图象,图象与x轴交点的横坐标即为函数的零点. 跟踪训练一 1已知函数 f(x)2x1，x1，1log2x，x1，则函数 f(x)的零点为()A.12，0B2,0C.12D0解析：当 x1 时，令 2x10，得 x0.当 x1 时，令 1log2x0，得 x12，此时无解综上所述，函数零点为 0.答案：D题型二题型二 判断函数零点所在区间判断函数零点所在区间 例 2函数 f(x)ln x2x的零点所在的大致区间是A(1,2)B(2,3)C(3,4)D(e，)解析：f(1)20，f(2)
7、ln 210，在(1,2)内 f(x)无零点，A 错；又 f(3)ln 3230，f(2) f(3)0，f(x)在(2,3)内有零点答案：B 解题方法解题方法（判断函数零点所在区间的3个步骤） (1)代入：将区间端点值代入函数求出函数的值 (2)判断：把所得的函数值相乘，并进行符号判断 (3)结论：若符号为正且函数在该区间内是单调函数，则在该区间内无零点，若符号为负且函数连续，则在该区间内至少有一个零点 1若函数 f(x)xax(aR)在区间(1,2)上有零点，则 a 的值可能是()A2B0C1D3解析：f(x)xax(aR)的图象在(1,2)上是连续不断的，逐个选项代入验证，当 a2 时，f
8、(1)1210，f(2)2110.故 f(x)在区间(1,2)上有零点，同理，其他选项不符合，选 A.答案：A跟踪训练二题型三题型三 判断函数零点的个数判断函数零点的个数 例 3 判断函数 f(x)ln xx23 的零点的个数解：法一图象法函数对应的方程为 ln xx230，所以原函数零点的个数即为函数 yln x 与 y3x2的图象交点个数在同一坐标系下，作出两函数的图象(如图)由图象知， 函数 y3x2与 yln x 的图象只有一个交点，从而 ln xx230有一个根，即函数 yln xx23 有一个零点法二法二 判定定理法判定定理法 由于由于 f(1)ln 112320， f(2)ln
9、2223ln 210， 所以所以 f(1) f(2)0，又，又 f(x)ln xx23 的图象在的图象在(1,2)上是不间上是不间断的，所以断的，所以 f(x)在在(1,2)上必有零点，上必有零点， 又又 f(x)在在(0，)上是递增的，所以零点只有一个上是递增的，所以零点只有一个 解题方法解题方法（判断函数存在零点的3种方法） ( 1 )方 程 法 ： 若 方 程f(x)0 的 解 可 求 或 能 判 断 解 的 个 数 ， 可 通 过方 程 的 解 来 判 断 函 数 是 否 存 在 零 点 或 判 断 零 点 的 个 数 ( 2 )图 象 法：由 f(x)g(x)h(x)0，得 g(x)
10、h(x)，在 同 一 坐 标 系内 作 出y1g(x)和 y2h(x)的 图 象， 根 据 两 个 图 象 交 点 的 个 数 来 判 定 函数 零 点 的 个 数 ( 3 )定 理 法：函数 yf(x)的图象在区间a，b上是一条连续不断的曲线，由 f(a) f(b)0 即可判断函数 yf(x)在区间(a，b)内至少有一个零点 若函数 yf(x)在区间(a， b)上是单调函数， 则函数 f(x)在区间(a，b)内只有一个零点1函数 f(x)4x4，x1，x24x3，x1的图象和函数 g(x)log2x 的图象的交点个数是_解析：作出 g(x)与 f(x)的图象如图，由图知 f(x)与 g(x)有 3 个交点答案：3跟踪训练三
