1、4.2.2 4.2.2 指数函数的图像和性质指数函数的图像和性质 1、掌握指数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力； 2、通过观察图象，分析、归纳、总结指数函数的性质； 3、在指数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯. 1.数学抽象：指数函数的图像与性质； 2.逻辑推理：图像平移问题； 3.数学运算：求函数的定义域与值域； 4.数据分析：利用指数函数的性质比较两个函数值的大小： 5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质. 重点：重点：指数函数的图象和性质； 难点：难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质 一、一、
2、 预习导入预习导入 阅读课本 111-113 页，填写。 1指数函数的图像与性质 a1 0a1 图图 象象 定义域定义域 _ 值域值域 过定点过定点 过点过点 即即 x 时，时，y_ 性性 质质 单调性单调性 是是 R 上的上的 是是 R 上的上的 1函数y( 31)x在 R 上是( ) A增函数 B奇函数 C偶函数 D减函数 2函数y2x的图象是( ) 3函数 f(x)2x3 的值域为_ 题型一题型一 指数函数的图象问题指数函数的图象问题 题点一：指数型函数过定点问题 例例 1 1 函数 yax33(a0，且 a1)的图象过定点_ 题点二：指数型函数图象中数据判断 例例 2 2 函数 f(x
3、)axb的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( ) Aa1，b0 Ba1，b0 C0a1，b0 D. 0a1，b0 题点三：作指数型函数的图象 例例 3 3 画出下列函数的图象，并说明它们是由函数 f(x)2x的图象经过怎样的变换得到的 (1)y2x1；(2)y2x. 跟踪训练一跟踪训练一 1、如图是指数函数:y=ax,y=bx,y=cx,y=dx的图象,则 a,b,c,d 与 1 的大小关系是( ) A.ab1cd B.ba1dc C.1abcd D.ab1d1,且 a2). 2、比较下列各题中两个值的大小: 2.53,2.55.7; 1.5-7,(827)4; 2.3-
4、0.28,0.67-3.1. 1函数1( )2xf xa（0a且1a ）的图象恒过定点（ ） A （0，3） B （1，3） C （-1，2） D （-1，3） 2设函数 f（x）=x44，则函数 f（x4）的定义域为（ ） 2.531.71.7与230.80.8与A,4 B1,4 C0,4 D10,4 3设0.30.6a ，0.60.3b ，0.30.3c ，则, ,a b c的大小关系为（ ） Abac Bacb Cbca Dcba 4已知函数 f(x)axb(a0，a1)的定义域和值域都是1，0，则 ab_ 5不等式23122xx 的解集为_. 6已知函数21( )2xf x。 （1）求
5、函数( )f x的定义域； （2）判断函数( )f x的奇偶性，并证明； （3）解不等式( )f x4。 答案答案 小试牛刀小试牛刀 1D 2B 3. (3，+) 自主探究自主探究 例例 1 1 【答案】(3,4) 【解析】因为指数函数 yax(a0，且 a1)的图象过定点(0,1)，所以在函数 yax33 中，令 x30，得 x3，此时 y134，即函数 yax33 的图象过定点(3,4) 例例 2 2 【答案】D 【解析】从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有 0a1；从曲线位置看，是由函数 yax(0a1)的图象向左平移|b|个单位长度得到，所以b0，即 b0. 例例
6、3 3 【答案】见解析 【解析】如图(1)y2x1 的图象是由 y2x的图象向上平移 1 个单位 长度得到的； (2)y2x的图象与 y2x的图象关于 x 轴对称 跟踪训跟踪训练一练一 【答案】1. B 2. (-1,4) 3. 原函数的图象关于 y 轴对称.由图象可知值域是(0,1,单调递增区间是(-,0,单调递减区间是(0,+). 【解析】1、(方法一)中函数的底数小于 1 且大于 0,在 y 轴右边,底数越小,图象 向下越靠近 x 轴,故有 ba,中函数的底数大于 1,在 y 轴右边,底数越大, 图象向上越靠近 y 轴,故有 dc.故选 B. (方法二)作直线 x=1,与函数,的图象分别
7、交于 A,B,C,D 四点, 将 x=1 代入各个函数可得函数值等于底数值, 所以交点的纵坐标越大,则对应函数的底数越大. 由图可知 ba1dc.故选 B. 答案:B 2、当 x+1=0,即 x=-1 时,f(x)=a0+3=4 恒成立,故函数 f(x)=ax+1+3 恒过(-1,4)点. 3、y=(12)|x|= (12)x,x ,(12)-x,x , 其图象由 y=(12)x(x0)和 y=2x(x0)和y=2x(x0)的图象关于y轴对称,所以原函数的图象关于y轴对称.由图象可知值域是(0,1,单调递增区间是(-,0,单调递减区间是(0,+). 例例 4 4 【答案】(1) 1.72.51
8、.73 (2) 2 0.93.1 【解析】(1)(单调性法)由于 1.73与 1.72.5的底数是 1.7,故构造函数 y=1.7x,而函数 y=1.7x在 R 上是增函数.又 2.53,1.72.51.73. (2)(单调性法)由于 2与 的底数是 0.8,故构造函数 y=0.8x,而函数 y=0.8x在 R 上是减函数.又23 ，所以 2 . （3）(中间量法)由指数函数的性质,知 0.93.11.70=1,则 1.73.1 0.93.1. 例例 5 5【答案】(1)定义域为x|xR,且 x4, 值域为(0,1)(1,+). (2)定义域为 R, 值域为1,+). 【解析】(1)由 x-4
9、0,得 x4, 函数的定义域为x|xR,且 x4.1x 40,21x41.y=21x4的值域为(0,1)(1,+). （2）函数的定义域为 R.|x|0,y=(23)-|x|= (32)|x| (32)0=1. 故 y=(23)-|x|的值域为1,+). 跟踪训练二跟踪训练二 【答案】1.当 a2 时,(a-1)1.3(a-1)2.4;当 1a(a-1)2.4. 2. 2.53(827)4. 2.3-0.281,且 a2,所以 a-10,且 a-11, 若 a-11,即 a2,则 y=(a-1)x是增函数,(a-1)1.3(a-1)2.4. 若 0a-11,即 1a(a-1)2.4. 故当 a
10、2 时,(a-1)1.3(a-1)2.4; 当 1a(a-1)2.4. 2.(单调性法)由于 2.53与 2.55.7的底数是 2.5,故构造函数 y=2.5x,而函数 y=2.5x在 R 上是增函数. 又 35.7,2.532.55.7. (化同底)1.5-7=(32)- = (23)7,(827)4= (23)34= (23)12,构造函数 y=(23)x. 0231,y=(23)x在 R 上是减函数.又 7 (23)12,即 1.5-7(827)4. (中间量法)由指数函数的性质,知 2.3-0.280.670=1,则 2.3-0.280.67-3.1. 当堂检测当堂检测 1-3DAC 432 5(1，2) 6 【答案】 （1）R； （2）详见解析； （3） |3x x 或3x . 【解析】 （1）易知函数 212xf x，xR. 所以定义域为R. （2）由 221122xxfxf x，从而知 f x为偶函数； （3）由条件得212242x ，得212x ，解得3x 或3x . 所以不等式的解集为： |3x x 或3x .
