1、3指数函数(二)学习目标1.能借助指数函数性质比较大小.2.会解简单的指数方程、不等式.3.掌握指数型函数单调区间的求法及单调性的判断.知识点一不同底指数函数图像的相对位置一般地，在同一坐标系中有多个指数函数图像时，图像的相对位置与底数大小有如下关系：(1)在y轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小；在y轴左侧，图像从下到上相应的底数由大变小.即无论在y轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大.这一性质可通过令x1时，ya去理解，如图.(2)指数函数yax与yx(a0且a1)的图像关于y轴对称.知识点二比较幂的大小一般地，比较幂大小的方法有(1)对于同底数不同指数的两个幂的大小，利用指数函数的单
2、调性来判断.(2)对于底数不同指数相同的两个幂的大小，利用指数函数的图像的变化规律来判断.(3)对于底数不同指数也不同的两个幂的大小，则通过中间值来判断.知识点三解指数方程、不等式简单指数不等式的解法(1)形如af(x)ag(x)的不等式，可借助yax的单调性求解.(2)形如af(x)b的不等式，可将b化为以a为底数的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解.(3)形如axbx的不等式，可借助两函数yax，ybx的图像求解.知识点四指数型函数的单调性一般地，有形如yaf(x)(a0，且a1)函数的性质(1)函数yaf(x)与函数yf(x)有相同的定义域.(2)当a1时，函数yaf(x)与yf(x
3、)具有相同的单调性；当0a0.1b，则ab.()3.由于yax(a0且a1)既非奇函数，也非偶函数，所以指数函数与其他函数也组不成具有奇偶性的函数.()题型一比较大小例1比较下列各题中两个值的大小.(1)1.72.5，1.73；(2)1.70.3，1.50.3；(3)1.70.3，0.83.1.考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小解(1)1.71，y1.7x在(，)上是增函数.2.53，1.72.51.73.(2)方法一1.71.5，在(0，)上，y1.7x的图像位于y1.5x的图像的上方.而0.30，1.70.31.50.3.方法二1.50.30，且0.3，又1,0.30，0.31，1.7
4、0.31.50.3.(3)1.70.31.701,0.83.10.801，1.70.30.83.1.反思感悟当两个数不能利用同一函数的单调性作比较时，可考虑引入中间量，常用的中间量有0和1.跟踪训练1比较下列各题中的两个值的大小.(1)0.80.1，1.250.2；(2)，1；(3)0.23，(3)0.2.考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小解(1)00.81，y0.8x在R上是减函数.0.20.1，0.80.20.80.1，即0.80.11.250.2.(2)01，函数yx在R上是减函数.又0，01，即1.(3)0.233353，(3)0.2，3.(3)0.2.题型二简单的指数不等式的解法
5、例2(1)不等式4x423x的解集是_.答案解析4x423x，x23x，x0，且a1).考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法解当0a1时，a2x1ax5，2x1x5，解得x6.综上所述，当0a1时，不等式的解集为x|x6.反思感悟解指数不等式的基本方法是先化为同底指数式，再利用指数函数单调性化为常规的不等式来解，注意底数对不等号方向的影响.跟踪训练2已知(a2a2)x(a2a2)1x，则x的取值范围是_.考点指数不等式的解法题点指数不等式的解法答案解析a2a221，(a2a2)x(a2a2)1xx1xx.x.题型三指数型函数的单调性例3(1)函数y的单调递减区间是()A.(，) B.(，0
6、)C.(0，) D.(，0)和(0，)答案D解析设u，则y3u，对任意的0x1u2.又因为y3u在R上是增函数，所以y1y2，所以y在(0，)上是减函数.对任意的x1x2u2，又因为y3u在R上是增函数，所以y1y2，所以y在(，0)上是减函数.所以函数y的单调递减区间是(，0)和(0，).(2)判断f(x)的单调性，并求其值域.解令ux22x，易知ux22x(x1)21在(，1上单调递减，在1，)上单调递增，又01，所以f(x)在(，1上单调递增，在1，)上单调递减.因为ux22x(x1)211，所以yu，u1，)，所以00，且a1)的单调性的处理方法(1)关于指数型函数yaf(x)(a0，
7、且a1)的单调性由两点决定，一是底数a1还是0a1时，y关于u为增函数；当0a1时，原函数的增区间为1，)，减区间为(，1；当0a1时，原函数的增区间为(，1，减区间为1，).指数函数性质的综合应用典例已知定义在R上的函数f(x)a是奇函数.(1)求a的值；(2)判断f(x)的单调性(不需要写出理由)；(3)若对任意的tR，不等式f(t22t)f(2t2k)0恒成立，求实数k的取值范围.解(1)f(x)的定义域为R，且f(x)为奇函数，f(0)0，即a0，a.(2)由(1)知f(x)，故f(x)在R上为减函数.(3)f(x)为奇函数，f(t22t)f(2t2k)0可化为f(t22t)k2t2，
8、即3t22tk0对于一切tR恒成立，412k0，得k，k的取值范围是.素养评析(1)解决指数函数性质的综合问题的注意点注意代数式的变形，如分式通分、因式分解、配方法、分母(或分子)有理化等变形技巧.解答函数问题注意应在函数定义域内进行.由于指数函数单调性与底数有关，因此要注意是否需要讨论.(2)等价转化，单调性、奇偶性的判断，都体现了逻辑推理；分式通分、因式分解、配方等无不体现数学运算，所以本典例充分体现了逻辑推理与数学运算的核心素养.1.下列大小关系正确的是()A.0.4330.40 B.0.43030.4C.30.40.430 D.030.40.43考点指数幂的大小比较题点比较指数幂大小答
9、案B解析0.430.4003030.4.2.方程42x116的解是()A.x B.xC.x1 D.x2考点指数方程的解法题点指数方程的解法答案B解析42x142，2x12，x.3.函数f(x)的递增区间为()A.(，0 B.0，)C.(1，) D.(，1)考点指数函数的单调性题点指数型复合函数的单调区间答案A解析f(x)，01，f(x)的递增区间为u(x)x21的递减区间，即(，0.4.函数yx，y2x，y3x的图像(如图)分别是_.(用序号作答)答案，5.设0a1，则关于x的不等式的解集为_.考点指数不等式题点指数不等式的解法答案(1，)解析0a1，yax在R上是减函数，又2x23x22x2
10、2x3，解得x1.1.比较两个指数式值的大小的主要方法(1)比较形如am与an的大小，可运用指数函数yax的单调性.(2)比较形如am与bn的大小，一般找一个“中间值c”，若amc且cbn，则amc且cbn，则ambn.2.解简单指数不等式问题的注意点(1)形如axay的不等式，可借助yax的单调性求解.如果a的值不确定，需分0a1两种情况进行讨论.(2)形如axb的不等式，注意将b化为以a为底的指数幂的形式，再借助yax的单调性求解.(3)形如axbx的不等式，可借助图像求解.3.(1)研究yaf(x)型单调区间时，要注意a1还是0a1时，yaf(x)与f(x)的单调性相同.当0a1时，yaf(x)与f(x)的单调性相反.(2)研究yf(ax)型单调区间时，要注意ax属于f(u)的增区间还是减区间.
