1、1 4.2 指数函数指数函数 第第 1 课时课时 指数函数的概念、图象与性质指数函数的概念、图象与性质 学 习 目 标 核 心 素 养 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义域、值域的求法(重点、难点) 2能画出具体指数函数的图象，并能根据指数函数的图象说明指数函数的性质(重点) 1.通过学习指数函数的图象，培养直观想象的数学素养 2借助指数函数的定义域、值域的求法，培养逻辑推理素养. 1指数函数的概念 一般地，函数 yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是 R. 2指数函数的图象和性质 a 的范围 a1 0a1 图象 性质 定义域 R 值域 (0，)
2、 过定点 (0,1)，即当 x0 时，y1 单调性 在 R 上是增函数 在 R 上是减函数 奇偶性 非奇非偶函数 对称性 函数 yax与 yax的图象关于 y 轴对称 思考 1：指数函数 yax(a0 且 a1)的图象“升”“降”主要取决于什么？ 提示：指数函数 yax(a0 且 a1)的图象“升”“降”主要取决于字母 a.当 a1 时，图象具有上升趋势；当 0a0 且 a1)，则由 f(3)8 得 a38，a2，f(x)2x，故选 B. 4函数 yax(a0 且 a1)在 R 上是增函数，则 a 的取值范围是_ (1，) 结合指数函数的性质可知，若 yax(a0 且 a1)在 R 上是增函数
3、，则 a1. 指数函数的概念 【例 1】 (1)下列函数中，是指数函数的个数是( ) y(8)x；y2x21；yax； 3 y2 3x. A1 B2 C3 D0 (2)已知函数 f(x)为指数函数，且 f3239，则 f(2)_. (1)D (2)19 (1)中底数80 且 a1 时，才是指数函数； 中 3x前的系数是 2，而不是 1，所以不是指数函数，故选 D. (2)设 f(x)ax(a0 且 a1)，由 f3239得 a3239，所以 a3，又 f(2)a2，所以f(2)3219. 1判断一个函数是否为指数函数，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于 0 且不等于 1 的常数； (2)指数函
4、数的自变量必须位于指数的位置上； (3)ax的系数必须为 1. 2求指数函数的解析式常用待定系数法 1已知函数 f(x)(2a1)x是指数函数，则实数 a 的取值范围是_ 12，1 (1，) 由题意可知 2a10，2a11，解得 a12，且 a1， 所以实数 a 的取值范围是12，1 (1，) 指数函数的图象的应用 【例 2】 (1)函数 f(x)axb的图象如图所示， 其中 a， b 为常数， 则下列结论正确的是( ) 4 Aa1，b1，b0 C0a0 D0a1，b0，且 a1)的图象过定点_ (1)D (2)(3,4) (1)由于 f(x)的图象单调递减，所以 0a1， 又 0f(0)1，
5、所以 0ab0，b0，且 a1)的图象过定点(3,4) 指数函数图象问题的处理技巧 1抓住图象上的特殊点，如指数函数的图象过定点. 2利用图象变换，如函数图象的平移变换左右平移、上下平移. 3利用函数的奇偶性与单调性.奇偶性确定函数的对称情况，单调性决定函数图象的走势. 2已知 f(x)2x的图象，指出下列函数的图象是由 yf(x)的图象通过怎样的变化得到： (1)y2x1；(2)y2x1；(3)y2x1； (4)y2x；(5)y2|x|. 解 (1)y2x1的图象是由 y2x的图象向左平移 1 个单位得到 (2)y2x1的图象是由 y2x的图象向右平移 1 个单位得到 (3)y2x1 的图象
6、是由 y2x的图象向上平移 1 个单位得到 (4)y2x与 y2x的图象关于 y 轴对称，作 y2x的图象关于 y 轴的对称图形便可得到 y2x的图象 (5)y2|x|为偶函数，故其图象关于 y 轴对称，故先作出当 x0 时，y2x的图象，再作关于 y 轴的对称图形，即可得到 y2|x|的图象 指数函数的定义域、值域问题 探究问题 1函数 y2x21 的定义域与 f(x)x21 的定义域什么关系？ 5 提示：定义域相同 2如何求 y2x21 的值域？ 提示：可先令 tx21，则易求得 t 的取值范围为1，)，又 y2t在1，)上是单调递增函数，故 2t2，所以 y2x21 的值域为2，) 【例
7、 3】 求下列函数的定义域和值域： (1)y 13x； (2)y12x22x3； (3)y4x2x12. 思路点拨 函数式有意义 原函数的定义域 指数函数的值域原函数的值域 解 (1)要使函数式有意义，则 13x0，即 3x130，因为函数 y3x在 R 上是增函数，所以 x0，故函数 y 13x的定义域为(，0 因为 x0，所以 03x1，所以 013x0， 函数 y12x22x3的值域为(0,16 (3)因为对于任意的 xR，函数 y4x2x12 都有意义，所以函数 y4x2x12 的定义域为 R.因为 2x0，所以 4x2x12(2x)222x2(2x1)21112， 即函数 y4x2x
8、12 的值域为(2，) 1若本例(1)的函数换为“y13x1”，求其定义域 6 解 由13x10 得13x130，x0，即函数的定义域为(，0 2若本例(3)的函数增加条件“0 x2”，再求函数的值域 解 0 x2，12x4，y4x2x12(2x)222x2(2x1)21. 令 2xt，则 t1,4，且 f(t)(t1)21， 易知 f(t)在1,4上单调递增， f(1)f(t)f(4)，即 5f(t)26， 即函数 y4x2x12 的值域为5,26 1函数 yaf(x)的定义域与 yf(x)的定义域相同 2函数 yaf(x)的值域的求解方法如下： (1)换元，令 tf(x)； (2)求 tf
9、(x)的定义域 xD； (3)求 tf(x)的值域 tM； (4)利用 yat的单调性求 yat，tM 的值域 3形如 yf(ax)的值域，要先求出 uax的值域，再结合 yf(u)确定出 yf(ax)的值域 1判断一个函数是否为指数函数只需判定其解析式是否符合 yax(a0 且 a1)这一结构形式 2指数函数在同一直角坐标系中的图象的相对位置与底数大小的关系：在 y 轴右侧，图象从上到下相应的底数由大变小；在 y 轴左侧，图象从下到上相应的底数由大变小，即无论在y 轴的左侧还是右侧，底数按逆时针方向变大 3由于指数函数 yax(a0 且 a1)的定义域为 R，所以函数 yaf(x)(a0 且
10、 a1)与函数f(x)的定义域相同，求与指数函数有关的函数的值域时，要考虑并利用指数函数本身的要求，并利用好指数函数的单调性 1思考辨析 (1)yx2是指数函数( ) (2)函数 y2x不是指数函数( ) 7 (3)指数函数的图象一定在 x 轴的上方( ) 答案 (1) (2) (3) 2如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大小关系是( ) Aab1cd Bba1dc C1abcd Dab1dc B 作直线 x1，与四个图象分别交于 A，B，C，D 四点，则 A(1，a)，B(1，b)，C(1，c)，D(1，d)，由图可知 ba1dc，故选 B. 3函数 y112x的定义域是_ 0，) 由 112x0 得12x1120，x0， 函数 y112x的定义域为0，) 4设 f(x)3x，g(x)13x. (1)在同一坐标系中作出 f(x)，g(x)的图象； (2)计算 f(1)与 g(1)，f()与 g()，f(m)与 g(m)的值，从中你能得到什么结论？ 解 (1)函数 f(x)，g(x)的图象如图所示： 8 (2)f(1)313，g(1)1313， f()3，g()133， f(m)3m，g(m)13m3m. 从以上计算的结果看，两个函数当自变量取值互为相反数时，其函数值相等，即当指数函数的底数互为倒数时，它们的图象关于 y 轴对称
