1、人教人教2019A版必修版必修 第一册第一册 4.2.1 指数函数的概念 第第四四章章 指数函数与对数函数指数函数与对数函数 1.理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的理解指数函数的概念与意义，掌握指数函数的定义定义 域域、值域的求法、值域的求法(重点重点) 2.理解理解指数函数增长变化迅速的特点指数函数增长变化迅速的特点(难点难点) 学习目标学习目标 问题探究问题探究 对于幂 ，我们已经把指数 的范围拓展到了 实数上一章学习了函数的概念和基本性质，通过对幂函数的研究，进一步了解了研究一类函数的过程和方法下面继续研究其他类型的基本初等函数 ( 0 问题 随着中国经济高速增长，人民生活水平不断
2、提高，旅游成了越来越多家庭的重要生活方式由于旅游人数不断增加，两地景区自2011年起采取了不同的应对措施，地提高了景区门票价格，而地则取消了景区门票 问题探究问题探究 下表给出了，两地景区2011年至2015年的游客人次以及逐年增加量 比较两地景区游客人次的变化情况，你发现了怎样的变化规律？为了有利于观察规律，根据表，分别画出，两地景区采取不同措施后的15年游客人次的图 问题探究问题探究 观察图象和表格，可以发现，地景区的游客人次近似于直线上升（线性增长），年增加量大致相等（约为万次）；地景区的游客人次则是非线性增长，年增加量越来越大，但从图象和年增加量都难以看出变化规律 问题探究问题探究 我
3、们知道，年增加量是对相邻两年的游客人次做减法得到的能否通过对地景区每年的游客人次做其他运算发现游客人次的变化规律呢？请你试一试 从2002年起，将地景区每年的游客人次除以上一年的游客人次，可以得到 2002年游客人次2001年游客人次=309278 1.11，2003年游客人次2002年游客人次=344309 1.112015年游客人次2014年游客人次=12441118 1.11 结果表明， 地景区的游客人次的年增长率都约为1.11-10.11，是一个常数 做做减法可以得到游客人次的年增减法可以得到游客人次的年增加量加量，做除法可以得到游客人次的做除法可以得到游客人次的年增长率年增长率增加量
4、增加量、增长率增长率是刻画是刻画事物变化规律的两个很重要的量事物变化规律的两个很重要的量 问题探究问题探究 年后，游客人次是年的1.111倍； 年后，游客人次是年的1.112倍； 年后，游客人次是年的1.113倍； x年后，游客人次是年的1.11x倍 如果设经过x年后的游客人次为年的y倍，那么 y 1.11x （x，） 这是一个函数，其中指数x是自变量 像这样，增长率为常数的变化方式，我们称为指数增长因此，地景区的游客人次近似于指数增长显然，从年开始，地景区游客人次的变化规律可以近似描述为： 问题问题 当生物死亡后，它机体内原有的碳14含量会按确定的比率衰减（称为衰减率），大约每经过5730年
5、衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”按照上述变化规律，生物体内碳14含量与死亡年数之间有怎样的关系？ 设死亡生物体内碳14含量的年衰减率为狆，如果把刚死亡的生物体内碳14含量看成1个单位，那么 问题探究问题探究 死亡年后，生物体内碳含量为（1-p)1； 死亡年后，生物体内碳含量为（1-p)2 ； 死亡年后，生物体内碳含量为（1-p)3 ； 死亡年后，生物体内碳含量为（1-p)5730 根据已知条件， （1-p)573012,从而1-p=(12 15730,所以p=1-(12 15730 设生物死亡年数为x，死亡生物体内碳含量为y，那么y=（1-p)x ， 即 = (12 15730), （
6、x，） 这也是一个函数，指数x是自变量死亡生物体内碳含量每年都以1-(12 15730减率衰减像这样，衰减率为常数的变化方式，我们称为指数衰减因此，死亡生物体内碳14含量呈指数衰减 如果用字母a代替上述两式中的底数1.11和(12 15730 ，那么函数y 1.11x 和 = (12 15730) 可以表示为 = 的形式， 概念解析概念解析 指数函数的概念 一般地，函数yax(a0，且 a1)叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域是_. 思考：指数函数定义中为什么规定 a 大于 0 且不等于 1? yax x R 概念解析概念解析 提示 规定 a 大于 0 且不等于 1 的理由： (1)如
7、果 a0，当 x0 时，ax恒等于 0；当 x0 时，ax无意义 (2)如果 a0 且 a1. 概念辨析概念辨析 1思考辨析 (1)yx2是指数函数( ) (2)函数 y2x不是指数函数( ) (3)指数函数的图象一定在 x 轴的上方( ) 答案 (1) (2) (3) 例 1已知指数函数设 f(x)ax(a0, 且 a1),且 f(3)= 求 f(0)，f(1)，f(-3)的值； 分析：要求f(0)，f(1)，f(-3)的值，应先求出f(x)ax的解析式即先求出a的值； 解：因为 f(x)ax ,且 f(3)=,则3 = ，解得 =13 , 于是f(x)3 所以f(0)=0=1，f(1)=1
8、3= 3，f(-3)=1=1 典例典例解析解析 解析：设 f(x)ax(a0 且 a1)，由 f 3239得 a3239， 所以 a3，又 f(2) a2，所以 f(2)3219. 跟踪训练1：已知函数f(x)为指数函数，且 32=39， 则f(2)_. 跟踪训练跟踪训练 规律方法 1在指数函数定义的表达式中，要牢牢抓住三点： (1)底数是大于 0 且不等于 1 的常数； (2)指数函数的自变量必须位于指数的位置上； (3)ax的系数必须为 1. 2求指数函数的解析式常用待定系数法 归纳总结归纳总结 例例（1）在问题中，如果平均每位游客出游一次可给当地带来1000元门票之外的收入，地景区的门票
9、价格为150元，比较这15年间，两地旅游收入变化情况 解：（）设经过x年，游客给，两地带来的收入分别为f（x） 和g（x），则f（x）1150（10 x+600），g（x）1000 278 1.11x 利用计算工具可得， 当x=0时，f（）g（）412000 当x10.22时，f（10.22）g（10.22） 结合图可知： 当x10.22时，f（x）g（x）， 当x10.22时，f（x）g（x） 当x14时，f（14）g（14）347303 典例典例解析解析 这说明，在2001年，游客给地带来的收入比地多412000万元；随后10年，虽然f（x）g（x），但g（x）的增长速度大于f（x）；根据
10、上述数据，并考虑到实际情况，在2011年2月某个时刻就有f（x）g（x）， 这时游客给地带来的收入和地差不多；此后，f（x）g（x），游客给地带来的收入超过了地；由于g（x）增长得越来越快，在2015年，地的收入已经比地多347303万元了 1下列函数一定是指数函数的是( ) Ay2x1 Byx3 Cy3 2x Dy3x 【答案】D 由指数函数的定义可知 D 正确 当堂达标当堂达标 2.下列图象中，有可能表示指数函数的是（ ） 【答案】C 由指数函数的增长速度及定义，可知 C 正确 3已知函数 f(x)(2a1)x是指数函数，则实数 a 的取值范围是_ 12，1 (1，) 由题意可知 2a10，2a11，解得 a12，且 a1， 所以实数 a 的取值范围是12，1 (1，) 4若函数 f(x)是指数函数，且 f(2)2，则 f(x)_. 【答案】 2x 设 f(x)ax(a0 且 a1)，则 f(2)a22， a 2(a 2舍去)，f(x) 2x. 1、指数函数概念 函数y = ax(a0，且a 1)叫做指数函数，其中x是自变量 .函数的定义域是R . 课堂小结课堂小结
