1、人教人教A版必修第一册版必修第一册 第一章 集合与常用逻辑用语 1.41.4充分条件充分条件与必要条件与必要条件 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本17-20页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1.什么是充分条件？ 2.什么是必要条件？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 知识清单知识清单 1充分条件与必要条件 命题真假 “若 p， 则 q”是真命题 “若 p， 则 q”是假命题 推出关系 p q p q 条件关系 p 是 q 的 条件 q 是 p 的 条件 p 不是 q 的 条件 q 不是 p 的 条件 充分 必要 充分 必要
2、/ 思考思考 1： (1)p 是是 q 的充分条件与的充分条件与 q 是是 p 的必要条件所表示的推出关系是否的必要条件所表示的推出关系是否相同？相同？ (2)以下五种表述形式：以下五种表述形式：pq；p 是是 q 的充分条件；的充分条件；q 的充分条件是的充分条件是p；q 是是 p 的必要条件；的必要条件；p 的必要条件是的必要条件是 q.这五种表述形式等价吗？这五种表述形式等价吗？ 答案答案 (1)相同，都是相同，都是pq (2)等价等价 小试身手小试身手 1.判一判判一判(正确的打“”正确的打“”,错误的打“”错误的打“”) (1)若若 p 是是 q 的必要条件的必要条件,则则 q 是是
3、 p 的充分条件的充分条件. ( ) (2) 若若q q是是p p的必要条件，则的必要条件，则q q成立，成立，p p也成立也成立. ( ) (3)“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件“两角不相等”是“两角不是对顶角”的必要条件. ( ) 2.2.做一做做一做( (请把正确的答案写在横线上请把正确的答案写在横线上) ) (1)(1)若若p p是是q q的充分条件的充分条件,q,q是是r r的充分条件的充分条件, ,则则p p是是r r的的 条件条件. . (2)“a0,b0”(2)“a0,b0”是“是“abab0”0”的的 条件条件. . (3)“(3)“若若p,p,则则q”q”的逆命
4、题为真的逆命题为真, ,则则p p是是q q的的 条件条件. . 【解析】(1)由题意知pq,qr,故pr,所以p是r的充分条件. 答案:充分 (2)当a0,b0时,显然ab0成立,故“a0,b0”是“ab0”的充分条件 答案:充分 (3)因为“若p,则q”的逆命题为真,即“若q,则p”为真,所以qp,即p是q的必要条件. 答案:必要 【思考思考】 (1)(1)若若p p是是q q的充分条件的充分条件,p,p是惟一的吗是惟一的吗? ? 提示提示: :不一定惟一,凡是能使q成立的条件都是它的充分条件,如x3是x0的充分条件,x5,x10等都是x0的充分条件. (2)若若q q是是p p的必要条件
5、的必要条件,q,q是惟一的吗是惟一的吗? ? 提示提示: :不一定惟一,凡是由p推出的结论都是它的必要条件,如x0是x3的必要条件,x-1,x2等都是x3的必要条件. 自主预习，回答问题自主预习，回答问题 阅读课本阅读课本20-22页，思考并完成以下问题页，思考并完成以下问题 1.什么充要条件？ 2.什么充分不必要条件？ 3.什么是必要不充分条件？ 4.什么是既不充分又不必要条件？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 2充要条件 (1)一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq.此时，我们说，p是 q 的 条件，简称 条件 概括地说，如果 pq，那么 p
6、 与 q 条件 (2)若 pq，但 q / p，则称 p 是 q 的充分不必要条件 (3)若 qp，但 p / q，则称 p 是 q 的必要不充分条件 (4)若 p / q，且 q / p，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件 充分必要 充要 互为充要 3.从集合角度看充分、必要条件 (1)依据 设集合A=x|p(x),B=x|q(x).若x具有性质p,则xA;若x具有性质q,则xB. 若AB,就是说x具有性质p,则x必具有性质q,即pq.类似地,BA与qp等价,A=B与pq等价. (2)结论 如果把p研究的范围看成集合A,把q研究的范围看成集合B,则可得下表. 当所要研究的p,q含有变量
7、,即涉及方程的解集、不等式的解集,或者与集合有关或所描述的对象可以用集合表示时,可以借助集合间的包含关系,利用Venn图或数轴解题. 记法记法 A=x|p(x),B=x|q(x)A=x|p(x),B=x|q(x) 关系关系 A A B B B B A A A=BA=B A A B B 且且 B B A A 图示图示 结论结论 p p 是是 q q 的充分不必的充分不必要条件要条件 p p 是是 q q 的必要不充的必要不充分条件分条件 p,qp,q 互为充要条件互为充要条件 p p 是是 q q 的既不充分也的既不充分也不必要条件不必要条件 3“x2”是是“x23x20”成立的成立的( ) A
8、充分不必要条件充分不必要条件 B必要不充分条件必要不充分条件 C充分必要条件充分必要条件 D既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 答案答案 A 由由 x23x20 得得 x2 或或 xB，q：BCAC； (2)对于实数对于实数 x，y，p：xy8，q：x2 或或 y6； (3)p：(a2)(a3)0，q：a3； (4)p：ab，q：ab1. 【解析】 (1)在ABC 中，显然有ABBCAC，所以 p 是 q 的充分必要条件 (2)因为 x2 且 y6xy8，即qp，但pq，所以 p 是 q 的充分不必要条件 (3)由(a2)(a3)0 可以推出 a2 或 a3，不一定有 a3；由 a3可以
9、得出(a2)(a3)0.因此，p 是 q 的必要不充分条件 (4)由于 ab，当 b0 时，ab1； 当 b0 时，ab1，故若 ab，不一定有ab1； 当 a0，b0，ab1 时，可以推出 ab； 当 a0，b0，ab1 时，可以推出 ab. 因此 p 是 q 的既不充分也不必要条件 解题方法解题方法（充分条件与必要条件的判断方法） （1）定义法 （2）集合法 记法记法 A=x|p(x),B=x|q(x)A=x|p(x),B=x|q(x) 关系关系 A A B B B B A A A=BA=B A A B B 且且 B B A A 图示图示 结论结论 p p 是是 q q 的充分不必的充分不
10、必要条件要条件 p p 是是 q q 的必要不充的必要不充分条件分条件 p,qp,q 互为充要条件互为充要条件 p p 是是 q q 的既不充分也的既不充分也不必要条件不必要条件 跟踪训练一跟踪训练一 1(1)设 a，b 是实数，则“ab”是“a2b2”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 答案答案 D 题型二题型二 充要条件的探求与证明充要条件的探求与证明 【例【例 2 2】 (1)“x24x0”的一个充分不必要条件为( ) A0 x4 B0 x0 Dxy，求证：1x0. 解析 (1)由 x24x0 得 0 x4，则充分不必要条件是集合x|0
11、x0 及 xy，得xxyyxy，即1x1y. 必要性：由1x1y，得1x1y0，即yxxyy，所以 yx0. 所以1x0. 法二：1x1y1x1y0yxxyyyx0，故由yxxy0. 所以1x0， 即1x0. 解题方法解题方法（探求充要条件一般有两种方法） (1)探求A成立的充要条件时，先将A视为条件，并由A推导结论(设为B)，再证明B是A的充分条件，这样就能说明A成立的充要条件是B，即从充分性和必要性两方面说明 (2)将原命题进行等价变形或转换，直至获得其成立的充要条件，探求的过程同时也是证明的过程，因为探求过程每一步都是等价的，所以不需要将充分性和必要性分开来说明 跟踪训练 2(1)不等式
12、 x(x2)0 成立的一个必要不充分条件是( ) Ax(0,2) Bx1，) Cx(0,1) Dx(1,3) 答案 B 解析由 x(x2)0 得 0 x2，因为(0,2) 1，)，所以 “x1，)”是“不等式 x(x2)0)，且 p 是q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为_ 思路探究 p是q的充分不必要条件p代表的集合是q代表的集合的真子集 列不等式组求解 解析 由 x28x200，得2x10，由 x22x1m20(m0)，得 1mx1m(m0) 因为 p 是 q 的充分不必要条件，所以 pq 且 q / p. 即x|2x10是x|1mx1m，m0的真子集， 所以 m0，1m0，1m10，解得 m9. 所以实数 m 的取值范围为m|m9 答案 m|m9(或9，) 解题方法解题方法（利用充分、必要、充分必要条件的关系求参数范围） (1)化简p、q两命题， (2)根据p与q的关系(充分、必要、充要条件)转化为集合间的关系， (3)利用集合间的关系建立不等关系， (4)求解参数范围 跟踪训练三 3 已知 Px|a4xa4， Qx|1x3， “xP”是“xQ”的必要条件，求实数 a 的取值范围 解 因为“xP”是 xQ 的必要条件，所以 QP. 所以 a41a43解得1a5 即 a 的取值范围是1,5
