1、1.3.1 推出与充分条件、必要条件学习目标 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件及充要条件的意义.2.能准确判断各类命题中的充分性、必要性、充要性知识点一 命题的结构思考 你能把“内错角相等”写成“若，则”的形式吗？答案 若两个角为内错角，则这两个角相等梳理 命题的形式：在数学中，经常遇到“如果 p，则(那么) q”的形式的命题，其中 p 称为命题的条件，q 称为命题的结论知识点二 充分条件与必要条件给出下列命题：(1)如果 xa2b 2，则 x2ab；(2)如果 ab0，则 a0.思考 1 你能判断这两个命题的真假吗？答案 (1)真命题；(2) 假命题思考 2 命题(1)中条件和结论有
2、什么关系？命题(2)中呢？答案 命题(1)中只要满足条件 xa2b 2，必有结论 x2ab；命题(2) 中满足条件 ab0，不一定有结论 a0，还可能有结论 b0.梳理 一般地， “如果 p，则 q”为真命题，是指由 p 通过推理可以得出 q.这时，我们就说，由 p 可推出 q，记作 pq，并且说 p 是 q 的充分条件，q 是 p 的必要条件知识点三 充要条件思考 1 命题“若整数 a 是 6 的倍数，则整数 a 是 2 和 3 的倍数”中条件和结论有什么关系？它的逆命题成立吗？答案 只要满足条件，必有结论成立，它的逆命题成立思考 2 若设 p：整数 a 是 6 的倍数，q：整数 a 是 2
3、 和 3 的倍数，则 p 是 q 的什么条件？q是 p 的什么条件？答案 因为 pq 且 qp，所以 p 是 q 的充分条件也是必要条件；同理，q 是 p 的充分条件，也是必要条件梳理 一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq.此时，我们说，p 是 q 的充分且必要条件，简称充要条件知识点四 充要条件的判断1命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类(1)充分且必要条件(充要条件 )，即 pq 且 qp；(2)充分不必要条件，即 pq 且 q p；(3)必要不充分条件，即 p q 且 qp；(4)既不充分也不必要条件，即 p q 且 qp.2从集合的角度判断充分条件、必要条件和充要条件
4、若 AB，则 p 是 q 的充分条件，若 AB，则 p是 q 的充分不必要条件若 BA，则 p 是 q 的必要条件，若 BA，则 p是 q 的必要不充分条件若 AB，则 p，q 互为充要条件若 A B 且 B A，则 p 既不是 q 的充分条件，也不是 q 的必要条件其中 p：A x|p(x)成立，q：Bx|q(x)成立 (1)若 p 是 q 的充分条件，则要使 q 成立，有 p 就足够了，不需要再附加任何条件 ( )(2)q 是 p 的必要条件，就是说要使 p 成立，必须 q 先成立 ( )(3)q 的充分条件是唯一确定的( )类型一 判断充分条件与必要条件命题角度 1 定义法判断充分条件与
5、必要条件例 1 指出下列各组命题中 p 是 q 的什么条件？(1)p：x20，q：(x2)( x3) 0；(2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等；(3)在ABC 中， p：A B，q：BCAC ；(4)在ABC 中， p：sin Asin B，q：tan Atan B.考点 充要条件的判断题点 识别四种条件解 (1)因为 x20(x 2)(x 3) 0，而(x2)(x3)0x20，所以 p 是 q 的充分不必要条件(2)因为两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，所以 p 是 q 的必要不充分条件(3)在ABC 中，显然有 AB BCAC，所以 p 是 q 的充要条
6、件(4)取A120，B 30 ，p q；又取A30 ，B120，q p，所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件反思与感悟 充分条件、必要条件的两种判断方法(1)定义法：确定谁是条件，谁是结论；尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件；尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件(2)命题判断法：如果命题：“如果 p，则 q”为真命题，那么 p 是 q 的充分条件，同时 q 是 p 的必要条件；如果命题：“如果 p，则 q”为假命题，那么 p 不是 q 的充分条件，同时 q 也不是 p 的必要条件跟踪训练 1 下列各题中，p 是 q
7、的什么条件？(指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要条件)(1)p：四边形的对角线互相平分，q：四边形是矩形；(2)p：x1 或 x2，q：x 1 ；x 1(3)p：m0，q：x 2x m0 有实根考点 充要条件的判断题点 识别四种条件解 (1)因为四边形的对角线互相平分 四边形是矩形，四边形是矩形四边形的对角线互相平分，所以 p 是 q 的必要不充分条件(2)因为 x1 或 x2x1 ，x 1x1 x1 或 x2，x 1所以 p 是 q 的充要条件(3)因为 m0方程 x2x m0 的判别式 14m0，即方程有实根；方程 x2xm0 有实根，即 1 4m0 m0.所以 p 是 q
8、的充分不必要条件命题角度 2 用集合观点判断充分条件、必要条件例 2 (1)“|x| 的一个必要不充分条件是_；xy 0 的一个充分不必要条件是_2考点 充要条件的判定题点 识别四种条件答案 x0 x0 且 y0(答案不唯一)类型二 充分条件、必要条件的应用命题角度 1 由四种条件求参数的范围例 3 已知 p：2x 23x 20，q：x 22( a1)xa(a2)0，若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范围考点 充分条件、必要条件的应用题点 由四种条件求参数的范围解 令 M x|2x23x20x|(2x1)(x2)0x|x 或 x2，12Nx| x22( a 1)xa( a2)
9、 0x|(xa)x(a2) 0x|x a2 或 xa，由已知 pq，且 qp，得 MN.所以Error!或Error! a0，q：实数 x 满足Error!若 p 是 q 的必要不充分条件，则实数 a 的取值范围为_考点 充分条件、必要条件的应用题点 由四种条件求参数的范围答案 (1,2解析 x 24ax3a 20)，p：a0 对于一切实数 x 都成立的充要条件考点 充要条件的概念及判断题点 探求充要条件解 充分性：当 00 对一切实数 x 都成立而当 a0 时，不等式 ax2ax1a0 化为 10.显然当 a0 时，不等式 ax2ax1a0 对一切实数 x 都成立必要性：因为 ax2ax 1
10、a0 对一切实数 x 都成立，所以 a0 或Error!解得 0a0 对一切实数 x 都成立的充要条件45反思与感悟 探求一个命题的充要条件，可以利用定义法进行探求，即分别证明“条件结论”和“结论条件” ，也可以寻求结论的等价命题，还可以先寻求结论成立的必要条件，再证明它也是其充分条件跟踪训练 4 求证：一元二次方程 ax2bxc 0 有一正根和一负根的充要条件是 ac0，方程一定有两个不等实根，设两实根为 x1，x 2，则 x1x2 0，ca即 ac0C. 1 D. lg y 是 的充要条件x y考点 充要条件的概念及判断题点 充要条件的判断答案 D解析 选项 A 中，由 B60AC120
11、AC 2B角 A，B，C 成等差数列；而角 A，B ，C 成等差数列AC 2B，又 ABC 180，所以 3B180，所以 B60 ，故命题为真选项 B 中，abab0，即 2x20，得 x1，故 B 正确选项 C 中，在ABC 中，ABsin Asin B，反之，若 sin Asin B，因为 A 与 B 不可能互补( 因为三角形的三个内角和为 180)，所以只有 AB.故 AB 是 sin Asin B 的充要条件选项 D 中，取 x2，y0，有 ，但 lg y 却无意义，x y所以是假命题4若“x 2axb0”是“x 1”的充要条件，则 a_ ，b_.考点 充分条件、必要条件的应用题点
12、由四种条件求参数答案 2 1解析 由题意得Error!解得Error!5已知 p：3xm 0，若 p 是 q 的一个充分不必要条件，求 m 的取值范围考点 充分条件、必要条件的应用题点 由四种条件求参数解 由 3xm0 ，得 x3，q：B x|x3pq 且 qp，A B， 1，m3m3，即 m 的取值范围是3，) 1充要条件的判断有三种方法：定义法、命题等价法、集合法2充要条件的证明与探求(1)充要条件的证明是分充分性和必要性两方面来证明的，在证明时要注意两种叙述方式的区别：p 是 q 的充要条件，则由 pq 证的是充分性，由 qp 证的是必要性；p 的充要条件是 q，则由 pq 证的是必要性
13、，由 qp 证的是充分性(2)探求充要条件，可先求出必要条件，再证充分性；如果能保证每一步的变形转化过程都可逆，也可以直接求出充要条件一、选择题1设 a，bR，则“ab4”是“a2 且 b2”的( )A充分条件 B必要条件C充要条件 D既不充分也不必要条件考点 充分条件、必要条件的判断题点 识别充分与必要条件答案 B解析 若 a2，b2 ，则 ab4 ，但当 a4，b1 时也有 ab4，故选 B.2设集合 M1,2，Na 2，则“a1”是“N M”的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 充分、必要条件和充要条件的综合应用题点 充分不必要条件的判定答案 A解
14、析 a1N M，NMa21 或 2，NM a1，故 a1 是 NM 的充分不必要条件3设 p：x2，q：x 2考点 充分条件、必要条件的判断题点 识别充分与必要条件答案 A解析 由 ABA 能得出 AB，其余选项都不符合要求5 “ab0”是“直线 axbyc 0 与两坐标轴都相交” 的( )A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点 充分条件、必要条件的判断题点 充要条件的判断答案 C解析 ab0，即Error!此时直线 axbyc 0 与两坐标轴都相交；又当 axby c0 与两坐标轴都相交时，a0 且 b0.6设 x，y 是两个实数，命题：“x ，y 中至少有一个
15、数大于 1”成立的充分不必要条件是( )Axy2 Bxy2Cx 2 y22 Dxy1考点 充分条件、必要条件的概念及判断题点 识别四种条件答案 B解析 对于选项 A，当 x1，y1 时，满足 xy2，但命题不成立；对于选项 C，D ，当x2，y3 时，满足 x2 y22，xy1，但命题不成立，也不符合题意7集合 AError!，B x|a0)，命题 q：x 2x65，Px|(xa)(x 8)0(1)求实数 a 的取值范围，使它成为 MPx|50)，若綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，求实数 m 的取值范围考点 充分条件、必要条件的应用题点 由四种条件求参数范围解 p：2x10.q：x 22x
16、1m 20x (1m)x(1m)0(m0)1mx1m(m0) 因为綈 p 是綈 q 的充分不必要条件，所以利 用集合知识，可得x|1m x1m，m0 x|2x 10 ，即x|1 mx1m x|2x10 ，故有Error!或Error!，解得 m 3.又 m0，所以实数 m 的取值范围为 m|0m3 四、探究与拓展14下列四个命题中为真命题的是_(填序号)“ab”是“2 a2 b”的充要条件；“ab”是“lg alg b”的充分不必要条件；“函数 f(x)ax 2bx (xR) 为奇函数”的充要条件是“a0” ；“定义在 R 上的函数 yf(x)是偶函数”的必要条件是“ 1” f xfx考点 充
17、分条件、必要条件的概念及判断题点 识别四种条件答案 解析 真，y2 x在 R 上是增函数，ab 2a2 b”；假，当 ab0 时，lg a，lg b 无意义；真，f(x )是奇函数f (x)f (x)0ax 2bxax 2bx0ax 20 a0；假，如 f(x)x 21 是偶函数，但 f(1)0， 无意义f 1f115已知 p：函数 f(x)为(0，) 上的单调递减函数，实数 m 满足不等式 f(m1)f(32m) ；q：当 x 时，msin 2x2sin x1a.若 p 是 q 的充分不必要条件，求实数 a 的取值范0，2围考点 充分条件、必要条件的应用题点 由充分条件、必要条件求参数的范围解 设 p，q 所对应的 m 的取值集合分别为 A，B.对于 p，由函数 f(x)为(0，) 上的单调递减函数，可得Error!解得 m ，即 A .23 32 (23，32)对于 q，由 x ，得 sin x0,1 ，0，2msin 2x2sin xa1(sin x1) 2a，则当 sin x1 时， mmina；当 sin x0 时， mmaxa1，即 Ba，a1由 p 是 q 的充分不必要条件，可得 AB，则有Error!(等号不能同时取得 )，解得 a ，12 23即实数 a 的取值范围为 .12，23
