1、人教人教A版必修第一册版必修第一册 1.4充分条件与必要条件 如图所示电路中(整个电路及灯泡一切正常),记p:闭合开关A, q:灯泡亮。 请把这个电路图改写为“若p，则q”形式的命题并判断真假。 情境一： A C 情境一：情境一： “若“若p, 则则 q.”是真是真命题命题 A C 情境二：情境二： 记p:x 2, q:x 0 。 判断命题“若若x 2 ，则则 x 0”的真假。 “若“若x 2 则则 x 0”是真是真命题命题 思考： 下列“若P，则q”形式的命题中，哪些是真命题？哪些是假命题？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个
2、三角形全等； （3）若 （4）若平面内两条直线 均垂直于直线l,则a/b。 ; 1, 0342xxx则ba和真真 假假 假假 真真 pqpqpqpqqp如果“若 ，则 ”为假命题，那么由 推不出 ，记作。此时，我们就说 不是 的充分条件， 不是 的必要条件。思考：下列“若P，则q”形式的命题中，p是q 什么条件？ （1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形； （2）若两个三角形的周长相等，则这两个三角形全等； （3）若 （4）若平面内两条直线 均垂直于直线l,则a/b。 ; 1, 0342xxx则ba和（1）、（4）中，p是q的充分条件，q是p的必要条件；（2）、（3）中， p
3、不是q的充分条件，q不是p的必要条件 21 1;2;(3),41,1;(5),;(6),pqpqxxabacbcx yxy例 ：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的是 的充分条件？（ ）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形（ ）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似若四边形为菱形 则这个四边形的对角线互相垂直；（ ）若则若则若为无理数，则为无理数。解：（1）这是一条平行四边形的判定定理， 所以p是q的充分条件。 qp（2）这是一条相似三角形的判定定理， 所以p是q的充分条件。 （3）这是一条菱形的性质定理， 所以p是q的充分条件。 qpqp为无理数。为无理数，则若
4、则若则若）（互相垂直；则这个四边形的对角线若四边形为菱形形相似成比例，则这两个三角）若两个三角形的三边（形是平行四边形分别相等，则这个四边）若四边形的两组对角（的充分条件？是命题中的”形式的命题中，哪些，则：下列“若例xyyxbcacbaxxqpqp,)6(;,)5(; 1, 14,(3);2;1 12解：（4）由于 所以p不是q的充分条件。 , 11, 1) 1(2qp 但（5）由等式的性质知， ，所以p是q的充分条件。 （6） 为无理数，但 为有理数， ， 所以p不是q 的充分条件。 qpqp 2222思考：例1中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个充分条件，这 样的充分条件唯一吗
5、？若不唯一，那么你能给出不同的充分条件吗？ 四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等， 四边形的两条对角线互相平分都是其充分条件。 思考：你能说出几个两条直线平行的充分条件？ 一般地，数学中的每一条判定定理都给出了相应数学结论成立的一个 充分条件。 22 1;2;(3),41,1;(5),;(6)pqqpxxacbcabxyxy例 ：下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的必要条件？（ ）若四边形为平行四边形，则这个四边形的两组对角分别相等（ ）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例若四边形的对角线互相垂直 则这个四边形为菱形；（ ）若则若则若为无理数，则 、 为
6、无理数。解：（1）这是一条平行四边形的性质定理， 所以q是p的必要条件。 qp（2）这是一条相似三角形的性质定理， 所以q是p的必要条件。 （3）如图，四边形ABCD的对角线互相垂直，但它不是菱形， ， 所以q不是p的必要条件。 qpqp 为无理数。为无理数，则若则若则若）（互相垂直；则这个四边形的对角线若四边形为菱形形相似成比例，则这两个三角）若两个三角形的三边（形是平行四边形分别相等，则这个四边）若四边形的两组对角（的必要条件？是命题中的”形式的命题中，哪些，则：下列“若例xyyxbcacbaxxpqqp,)6(;,)5(; 1, 14,(3);2;1 22解：（4）显然 所以q不是p的必
7、要条件。 ,pq（5）由于 ， ， ，所以q不是p的必要条件。 （6） 为无理数，但 不全是无理数， ， 所以q不是p的必要条件。 qp ，但）（11-0101-qp 221由于21，思考：例2中命题（1）给出了“四边形是平行四边形”的一个必 要条件，这样的必要条件唯一吗？若不唯一，你能给出几个其它的 必要条件吗？ 四边形的两组对边分别相等，四边形的一组对边平行且相等， 四边形的两条对角线互相平分都是其必要条件。 一般地，数学中的每一条性质定理都给出了相应数学结论成立的一个 必要条件。 思考： 下列“若P，则q”形式的命题中，哪些命题与它们的逆命题都是真命题？ （1）若两个三角形的两角和其中一
8、角所对的边分别相等，则这两个三角形 全等； （2）若两个三角形全等，则这两个三角形的周长相等； （3）若一元二次方程 有两个不相等的实数根，则 （4）若 是空集，则A与B均是空集。 20axbxc0;ac ABU命题(1)、（4）与它们的逆命题都是真命题。 定义定义 一般地一般地,如果既有如果既有pq ，又有又有qp 就记作就记作 p q. 此时此时,我们说我们说,p是是q的充分必要条件的充分必要条件,简称简称充要条件充要条件. 显然显然,如果如果p是是q的充要条件的充要条件,那么那么q也是也是p的充要条的充要条件件.(p等价于等价于q) 即：如果即：如果p q,那么那么p 与与 q互为充要条
9、件互为充要条件. 上思考中，命题（1）、（4）中，p 与 q互为充要条件. 一般地一般地， (1)若若pq ,但但 q p，则称则称p是是q的的 (2)若若pq，但但q p，则称则称p是是q的；的； (3)若若pq，且且q p，则称则称p是是q的的 充分不必要条件；充分不必要条件； 必要不充分条件必要不充分条件 既不充分也不必要条件既不充分也不必要条件 例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； （2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； （3）p:xy0,q:x0,y0; (4) p:x=1是一元二次方程 200(0).a
10、xbxcabca 的一个根，q:解：（1）因为对角线互相垂直平分的四边形不一定是正方形，所以 ， 所以p不是q的充要条件。 （2）因为“若p，则q”是相似三角形的性质定理，“若q，则p”是相似三角形 的判定定理，所以它们均是真命题，即 ，所以P是q的充要条件。 qppq例3 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p:四边形是正方形，q:四边形的对角线互相垂直且平分； （2）P:两个三角形相似，q:两个三角形三边成比例； （3）p:xy0,q:x0,y0; (4) p:x=1是一元二次方程 200(0).axbxcabca 的一个根，q:解：（3）因为xy0时，x0,y0不一定成立，所以 ，
11、 所以p不是q的充要条件。 （4）因为“若p，则q”与“若q，则p”均为真命题，即 所以P是q的充要条件。 pqpq探究：通过上面的学习，你能给出“四边形是平行四边形”的充要条件吗？ 四边形的两组对角分别相等、四边形的两组对边分别相等、四边形的一组 对边平行且相等、四边形的对角线互相平分、四边形的两组对边分别平行 都是它的充要条件。 例例4：已知：已知：O的半径为的半径为r，圆心，圆心O到直线到直线l的距离为的距离为d求证：求证：dr是直线是直线l与与O相切的充要条件相切的充要条件 分析：设p: d=r, q: l与O相切. 证明：证明：如图所示如图所示. （1）充分性（）充分性（p q）：）
12、： 作作OPl于点于点P,则则OP=d，若，若d=r，则点，则点P在在O 上，在直线上，在直线l上任取一点上任取一点Q(异于点异于点P)，连接，连接OQ. 在在RtOPQ中，中，OQOP=r. 所以，除点所以，除点P外直外直线线l上的点都在上的点都在O 的外部，即直线的外部，即直线l与与O仅有一个公共点仅有一个公共点P.所以直线所以直线l与与O 相切相切. P Q l O （2） 必要性（ ）：若直线l与 相切，不妨设切点为P， 则 ，因此，d=OP=r. qpOeOPl由（1）（2）可得，d=r是直线l与 相切的充要条件。 Oe1:05,:23, .A. B.C. D.xx、设命题甲命题乙那
13、么甲是乙的（）充分不必要条件必要不充分条件充要条件既不充分也必要条件达标检测 B 2.请用“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分又不必要”填空： （1）xy是是x2y2的的_ 条件条件 （2）ab = 0是是a = 0 的的_条件条件 （3）x21是是x1的的_条件条件 （4）x1或或x2是是x23x20的的_条件条件 充分不必要充分不必要 必要不充分必要不充分 既不充分又不必要既不充分又不必要 充要充要 3.求证： 关于x的方程ax2+bx+c=0有一根为1的充要条件是a+b+c=0。 证明：（1）必要性，即“若x=1是方程ax2+bx+c=0的根，则a+b+c=0” x=1是
14、方程的根，将x=1代入方程，得a 12+b 1+c=0，即a+b+c=0 （2）充分性，即“若a+b+c=0，则x=1是方程ax2+bx+c=0的根” 把x=1代入方程的左边，得a 12+b 1+c=a+b+c a+b+c=0， x=1是方程的根 综合（1）（2）知命题成立 课堂小结课堂小结 （3）判别技巧：判别技巧： 可先简化命题；可先简化命题； 否定一个命题只要举出一个反例即可；否定一个命题只要举出一个反例即可； （1）充分条件、必要条件、充要条件的概念充分条件、必要条件、充要条件的概念. . （2）判断充分、必要条件的基本步骤：）判断充分、必要条件的基本步骤： 认清条件和结论；认清条件和结论； 考察考察 p q 和和 p q 是否能成立是否能成立。
