1、1 1.4.1 充分条件与必要条件充分条件与必要条件 1.4.2 充要条件充要条件 学 习 目 标 核 心 素 养 1.结合具体实例，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义(重点、难点) 2会求(判断)某些问题成立的充分条件、必要条件、充要条件(重点) 3能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明(难点) 1.通过充要条件的判断， 提升逻辑推理素养 2借助充要条件的应用，培养数学运算素养. 1充分条件与必要条件 命题真假 “若 p，则 q”是真命题 “若 p，则 q”是假命题 推出关系 pq pq 条件关系 p 是 q 的充分条件 q 是 p 的必要条件 p 不是 q 的充分条件
2、q 不是 p 的必要条件 思考 1：(1)p 是 q 的充分条件与 q 是 p 的必要条件所表示的推出关系是否相同？ (2)以下五种表述形式：pq；p 是 q 的充分条件；q 的充分条件是 p；q 是 p 的必要条件；p 的必要条件是 q.这五种表述形式等价吗？ 提示：(1)相同，都是 pq.(2)等价 2充要条件 (1)一般地，如果既有 pq，又有 qp，就记作 pq.此时，我们说，p 是 q 的充分必要条件，简称充要条件 概括地说，如果 pq，那么 p 与 q 互为充要条件 (2)若 pq，但 qp，则称 p 是 q 的充分不必要条件 (3)若 qp，但 pq，则称 p 是 q 的必要不充
3、分条件 (4)若 pq，且 qp，则称 p 是 q 的既不充分也不必要条件 2 思考 2：(1)若 p 是 q 的充要条件，则命题 p 和 q 是两个相互等价的命题，这种说法对吗？ (2)“p 是 q 的充要条件”与“p 的充要条件是 q”的区别在哪里？ 提示：(1)正确若 p 是 q 的充要条件，则 pq，即 p 等价于 q. (2)p 是 q 的充要条件说明 p 是条件，q 是结论 p 的充要条件是 q 说明 q 是条件，p 是结论 1下列语句是命题的是( ) A梯形是四边形 B作直线 AB Cx 是整数 D今天会下雪吗 A D 不是陈述句，B、C 不能判断真假 2“同位角相等”是“两直线
4、平行”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C既是充分条件，也是必要条件 D既不充分也不必要条件 答案 C 3使 x3 成立的一个充分条件是( ) Ax4 Bx0 Cx2 Dx4x3，其他选项均不可推出 x3. 4设 x，yR，则“x2 且 y2”是“x2y24”的( ) A充分不必要条件 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必要条件 A 因为 x2 且 y2x2y24, x2y24x2 且 y2， 如 x2， y1， 所以“x2且 y2”是“x2y24”的充分不必要条件 充分条件、必要条件的判断 3 【例 1】 指出下列各题中 p 是 q 的什么条件 (1)p：x30，q
5、：(x2)(x3)0. (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等 (3)p：ab，q：acbc. 解 (1)x30(x2)(x3)0， 但(x2)(x3)0 x30， 故 p 是 q 的充分不必要条件 (2)两个三角形相似两个三角形全等，但两个三角形全等两个三角形相似，故 p 是 q的必要不充分条件 (3)abacbc，且 acbcab， 故 p 是 q 的既不充分也不必要条件 定义法判断充分条件、必要条件 1确定谁是条件，谁是结论 2尝试从条件推结论，若条件能推出结论，则条件为充分条件，否则就不是充分条件 3尝试从结论推条件，若结论能推出条件，则条件为必要条件，否则就不是必要条件. 1指
6、出下列各组命题中，p 是 q 的什么条件 (1)p：四边形的对角线相等，q：四边形是平行四边形 (2)p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0. 解 (1)因为四边形的对角线相等四边形是平行四边形，四边形是平行四边形四边形的对角线相等， 所以 p 是 q 的既不充分也不必要条件 (2)因为(x1)2(y2)20 x1 且 y2(x1)(y2)0，而(x1)(y2)0(x1)2(y2)20，所以 p 是 q 的充分不必要条件 充分条件、必要条件、充要条件的应用 探究问题 1记集合 Ax|p(x)，Bx|q(x)，若 p 是 q 的充分不必要条件，则集合 A，B 的关系是什么？若 p 是
7、 q 的必要不充分条件呢？ 4 提示：若 p 是 q 的充分不必要条件，则 A B，若 p 是 q 的必要不充分条件，则 B A. 2记集合 Mx|p(x)，Nx|q(x)，若 MN，则 p 是 q 的什么条件？若 NM，MN呢？ 提示：若 MN，则 p 是 q 的充分条件，若 NM，则 p 是 q 的必要条件，若 MN，则 p是 q 的充要条件 【例 2】 已知 p： 2x10， q： 1mx1m(m0)， 若 p 是 q 的充分不必要条件，则实数 m 的取值范围为_ 思路点拨 p是q的充分不必要条件p代表的集合是q代表的集合的真子集 列不等式组求解 m|m9 因为 p 是 q 的充分不必要
8、条件，所以 pq 且 qp. 即x|2x10是x|1mx1m，m0的真子集，所以 m0，1m0，1m10，解得 m9. 所以实数 m 的取值范围为m|m9 1 本例中“p 是 q 的充分不必要条件”改为“p 是 q 的必要不充分条件”， 其他条件不变，试求 m 的取值范围 解 因为 p 是 q 的必要不充分条件，所以 qp，且 pq. 则x|1mx1m，m0 x|2x10， 所以 m0，1m21m10，解得 0m3. 即 m 的取值范围是m|0m3 2若本例题改为：已知 Px|a4xa4，Qx|1x0”是“x0”的( ) A充分不必要条件 7 B必要不充分条件 C充分必要条件 D既不充分也不必
9、要条件 A 由“x0”“x0”，反之不一定成立因此“x0”是“x0”的充分不必要条件 3函数 f(x)x2mx1 的图象关于直线 x1 对称的充要条件是_ m2 函数 f(x)x2mx1 的图象关于直线 x1 对称， 则m21， 即 m2； 反之，若 m2，则 f(x)x22x1 的图象关于直线 x1 对称 4已知 p：实数 x 满足 3axa，其中 a0；q：实数 x 满足2x3.若 p 是 q 的充分条件，求实数 a 的取值范围 解 由 p：3axa，即集合 Ax|3axa q：2x3，即集合 Bx|2x3 因为 pq，所以 AB， 所以 3a2，a3，a0，即23a0， 所以 a 的取值范围是a 23a0.
