1、高二期末复习专题之圆锥曲线小题综合复习知识与技巧典型题一：中点弦和定义AB是椭圆的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.AB是双曲线的不平行于对称轴的弦，M为AB的中点，则.1.已知椭圆C：的长轴长为4，若点P是椭圆C上任意一点，过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点，记直线PM、PN的斜率分别为，当时，则椭圆方程为（）ABCD【答案】D【分析】设，则，设直线l方程为，由得，联立可得，由点P的任意性知，即可求得椭圆方程.【详解】方法一：由长轴长为4得，解得，设，直线l方程为，则，由得，即，所以，又P在椭圆上，所以，即，代入式得，即，因为点P为椭圆上任意一点，所以该式恒成立与无关，所以，解得，所
2、以所求椭圆方程为故选：D方法二：直接用第三定义可得：，再由a=2，直接得答案D2.已知双曲线的左右焦点分别为，过点且倾斜角为的直线与双曲线的左右支分别交于点，且，则该双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A【分析】由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理，以及解直角三角形，可得的关系，再由离心率公式可求解.【详解】解：过作于点，设，因为直线的倾斜角为，所以在直角三角形中，由双曲线的定义可得，所以，同理可得，所以，即，所以，因此，在直角三角形中，所以，所以，则.故选：A.知识与技巧典型题二：焦点三角形1、 焦点：涉及到椭圆双曲线定义2、 三角形：会涉及到余弦定理或者正弦定理解三角形1.已知点分别为双
3、曲线的左右焦点，过的直线与双曲线右支交于点，过作的角平分线的垂线，垂足为，若,则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】如图根据题意可得，在中利用余弦定理可得，再根据的范围，从而求得的范围.【详解】如图所示，由已知可知是的角平分线，且，延长交于，易知，由，所以，又，所以，在中，由的斜率可无限靠近渐近线的斜率，所以，所以，解得.故选：D2.设,分别是椭圆的左右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若，则椭圆的离心率为_.【答案】【分析】求椭圆的离心率，要列出关于的等量关系式，设，根据椭圆的定义以及，可以表示出三角形各边的长度，通过余弦定理得到各边关于的表达式，根据几何关系可以列出关于的
4、等量关系式，从而求出离心率【详解】设，则，.，在中，由余弦定理得，化简可得，而，故，是等腰直角三角形，椭圆的离心率 ，故答案为：.知识与技巧典型题三：离心率寻找等量关系，构造a,b,c的齐次式子。1.如图，O是坐标原点，P是双曲线右支上的一点，F是E的右焦点，延长PO，PF分别交E于Q，R两点，已知QFFR，且，则E的离心率为（ ）ABCD【答案】B【分析】令双曲线E的左焦点为，连线即得，设，借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|，再借助即可得解.【详解】如图，令双曲线E的左焦点为，连接， 由对称性可知，点是线段中点，则四边形是平行四边形，而QFFR，于是有是矩形，设，则，在中，解得或m0（舍
5、去），从而有，中，整理得，所以双曲线E的离心率为故选：B2.椭圆的左右焦点分别为，过点的直线l交椭圆C于A，B两点，已知，则椭圆C的离心率为（ ）ABCD【答案】A【分析】根据向量运算和椭圆的定义可得关于的方程，由椭圆的离心率的定义可得选项.【详解】设，因为，所以，所以，因为，所以，所以，设中点为H，则，代入数据并整理得：，等式两边同除以得：，解得：或(舍).故选：A.知识与技巧典型题四：焦点弦定比分点1.已知是双曲线的右焦点，直线经过点且与双曲线相交于两点，记该双曲线的离心率为，直线的斜率为，若，则（ ）ABCD【答案】C【分析】设直线的方程为，联立方程组求得，根据，得到，代入上式，可得，求
6、得，即可求解.【详解】由题意，设直线的方程为，联立方程组，整理得，设，可得，因为，即，可得，代入上式，可得， 可得，整理得，即，又由，可得，即，所以，可得，即.故选：C.2.直线过椭圆：（a0，b0）的左焦点F和上顶点A，与圆心在原点的圆交于P，Q两点，若，POQ=120，则椭圆离心率为（ ）ABCD【答案】D【详解】椭圆的焦点在轴上，,，故直线的方程为，即，直线（即）的斜率为， 过作的垂线，则为的中点，是的中点，直线的斜率，不妨令，则，椭圆的离心率，故选D.知识与技巧典型题五：焦点三角形的外接圆和内切圆1.已知椭圆为C的左右焦点，为C上一点，且的内心，若的面积为2b，则n的值为（ ）ABCD
7、3【答案】C【分析】利用焦点三角形的面积公式，建立等量关系，可得，结合椭圆的性质，计算椭圆的离心率，再结合焦点三角形的面积公式，求的值.【详解】由题意可得，的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上，.又，即，解得或（舍），.又，解得.故选：C.2.在平面直角坐标系xOy中，若抛物线C:y2=2px()的焦点为F，直线x=3与抛物线C交于A，B两点，AF|=4，圆E为的外接圆，直线OM与圆E切于点M，点N在圆E上，则的取值范围是（ ）ABCD【答案】B【分析】由已知及抛物线的定义，可求，进而得抛物线的方程，可求，的坐标，直线的方程，可得圆的半径，求得圆心，设的坐标，求得的坐标，结合向
8、量数量积的坐标表示，以及辅助角公式和正弦函数的值域，可得所求范围【详解】解：由题意，设，所以，解得，所以抛物线的方程为，所以直线的方程为，设圆心坐标为，所以，解得，即，圆的方程为，不妨设，设直线的方程为，则，根据，解得，由，解得，设，所以，因为，所以故选：B知识与技巧典型题六：多曲线交点1.已知点为抛物线的焦点，点为抛物线上一动点，当最小时，点恰好在以，为焦点的双曲线上，则该双曲线的渐近线的斜率的平方为（ ）ABCD【答案】B【分析】作出图形，可知与抛物线相切时，取得最小值，求出点的坐标，利用双曲线定义求出2a，结合，可求得，再利用求得结果.【详解】由抛物线的对称性，设为抛物线第一象限内点，如
9、图所示：故点作垂直于抛物线的准线于点B，由抛物线的定义知，易知轴，可得当取得最大值时，取得最小值，此时与抛物线相切，设直线方程为：，联立，整理得，其中，解得：，由为抛物线第一象限内点，则。则，解得：，此时，即或所以点的坐标且由题意知，双曲线的左焦点为，右焦点为设双曲线的实轴长为2a，则，又，则故渐近线斜率的平方为。故选：B2.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点，点为抛物线的焦点，点在抛物线上且满足，若取最大值时，点恰好在以为焦点的双曲线上，则双曲线的离心率为ABCD【答案】B【详解】过P作准线的垂线，垂足为N，则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|，|PA|=m|PB|， |PA|=m|PN|
10、 ，设PA的倾斜角为，则，当m取得最大值时，最小，此时直线PA与抛物线相切，设直线PA的方程为y=kx1，代入x2=4y，可得x2=4（kx1），即x24kx+4=0，=16k216=0，k=1， P（2，1），双曲线的实轴长为PAPB=2（1）， 双曲线的离心率为故选B知识与技巧典型题七：抛物线的焦半径1.如图，过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、，若与面积之和的最小值为16，则抛物线的方程为_.【答案】【分析】根据焦半径公式表示出面积表达式，根据直线和x轴夹角的范围得到面积的范围.【详解】设直线AC和x轴的夹角为由焦半径公式得到 面积之和为： 通分化简得到 原式子化简为根据二次函数的性质当t
11、=1时有最小值，此时抛物线方程为： 故答案为.知识与技巧典型题八：切线方程在椭圆上一点的切线方程为1.已知椭圆E:的左焦点为F，过点P(2，t)作椭圆E的切线PA、PB，切点分别是A、B，则三角形ABF面积最大值为（ ）AB1C2D【答案】A【分析】设,，并求出切线PA、PB的方程，进而求出直线方程，并确定其过定点，且定点为椭圆的右焦点，再联立方程求得，再表示出，利用基本不等式求出范围即可.【详解】由椭圆方程，知，设右焦点为，即设,，由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为，切线PB的方程为由于点P在切线PA、PB上，则，故直线方程为，所以直线过定点，且定点为椭圆的右焦点，联立方程，消去x得：由韦
12、达定理得，令，则，则，当且仅当，即时，等号成立，故三角形ABF面积最大值为。故选：A2.抛物线：与双曲线：有一个公共焦点，过上一点向作两条切线，切点分别为、，则_【答案】49【分析】将点P的坐标代入双曲线方程，可求得的值，从而可得双曲线的方程，则可得焦点坐标，可得抛物线的准线方程，由导数的几何意义可得两点处的切线的斜率，求得切点弦AB的方程，与抛物线的方程联立，运用韦达定理和抛物线的定义，计算即可【详解】解：由于点在曲线上，所以，则双曲线的方程为，即，则，所以抛物线方程为，准线方程为，设，则，由，得，所以处的切线方程为，即，即，将点代入可得，同理可得，所以直线的方程为，联立抛物线的方程，可得，
13、所以，所以.故答案为：49知识与技巧典型题九：与向量结合1.已知双曲线的左，右焦点分别是，点是双曲线右支上异于顶点的点，点在直线上，且满足，.若，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】C【分析】根据条件可确定在的角平分线上，且是的内心，由向量关系式求出线段长的比，利用双曲线定义求解.【详解】由，则点在的角平分线上，由点在直线上，则是的内心，由，由奔驰定理（已知P为ABC内一点，则有SPBCSPACSPAB.）知，,即。则，设，则，则.故选：C2.已知双曲线：的左、右焦点分别为，过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为，若，则双曲线的渐近线方程是（ ）ABCD【答案】A【分析】由得，由此求
14、得的坐标，将的坐标代入双曲线方程，化简求得，从而求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意，所以，设直线的倾斜角为，则为钝角，结合解得，设，则，将点坐标代入双曲线方程得，而，所以，化简得，所以双曲线的渐近线方程为.故选：A知识与技巧典型题十：最值范围1.已知椭圆C：的左、右焦点分别为，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则的最小值为_【答案】【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为，再根据（当且仅当M、N、E共线时取等号），最后根据求得的最小值.【详解】解：如图，M为椭圆C上任意一点，N为圆E：上任意一点，则（当且仅当M、N、E共线时取等号），当且仅当M、N、E、共线时等号成立.，则，的
15、最小值为故答案为：2.过双曲线的右焦点作直线，使垂直于x轴且交C于M、N两点，双曲线C虚轴的一个端点为A，若是锐角三角形，则双曲线C的离心率的取值范围_【答案】【分析】根据已知条件确定，的坐标，要使是锐角三角形，有且，结合向量数量积的坐标表示，并整理为关于双曲线参数a、c的齐次不等式组，求离心率范围.【详解】由题意知：，不妨假设，是锐角三角形，即，且，整理得，解得，故答案为：典型练习：1.已知双曲线的左，右焦点分别为，过作圆的切线，切点为，延长交双曲线的左支于点若，则双曲线的离心率的取值范围是（ ）ABCD【答案】D【分析】因为过作圆的切线，切点为，故，过作 于M，利用得关于a,b的不对等时，
16、从而得出关于e的不等式，结合切线与双曲线左支有交点，得出.【详解】过作 于M， ,O为 的中点， ， ，令 ，则 ， ，在 中， 解得 , 即 ， ，且 与左支有交点， ，即 ， ， .故选：D2.设同时为椭圆与双曲线的左右焦点，设椭圆与双曲线在第一象限内交于点，椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点，现有下述四个结论：，则，则，则的取值范围是，则的取值范围是其中所有正确结论的编号是（ ）ABCD【答案】D【分析】设，结合椭圆双曲线定义可得，当，可得，进而求出；当时，可得，进而，即可求出范围.【详解】如图，设，焦距为，由椭圆定义可得，由双曲线定义可得，解得.当时，则，所以，即，由离心率的公式可得
17、，故正确.当时，可得，即，可得，由，可得，可得，即，则，可设，则，由在上单调递增，可得，则，故正确.故选：3.已知椭圆：()的短轴长为4，上顶点为，为坐标原点，点为的中点，双曲线：(，)的左右焦点分别与椭圆的左右顶点，重合，点是双曲线与椭圆在第一象限的交点，且，三点共线，直线的斜率，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】D【分析】由椭圆的短轴长为4得的坐标，的坐标设的中点为连接得，直线的方程得的坐标，的坐标，求出双曲线的实轴长，解得双曲线的离心率.【详解】因为椭圆：()的短轴长为4，所以，.设的中点为，连接，则，而，所以，得，所以直线的方程为，与直线的方程联立，得解得。所以的坐标为，的坐标为
18、，又双曲线：的左右焦点分别为，所以根据双曲线的定义，得双曲线的实轴长，所以双曲线的离心率，故选：D4.已知，分别为双曲线的左、右焦点，以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为，设四边形的周长为，面积为，且满足，则该双曲线的离心率为_.【答案】【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出点坐标为，然后通过圆与双曲线的对称性得出，再根据“点即在圆上，也在双曲线上”联立方程组得出，然后根据图像以及可得和，接下来利用双曲线定义得出以及，最后根据并通过化简求值即可得出结果【详解】如图所示，根据题意绘出双曲线与圆的图像，设，由圆与双曲线的对称性可知，点与点关于原点对称，所以，因为圆是以为直径，所以
19、圆的半径为，因为点在圆上，也在双曲线上，所以有，联立化简可得，整理得，所以，因为，所以，因为，所以，因为，联立可得，因为为圆的直径，所以,即，所以离心率5.已知为双曲线(，)左支上一点，为其左右焦点，若的最小值为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】B【分析】设则，记，求导分析单调性，从而求得最小值，因为最小为故可求得关系，即可求得离心率【详解】设，则由双曲线的定义得：，记，令，得（1）当时，单调递减；，单调递增，不合题意，舍去；（2）当时，恒成立，解得或不满足，应舍去.，离心率故选：B6.已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A，过点A的直线与的一条渐近线交于点，直线与的一个交点为B，若，且，
20、则的离心率为( )A2BCD【答案】C【分析】由向量数量积等式推出lx轴，求出点Q坐标，进而得点B坐标，再代入双曲线方程求解即得.【详解】由已知得，设，由，得，所以轴，即，不妨设点在第一象限，则.设，由，得，即，点在双曲线上，整理得，解得，或(负值舍去).故选C.。故选：C7.在直角坐标系xOy中，F1(-c，0)，F2(c，0)分别是双曲线C：的左、右焦点，位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点，PF1F2的外心M的坐标为，PF1F2的面积为2a2，则双曲线C的渐近线方程为（ ）AyxByxCyxDyx【答案】D【分析】由M是三角形外心可得，根据圆周角与圆心角关系得F1PF2，
21、根据余弦定理、双曲线的定义得，由三角形面积公式，即可确定的数量关系，写出渐近线方程即可.【详解】由PF1F2的外心M，知：，在中，即，故F1PF2，在中，而，即，而，由题意知：，故双曲线的渐近线方程为：故选：D8.如图，已知双曲线的左、右焦点分别为，过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点，若的内切圆半径为，则双曲线的离心率为（ ）ABCD【答案】A【分析】设双曲线的左、右焦点分别为，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，联立双曲线的方程可得点的坐标，设，运用三角形的等面积法，以及双曲线的定义，结合锐角三角函数的定义，化简变形可得关于，的方程，结合离心率公式可得所求值【详解】设双曲
22、线的左、右焦点分别为，设双曲线的一条渐近线方程为，可得直线的方程为，与双曲线联立，可得，设，由三角形的等面积法可得，化简可得，由双曲线的定义可得，在三角形中，为直线的倾斜角），由，可得，可得，由化简可得，即为，可得，则故选：A9.抛物线的焦点为F，点为该抛物线上的动点，点A是抛物线的准线与坐标轴的交点，则的最大值是（ ）A2BCD【答案】B【分析】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，则，当直线PA与抛物线相切时，最小，取得最大值，设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标，然后进行计算得到结果.【详解】设直线的倾斜角为，设垂直于准线于，由抛物线的性质可得，所以则，当最小时
23、，则值最大，所以当直线PA与抛物线相切时，最大，即最小，由题意可得，设切线PA的方程为：，整理可得，可得，将代入，可得，所以，即P的横坐标为1，即P的坐标，所以，所以的最大值为：，故选：B10.已知抛物线的焦点为F，点是抛物线C上一点，圆M与线段MF相交于点A，且被直线截得的弦长为，若，则_.【答案】【分析】先将点M代入抛物线方程得到一个关系式，而后利用抛物线的定义将A到焦点的距离转化为到准线的距离，然后根据圆的弦长公式用勾股定理得到第二个关系式，进一步解出即可.【详解】如图所示，在抛物线上，则易知，由，因为被直线截得的弦长为，则，由， 于是在中，由解得：，所以.故答案为：.11.已知是椭圆与
24、双曲线的公共焦点，是它们的一个公共点，且，线段的垂直平分线过，若椭圆的离心率为，双曲线的离心率为，则的最小值为_【答案】6【分析】由于线段的垂直平分线过，所以有，再根据双曲线和椭圆的定义，求出的表达式，然后利用基本不等式来求得最小值.【详解】设椭圆对应的参数为，双曲线对应的参数为，由于线段的垂直平分线过，所以有.根据双曲线和椭圆的定义有，两式相减得到，即.所以，即最小值为.12.已知是椭圆的左、右焦点，在椭圆上运动，当的值最小时，的面积为_【答案】【分析】根据椭圆定义得出，进而对进行化简，结合基本不等式得出的最小值，并求出的值，进而求出面积.【详解】由椭圆定义可知，所以，当且仅当，即时取“=”
25、.又，所以.所以，由勾股定理可知：，所以.故答案为：.13.已知双曲线的左、右焦点分别为，斜率大于0的直线经过点与的右支交于，两点，若与的内切圆面积之比为9，则直线的斜率为_【答案】【分析】设与的内切圆圆心分别为， 的内切圆与三边分别切于点， 利用内切圆的性质得设直线的倾斜角为，在中，在中，由题得得，再由二倍角公式可得答案【详解】设与的内切圆圆心分别为，连接，的内切圆与三边分别切于点，如图，则，所以，即，同理，所以，设直线的倾斜角为，则，在中，在中，由题得，所以，解得，所以故答案为：14.已知梯形中， ，若双曲线以、为焦点，且过、三点，则双曲线的离心率为_【答案】【分析】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立平面直角坐标系，设、，求出点的坐标，利用求出点的坐标，将点的坐标代入双曲线方程，可得出关于的方程，即可解得该双曲线的离心率的值.【详解】，以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，设双曲线的方程为，由于双曲线的焦点为、，可设、，由于双曲线过、两点，且，由双曲线的对称性可知，点、关于轴对称，则，将代入双曲线方程可得，可得，则，设点，由可得，即，可得，解得，所以，点，将点的坐标代入双曲线方程可得，即，可得，解得.因此，该双曲线的离心率为.故答案为：.
