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高二期末复习专题:圆锥曲线小题综合复习(含答案)

1、高二期末复习专题之圆锥曲线小题综合复习知识与技巧典型题一:中点弦和定义AB是椭圆的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则.AB是双曲线的不平行于对称轴的弦,M为AB的中点,则.1.已知椭圆C:的长轴长为4,若点P是椭圆C上任意一点,过原点的直线l与椭圆相交于M、N两点,记直线PM、PN的斜率分别为,当时,则椭圆方程为()ABCD【答案】D【分析】设,则,设直线l方程为,由得,联立可得,由点P的任意性知,即可求得椭圆方程.【详解】方法一:由长轴长为4得,解得,设,直线l方程为,则,由得,即,所以,又P在椭圆上,所以,即,代入式得,即,因为点P为椭圆上任意一点,所以该式恒成立与无关,所以,解得,所

2、以所求椭圆方程为故选:D方法二:直接用第三定义可得:,再由a=2,直接得答案D2.已知双曲线的左右焦点分别为,过点且倾斜角为的直线与双曲线的左右支分别交于点,且,则该双曲线的离心率为( )ABCD【答案】A【分析】由双曲线的定义和直角三角形的勾股定理,以及解直角三角形,可得的关系,再由离心率公式可求解.【详解】解:过作于点,设,因为直线的倾斜角为,所以在直角三角形中,由双曲线的定义可得,所以,同理可得,所以,即,所以,因此,在直角三角形中,所以,所以,则.故选:A.知识与技巧典型题二:焦点三角形1、 焦点:涉及到椭圆双曲线定义2、 三角形:会涉及到余弦定理或者正弦定理解三角形1.已知点分别为双

3、曲线的左右焦点,过的直线与双曲线右支交于点,过作的角平分线的垂线,垂足为,若,则双曲线的离心率的取值范围是( )ABCD【答案】D【分析】如图根据题意可得,在中利用余弦定理可得,再根据的范围,从而求得的范围.【详解】如图所示,由已知可知是的角平分线,且,延长交于,易知,由,所以,又,所以,在中,由的斜率可无限靠近渐近线的斜率,所以,所以,解得.故选:D2.设,分别是椭圆的左右焦点,过点的直线交椭圆于两点,若,则椭圆的离心率为_.【答案】【分析】求椭圆的离心率,要列出关于的等量关系式,设,根据椭圆的定义以及,可以表示出三角形各边的长度,通过余弦定理得到各边关于的表达式,根据几何关系可以列出关于的

4、等量关系式,从而求出离心率【详解】设,则,.,在中,由余弦定理得,化简可得,而,故,是等腰直角三角形,椭圆的离心率 ,故答案为:.知识与技巧典型题三:离心率寻找等量关系,构造a,b,c的齐次式子。1.如图,O是坐标原点,P是双曲线右支上的一点,F是E的右焦点,延长PO,PF分别交E于Q,R两点,已知QFFR,且,则E的离心率为( )ABCD【答案】B【分析】令双曲线E的左焦点为,连线即得,设,借助双曲线定义及直角用a表示出|PF|,再借助即可得解.【详解】如图,令双曲线E的左焦点为,连接, 由对称性可知,点是线段中点,则四边形是平行四边形,而QFFR,于是有是矩形,设,则,在中,解得或m0(舍

5、去),从而有,中,整理得,所以双曲线E的离心率为故选:B2.椭圆的左右焦点分别为,过点的直线l交椭圆C于A,B两点,已知,则椭圆C的离心率为( )ABCD【答案】A【分析】根据向量运算和椭圆的定义可得关于的方程,由椭圆的离心率的定义可得选项.【详解】设,因为,所以,所以,因为,所以,所以,设中点为H,则,代入数据并整理得:,等式两边同除以得:,解得:或(舍).故选:A.知识与技巧典型题四:焦点弦定比分点1.已知是双曲线的右焦点,直线经过点且与双曲线相交于两点,记该双曲线的离心率为,直线的斜率为,若,则( )ABCD【答案】C【分析】设直线的方程为,联立方程组求得,根据,得到,代入上式,可得,求

6、得,即可求解.【详解】由题意,设直线的方程为,联立方程组,整理得,设,可得,因为,即,可得,代入上式,可得, 可得,整理得,即,又由,可得,即,所以,可得,即.故选:C.2.直线过椭圆:(a0,b0)的左焦点F和上顶点A,与圆心在原点的圆交于P,Q两点,若,POQ=120,则椭圆离心率为( )ABCD【答案】D【详解】椭圆的焦点在轴上,,,故直线的方程为,即,直线(即)的斜率为, 过作的垂线,则为的中点,是的中点,直线的斜率,不妨令,则,椭圆的离心率,故选D.知识与技巧典型题五:焦点三角形的外接圆和内切圆1.已知椭圆为C的左右焦点,为C上一点,且的内心,若的面积为2b,则n的值为( )ABCD

7、3【答案】C【分析】利用焦点三角形的面积公式,建立等量关系,可得,结合椭圆的性质,计算椭圆的离心率,再结合焦点三角形的面积公式,求的值.【详解】由题意可得,的内心到x轴的距离就是内切圆的半径.又点P在椭圆C上,.又,即,解得或(舍),.又,解得.故选:C.2.在平面直角坐标系xOy中,若抛物线C:y2=2px()的焦点为F,直线x=3与抛物线C交于A,B两点,AF|=4,圆E为的外接圆,直线OM与圆E切于点M,点N在圆E上,则的取值范围是( )ABCD【答案】B【分析】由已知及抛物线的定义,可求,进而得抛物线的方程,可求,的坐标,直线的方程,可得圆的半径,求得圆心,设的坐标,求得的坐标,结合向

8、量数量积的坐标表示,以及辅助角公式和正弦函数的值域,可得所求范围【详解】解:由题意,设,所以,解得,所以抛物线的方程为,所以直线的方程为,设圆心坐标为,所以,解得,即,圆的方程为,不妨设,设直线的方程为,则,根据,解得,由,解得,设,所以,因为,所以故选:B知识与技巧典型题六:多曲线交点1.已知点为抛物线的焦点,点为抛物线上一动点,当最小时,点恰好在以,为焦点的双曲线上,则该双曲线的渐近线的斜率的平方为( )ABCD【答案】B【分析】作出图形,可知与抛物线相切时,取得最小值,求出点的坐标,利用双曲线定义求出2a,结合,可求得,再利用求得结果.【详解】由抛物线的对称性,设为抛物线第一象限内点,如

9、图所示:故点作垂直于抛物线的准线于点B,由抛物线的定义知,易知轴,可得当取得最大值时,取得最小值,此时与抛物线相切,设直线方程为:,联立,整理得,其中,解得:,由为抛物线第一象限内点,则。则,解得:,此时,即或所以点的坐标且由题意知,双曲线的左焦点为,右焦点为设双曲线的实轴长为2a,则,又,则故渐近线斜率的平方为。故选:B2.已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取最大值时,点恰好在以为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为ABCD【答案】B【详解】过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,|PA|=m|PB|, |PA|=m|PN|

10、 ,设PA的倾斜角为,则,当m取得最大值时,最小,此时直线PA与抛物线相切,设直线PA的方程为y=kx1,代入x2=4y,可得x2=4(kx1),即x24kx+4=0,=16k216=0,k=1, P(2,1),双曲线的实轴长为PAPB=2(1), 双曲线的离心率为故选B知识与技巧典型题七:抛物线的焦半径1.如图,过抛物线的焦点作两条互相垂直的弦、,若与面积之和的最小值为16,则抛物线的方程为_.【答案】【分析】根据焦半径公式表示出面积表达式,根据直线和x轴夹角的范围得到面积的范围.【详解】设直线AC和x轴的夹角为由焦半径公式得到 面积之和为: 通分化简得到 原式子化简为根据二次函数的性质当t

11、=1时有最小值,此时抛物线方程为: 故答案为.知识与技巧典型题八:切线方程在椭圆上一点的切线方程为1.已知椭圆E:的左焦点为F,过点P(2,t)作椭圆E的切线PA、PB,切点分别是A、B,则三角形ABF面积最大值为( )AB1C2D【答案】A【分析】设,,并求出切线PA、PB的方程,进而求出直线方程,并确定其过定点,且定点为椭圆的右焦点,再联立方程求得,再表示出,利用基本不等式求出范围即可.【详解】由椭圆方程,知,设右焦点为,即设,,由椭圆的切线方程可知切线PA的方程为,切线PB的方程为由于点P在切线PA、PB上,则,故直线方程为,所以直线过定点,且定点为椭圆的右焦点,联立方程,消去x得:由韦

12、达定理得,令,则,则,当且仅当,即时,等号成立,故三角形ABF面积最大值为。故选:A2.抛物线:与双曲线:有一个公共焦点,过上一点向作两条切线,切点分别为、,则_【答案】49【分析】将点P的坐标代入双曲线方程,可求得的值,从而可得双曲线的方程,则可得焦点坐标,可得抛物线的准线方程,由导数的几何意义可得两点处的切线的斜率,求得切点弦AB的方程,与抛物线的方程联立,运用韦达定理和抛物线的定义,计算即可【详解】解:由于点在曲线上,所以,则双曲线的方程为,即,则,所以抛物线方程为,准线方程为,设,则,由,得,所以处的切线方程为,即,即,将点代入可得,同理可得,所以直线的方程为,联立抛物线的方程,可得,

13、所以,所以.故答案为:49知识与技巧典型题九:与向量结合1.已知双曲线的左,右焦点分别是,点是双曲线右支上异于顶点的点,点在直线上,且满足,.若,则双曲线的离心率为( )ABCD【答案】C【分析】根据条件可确定在的角平分线上,且是的内心,由向量关系式求出线段长的比,利用双曲线定义求解.【详解】由,则点在的角平分线上,由点在直线上,则是的内心,由,由奔驰定理(已知P为ABC内一点,则有SPBCSPACSPAB.)知,,即。则,设,则,则.故选:C2.已知双曲线:的左、右焦点分别为,过点且斜率为的直线与双曲线在第二象限的交点为,若,则双曲线的渐近线方程是( )ABCD【答案】A【分析】由得,由此求

14、得的坐标,将的坐标代入双曲线方程,化简求得,从而求得双曲线的渐近线方程.【详解】依题意,所以,设直线的倾斜角为,则为钝角,结合解得,设,则,将点坐标代入双曲线方程得,而,所以,化简得,所以双曲线的渐近线方程为.故选:A知识与技巧典型题十:最值范围1.已知椭圆C:的左、右焦点分别为,M为椭圆C上任意一点,N为圆E:上任意一点,则的最小值为_【答案】【分析】首先根据椭圆的定义将的最小值转化为,再根据(当且仅当M、N、E共线时取等号),最后根据求得的最小值.【详解】解:如图,M为椭圆C上任意一点,N为圆E:上任意一点,则(当且仅当M、N、E共线时取等号),当且仅当M、N、E、共线时等号成立.,则,的

15、最小值为故答案为:2.过双曲线的右焦点作直线,使垂直于x轴且交C于M、N两点,双曲线C虚轴的一个端点为A,若是锐角三角形,则双曲线C的离心率的取值范围_【答案】【分析】根据已知条件确定,的坐标,要使是锐角三角形,有且,结合向量数量积的坐标表示,并整理为关于双曲线参数a、c的齐次不等式组,求离心率范围.【详解】由题意知:,不妨假设,是锐角三角形,即,且,整理得,解得,故答案为:典型练习:1.已知双曲线的左,右焦点分别为,过作圆的切线,切点为,延长交双曲线的左支于点若,则双曲线的离心率的取值范围是( )ABCD【答案】D【分析】因为过作圆的切线,切点为,故,过作 于M,利用得关于a,b的不对等时,

16、从而得出关于e的不等式,结合切线与双曲线左支有交点,得出.【详解】过作 于M, ,O为 的中点, , ,令 ,则 , ,在 中, 解得 , 即 , ,且 与左支有交点, ,即 , , .故选:D2.设同时为椭圆与双曲线的左右焦点,设椭圆与双曲线在第一象限内交于点,椭圆与双曲线的离心率分别为为坐标原点,现有下述四个结论:,则,则,则的取值范围是,则的取值范围是其中所有正确结论的编号是( )ABCD【答案】D【分析】设,结合椭圆双曲线定义可得,当,可得,进而求出;当时,可得,进而,即可求出范围.【详解】如图,设,焦距为,由椭圆定义可得,由双曲线定义可得,解得.当时,则,所以,即,由离心率的公式可得

17、,故正确.当时,可得,即,可得,由,可得,可得,即,则,可设,则,由在上单调递增,可得,则,故正确.故选:3.已知椭圆:()的短轴长为4,上顶点为,为坐标原点,点为的中点,双曲线:(,)的左右焦点分别与椭圆的左右顶点,重合,点是双曲线与椭圆在第一象限的交点,且,三点共线,直线的斜率,则双曲线的离心率为( )ABCD【答案】D【分析】由椭圆的短轴长为4得的坐标,的坐标设的中点为连接得,直线的方程得的坐标,的坐标,求出双曲线的实轴长,解得双曲线的离心率.【详解】因为椭圆:()的短轴长为4,所以,.设的中点为,连接,则,而,所以,得,所以直线的方程为,与直线的方程联立,得解得。所以的坐标为,的坐标为

18、,又双曲线:的左右焦点分别为,所以根据双曲线的定义,得双曲线的实轴长,所以双曲线的离心率,故选:D4.已知,分别为双曲线的左、右焦点,以为直径的圆与双曲线在第一象限和第三象限的交点分别为,设四边形的周长为,面积为,且满足,则该双曲线的离心率为_.【答案】【分析】本题首先可根据题意绘出图像并设出点坐标为,然后通过圆与双曲线的对称性得出,再根据“点即在圆上,也在双曲线上”联立方程组得出,然后根据图像以及可得和,接下来利用双曲线定义得出以及,最后根据并通过化简求值即可得出结果【详解】如图所示,根据题意绘出双曲线与圆的图像,设,由圆与双曲线的对称性可知,点与点关于原点对称,所以,因为圆是以为直径,所以

19、圆的半径为,因为点在圆上,也在双曲线上,所以有,联立化简可得,整理得,所以,因为,所以,因为,所以,因为,联立可得,因为为圆的直径,所以,即,所以离心率5.已知为双曲线(,)左支上一点,为其左右焦点,若的最小值为,则双曲线的离心率为( )ABCD【答案】B【分析】设则,记,求导分析单调性,从而求得最小值,因为最小为故可求得关系,即可求得离心率【详解】设,则由双曲线的定义得:,记,令,得(1)当时,单调递减;,单调递增,不合题意,舍去;(2)当时,恒成立,解得或不满足,应舍去.,离心率故选:B6.已知双曲线的右顶点、右焦点分别为A,过点A的直线与的一条渐近线交于点,直线与的一个交点为B,若,且,

20、则的离心率为( )A2BCD【答案】C【分析】由向量数量积等式推出lx轴,求出点Q坐标,进而得点B坐标,再代入双曲线方程求解即得.【详解】由已知得,设,由,得,所以轴,即,不妨设点在第一象限,则.设,由,得,即,点在双曲线上,整理得,解得,或(负值舍去).故选C.。故选:C7.在直角坐标系xOy中,F1(-c,0),F2(c,0)分别是双曲线C:的左、右焦点,位于第一象限上的点P(x0,y0)是双曲线C上的一点,PF1F2的外心M的坐标为,PF1F2的面积为2a2,则双曲线C的渐近线方程为( )AyxByxCyxDyx【答案】D【分析】由M是三角形外心可得,根据圆周角与圆心角关系得F1PF2,

21、根据余弦定理、双曲线的定义得,由三角形面积公式,即可确定的数量关系,写出渐近线方程即可.【详解】由PF1F2的外心M,知:,在中,即,故F1PF2,在中,而,即,而,由题意知:,故双曲线的渐近线方程为:故选:D8.如图,已知双曲线的左、右焦点分别为,过右焦点作平行于一条渐近线的直线交双曲线于点,若的内切圆半径为,则双曲线的离心率为( )ABCD【答案】A【分析】设双曲线的左、右焦点分别为,设双曲线的一条渐近线方程为,可得直线的方程为,联立双曲线的方程可得点的坐标,设,运用三角形的等面积法,以及双曲线的定义,结合锐角三角函数的定义,化简变形可得关于,的方程,结合离心率公式可得所求值【详解】设双曲

22、线的左、右焦点分别为,设双曲线的一条渐近线方程为,可得直线的方程为,与双曲线联立,可得,设,由三角形的等面积法可得,化简可得,由双曲线的定义可得,在三角形中,为直线的倾斜角),由,可得,可得,由化简可得,即为,可得,则故选:A9.抛物线的焦点为F,点为该抛物线上的动点,点A是抛物线的准线与坐标轴的交点,则的最大值是( )A2BCD【答案】B【分析】设直线的倾斜角为,设垂直于准线于,由抛物线的性质可得,则,当直线PA与抛物线相切时,最小,取得最大值,设出直线方程得到直线和抛物线相切时的点P的坐标,然后进行计算得到结果.【详解】设直线的倾斜角为,设垂直于准线于,由抛物线的性质可得,所以则,当最小时

23、,则值最大,所以当直线PA与抛物线相切时,最大,即最小,由题意可得,设切线PA的方程为:,整理可得,可得,将代入,可得,所以,即P的横坐标为1,即P的坐标,所以,所以的最大值为:,故选:B10.已知抛物线的焦点为F,点是抛物线C上一点,圆M与线段MF相交于点A,且被直线截得的弦长为,若,则_.【答案】【分析】先将点M代入抛物线方程得到一个关系式,而后利用抛物线的定义将A到焦点的距离转化为到准线的距离,然后根据圆的弦长公式用勾股定理得到第二个关系式,进一步解出即可.【详解】如图所示,在抛物线上,则易知,由,因为被直线截得的弦长为,则,由, 于是在中,由解得:,所以.故答案为:.11.已知是椭圆与

24、双曲线的公共焦点,是它们的一个公共点,且,线段的垂直平分线过,若椭圆的离心率为,双曲线的离心率为,则的最小值为_【答案】6【分析】由于线段的垂直平分线过,所以有,再根据双曲线和椭圆的定义,求出的表达式,然后利用基本不等式来求得最小值.【详解】设椭圆对应的参数为,双曲线对应的参数为,由于线段的垂直平分线过,所以有.根据双曲线和椭圆的定义有,两式相减得到,即.所以,即最小值为.12.已知是椭圆的左、右焦点,在椭圆上运动,当的值最小时,的面积为_【答案】【分析】根据椭圆定义得出,进而对进行化简,结合基本不等式得出的最小值,并求出的值,进而求出面积.【详解】由椭圆定义可知,所以,当且仅当,即时取“=”

25、.又,所以.所以,由勾股定理可知:,所以.故答案为:.13.已知双曲线的左、右焦点分别为,斜率大于0的直线经过点与的右支交于,两点,若与的内切圆面积之比为9,则直线的斜率为_【答案】【分析】设与的内切圆圆心分别为, 的内切圆与三边分别切于点, 利用内切圆的性质得设直线的倾斜角为,在中,在中,由题得得,再由二倍角公式可得答案【详解】设与的内切圆圆心分别为,连接,的内切圆与三边分别切于点,如图,则,所以,即,同理,所以,设直线的倾斜角为,则,在中,在中,由题得,所以,解得,所以故答案为:14.已知梯形中, ,若双曲线以、为焦点,且过、三点,则双曲线的离心率为_【答案】【分析】以线段的中点为坐标原点,所在直线为轴建立平面直角坐标系,设、,求出点的坐标,利用求出点的坐标,将点的坐标代入双曲线方程,可得出关于的方程,即可解得该双曲线的离心率的值.【详解】,以线段的中点为坐标原点,所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系,设双曲线的方程为,由于双曲线的焦点为、,可设、,由于双曲线过、两点,且,由双曲线的对称性可知,点、关于轴对称,则,将代入双曲线方程可得,可得,则,设点,由可得,即,可得,解得,所以,点,将点的坐标代入双曲线方程可得,即,可得,解得.因此,该双曲线的离心率为.故答案为:.