1、3.33.3 幂函数幂函数 本节课选自普通高中课程标准数学教科书-必修一（人教 A 版）第三章函数的概念与性质，本节课是第 3 节，幂函数是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第一种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。 课程目标
2、课程目标 学科素养学科素养 A. 理解幂函数的概念，会画幂函数21132,xyxyxyxyxy的图象; B.结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； C.能应用幂函数性质解决简单问题。 1.数学抽象：幂函数的概念； 2.逻辑推理：由五个特殊幂函数的图象归纳幂函数的图象与性质； 3.数学运算：求幂函数的解析式及比较大小； 4.直观想象：由幂函数的图象的幂函数的性质； 1.教学重点：从五个具体的幂函数中认识幂函数的一些性质； 2.教学难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质。 多媒体 教学过程 教学设计意图 核心素养目标 一、温故知新，引入新课 问题 1： 我们都学习过2,2xyyx
3、，请同学们思考这两个函数看有什么区别么？ （学生讨论，很快有学生分析出区别，我于是请了成绩中等的学生回答） 同学 1：一个函数是指数函数，一个是二次函数。 同学 2：这两个函数自变量位置不同:。 教师：这两位同学总结的非常好，这两个函数的形式一样，自变量的位置不同，而xy2是我们学习过的指数函数，对于2xy 这个函数我们将进一步分析。 二、探索新知 探究一 幂函数概念 （一）实例观察，引入新课 (1)如果张红购买了每千克 1 元的蔬菜 w 千克,那么她需要支付 P = W元 ， P 是 W 的函数 （y=x） (2)如果正方形的边长为 a,那么正方形的面积 S=a2 ， S 是 a 的函数（y
4、=x2）。 (3)如果立方体的边长为 a,那么立方体的体积 V =a3 ， S 是 a 的函数（y=x3）。 (4)如果一个正方形场地的面积为 S,那么正方形的边长 a= 12S。 a 是 S 的函数。 （y=12x） (5)如果某人 t s 内骑车行进 1 km,那么他骑车的平均速度 v=t-1，V是 t 的函数。 （y=x-1） 问题 1：以上问题中的函数具有什么共同特征? 学生反应：函数解析式是幂的形式，且指数是常数，底数是自变量。 【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般特征. （二）类比联想，探究新知 通过比较初中所学函数，引入本节新课。建立知识间的联系，
5、提高学生概括、类比推理的能力。 通过具体实例，让学生观察函数具有的共同特征，归纳幂函数的概念，提高学生的解决问题、分析问题的能力。 1.幂函数的定义：一般地，函数 y=x叫做幂函数(power function) ，其中 x 为自变量， 为常数。 注意:幂函数的解析式必须是 y = xa 的形式，其特征可归纳为“系数为，只有项” 思考思考 1 1：你能指几个学过的幂函数的例子吗？ 思考思考 2 2：你能说出幂函数与指数函数的区别吗？ 式子 名称 a x y 指数函数：xya 底数 指数 幂值 幂函数：ayx 指数 底数 幂值 思考思考 3 3：如何判断一个函数是幂函数还是指数函数？ 看看自变量
6、x是指数（指数函数）还是底数（幂函数）。 练习：练习：1、下面几个函数中，哪几个函数是幂函数？ （1）4yx； （2）22yx； （3）2yx ； （4）2xy ； （5）2yx；（6） 3+2yx。 【答案】（1）、（5）. 探究二 幂函数性质 对于幂函数，我们只讨论21, 1, 3 , 2 , 1时的情况， 即：21132,xyxyxyxyxy 1.思考：我们应如何研究幂函数呢？ 作具体幂函数的图象 观察图象特征 总结函数性质 2、在同一平面直角坐标系内作出幂函数 21132,xyxyxyxyxy的图象： 通过思考，比较指数函数与幂函数的区别，进一步理解幂函数的概念及呈现形式的理解。提高学
7、生分析问题、概括能力。 通过练习，进一步巩固幂函数的概念，提高学生解决问题的能力。 通过函数图象，归纳幂函 3、性质： xy 2xy 3xy 21xy 1 xy 定义域 R R R ), 0 0|xx 值域 R ), 0 R ), 0 0|yy 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 非奇非偶 奇函数 单调性 增函数 ), 0 增 0 ,(减 增函数 ), 0 增 )0 ,(，), 0( 减 公共点 （1，1） 例 1.已知幂函数y = f (x)的图象经过点（3 ，3），求这个函数的解析式。 解：设xxf)(。因为幂函数y = f (x)的图象经过点（3 ，3）， 所以33 ，所以21， 数的性质，
8、提高学生分析问题、归纳能力。 通过例题进一步理解幂函数的概念及单调性的证明方法，提高学生的解决问题的能力。 所以21)(xxf。 例 2.证明幂函数 y=x在0，+)上是增函数 证明：1212,0,),x xxx任取且则 1212121212()()()()xxxxf xf xxxxx1212xxxx 1212120,0,0,xxxxxx因为所以12( )()f xf x所以 ( )0,).f xx即幂函数在上的增函数 三、达标检测 1已知幂函数 yf(x)的图象经过点4，12，则 f(2)( ) A.14 B4 C.22 D. 2 【解析】 设幂函数为 yx，幂函数的图象经过点4，12，12
9、4，12， yx12，f(2)21222， 故选 C. 【答案】 C 2下列函数中，其定义域和值域不同的函数是( ) Ayx13 Byx12 Cyx53 Dyx23 【解析】 A 中定义域和值域都是 R；B 中定义域和值域都是(0，)；C 中定义域和值域都是 R；D 中定义域为 R，值域为0，) 【答案】 D 3设 a1，1，12，3 ，则使函数 yxa的定义域是 R，且为奇函数的所有 a 的值是( ) 通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题的能力，感悟其中蕴含的数学思想，增强学生的应用意识。 A1,3 B1,1 C1,3 D1,1,3 【解析】 当 a1 时，yx1的定义域是x|x0，且
10、为奇函数；当 a1 时，函数 yx 的定义域是 R，且为奇函数；当 a12时，函数 yx12的定义域是x|x0，且为非奇非偶函数；当 a3 时，函数yx3的定义域是 R 且为奇函数故选 A. 【答案】 A 4函数 yx13的图象是( ) 【解析】 显然代数表达式“f(x)f(x)”说明函数是奇函数同时当 0 x1 时，x13x，当 x1 时，x13x. 【答案】 B 5比较下列各组数的大小： (1)878与1978； (2)2323与623. 【解】 (1)8781878，函数 yx78在(0，)上为增函数，又1819，则18781978. 从而8786，所以2323623. 四、小结 （1）知识总结：回顾幂函数的定义和一些简单的幂函数性质. 通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力,提高学生的 （2）思想方法：主要涉及到了归纳总结的思想，回顾研究一般具体幂函数的可行方法. 五、作业 习题 3.3 1,2 题 数学运算能力和逻辑推理能力。
