1、【新教材】【新教材】4.4.2 4.4.2 对数函数的图像和性质（人教对数函数的图像和性质（人教 A A 版）版） 本节课在已学对数函数的概念，接着研究对数函数的图像和性质，从而深化学生对对数函数的理解，并且了解较为全面的研究函数的方法，为以后在研究函数增长类型打下基础。另外，我们日常生活中的很多方面都涉及到了对数函数的知识，例如溶液酸碱度的测量，所以学习这一节具有很大的现实价值。 课程目标课程目标 1、掌握对数函数的图象和性质，培养学生实际应用函数的能力； 2、通过观察图象，分析、归纳、总结对数函数的性质； 3、在对数函数的学习过程中,体验数学的科学价值并养成勇于探索的良好习惯. 数学学科素
2、养数学学科素养 1.数学抽象：对数函数的图像与性质； 2.逻辑推理：图像平移问题； 3.数学运算：求函数的定义域与值域； 4.数据分析：利用对数函数的性质比较两个函数值的大小及解对数不等式； 5.数学建模：通过由抽象到具体，由具体到一般的数形结合思想总结指数函数性质. 重点：重点：对数函数的图象和性质； 难点：难点：对底数的分类，如何由图象、解析式归纳对数函数的性质 教学方法教学方法：以学生为主体，采用诱思探究式教学，精讲多练。 教学工具教学工具：多媒体。 一、一、 情景导入情景导入 请学生用三点画图法画212log,logyx yx图像，观察两个函数图像猜测对数函数有哪些性质？ 要求：让学生
3、自由发言，教师不做判断。而是引导学生进一步观察.研探. 二、二、 预习课本，引入新课预习课本，引入新课 阅读课本 132-133 页，思考并完成以下问题 1. 对数函数的图象是什么，通过图象可观察到对数函数具有哪些性质？ 2. 反函数的概念是什么？ 要求：学生独立完成，以小组为单位，组内可商量，最终选出代表回答问题。 三、三、 新知探究新知探究 1对数函数的图象及性质 a 的范围 0a1 a1 图 象 a 的范围 0a1 a1 性质 定义域 (0，) 值域 R 定点 (1,0)，即 x1 时，y0 单调性 在(0，)上是减函数 在(0，)上是增函数 点睛点睛 底数a与 1 的大小关系决定了对数
4、函数图象的“升降” ：当a1 时，对数函数的图象“上升” ；当 0a1 时，对数函数的图象“下降” 2反函数 指数函数 yax和对数函数 ylogax(a0 且 a1)互为反函数 四、典例分析、举一反三四、典例分析、举一反三 题型一题型一 对数函数的图象对数函数的图象 例例 1 1 函数 y=log2x,y=log5x,y=lg x 的图象如图所示. (1)说明哪个函数对应于哪个图象,并说明理由; (2)在如图的平面直角坐标系中分别画出 y=log12x,y=log15x,y=log110 x 的图象; (3)从(2)的图中你发现了什么? 【答案】见解析 【解析】(1)对应函数 y=lg x,
5、对应函数 y=log5x,对应函数 y=log2x.这是因为当底数全大于 1时,在 x=1 的右侧,底数越大的函数图象越靠近 x 轴. (2)在题图中的平面直角坐标系中分别画出 y=log12x,y=log15x,y=log110 x 的图象如图所示. (3)从(2)的图中可以发现:y=lg x与y=log110 x,y=log5x与y=log15x,y=log2x与y=log12x的图象分别关于x轴对称. 解题技巧：（对数函数图象的变化规律） 1. 对于几个底数都大于 1 的对数函数,底数越大,函数图象向右的方向越接近 x 轴;对于几个底数都大于0且小于1的对数函数,底数越大,函数图象向右的
6、方向越远离x轴.以上规律可总结成x1时 “底大图低”.实际上,作出直线 y=1,它与各图象交点的横坐标即为各函数的底数的大小,如图所示. 2. 牢记特殊点:对数函数 y=logax(a0,且 a1)的图象经过(1,0),(a,1),(1,-1). 跟踪训练一跟踪训练一 1、作出函数 y=|lg(x-1)|的图象,并根据图象写出函数的定义域、值域以及单调区间. 【答案】其定义域为(1,+),值域为0,+),单调递减区间为(1,2,单调递增区间为(2,+). 【解析】先画出函数 y=lg x 的图象(如图). 再将该函数图象向右平移 1 个单位长度得到函数 y=lg(x-1)的图象(如图). 图
7、图 图 最后把 y=lg(x-1)的图象在 x 轴下方的部分对称翻折到 x 轴上方(原来在 x 轴上方的部分不变),即得出函数 y=|lg(x-1)|的图象(如图). 由图易知其定义域为(1,+),值域为0,+),单调递减区间为(1,2,单调递增区间为(2,+). 题型二题型二 比较对数值的大小比较对数值的大小 例例 2 2 比较下列各组数中两个值的大小： (1)log23.4，log28.5； (2)log0.31.8，log0.32.7； (3)loga5.1，loga5.9(a0，且 a1) 【答案】(1) log23.4log28.5 (2) log0.31.8log0.32.7 （3
8、）当 a1 时，loga5.1loga5.9；当 0a1 时，loga5.1loga5.9. 【解析】 (1)考察对数函数 ylog2x， 因为它的底数 21， 所以它在(0， )上是增函数， 于是 log23.4log28.5. (2)考察对数函数 ylog0.3x，因为它的底数 00.31，所以它在(0，)上是减函数，于是log0.31.8log0.32.7. (3)当 a1 时，ylogax 在(0，)上是增函数，于是 loga5.1loga5.9； 当 0a1 时，ylogax 在(0，)上是减函数，于是 loga5.1loga5.9. 解题技巧： （比较对数值大小时常用的 4 种方法
9、） (1)同底的利用对数函数的单调性 (2) 同真的利用对数函数的图象或用换底公式转化 (3) 底数和真数都不同，找中间量 (4)若底数为同一参数，则根据底数对对数函数单调性的影响，对底数进行分类讨论 跟踪训练二跟踪训练二 1比较下列各题中两个值的大小： (1)lg 6，lg 8； (2)log0.56，log0.54； (3)log132 与 log152; (4)log23 与 log54. 【答案】（1）lg 6lg 8（2）log0.56log 0.54（3）log132log152（4）log23log54. 【解析】(1)因为函数 ylg x 在(0，)上是增函数，且 68，所以
10、lg 6lg 8. (2)因为函数 ylog0.5x 在(0，)上是减函数，且 64，所以 log0.56log 0.54. (3)由于 log1321log213，log1521log215. 又对数函数 ylog2x 在(0，)上是增函数，且1315， 0log2 13log2 15，1log2131log215. log132log152. (4)取中间值 1， log23log221log55log54，log23log54. 题型三题型三 比较对数值的大小比较对数值的大小 例例 3 3 (1)已知 loga121，求 a 的取值范围； (2)已知 log0.7(2x)log0.7(x
11、1)，求 x 的取值范围 【答案】(1)12，1 ； (2) (1，). 【解析】(1)由 loga121 得 loga12logaa. 当 a1 时，有 a12，此时无解 当 0a1 时，有12a，从而12a1. a 的取值范围是12，1 . (2)函数 ylog 0.7x 在(0，)上为减函数， 由 log0.72xlog0.7(x1) 得 2x0，x10，2xx1，解得 x1. x 的取值范围是(1，) 解题技巧： （常见对数不等式的 2 种解法） (1)形如 logaxlogab 的不等式，借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0a1 两种情况讨论
12、(2)形如 logaxb 的不等式，应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式，再借助 ylogax 的单调性求解. 跟踪训练三跟踪训练三 1已知 loga(3a1)恒为正，求 a 的取值范围 【答案】13，23(1，) 【解析】由题意知 loga(3a1)0loga1. 当 a1 时，ylogax 是增函数， 3a11，3a10，解得 a23，a1； 当 0a1 时，ylogax 是减函数， 3a11，3a10，解得13a23.13a23. 综上所述，a 的取值范围是13，23(1，). 题型四题型四 有关对数型函数的值域与最值问题有关对数型函数的值域与最值问题 例例 4 4 求下列函数的值
13、域 (1)ylog2(x24)；(2)ylog12 (32xx2) 【答案】(1) 2，)； (2)2，) 【解析】(1)ylog2(x24)的定义域是 R. 因为 x244，所以 log2(x24)log242， 所以 ylog2(x24)的值域为2，) (2)设 u32xx2(x1)244. 因为 u0，所以 0u4. 又 ylog12u 在(0，)上为减函数， 所以 log12ulog1242， 所以 ylog12 (32xx2)的值域为2，) 解题技巧： （对数型函数的值域与最值） (1)求对数型函数的值域，一般需根据对数函数的单调性及真数的取值范围求解 (2)求函数的值域时，一定要注
14、意定义域对它的影响，结合函数的单调性求解，当函数中含有参数时，有时需讨论参数的取值 跟踪训练四跟踪训练四 1已知 f(x)2log3x，x1,9，求函数 yf(x)2f(x2)的最大值及此时 x 的值 【答案】当 x3 时，y 取得最大值，为 13. 【解析】yf(x)2f(x2)(2log3x)2log3x22(log3x)26log3x6(log3x3)23. f(x)的定义域为1,9， yf(x)2f(x2)中，x 必须满足 1x9，1x29， 1x3，0log3x1，6y13. 当 x3 时，y 取得最大值，为 13. 五、课堂小结 让学生总结本节课所学主要知识及解题技巧 六、板书设计 七、作业 课本 140 页习题 4.4 本节通过运用对数函数的图像及应用解决相关问题，侧重用实操，培养学生的逻辑思维能力，提高学生的数学素养. 4.4.2 对数函数的图像与性质 1. 对数函数图像 例 1 例 2 2. 对数函数的性质 例 3 例 4 3.反函数
